Transcript Esercizio 4 - Lezioni di Matematica

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Esercizio 4
Rappresentare in un piano cartesiano la parabola
y = −x2.
Inoltre, determinare il suo fuoco e la sua direttrice.
Iniziamo col disegnare la parabola.
Per prima cosa notiamo che essa ha l’ASSE DI SIMMETRIA VERTICALE (altrimenti avremmo
avuto una parabola del tipo x = ay2).
Ora osserviamo il valore di a:
a = −1
quindi
a<0 .
Di conseguenza la parabola ha la CONCAVITA’ rivolta verso il BASSO.
Osserviamo, inoltre che la parabola
y = −x2
è sicuramente una parabola con VERTICE NELL’ORIGINE DEGLI ASSI dato che la sua
equazione è riconducibile a
y = ax 2 .
Ora individuiamo alcuni punti per i quali passa la parabola:
•
se x vale 1 la y vale
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Il presente materiale non può essere riprodotto senza esplicito consenso dell'autore
y = − x 2 = −(1) = −1
2
•
se x vale 2 la y vale
y = − x 2 = −(2 ) = −4
2
•
se x vale 2 la y vale
y = − x 2 = −(3) = −9 .
2
Riportiamo i valori trovati in una tabella nella quale mettiamo, in una colonna i valori delle x, e in
un’altra colonna i corrispondenti valori delle y. Avremo:
x
y
1
-1
2
-4
3
-9
Costruiamo la nostra parabola ricordando che essa ha concavità rivolta verso il basso e passa per i
punti appena individuati, oltre che per l’origine degli assi.
Inoltre, poiché l’asse di simmetria è l’asse delle y, la parabola è simmetrica a tale asse. In altre
parole se la parabola:
•
passa per il punto A (1; -1) passerà anche per il punto A’ (-1; 1);
•
se passa per il punto B (2; -4) passerà anche per il punto B’ (-2; -4);
•
se passa per il punto C (3; -9) passerà anche per il punto C’ (-3; -9).
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Ora, passiamo a trovare il fuoco.
Le coordinate del fuoco, nel caso di parabola con asse di simmetria verticale, sono:
 b 1− ∆ 
F− ;
.
 2a 4 a 
Nel nostro caso
b=0
e
c = 0.
Infatti, se noi scriviamo l’equazione generale della parabola
y = ax 2 + bx + c
e poniamo
b=0
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e
c=0
avremo
y = ax 2 .
Torniamo, allora, alle coordinate del fuoco
 b 1− ∆ 
F− ;
.
 2a 4 a 
Nel nostro caso avremo:
−
b
0
=−
=0
2a
2(− 1)
∆ = b 2 − 4ac = 0 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 0 = 0 − 0 = 0
1− ∆
1− 0
1
1
=
=
=−
4a
4 ⋅ (− 1) − 4
4
Quindi:
1

F  0;−  .
4

La direttrice è:
y=−
y=
1+ ∆
1+ 0
1
1
=−
=−
=+
4a
4(− 1)
−4
4
1
4
Disegniamo anche fuoco e direttrice:
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