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Chapter 6 線性規劃
授課教師：李金鳳(Amy Lee)
Msn/Email：[email protected]
電話：04-23323000#4293
研究室：T2-1030
6.1 緒言
• 如何在有限的經濟資源下進行最有效的調配與
選用，以求發揮資源的最高效能。此問題愈來
愈受到重視，也就是以最低的代價，獲取最大
的效益。
• 茲列舉如下：
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決定緊急設備與人員的地點，使反應時間最短化。
決定飛機、飛行員、地勤人員的飛航最佳日程安排。
發展財務計畫。
決定動物飼料的最佳組合。
決定最佳食譜計畫。
決定最佳生產日程安排。
指出最佳工作指派。
決定成本最低化的船運計畫。
指出工廠的最佳產品組合。
• 線性規劃 (linear programming, LP) 就是數
學家們針對上述許多問題為在一些限制
式 (constraint) 之下，以一組聯立線性不
等式或等式的方式表示，求線性目標函
數 (objective function) 為極大或極小的問
題。
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6.2 線性規劃初步
• 6.2.1 線性規劃是什麼
• 線性規劃 求得最優解。
• 線性規劃模型是由四種成分組合而成：
(1) 目標；(2) 決策變數；(3) 限制式以及
(4) 參數。
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1. 目標：目標通用的型態有兩種：極大化
與極小化。
極大化目標包括利潤、收益、效率或報酬率
極小化目標則包括成本、時間、旅行距離或報
廢。
2. 決策變數：決策變數 (decision variables)
代表可供決策者選擇的變數，通常以投
入或產出表示。例如，選擇總成本最低
的投入組合或者選擇利潤或收益最大的
產出組合。
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3. 限制式：限制式通常有三種類型：
(i) 小於或等於 ()：表示稀少資源之上限 (如機器
小時、人工小時、原料)；
(ii) 大於或等於 ()：表示最後所求解答的下限
(如至少需含有10% 的天然果汁；高速公路的
車速至少須為100公里 / 小時)；以及
(iii) 等於 (=)：指決策變數應恰好等於某一數量
(如製造200單位A產品)。線性規劃模式可能
由一個或一個以上的限制式組合而成。
在多個限制式的情況下，這些限制式可能是相同
類型的 (如全部為”  “的限制式)，也可能
是混合類型的 (如三個”  “的限制式與一個
“ “的限制式)。
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•
線性規劃常見的專有名詞至少還有如下
三個：
1. 可行解 (feasible solution)：滿足所有限制式
的解。
2. 可行區域 (feasible region)：滿足所有限制
式的區域，即所有可行解所形成的集合。
3. 最優解 (optimal solution)：在極大 (小) 化
問題，可行區域中能使目標值為最大 (小)
的數就是最優解。
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6.4 線性規劃的圖解法
• 線性規劃圖解法的一般程序如下：
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以數學式建立目標函數與限制式。
繪出限制式條件。
求出可行解區域。
繪出目標函數。
求最優解。
6.4.1 求極大值
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6.4.2 求極小值
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6.5 代數法
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6.6 線性規劃的單體法
• 6.6.1 單體法簡述
• 前述圖解法固然是線性規劃一個有力的
解題方法，可惜卻僅適用於二變數。事
實上線性規劃所牽涉變數和限制條件式
都相當多，因此必須使用圖解法之外的
解法，最常見的是單體法 (simplex
method)。
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• 方法本身是一反覆的程序 (iterative
procedure)，直到得出最優解才停止。
• 單體法的基本原理為首先選出一組可行
解和一判斷準則，判斷目前的解是否為
最優解，若不是，則設法取另一端點取
代現有可行解中一點，使目標函數值增
大 (或減小)，如此不斷進行，直至得出
最優解為止。
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6.6.2 標準形式
• 線性規劃問題的可行解可於可行凸集合
的端點找到，這類端點對應於基本可行
解 (basic feasible solution)。
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6.6.3 單體法的解題程序
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1. 起始步驟：構建一組初始可行解，通常為利
用惰變數，假若沒有惰變數或其個數不足，
則可引進人工變數 (artificial variable)，然後利
用大M法 (big M method) 或二階段法 (twophase method) 解題。
2. 反覆步驟：在本步驟應考量如下三大問題：
(1)進入基底的變數的選取準則為何？
(2)如何辨認現行基底中那一個變數應退出？
(3)如何能便利地辨認新基本可行解？
3. 最優性檢定：
– 單體法的整個求解程序如圖6.13流程圖所示：
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初始基本解的產生 (大M法)
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6.8 極小問題的求解
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