Transcript 1第一章排列与组合.ppt

组合数学
Combinatorial mathematics
or combinatorics
参考书
• 组合数学习题解答，曹汝成，华南理工大学出版社；
• 组合数学，Richard，机械工业出版社；
• 应用组合数学(applied combinatorics), Fred S.
Roberts, 冯速 译，机械工业出版社；
• 组合数学，卢开澄，清华大学出版社。
• 组合数学，南基洙，高等教育出版社
• Introductory Combinatorics (fifth edition),
Richard A. Brualdi
幻 方
8
3
4
1
5
9
17
24
1
8
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5
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2
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2
11
是否存在3维幻方体？
18
称重问题
• 实验室有1g砝码2枚，2g的3枚，4g的2枚，
问能称出哪些重量？各有几种方案？
G ( x )  (1  x  x 2 )(1  x 2  x 4  x 6 )(1  x 4  x 8 )
 1  x  2 x2  x3  3 x4  2 x5  4 x6  2 x7  4 x8
 x 9  4 x 10  2 x 11  3 x 12  x 13  2 x 14  x 15  x 16
不同个数和不同重量的砝码是否能称出所有的重量？
十八级台阶
• 问题：欲登上第十八级台阶，如果规定
每步只能跨上一级或两级，共有多少种
不同的走法？
递推公式： an  an1  an 2 , a1  1, a2  2
问题：你能写出这个公式的通项吗？
本书将给出回答.
The Game of Nim
• Game rules:
 There are k≥1 heaps of coins that contain,
respectively, n1,n2,…nk coins
 The players alternate turns
 Each player, selects one of the heaps and
removes at least one of the coins from the
selected heap.
 The player who takes the last coin(s)-is the
winner
问题
•
•
•
•
存在性？
如何构造？
多少个？！！！
最优？
内容简介
• 排列组合: permutation and combination
• 容斥原理: inclusion and exclusion principle
• 递推关系: recurrence relation
• 生成函数: generation function
• 整数分拆: partition of integer
• 鸽笼定理: pigeonhole principle
第一章 排列与组合
§1 计数的基本原则
三条原则
• 相等原则 equivalence principle
• 加法原则 addition principle
• 乘法原则 multiplication principle
相等原则
设A，B是两个有限集，如果存在由A到B上
的一个一一对应（双射），则|A|=|B|，即，
若存在双射，
f : A B x
则
f ( x)
|A|=|B|.
例 n名选手参加乒乓球单打淘汰赛，需要打
多少场比赛才能产生冠军？
例 已知序列a1 , a2 ,
需要做多少次比较？
, a100 , 从中找出最大者，试问
加法原则
设A是有限集，Ai  A ( i  1, 2,
A
kn
Ai ,
Ai
i 1
k
则 | A |  | Ai |
i 1
, k ), 如果
Aj   (1  i  j  k ),
例 设n为大于1的正整数，求满足条件 x  y  n
的所有的有序正整数对 ( x , y )的个数.
当
xk
| Ak | n  k
1 k  n1
n( n  1)
N   (n  k ) 
2
k 1
n 1
于是
时
例 把4个人分成两组，每组至少一人，求不同
的分组方法数。
1
3
4
2
2
3
乘法原则
已知做一件事要依次经过k 个步骤，且在已完
成前面i  1,(1  i  k )个步骤的情况下，完成
第i 个步骤有ni中方法，则做这件事的方法共有
n
n .
i 1
i
例 求n元集A  {a1 , a2 ,
Step1
确定a1
Y/N
Y/N
Stepn
确定an
, an }的子集的个数.
Step2
确定a2
Y/N
…
例 设自然数n ( n  2)的质因数分解式为
n  p11 p2 2
pk k
求n的不同正约数的个数 .
解：n的每个约数可以表示为
其中 0   i   i
答案
n
 (
i 1
i
 1)
p11 p2 2
pkk
§2 排列
permutation
• n元集合r-排列
• n元集的r-可重复排列
• 多重集的排列
n元集合r-排列
定义 ( r  排列)
设A是n元集，如果序列a1a2
ar中的r 个元都
属于A且彼此互异，则称序列a1a2
ar 是n元集A的
一个r  排列，并称ak (1  k  r )是该r  排列的第
k 个元，或称ak 在该r  排列中排在第k 位.
定义 （全排列- total perm utation）
n元集A  {a1 , a2 ,
, an }的n  排列称为n元集A的一个
全排列，亦称为由a1 , a2 ,
, an 作成的一个全排列
定理 设n, r ( n  r )是正整数，以P ( n, r )表示n元集的
r  排列的个数，则
P ( n, r )  n( n  1)( n  2)
n!
( n  r  1) 
( n  r )!
推论 n元集的全排列的个数为n !.
例 求由n个相异元a1 , a2 ,
不相邻的全排列的个数.
, an作成的a1与a2
n-元集的r-可重复排列
定义 设A为n元集，如果序列a1a2
都属于A，则称序列a1a2
ar的元素
ar 是n元集A的一个
r  可重复排列.
定理 n元集的r  可重复排列的个数为nr .
例 由1, 2, 3,4,5,6可组成多少个大于35000的5位数？
Case 1: 万位数为3
此时，千位数是5或6
Case 2: 万位数大于3
3  64
2  63
多重集的排列
定义 由n1个a1，n2 个a2 ,
, nk 个ak 组成的集合
M 记为
M  { n1 a1 , n2 a2 ,
, nk ak }
M 称为多重集，也称M 是一个n  多重集，
其中 n  n1  n2 
 nk