Transcript ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
1. Να χαρακτηρίσετε τις επόµενες προτάσεις ως σωστές ή λάθος
α. Το άθροισµα δύο αρνητικών αριθµών είναι πάντα αρνητικός αριθµός
β. Το άθροισµα ενός θετικού αριθµού και ενός αρνητικού αριθµού είναι πάντα αρνητικός αριθµός
γ. Το γινόµενο δύο οµόσηµων αριθµών είναι πάντοτε θετικό
δ. Ο αντίθετος του - 4 είναι το 4
ε. Αν η απόλυτη τιµή ενός αριθµού είναι ίση µε 2, τότε ο αριθµός µπορεί να είναι είτε το 2 είτε το -2
2. i. Να γράψετε τρεις αριθµούς που είναι οµόσηµοι και δύο ζευγάρια αριθµών που είναι ετερόσηµοι
χρησιµοποιώντας τις πληροφορίες από τον άξονα των αριθµών
Οι αριθµοί που έχουν ίδιο πρόσηµο
λέγονται οµόσηµοι π.χ. -3 και -2
ενώ αυτοί που έχουν διαφορετικό
πρόσηµο λέγονται ετερόσηµοι
π.χ. -3 και 5
ii. Στη συνέχεια να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες µε ένα σύµβολο ( < , > , = ) ώστε να ισχύουν
α ... 0
γ ... 0
α ... γ
α ... δ
β ... γ
ε ... δ
0 ... β
iii.Να συµπληρώσετε τα κενά µε ένα σύµβολο
(< , > ,=) στις παρακάτω ισότητες ώστε να ισχύουν
|α| ....|γ|
|α| ...|δ|
|ε| ...|β|
|ε| ...0
3. Να συµπληρώσετε µε το κατάλληλο σύµβολο (< , > , =)
ώστε να ισχύουν οι σχέσεις
α. 13 ... -14
β. -3 ... -13
γ. -5 ... + 5
δ. 0 ... -8
ε. | -2| ...|-12| στ. | -10| ... 0
4. Να κάνετε τις πράξεις
α. -15 + 23
β. -31 -19
γ. +9 + (+3)
δ. 9 + (-12)
ε. (-12) – (-14)
στ. -6 – (-6)
1
2
1
3
ζ. −4 − 2
η. −2 + 1
θ. -4 + 10 -8 + 2
3
3
4 4
ι. + 4 – 7 +5 + 0 - 4 + 3
λ. -23 + (-4) – (-10) – (+4)
1
2
-3
β
γ
β+γ
α-(β+γ)
α-β
α-β-γ
α
-1
4
3
-1
4
β
4
3
-1
3
-1
1
-3
-6 -3 -1 -3
1
2
4
8
-
-1
Αντίθετοι λέγονται δύο αριθµοί αν έχουν ίσες
απόλυτες τιµές και είναι ετερόσηµοι.
Ο αντίθετος του -2 είναι ο αριθµός 2 και
ο αντίθετος του x είναι ο αριθµός –x.
O αριθµός –x δεν είναι πάντα θετικός
Αν δύο αριθµοί x, y είναι αντίθετοι τότε
έχουν άθροισµα 0 (x + y = 0).
Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους αριθµούς ,
προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο άθροισµα
βάζουµε το πρόσηµό τους π.χ. -3 + (-2) = -5
5. Να συµπληρώσετε τους πίνακες.
α
Κάθε σηµείο του άξονα των αριθµών αντιστοιχεί σε
ένα ρητό αριθµό (που λέγεται τετµηµένη του
σηµείου) και αντίστροφα.
Απόλυτη τιµή ενός αριθµού x λέγεται η απόσταση
του σηµείου µε τετµηµένη το x από την αρχή του
άξονα π.χ. |1| = OA= 1 , |-3| = OE=3 , |0| =OO= 0
4
0
-5 -2 -6
5
γ β-γ α-(β-γ) α-β α-β+γ
3
-1
4
4
3
Για να προσθέσουµε δύο ετερόσηµους αριθµούς ,
αφαιρούµε από τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή, τη
µικρότερη και στη διαφορά βάζουµε το πρόσηµο του
αριθµού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή π.χ. -3 + 2 = - 1
Για να αφαιρέσουµε από τον αριθµό α τον β, προσθέτουµε
στον α τον αντίθετο του β
α – β = α + ( -β) π.χ. 6 – (-5) = 6 + (+5) = 11
Για να απαλείψουµε µια παρένθεση που έχει µπροστά της
τότε , την απαλείφουµε µαζί µε το – και γράφουµε τους όρους
που περιέχει µε διαφορετικά πρόσηµα.
π.χ. – (4 + 3 -2) = - 4 -3 + 2 = -7 + 2 = -5 , - (α-β) = -α + β
Αν η παρένθεση έχει µπροστά της το + (ή δεν έχει τίποτα),
την απαλείφουµε µαζί µε το + και γράφουµε τους όρους που
περιέχει, µε τα πρόσηµα τους.
π.χ. + (4 + 3 -2) = 4 + 3 -2 = 7 – 2 = 5 , +(γ – δ) = γ - δ
6. Να κάνετε τις πράξεις
α. (-3)·(-9) β. (+24) : (-3)
δ. 0·(-10)
γ. -7·(+8)
1  1
στ. 3 ⋅  −1 
2  3
ε. 56:(-7)
1  3
ζ. −2 :  −1  η. -2·(-3+8)
3  4
θ. -19 + 12·(-5 + 5) ι. -10 + (-2)·(+3) + 7
κ. – 7·(-4) – (12 +8)
2 1
λ.  − 
3 6
52 − 23
Για να πολλαπλασιάσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς,
πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και βάζουµε το πρόσηµο «-»
π.χ.(-2)·3= - 6
Για να πολλαπλασιάσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς,
πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και βάζουµε το πρόσηµο «+»
π.χ. (-4)·(-5) = 20
(Ανάλογα για την διαίρεση των ρητών)
Το γινόµενο πολλών µη µηδενικών παραγόντων είναι
• θετικό όταν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων του γινοµένου
είναι άρτιος π.χ.(-1)·(-1)·(-3)·(-1) ·2= 6 4 αρνητικοί παράγοντες
• αρνητικό όταν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων του γινοµένου
είναι περιττός π.χ. (-1)·(-1)·(-2)·4= -8
3 αρνητικοί παράγοντες
(−⋅− = + ) (−⋅+ = − )
Το γινόµενο πολλών παραγόντων είναι µηδέν όταν τουλάχιστον ένας
παράγοντας του γινοµένου είναι 0 π.χ. (-2)·(-2015)·0·201 = 0
7. Να συµπληρώσετε τους διπλανούς πίνακες µε τα αποτελέσµατα των αφαιρέσεων και των διαιρέσεων
όπως στα παραδείγµατα.
8. Να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων
7  2 4 7 1

A =  3 −  : 1  +  −  ⋅
4  3 5 2 3

Β = (α-2)·(α-3)·(α-4)· α·(α+1) για α = 1
Γ = 6,2 – 4,8 + 7,9 – 9,8
∆ = 8 + 3·(-5) – (-10):(-5) – 12: (-6)
E = -15: (-3-2) + [1,2 ·(-5) – 2]:23
1
3
1
3
3
4
 7 1 4 3  2 2
Η = 1 −  ⋅  −  − :  − + 
 2 2 5 5  5 3
1 2
1
− + −1
−3 −
3
Θ= 2 3
Ι = −8 +
1 1
1
3− +
−2 +
6 2
3
 3  3  3 4
 5 2
Κ =  −  ⋅  −  +  −  : − (−18) ⋅  − + 
 4  2  5 5
 6 3
4
5
1
9
0
2
1 3
1
- =−
3 8
24
3
1
5
ΣΤ = 5 – 4·[3-(-2)] + (-6):(-3)
1  3
 1
 1 
Ζ = 5 −  − + 3 : +  2 −  ⋅  − 
3  2
 2
 4 
3
8
:
1
4
1
2
3
5
0
1
2
1 1 1
: =
4 2 2
9. Αν Α = 5 – (2-3) – (-5 + 8) -1 , Β = 1 – [ 2 + (7 – 10)]
α. να αποδείξετε ότι Α = 2 και Β = 2
β. να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Γ = -2 + (Α -3) –[2 – (Α –Β)]
-
4
5
1
3
10. α. Να συµπληρώσετε την ισότητα ώστε να ισχύει για κάθε x, y : - x – y = - (……..)
β. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α = 3 – [ α – (β – x)] – (y-α) – (β-1) όταν x + y = -5
11. α. Να συµπληρώσετε την ισότητα ώστε να ισχύει για κάθε α, β : - α + β = - (……..)
β. Αν α – β = - 2 να υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης Α = 3 – (α+5) – [ 7 – (β-3)]
12. Να συµπληρώσετε µε τον κατάλληλο αριθµό
α. -2 + ... = -5
β. -3 – (.....) = 0
γ. .... : (-5) = -1
δ. (-7)·.... = -14
13. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α = 32 − 12 : 4 + 53 + 3 ⋅ 4 +
16 1 74
: −
9 8 9
ε. (-2-3): …. = 5
(ΘΑΛΗΣ 2013)
1  17 1
1 3 7
2

14. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α =  + 1 −  : − + 5 −  + ⋅ 2 − 1 (ΘΑΛΗΣ 2011)
14  2 7
6 2 3
7

2
3
5
2
3
2
15. Έστω x = 3 − 4 ⋅ 2 : 4 + 2 και y = 4 ⋅ 5 − 4 + 7 ⋅ 3
α. Να βρεθούν οι αριθµοί x και y
β. Να προσδιορίσετε το µεγαλύτερο θετικό ακέραιο Α, του οποίου οι αριθµοί x και y είναι
πολλαπλάσια.
(ΘΑΛΗΣ 2010)
16. Αν α = 4 − 2
−3 −5
1
1
και β = 5 + −
να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α = α : β 2009 − β −
2 −2
5
5α
(ΘΑΛΗΣ 2009)
Απαντήσεις
1. α : Σ β : Λ γ : Σ
δ:Σ
ε:Σ
Ετερόσηµοι : α – β , α – δ
2. i. Οµόσηµοι : β, δ και ε
ii. α > 0
γ>0
α>γ
α>δ
iii. |α| > |γ|
|α| > |δ|
|ε| > |β|
|ε| > 0
β<γ
ε<δ
0>β
β. -3 > -13
γ. -5 < + 5 δ. 0 > -8
ε. | -2| < |-12| στ. | -10| > 0
3. α. 13 > -14
4. α. -15 + 23 = 8
β. -31 -19 = -50
γ. +9 + (+3) = 12
δ. 9 + (-12) = -3
ε. (-12) – (-14) = 2
1
2
1 3
13
στ. -6 – (-6) = 0
ζ. −4 − 2 = -7
η. −2 + 1 = −
θ. -4 + 10 -8 + 2 = 0
3
3
4 5
20
ι. + 4 – 7 +5 + 0 - 4 + 3 = 1
λ. -23 + (-4) – (-10) – (+4) = -21
5.
α
1
2
β
-3
γ
1
β+γ
-2
-3
1
2
4
1
3
2
1
-6
2
1
-2
2
1
-6
2
α-β-γ
6. α. 27
β. -8
1
2
1
3
2
1
2
2
Ι = −6
1
3
3
4
4
0
-5
-2 -6
5
3
-3 -2
5
-9
0
-8
1
-9
0
1
5
12
3
2
1
5
−
3
8
2
3
2
2
15
−
Β = -12
Κ=−
-8
14
3
ζ.
4
5
7
−
15
1
−
20
1 3
1
- =−
3 8
24
3
8
0
Γ = -5
-7
-10
α. -2 + (-3) = -5
Α = 100
Α=0
α. x = 33 , y = 99
31
16. Α=
45
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
-1
α β γ β-γ α-(β-γ) α-β α-β+γ
-1 4 3 1
-2
-5
-2
4 3 -1 4
0
1
0
3 -1 4 -5
8
4
8
-1 3 4 -1
0
-4
0
4 -1 3 -4
8
5
8
-14 -2 -5 -3
1
3
-
3
20
8
γ. -56 δ. 0 ε. -8 στ. −
7.
8. Α = −
-3 -1 -3
-
α-(β+γ) 2
α-β
-6
4
3
1
9
2
9
23
36
5
8
2
1
5
2
7
40
−
3
5
4
45
Γ = - 0,5
η. -10 θ. -19 ι. -9 κ. 8 λ.
∆ = -7
8
9
Ε=2
:
1
4
1
2
3
5
0
1
4
2
5
1 1 1
1
: =
4 2 2 4
1
-
6
5
0
ΣΤ = -13
-
5
8
3
4
0
Z= −
1
4
1
3
0
2
-
3
28
-
15
2
3
14
9
35
0
H= −
3
2
Θ=−
1
4
21
8
β. -3 – (-3) = 0
β. ΜΚ∆(α, β) = 33
γ. 5 : (-5) = -1
δ. (-7)·(+2) = -14
ε. (-2-3): (-5)= 5