Transcript L`operazione di Convoluzione - cm

Revisione
set. 2016
L’operazione di
Convoluzione,
con applicazioni a
modelli integrali di Correlazione
claudio magno
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L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)
1
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
2
La Convoluzione Sommatoria
Quando due somme di potenze ordinate, ciascuna di tipo qualsiasi (polinomio o serie, questa anche
di Laurent con un numero infinito di addendi di indice negativo),
Α (x ) ≡
∑a
r
xr
e
Β (x ) ≡
r
∑b x
s
s
,
s
dove {r , s } ⊂ Z , vengono moltiplicate tra loro secondo l’algoritmo P , i.e., il Prodotto à-la
Cauchy, si ottiene ancora una somma (possibilmente, una serie) formale di potenze,
Α (x ) Β (x ) =
∑c
n
xn ,
(1)
n
i cui coefficienti c n , con n ∈ Z , sono generati dai coefficienti a r e bs per mezzo della regola
commutativa di sovrapposizione progressiva dell’indice k sull’indice n
∑a
c n :=
b ≡
n −k k
k
∑a b
k n −k
.
(2)
k
Nelle forme equivalenti (2), ∀ n fissato, l’indice discreto k varia in modo che sia a n − k (o a k ) sia
bk (o bn − k ) corrispondano a coefficienti effettivi dell’espansione Α (x ) e, rispettivamente, Β (x ) .
Altrimenti, si assume c n ≡ 0 .
Ad esempio, se
Α (x ) ≡
+∞
∑a
r
rx
e
Β (x ) ≡
r =0
+∞
∑b x
s
s
,
s=0
allora, ∀ n ∈ Z 0+ (:= Z + ∪ { 0 } ), si trova che
n
∑a
c n :=
b ≡
n −k k
k =0
n
∑a
(2.1)
b
k n −k
k =0
mentre, se
Α (x ) ≡
+∞
∑
ar xr
e
Β (x ) ≡
r = −∞
+∞
∑
bs x s ,
s = −∞
segue, ∀ n ∈ Z , che
c n :=
+∞
∑
k = −∞
a n − k bk ≡
+∞
∑
a k bn − k .
(2.2)
k = −∞
Si dice che il coefficiente generico c n risulta dalla convoluzione sommatoria di coefficienti a r e bs
assegnati secondo l’una o l’altra delle somme (2). Globalmente, l’insieme ordinato discreto, al più
numerabile (successione) {c n } costituisce l’elemento della Convoluzione Sommatoria degli insiemi
ordinati discreti, al più numerabili entrambi (successioni), {a r } e {bs } , costruiti secondo le somme
(2).
■
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
3
La Convoluzione Integrale
La generalizzazione al continuo dell’operazione di Convoluzione porta a rappresentazioni integrali
parametriche su intervalli specifici, finiti o illimitati. La Convoluzione Integrale di due funzioni, φ
e ψ , generalmente continue e a valori in C , indicata con l’operatore lineare (φ ∗ ψ ) , si esprime,
rispetto a intervalli ammissibili di integrazione ⊆ R , prescritti o convenzionalmente sottintesi, con
gli argomenti dei fattori integrandi in forma riflessa (cfr/c Eq. (2))
 x φ (u )ψ (x − u ) du ovvero
 ∫0+
(φ ∗ψ ) (x ) ≡ φ (x ) ∗ψ (x ) :=  −
a

φ (u )ψ (x − u ) du , etc. .
∫
 −∞
−
(3)
La sua ricorrenza in modelli formali e in applicazioni, e.g., in Fisica Quantistica, in Ottica, in
Elettronica, in Statistica, e i suoi legami strettissimi sia con la Teoria delle Equazioni Differenziali
che, soprattutto, con quella delle Equazioni Integrali la collocano – a ragione – tra le operazioni
peculiari e fondamentali dell’Analisi Matematica.
Un’interpretazione geometrica della Convoluzione Integrale è suggerita dall’argomento del fattore integrando ψ , nelle
Eq. (3): la Convoluzione Integrale delle funzioni φ e ψ nella funzione trasformata (φ ∗ψ ) del parametro x
corrisponde a una riflessione assiale di graf ψ vs. la retta parametrica (variabile) x = t / 2 (in ted.: die Faltung, i.e.,
avvolgimento). La funzione ψ rappresenta il nucleo (der Integralkern) della sua convoluzione con φ ; in altri termini,
a ψ viene assegnato il ruolo di funzione-peso nell’operazione di convoluzione. Le proprietà analitiche di φ ∗ψ sono
determinate dalla rilevanza della correlazione integrale (overlapping) esistente tra φ e ψ , espressa dall’argomento
modificato, x − t , di ψ vs. quello di φ .
Nella Fig. 1, è riportato l’esempio elementare relativo alla funzione φ : x ֏ e − x ≡ φ (x ) e al suo nucleo convolutivo
associato, anch’esso scelto di tipo esponenziale, ψ : x ֏ e − (t − x ) ≡ ψ (t − x ) .
Fig. 1
In termini astratti, la Convoluzione Integrale di due funzioni generalmente continue è il prodotto
generalizzato tra queste, intese come elementi dell’Algebra di Schwartz in R n (o in C n ).
Dal confronto con l’Eq. (2), viene spontaneo chiedersi se anche la Convoluzione Integrale sia
un’operazione almeno commutativa.
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
4
Esempio 1
Rispetto all’intervallo [ 0 , x ] , si ha
x ∗ sin x :=
∫
x
0
u sin (x − u ) du = x − sin x
≡
∫
x
0
(x − u ) sin u du := sin x ∗ x .
(3.1)
Il risultato (3.1) è palesemente commutativo.
■
Esempio 2
Riducendo l’intervallo [ 0, x ] ⊂ R + ∪ { 0 } all’intervallo [ 0, 1 ] mediante la trasformazione affine
u := xt (qui, x è un parametro) tra le variabili di integrazione u e t , si ha, in termini delle Funzioni
Eulero-Legendriane Γ e Β ,
x
−1 / 2
∗x
−1 / 2
:=
∫
x−
0
+
u −1 / 2 (x − u ) −1 / 2 du =
= Β (1/2, 1/2) ≡
∫
1
0
t −1 / 2 (x − t ) −1 / 2 dt
Γ (1/2)Γ (1/2)
=π.
Γ (1/2 + 1/2)
(3.2)
L’Eq. (3.2), banalmente commutativa, mostra che la convoluzione integrale di due espressioni
funzionali variabili in intervalli opportuni può risultare costante.
■
Esempio 3
La convoluzione integrale in R di due funzioni-gradino di ampiezza unitaria e di larghezze
rispettive b − a (a < b) e β − α (α < β ) può essere rappresentata mediante la Funzione-θ di
Heaviside (tale calcolo trova applicazione in certi problemi di barriera di potenziale 1D, tipici in
Meccanica Quantistica):
+∞
(ϑa , b ∗ ϑ α , β ) (x ) =
∫
−∞
=
∫
−∞
+∞
(ϑ (u − a ) − ϑ (u − b )) (ϑ ((x − u ) − α ) − ϑ ((x − u ) − β )) du
ϑ (u − a )ϑ (x − u − α )du − ∫
↳
−∫
+∞
−∞
+∞
−∞
ϑ (u − a )ϑ (x − u − β )du −
ϑ (u − b )ϑ (x − u − α )du + ∫
+∞
−∞
↲
ϑ (u − b )ϑ (x − u − β )du .
Il procedimento di integrazione è identico per ciascuno dei quattro addendi risultanti. Così, riferendo
il parametro x all’ascissa relativa xa , α := x − a − α , il cui valore assoluto corrisponde alla larghezza
del primo gradino, si ha
∫
+∞
−∞
ϑ (u − a )ϑ (x − u − α )du = (x − a − α ) (ϑ (x − a − α + 1/2) − ϑ (x − a − α − 1/2) )
≡ (x − a − α ) (ϑ (x a , α + 1/2) − ϑ (x a , α − (1/2)))
≡ (x − a − α ) R (x a , α ) ,
indicando con R (x a , α ) la rappresentazione della funzione-gradino di ampiezza e di larghezza
unitarie (rectangle function) in termini dell’ascissa relativa x a , α .
Pertanto, risulta
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
(ϑa , b ∗ ϑα , β ) (x ) = (x − a − α ) R (x a , α ) − (x − a − β ) R (x a , β ) −
↳
5
↲
− (x − b − α ) R (x b, α ) + (x − b − β ) R (x b, β )
(3.3)
≡ (ϑα , β ∗ ϑa , b ) (x ) .
■
Esempio 4
La convoluzione integrale di due distribuzioni statistiche gaussiane, g 1 e g 2 , è essa stessa una
distribuzione gaussiana. Infatti,
+∞
−
⌠
1
( g 1 ∗ g 2 ) (x ) = 
e
 (2π )1 / 2σ 1
⌡− ∞
+∞
⌠
 e
2 πσ 1σ 2 ⌡ −∞
1
≡
−
(u − µ 1 )2
2σ 12
⋅
1
e
(2π )1 / 2σ 2
−
((x −u ) − µ 2 ) 2
2σ 22
du
(u − µ 1 )2σ 22 + (u − (x − µ 2 )) 2σ 12
2σ 12σ 22
du ≡
1
2πσ 1σ 2
∫
+∞
−∞
e − λ (u ) du .
Qui, è conveniente semplificare l’espressione dell’esponente nella funzione integranda.
Espandendo i quadrati binomiali nel numeratore di λ (u ) , si ha
λ (u ) =
1
2σ σ
2
1
2
2
{(u 2 + µ 12 − 2µ 1u )σ 22 + (u 2 + (x − µ 2 )2 − 2 (x − µ 2 )u ) σ 12 }
σ 12 + σ 22
=
2σ 12σ 22
 2
µ 1σ 22 + (x − µ 2 )σ 12
µ 12σ 22 + (x − µ 2 )2σ 12 
u+
 u − 2
 = …
σ 12 + σ 22
σ 12 + σ 22


= … completando il quadrato binomiale in u e riducendo i termini residui …
σ 12 + σ 22
=
(u − κ 1 )2 + κ 22 ,
2 2
2σ 1 σ 2
µ 1σ 22 + (x − µ 2 )σ 12
dove, κ 1 :=
,
σ 12 + σ 22
κ 2 :=
x − µ1 − µ 2
2 (σ 12 + σ 22 )
.
Se si pone u := v + κ 1 , da cui viene che du ≡ dv , l’integrale di convoluzione si estende ancora a
tutto R . Quindi, considerato che la funzione integranda è pari, si arriva alla forma commutativa
+∞
⌠
( g 1 ∗ g 2 ) (x ) =
2 e
2 πσ 1σ 2 ⌡0
1
=
−
σ 12 + σ 22
2σ 12σ 22
1
e
(2 π (σ + σ 22 )) 1 / 2
v 2 − κ 22
1/ 2
2 2
π  2σ 1 σ 2 
dv =
⋅


πσ 1σ 2 2  σ 12 + σ 22 
 x − (µ 1 + µ 2 ) 
−

 2 (σ 12 + σ 22 ) 


e
− κ 22
2
2
1
(3.4)
≡ ( g 2 ∗ g 1 ) (x ) .
La commutatività convolutiva tra le distribuzioni gaussiane g 1 e g 2 segue, in modo evidente,
dall’invarianza negli scambî parametrici simultanei, σ 1 σ 2 e µ 1 µ 2 , nell’Eq. (3.4).
■
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
6
Esempio 5 – La Formula di Convoluzione Integrale di Dirichlet
Si consideri la funzione f : u ֏ f (u ) , di una sola variabile reale, dove è f ∈ C ([a , t ]) .
Nella sua applicazione più semplice, quella in R 2 , la formula di convoluzione di Dirichlet di f
consiste nella riduzione della funzione integrale in forma doppia
∫ (∫
x ֏ ϑ 2 (x ) :=
x
t
a
a
)
f (u ) du dt
(4)
a una funzione integrale in forma semplice mediante uno scambio (ammissibile) dell’ordine delle
integrazioni. Si noti che il dominio triangolare rettangolare D di integrazione (Fig. 2), appoggiato
sulla bisettrice-ipotenusa di equazione t = u , è isoscele.
Pertanto, la rappresentazione (1) di ϑ 2 (x ) si riporta
alla forma semplice finale
ϑ 2 (x ) ≡
=
∫ (∫
∫
x
x
a
u
x
a
)
f (u ) dt du =
∫ (∫
x
x
a
u
)
dt f (u ) du
(x − u ) f (u )du .
(1.1)
Ancora, se si nidifica il procedimento precedente vs. la funzione integrale in forma tripla
x ֏ ϑ 3 (x ) :=
∫
x
a
ϑ 2 (t ) dt ,
(2)
questa si riduce, per l’Eq. (1.1), a un integrale doppio di tipo (1), per il quale, ancora dal confronto
con il diagramma di ∂ D , risulta
Fig. 2
ϑ 3 (x ) =
∫ (∫
x
t
a
a
)
(t − u ) f (u ) du dt ≡
∫ (∫
x
x
a
u
)
(t − u ) dt f (u ) du
x
= (1/2) ∫ (x − u )2 f (u ) du .
(5.1)
a
Quindi, induttivamente, si determina la formula generale di Dirichlet per la funzione integrale ϑn ,
di una sola variabile reale ma in forma integrale n-pla:
x ֏ ϑ n (x ) :=
∫
x
a
ϑ n − 1 (t ) dt ≡
x
x
x
∫a ∫a … ∫a
(∫
t
a
)
f (u ) du (dt )n − 1 =
x
1
(x − u )n − 1 f (u ) du .
∫
a
(n − 1)!
n − 1 integrazioni
↳
(6)
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
7
Invertendo il procedimento, la derivazione di y (x ) := ϑ n (x ) – che si esegue, inevitabilmente, sotto
il segno di integrale (Formula di Leibniz) – dà il risultato, di forma chiaramente iterativa,
x
⌠ ∂  (x − u )n − 1

d
(x − u )n − 1
y (x ) = 
f
(
u
)
du
+
f (u )


dx
(n − 1)!

⌡a ∂x  (n − 1)!
=
dx
(x − u )n − 1
−
f (u )
dx
(n − 1)!
u =x
da
dx
u =a
x
1
(x − u )n − 2 f (u ) du .
∫
a
(n − 2)!
Quindi, derivando dy /dx successivamente n − 1 volte, si ottiene d (n ) y /dx n = f (x ) e, da questa,
si risale all’equazione differenziale lineare di ordine n non-omogenea
d (n )y
= f (x ) .
dx n
(7)
È immediato notare che, data la variabile dipendente y , l’espressione (6) rappresenta un integrale
particolare dell’Eq. (7).
L’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata all’Eq. (7) è λ n = 0 ;
le sue n radici multiple, identiche a λ = 0 , consentono di determinare una base di integrali
linearmente indipendenti dell’equazione differenziale omogenea associata,
{e 0x , xe 0x , x 2e 0x , x 3e 0x , …, x n − 1e 0x } ≡ {1, x , x 2 , x 3 , …, x n − 1} ,
necessari per costruirne l’integrale generale.
Pertanto, l’integrale generale dell’Eq. differenziale non-omogenea (7) ha la forma convolutiva
y (x ) = c 1 + c 2x + c 3x 2 + … + c n x n − 1 +
≡
n
∑c
k =1
k
xk −1 +
1
( f ∗ xn −1) ,
Γ (n )
x
1
(x − u )n − 1 f (u ) du
∫
a
(n − 1)!
(8)
(8.1)
dove, φ ֏ f e ψ (x − u ) ֏ (x − u )n − 1 ; ψ ≡ x n − 1 (funzione-potenza) costituisce il nucleo (der
Integralkern) convolutivo di f e di x n − 1 nell’intervallo (a , x ) di integrazione.
■
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
8
Proprietà della Convoluzione Integrale
A. Proprietà algebriche
Siano f , g e h funzioni generalmente continue e α ∈ C una quantità invariante scalare.
La Convoluzione Integrale soddisfa le proprietà algebriche seguenti, di verifica elementare:
commutativa:
( f ∗ g ) (x ) = ( g ∗ f ) (x ) ;
(9.1)
associativa:
( f ∗ ( g ∗ h )) (x ) = (( f ∗ g ) ∗ h ) (x ) ;
(9.2)
distributiva vs. la somma:
( f ∗ ( g + h )) (x ) = (( f ∗ g ) + ( f ∗ h)) (x ) ;
(9.3)
distributiva vs. il prodotto per α :
α ( f ∗ g ) (x ) = ((α f ) ∗ g ) (x ) = ( f ∗ (α g )) (x ) .
(9.4)
B. Proprietà analitiche
Il calcolo della derivata 1a di una convoluzione integrale – che si esegue, esplicitamente, sotto il
segno di integrale – fornisce le identità simmetriche
d
d f

d g

( f ∗ g ) (x ) = 
∗ g  (x ) ≡ 
∗ f  (x ) .
dx
 dx

 dx

(10)
L’area Ω della superficie compresa tra l’asse delle ascisse e il grafico di una convoluzione estesa
a tutto R è uguale al prodotto delle aree integrali relative ai singoli fattori:
Ω :=
=
=
∫
∫
∫
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
∫ ( ∫ f (u ) g (x − u )du )dx
f (u ) ( ∫ g (x − u )dx ) du
e, sostituendo x
( f ∗ g ) (x ) dx ≡
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
f (u ) du ⋅ ∫
+∞
−∞
֏
x + u nell’integrale interno,
g (u ) du .
(11)
Dalla definizione consueta di valore di aspettazione di x α (in R ), normalizzato vs. la funzionepeso x ֏ w (x ) ,
α
〈 x 〉 :=
∫
+∞
x α w (x ) dx
−∞
+∞
∫
−∞
,
(12)
w (x ) dx
si deducono i valori di aspettazione, rispettivamente della funzione centroide orizzontale e della
varianza associata, normalizzate vs. la convoluzione w ≡ f ∗ g ֏ ( f ∗ g ) (x ) ,
〈 x ( f ∗ g ) (x )〉 = 〈 x f (x )〉 + 〈 x g (x )〉 ,
(13.1)
〈 x 2 ( f ∗ g ) (x )〉 = 〈 x 2 f (x )〉 + 〈 x 2 g (x )〉 + 2 〈 x f (x )〉 〈 x g (x )〉 .
(13.2)
Come verifica esemplificativa, si calcola, appoggiandosi alle Eq.i (11) e (12),
〈 x 2 ( f ∗ g ) (x )〉 ≡ x 2 ∫
=
1
Ω
∫
+∞
−∞
+∞
−∞
f (u ) g (x − u ) du =
f (u )
(∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
)
x2
x 2 g (x − u )dx du .
(∫
+∞
−∞
)
f (u ) g (x − u ) du dx
Ω
(13.2.1)
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
Con la sostituzione x
֏
〈 x 2 ( f ∗ g ) (x )〉 =
9
x + u nell’integrale interno (13.2.1), si scrive
1
∫
+∞
f (u )
(∫
+∞
)
(x + u )2 g (x )dx du
Ω
 + ∞ f (u )du ⋅ + ∞ x 2 g (x )dx + + ∞ u 2 f (u )du ⋅ + ∞ g (x )dx + 
∫ −∞
∫ −∞
∫ −∞
 ∫ −∞
↲


+∞
+∞
+ 2 ∫ u f (u )du ⋅ ∫ x g (x )dx


−∞
−∞
↳
 .
= 
+∞
+∞
f
(
u
)
du
⋅
∫
∫ g (x ) dx
−∞
−∞
−∞
−∞
Tenendo presente che le variabili di integrazione sono ‘mute’, i.e., ridefinibili arbitrariamente, si
conclude che
〈 x 2 ( f ∗ g ) (x )〉 =
∫
+∞
x 2 f (x ) dx
−∞
+∞
∫
−∞
f (x ) dx
+
∫
+∞
x 2 g (x ) dx
−∞
+∞
∫
−∞
g (x ) dx
+2
∫
+∞
x f (x ) dx ⋅ ∫
−∞
+∞
∫
−∞
f (u ) du ⋅ ∫
+∞
−∞
+∞
−∞
x g (x ) dx
g (x ) dx
≡ 〈 x 2 f (x )〉 + 〈 x 2 g (x )〉 + 2 〈 x f (x )〉 〈 x g (x )〉 ≡ Eq. (13.2).
■
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
10
La Trasformata Integrale di una Convoluzione Integrale
Sia T un operatore trasformata-integrale qualsiasi (e.g., di Laplace o di Stieltjes o di Fourier o di
Hankel (i.e., di Fourier-Bessel) o di Mellin, etc.) e si supponga valida, sotto condizioni analitiche
specifiche, l’uguaglianza di trasformazione, di nucleo integrale κ ,
f (α ) = T {φ (x )}:=
∫
D
φ (x )κ (x , α ) dx .
(14)
Nell’Eq. (14), f (α ) rappresenta il valore puntuale, corrispondente a quello del parametro α, della
funzione generatrice f mentre φ (x ) , interno all’integrale della trasformazione caratterizzata dal
nucleo κ (x , α ) , è il valore puntuale della funzione determinatrice φ , duale a f attraverso T. Tale
dualità tra f e φ esprime la loro biunivocità generale e, quindi, la linearità e l’invertibilità generali
di T in una regione cartesiana R x , α ⊆ R 2 ammissibile prestabilita.
Seguendo un approccio assiomatico sintetico, il passo successivo importante è costituito dalla
richiesta che
la funzione prodotto di due funzioni T-generatrici non solo sia essa stessa T-generatrice ma
coincida, anche, con la T-trasformata della convoluzione delle funzioni determinatrici duali
corrispondenti, per lo stesso valore del parametro α , i.e.,
f 1 (α ) f 2 (α ) ≡ T{φ1 (x )}T{φ 2 (x )}
 x

(15)
= N T {(φ 1 ∗ φ 2 ) (x )} = N ⌠
  ∫ x + φ 1 (t ) φ 2 (x − t ) dt  κ (x , α ) dx ,

⌡D  0
essendo N ∈ R + una costante opportuna di normalizzazione o di simmetrizzazione.
La condizione espressa dall’Eq. (15) seleziona le convoluzioni φ1 ∗ φ 2 ammissibili analiticamente
−
per una trasformata integrale data. Nella tabella riportata qui sotto, sono elencate e descritte alcune
tra le trasformate integrali più frequenti di funzioni determinatrici φ ammissibili.
κ (x , α )
D
Trasformata di Laplace, L,
uni\bi-laterale
e −α x
[ 0, + ∞ ) \ ( − ∞, + ∞ )
Trasformata di Stieltjes, S
(x + α )−1
[ 0, + ∞ )
Trasformata di Fourier, F
e i α x /(2π )−1/ 2
( − ∞, + ∞ )
Trasformata di Hankel, H
x J ν (α x )
[ 0, + ∞ )
Trasformata di Mellin, M
xα −1
[ 0, + ∞ )
Spesso, la forma generale (15) si incontra riformulata come Teorema di Convoluzione specifico, per
una data trasformata integrale. In realtà, l’Eq. (15) rappresenta una proprietà sintetica nella Teoria
della Trasformata di Convoluzione [1]. Nelle PROPOSIZIONI che seguono, ne sono presentate
formulazioni specifiche particolarmente frequenti, con dimostrazioni esplicite.
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
11
PROPOSIZIONE 1
Siano φ 1 , φ 2 e φ 1 ∗ φ 2 funzioni L-trasformabili vs. lo stesso intervallo [α 0 , + ∞ ) di valori del
parametro α .
Allora, dette f 1 e f 2 le funzioni generatrici duali rispettive di φ 1 e di φ 2 , si ha, ∀ α ∈ [α 0 , + ∞ ) ,
f 1 (α ) f 2 (α ) = L {(φ1 ∗ φ 2 ) (x )}
≡
∫
+∞
0+
e −α x
(∫
x−
0+
)
φ 1 (t ) φ 2 (x − t ) dt dx ,
(16)
per la quale, è N ≡ 1 .
Dimostrazione
Conviene avviare il calcolo del prodotto f 1 (α ) f 2 (α ) come limite dell’integrale doppio, separato
nel prodotto di integrali definiti semplici e funzione dei loro estremi superiori di integrazione,
(∫
f 1 (α ) f 2 (α ) = lim
x → +∞
x−
e −α u φ 1 (u ) du
0+
)( ∫
x−
0+
e −α t φ 2 (t ) dt
)
(16.1)
e, quindi, sfruttando il fatto che φ 1 e φ 2 si suppone siano di ordine esponenziale, ridurre tale limite
alla forma integrale doppia separata equivalente
f 1 (α ) f 2 (α ) = lim
x → +∞
(∫
x−
0
+
e −α u φ 1 (u ) du ∫
x −u
0
Fig. 3
)
e −α t φ 2 (t ) dt .
(16.2)
Fig. 4
Infatti, benché il dominio della funzione integrale nel limite (16.1) sia il quadrato parametrico
OABC (Fig. 3), estendibile a tutto (R + )2 almeno, mentre quello dell’integrale nel limite (16.2)
corrisponde al solo triangolo rettangolo isoscele parametrico OAC , d’altra parte, il contributo
fornito dalla regione CAB è infinitesimo per x → + ∞ , poiché si ha
lim
x → +∞
∫
+∞
x −u
e −α t φ 2 (t ) dt = 0 .
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
12
L’effetto del passaggio al limite vs. x sul t-integrale nell’Eq. (16.2) indica che il comportamento
della variabile t di integrazione consegue dall’aumento continuo e indipendente del valore del
parametro x secondo il vincolo t = − u + x .
Ora, si trasformi la regione OAC mantenendone invariata la definizione dell’ordinata t ma
cambiandone quella dell’ascissa mediante la riflessione assiale u ֏ 2 (x / 2) − u ≡ x − u , per la
quale, l’asse di riflessione è la retta di equazione u = x /2 (v. Fig. 4).
Nella propagazione del nuovo dominio OAC di integrazione a tutto (R + )2 , le variabili vecchie di
integrazione t e u conservano la relazione bi-lineare t + u = x con il parametro x , essendo la
riflessione assiale un’isometria. In tal senso, se la retta di equazione t = − u + x costituisce il
vecchio ‘fronte di propagazione’ di OAC , la riflessione, determinando le dislocazioni puntuali
C ֏ B , A ֏ O e O ֏ A , fa sì che il segmento BA , sulla retta di equazione u = x , diventi il
‘fronte di propagazione’ del nuovo dominio di integrazione. Pertanto, se si esplicita u come
funzione della coppia nuova {t , x} di variabili, si ottengono le equazioni di trasformazione
 t ≡ t ≡ t (t , x )
.

 u ≡ x − t ≡ u (t , x )
(17)
Le Eq. (17) corrispondono al determinante jacobiano
J (t , x ) ≡
∂t /∂t ∂t /∂x
1 0
∂ (t , u )
=
=
= 1 ( > 0) ,
∂u /∂t ∂u /∂x
−1 1
∂ (t , x )
dal quale, poiché si ha dtdu ≡ |J (t , x )| dtdx = dtdx , l’Eq. (16.2) si riscrive,
(∫
lim ( ∫
f 1 (α ) f 2 (α ) ≡ lim
x → +∞
≡
t, x → +∞
≡ lim
t, x → +∞
x−
0
(∫
x
0
+
x
0
)
( ∫ φ (x − t )φ (t )dx ))dt ,
e −α (u + t ) ∫
+
+
e −α x
e −α x
x −u
t =0+
φ 1 (u ) φ 2 (t ) du dt
t
0+
∫
t
0+
1
2
essendo dx ≡ d (x − t ) ,
)
φ 1 (x − t ) φ 2 (t ) dt dx
≡ L {(φ 2 ∗ φ 1 ) (x )} .
(18)
(18.1)
Infine, nell’Eq. (18), con la trasformazione t ֏ x − t := v , l’operatore integrale semplice interno
diventa
∫
x
0
(dt ) ֏
∫
0
x
( − dv ) . Quindi, si trova prontamente che
f 1 (α ) f 2 (α ) ≡ L {(φ1 ∗ φ 2 ) (x )} ,
(18.2)
com’è da attendersi dalla proprietà commutativa della Convoluzione Integrale.
■
PROPOSIZIONE 2
Siano φ 1 , φ 2 e φ 1 ∗ φ 2 funzioni F-trasformabili vs. lo stesso valore del parametro α ∈ R .
Allora, indicate con f 1 e f 2 le funzioni generatrici duali rispettive di φ 1 e di φ 2 , si ha, ∀ α
ammissibile
f 1 (α ) f 2 (α ) =
1
F {(φ 1 ∗ φ 2 ) (x )}
2π
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
≡
1
2π
∫
+∞
0
+
e − iα x
(∫
+∞
−∞
)
φ 1 (t ) φ 2 (x − t ) dt dx .
13
(19)
Dimostrazione
Si procede come per la L-trasformata, avendo osservato che la L- e la F-trasformata sono,
formalmente (i.e., estendendone le definizioni ad α ∈ C ), riconducibili l’una all’altra in modo
diretto.
Così, si ha
+∞
+∞
 1
 1

iα t
f 1 (α ) f 2 (α ) = 
φ
(
t
)
e
dt
φ 2 (u ) e i α u du 
1

∫
∫
−∞
−∞
 2π
 2π

1 +∞ +∞
=
φ 1 (t ) φ 2 (u ) e i α (t + u ) dt du .
2π ∫ − ∞ ∫ −∞
La trasformazione di coordinate di integrazione (t ; u ) ֏ (t ; x ) ≡ (t ; t + u ) , coincidente con la
coppia di Eq.i affini (17), corrisponde, quindi, al (valore assoluto del) determinante jacobiano
|J (t , x )| ≡
∂ (t , u )
= 1.
∂ (t , x )
Pertanto, risultando dt du ≡ dt dx , segue che
1
2π
1
=
2π
f 1 (α ) f 2 (α ) =
≡
≡
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
e iα x
∫ ∫
∫
1
2π
1
2π
−∞
 1

 2π
φ 1 (t ) φ 2 (x − t ) e i α x dtdx
(∫
∫
+∞
−∞
+∞
−∞
)
φ 1 (t ) φ 2 (x − t ) dt dx
(20)

e i α x (φ 1 ∗ φ 2 ) (x ) dx 

F {(φ 1 ∗ φ 2 ) (x )} .
(20.1)
Qui, è N ≡ (2π ) −1 / 2 . Inoltre, come per l’Eq. (18.2), la trasformazione di variabile t ֏ x − t := v
porta all’equivalenza simmetrica
f 1 (α ) f 2 (α ) =
1
F {(φ 2 ∗ φ 1 ) (x )} .
2π
(20.2)
■
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
14
Note sui modelli integrali di CORRELAZIONE
A. La Correlazione Mutua
La Correlazione Mutua (Cross Correlation) tra i valori complessi ordinati, φ 1 (x ) e φ 2 (x ) , di una
coppia di funzioni di una variabile (reale) x , distinte e generalmente continue, {φ 1 , φ 2 }: R ֏ C ,
è definita dalla rappresentazione operatoriale (sesqui-lineare) convolutiva (in R )
(φ 1 φ 2 ) (x ) ≡ φ 1 (x ) φ 2 (x ) :=
∫
+∞
−∞
φ 1 ( − u )* φ 2 (x − u ) du ,
(21)
indicando con φ 1 ( − x )* , al solito, il coniugato del valore complesso φ 1 (− x ) .
Che la rappresentazione integrale (21) sia formalmente convolutiva lo si conclude prontamente dal
confronto con la definizione generale (3), mediante le identificazioni φ (u ) ≡ φ 1 ( − u )* e ψ ≡ φ 2 .
Mediante il cambiamento di variabile (muta) di integrazione v := − u nell’integrale (21), seguito
dalla ridefinizione ulteriore v := u , si ottiene la rappresentazione alternativa (simmetria vs. x )
(φ 1 φ 2 ) (x ) ≡
∫
+∞
−∞
φ 1 (u )* φ 2 (x + u ) du .
(21.1)
Inoltre, pure interessante risulta il cambiamento di variabile di integrazione v := x − u nell’Eq. (21),
anche questo, seguito dalla ridefinizione ulteriore v := u . Si ha
(φ 1 φ 2 ) (x ) =
∫
+∞
−∞
φ 2 (u ) φ 1 (u − x )* du .
(21.2)
È interessante osservare che l’evanescenza di (φ 1 φ 2 ) (x ) al variare del parametro x corrisponda
alla perdita di correlazione tra i sistemi-modello descritti, rispettivamente, da φ1 e da φ 2 e, quindi,
alla loro indipendenza reciproca. Qui, la contiguità con il contesto statistico è fin troppo evidente!
La Correlazione Mutua soddisfa la proprietà di scambio, verificabile in modo elementare,
(φ 1 φ 2 ) (x ) (φ 1 φ 2 ) (x ) ≡ (φ 1 φ1 ) (x ) (φ 2 φ 2 ) (x ) .
(22)
Inoltre, se φ 1 e φ 2 sono entrambe funzioni pari, allora, è immediato concludere che
(φ1 φ 2 ) (x ) ≡ (φ 1 ∗ φ 2 ) (x ) ,
(23)
i.e., la correlazione mutua tra φ 1 e φ 2 – entrambe pari – coincide con la loro convoluzione (in tutto
il dominio R di integrazione).
Osservazione
La Correlazione Mutua trova applicazioni, e.g., nel modello superconduttivo quantistico della correlazione spaziale tra
le funzioni d’onda elettroniche delle ‘coppie di Cooper’ e nella Teoria Quantistica della Superfluidità applicata all’He4
(effetto ‘fontana’ e modello ‘a due fluidi’).
Più in generale, l’integrale di Correlazione Mutua ha la sua collocazione naturale nell’ambito dei metodi risolutivi delle
Equazioni Differenziali a Derivate Parziali e delle Equazioni Integrali dotate di nucleo (der Integralkern) di argomento
lineare, κ (u , x ) ≡ κ (u ± x ) .
■
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
15
B. L’Autocorrelazione
Il regime di Autocorrelazione si può dedurre direttamente da quello di Correlazione Mutua, nel caso
speciale in cui sia φ 1 ≡ φ 2 := φ . D’altra parte, la sua importanza applicativa è notevole e non sembra
inutile accennare brevemente ad alcune implicazioni interpretative molto profonde della sua
rappresentazione integrale.
L’Eq. (21) fornisce una prima rappresentazione integrale per l’Autocorrelazione, con φ : R ֏ C
e φ ∈ C 0 (R ) generalmente:
(φ φ ) (x ) ≡ φ (x ) φ (x ) =
∫
+∞
−∞
φ ( − u )* φ (x − u ) du .
(24)
Analogamente, le Eq.i (21.1) e (21.2) danno luogo alle forme equivalenti
(φ φ ) (x ) =
∫
(φ φ ) (x ) =
∫
+∞
−∞
+∞
−∞
φ (u )* φ (x + u ) du ,
(24.1)
φ (u ) φ (u − x )* du .
(24.2)
La forma (24.1) è usata convenzionalmente come definizione operativa di Autocorrelazione [2, 3].
Per completezza, si può ricordare una quarta rappresentazione integrale di (φ φ ) (x ) , deducibile
anch’essa dalla (24), ponendo, prima, v := − u , poi, sfruttando l’Eq. (24.2) e, infine, ripristinando
la variabile (muta) di integrazione u := − v . Il risultato è
(φ φ ) (x ) =
∫
+∞
−∞
φ ( − u ) φ ( − u − x )* du .
(24.3)
Il confronto tra le rappresentazioni integrali (24.1) e (24.2), come pure tra le rappresentazioni (24)
e (24.3), indica che l’operatore (lineare) di Autocorrelazione, è hermitiano in R , essendo anche
simmetrico in u vs. x . A sua volta, la hermiticità di φ φ induce, attraverso la sua simmetria
intrinseca il carattere degenerativo di perdita di qualsiasi informazione sulla fase di φ . Infatti,
l’operatore φ φ restituisce soltanto un valore medio quadratico, soltanto una stima di ‘potenza
trasferita’, secondo il linguaggio della Meccanica Statistica.
Tale conclusione emerge dal fondamentale
Teorema (di Wiener-Khintchine, versione elementare)
Sia φ : u ֏ φ (u ) una funzione F-trasformabile vs. il parametro continuo α ∈ R , i.e.,
∃ Φ : α ֏ Φ (α ) = F{φ (u )} ≡ (2 π ) −1 / 2 ∫
+∞
−∞
φ (u ) e i α u du .
Allora, vale la rappresentazione F-trasformata dell’Autocorrelazione
(φ 1 φ 2 ) (x ) = F{|Φ (α )|2 } ≡ F{| F{φ (u )}|2 }
{
≡ F (2 π ) −1 / 2 ∫
+∞
−∞
φ (u ) e i α u du
2
}
.
(26)
Dimostrazione
Il coniugato complesso del valore φ (u ) ha, come rappresentazione F-trasformata vs. il parametro
arbitrario α ∈ R ,
φ (u )* = (2 π ) −1 / 2 ∫
+∞
−∞
Φ (α )* e iu α d α .
(26.1)
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
16
Analogamente, la rappresentazione F-trasformata del valore φ (x + u ) vs. il parametro α ′ ∈ R
arbitrario (in generale, si assume α ′ ≠ α ) è data da
φ (x + u ) = (2 π ) −1 / 2 ∫
+∞
−∞
Φ (α ′)*e −i (x + u )α ′d α ' .
(26.2)
Introducendo le espressioni integrali (26.1) e (26.2) nell’Eq. (24.1), si ottiene, con passi successivi,
+∞
)(
(
)
+∞
+∞
(φ φ ) (x ) = ⌠
(2 π )−1 / 2 ∫ Φ (α )*e iu α d α (2 π ) −1 / 2 ∫ Φ (α ′) e −i (x + u )α ′ d α ' du

−∞
−∞
⌡−∞
=
=
=
∫
∫
∫
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
{
Φ (α )* dα ∫
dα ∫
+∞
−∞
+∞
−∞
Φ (α ′) e −i x α ′d α ' ∫
(2π ) −1e −i (α ′ − α )u du
Φ (α )* Φ (α ′) e −i x α ′ δ (α ′ − α ) d α '
Φ (α )* Φ (α ) e −i x α d α ≡
= F Φ (α )
+∞
−∞
2
}
∫
+∞
−∞
|Φ (α ) |2 e −i x α d α
{
≡ F { | F{φ (u )}|2 } ≡ F (2 π ) −1 / 2 ∫
+∞
−∞
φ (u ) e i α u du
2
}
, q. e. d. .
Osservazioni
Si noti la varietà di espressioni equivalenti (simmetriche) di (φ φ ) (x ) , determinabili, in modo indipendente tra loro,
dalle coniugazioni e i α u
e − i α u (i.e., dalle riflessioni assiali u
− u e/o α − α ) e φ (u ) φ ( ± u )* .
Versioni e discussioni più approfondite del Teorema di Wiener-Khintchine, alcune basate sul metodo della matricedensità, si possono trovare in [4, 5, 6].
Volendo delineare un’analisi qualitativa minima dell’integrale di Autocorrelazione (24.1), sia ξ il
valore caratteristico del parametro di autocorrelazione del modello matematico rappresentato da φ
. Se si lascia variare il parametro continuo x in modo che sia ξ ≪ x , allora, la correlazione tra i
valori φ (u ) e φ (x + u ) muta nella separazione (fattorizzazione) integrale nulla
1
x → +∞ 2x
lim
∫
+x
−x
1
x → +∞ 2x
(φ φ ) (x ′) dx ' ≡ lim

→
ξ ≪x
(∫
∫
+x
−x
+∞
−∞
(∫
+∞
−∞
)
(∫
φ (u )* φ (x ′ + u )du dx '
)
1
x → +∞ 2x
φ (u )* du ⋅ lim
∫
+x
−x
+∞
−∞
)
φ (x ′ + u ) du dx ' = 0 .
Nell’esempio classico della Teoria di Langevin del moto browniano di una molecola libera alla
superficie di un fluido, u e x corrispondono, rispettivamente, ai valori t ′ e t della coordinata
temporale; φ (u ) ֏ φ (t ′) è una funzione cinematica ‘a fluttuazione rapida’ (die Zitterbewegung),
avente le dimensioni di una accelerazione. Essa rappresenta una forza esterna per unità di massa
della molecola dovuta alle collisioni casuali con altre molecole alla superficie del fluido. Tale forza
(per unità di massa) diventa evanescente su intervalli di tempo molto più grandi del tempo di
rilassamento medio τ della molecola dopo una collisione elastica casuale. In termini suggestivi, la
‘memoria’ (autocorrelazione) delle collisioni molecolari a tempi t + t ′ ‘sufficientemente avanzati’,
i.e., tali che sia τ ≪ t , viene cancellata. Quindi, il valore di |(φ φ ) (t )| è significativo soltanto
finché t /τ ~ 1 , rafforzando il carattere di erraticità completa del cammino browniano.
■
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
17
PROPOSIZIONE 3
Sia φ : R ֏ C ∧ ∈ C 0 (R ) generalmente. Allora,
max (φ φ ) = (φ φ ) (0) ,
(27)
R
i.e., l’operatore di Autocorrelazione è massimo per x = 0 .
La Proposizione (27) equivale alla seguente:
∫
+∞
|φ (u ) φ (x + u ) | du ≤
−∞
∫
+∞
−∞
|φ (u ) |2 du .
(27.1)
Dimostrazione
Introdotta la variabile ausiliaria η ∈ R , la disuguaglianza evidente seguente, di monotonia in R
vs. la funzione integranda,
0 ≤
∫
+∞
−∞
(η |φ (x + u ) | + |φ (u ) | ) 2 du ,
(28)
ha, per linearità, lo sviluppo binomiale quadratico
0 ≤ η 2∫
+∞
−∞
|φ (x + u ) |2 du + 2η ∫
+∞
−∞
|φ (u )φ (x + u ) | du + ∫
+∞
−∞
|φ (u ) |2 du .
Se si pone v := u + x nel primo addendo integrale, si ottiene che dv ≡ du e che l’intervallo di
integrazione resta invariato. Infine, dal cambiamento ulteriore di variabile u := v , si conclude che
∫
+∞
−∞
|φ (x + u ) |2 du ≡
∫
+∞
−∞
|φ (u ) |2 du .
Quindi, la disuguaglianza (28) assume la forma
0 ≤ η 2∫
+∞
−∞
|φ (u ) |2 du + 2η ∫
avendo definito, ovviamente, a :=
∫
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
|φ (u )φ (x + u ) | du + ∫
−∞
e b := 2 ∫
−∞
|φ (u ) |2 du
+∞
|φ (u ) |2 du ≡ aη 2 + bη + a ,
(29)
|φ (u )φ (x + u ) | du .
Poiché il trinomio quadratico (29) è ≥ 0 ∀ η , allora, il suo discriminante (ridotto) è sempre ≤ 0 ,
∆ / 4 ≡ b 2 / 4 − a 2 ≤ 0 , i.e., b /2 ≤ a ,
Quindi, dalle definizioni di a e di b , segue la disuguaglianza attenuata (27.1),
∫
+∞
−∞
|φ (u )φ (x + u ) | du ≤
∫
+∞
−∞
|φ (u ) |2 du ,
nella quale, l’uguaglianza corrisponde a x = 0 . In altri termini, (φ φ ) (x ) raggiunge il suo valore
massimo assoluto per x = 0 , q. e. d. .
■
L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a modelli integrali di Correlazione –
18
Bibliografia
Riferimenti generali
1
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2
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BRACEWELL, R., The Fourier Transform and Its Applications, MCGRAW-HILL (1965).
[3]
PAPOULIS, A., The Fourier Integral and Its Applications, MCGRAW-HILL (1962).
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8
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ARFKEN, G. B. - WEBER, H. J., Mathematical Methods for Physicists, 4TH ED. , CH. 15 & 16, ACADEMIC PR. (1995).
[7]
HILDEBRAND, F. B., Advanced Calculus for Applications, 2ND ED., P. 63-65, PRENTICE-HALL, INC. (1976);
Ambiti di applicazione
[4]
REIF, F., Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, MCGRAW-HILL (1965).
5
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PATHRIA, R. K., Statistical Mechanics, 2ND ED., BUTTERWORTH-HEINEMANN (1996).
[6]
REICHL, L. E., A Modern Course in Statistical Physics, UNIV. OF TEXAS PRESS (1980).
[7]
BALESCU, R., Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics, JOHN WILEY & SONS (1975).
8
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HUANG, K., Statistical Mechanics, 2ND ED. JOHN WILEY & SONS (1987).
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