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线性表中，数据之间仅有线性关系，只有一个
前驱和一个后继；
树形结构中，数据元素之间有着层次关系，上
层到下层:一对多；
A
B
C
D
H
F
E
I
J
K
L
G
N
O
图(Graph)是更为复杂的数据结构。
 在图形结构中，结点之间的关系是任意的，
任意两个数据元素之间都可能相关。
A
B
C
F
J
L
M






8.1 图的基本概念
8.2 图的存储表示
8.3 图的遍历与连通性
8.4 最小生成树
8.5 最短路径
8.6 活动网络
8.1 图的基本概念

图的定义 图是由顶点集合(vertex)及顶
点间的关系集合组成的一种数据结构：
Graph＝( V, E )
V 是顶点(vertex) 集合；
E = {<x, y> | x, y  V && Path (x,
y)}是边(edge)集合；
Path (x, y)为从 x 到 y 的一条单
向通路。
1
0
2

有向图与无向图
在有向图中，顶点对 <x, y> 是有序的。
在无向图中，顶点对(x, y)是无序的。

完全图
若有 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 则此图为完
全无向图。有 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 则此
图为完全有向图。
0
1
0
2
3
1
3 4 5
0
2
0
1
1
6
2
2


邻接顶点 如果 (u, v) 是 E(G) 中的一条
边，则称 u 与 v 互为邻接顶点。
子图 两个图 G＝(V, E) 和 G'＝(V', E ')。
若 V '  V 且 E ' E, 则称 图G ' 是 图G
的子图。
子图
0
1
2
3
0
1
0
1
3
0
2
3
2
3
权
某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。
这种带权图叫做网络。
300
1
0
390
250
200
2
350
3
300
1
0
390
250
200
2
350
3



顶点的度 一个顶点v的度是与它相关联的边的条
数。记作TD(v)。在有向图中, 顶点的度等于该顶
点的入度与出度之和。
顶点 v 的入度是以 v 为终点的有向边的条数, 记作
ID(v);
顶点 v 的出度是以 v 为始点的有向边的条数, 记作
OD(v)。
0
0
1
2
3
1
2
3

路径 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发,
沿一些边经过一些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到
达顶点vj。则称顶点序列 (vi vp1 vp2 ... vpm vj)
为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。
0
0
1
2
3
1
2
3

路径长度
非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。
带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。
0
0
1
2
1
2
3
3
300
1
0
390
250
200
2
350
3
300
1
0
390
250
200
2
350
3


简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不
重复, 则称这样的路径为简单路径。
回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶
点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。
0
1
0
2
3
1
0
2
3
1
2
3

连通图与连通分量
在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则
称顶点v1与v2是连通的。
如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图
是连通图。非连通图的极大连通子图叫做连
通分量。
0
0
1
2
3
1
2
3
强连通图与强连通分量
在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存
在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图
是强连通图。
非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分
量。
0
0
1
2
3
1
2
3

生成树 一个连通图的生成树是其极小连通
子图，在n个顶点的情形下，有n-1条边。如
果在一棵生成树上添加一条边，必定构成一
个环。
A
B
A
B
C
C
F
F
J
J
L
L
M
M
图的抽象数据类型
class Graph {
public:
Graph ( );
void InsertVertex ( Type & vertex );
void InsertEdge ( int v1, int v2, int weight );
void RemoveVertex ( int v );
void RemoveEdge ( int v1, int v2 );
int IsEmpty ( );
Type GetWeight ( int v1, int v2 );
int GetFirstNeighbor ( int v );
int GetNextNeighbor ( int v1, int v2 );
}






8.1 图的基本概念
8.2 图的存储表示
8.3 图的遍历与连通性
8.4 最小生成树
8.5 最短路径
8.6 活动网络
8.2 图的存储结构
方案一：数组
图的任意两个顶点之间都可能存在联系，没有顺
序映象的存储结构，但可以借助数组的数据类型表示
元素之间的关系。
方案二：链表
用多重链表表示图是自然的事，以一个由一个数
据域和多个指针域组成的结点表示图中一个顶点。
有向图G1和无向图G2的多重链表。
v1
v2
v1
v2
v3
v3
v4
v4
v1
v1
v4
v5
v3
v2
v3
(a) Gl的多重链表
v2
v4
v5
(b) G2的多重链表
简要分析
 图中各个结点的度数各不相同：
若按度数最大的顶点设计结点结构，则会浪费存
储单元；
若按每个顶点的度数设计不同的结点结构，又会
给操作带来不便。
 因此，应根据具体的图和需要进行的操作，
设计恰当的结点结构和表结构。
 常用的有邻接矩阵、邻接表和邻接多重表。
图的存储表示
1. 邻接矩阵 (Adjacency Matrix)


在图的邻接矩阵表示中，有一个记录各个
顶点信息的顶点表，还有一个表示各个顶
点之间关系的邻接矩阵。
设图 A = (V, E)是一个有 n 个顶点的图, 图
的邻接矩阵是一个二维数组 A.edge[n][n]，
定义：
1, 如果 < i , j > E 或者 (i , j )  E
A.Edge [i ][ j ]  
0, 否则
0
1
2
3
0
1
0
1

A.edge  0

1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0 1 0 
A.edge  1 0 1
0 0 0
2


无向图的邻接矩阵是对称的;
有向图的邻接矩阵可能是不对称的。


有向图中, 第 i 行中 1 的个数为顶点 i 的出度，
第 j 行中 1 的个数可得顶点 j 的入度。
无向图中, 第 i 行 (列)中 1 的个数为顶点i 的
度。
0
1
2
3
0
A.edge  1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
2
0 1 0 
A.edge  1 0 1
0 0 0
1
0
1
0
网络(带权图)的邻接矩阵
W (i , j ), 若i  j且  i, j  E或(i, j )  E

A.edge[i ][ j ]  ,
若i  j且  i, j  E或(i, j )  E
0,
若i  j
2
3
6
3 9
5
2
4
0
1
1
0
A.edge  
3

1
0
5


9
0
6
4
2
8
0
用邻接矩阵表示的图的类的定义
const int MaxEdges = 50;
const int MaxVertices = 10;
class Graph {
private:
SeqList<Type> VerticesList (MaxVertices);
float Edge[MaxVertices][MaxVertices];
int CurrentEdges;
int FindVertex (SeqList <Type> & L;
const Type vertex){ return L.Find (vertex); }
int GetVertexPos ( int vertex )
{ return FindVertex (VerticesList, vertex); }
public:
Graph ( int sz = MaxEdges );
int GraphEmpty ( )
const { return VerticesList.IsEmpty ( ); }
int GraphFull( )
const { return VerticesList.IsFull( ) ||
CurrentEdges == MaxEdges; }
int NumberOfVertices ( )
{ return VerticesList.last +1; }
int NumberOfEdges ( )
{ return CurrentEdges; }
Type GetValue ( int i )
{ return i >= 0 && i <= VerticesList.last
? VerticesList.data[i] : NULL; }
DistType GetWeight ( int v1, int v2 );
int GetFirstNeighbor ( int v );
int GetNextNeighbor ( int v1, int v2 );
void InsertVertex ( const Type vertex );
void InsertEdge
( int v1, int v2, float weight );
void RemoveVertex ( int v );
void RemoveEdge ( int v1, int v2 );
}

2. 邻接表 (Adjacency List)
无向图的邻接表
A
B
C
D
data adj
0 A
1 B
2 C
3 D
dest link
1
0
1 
dest link
3 
2 
0 
同一个顶点发出的边链接在同一个边链表中，
每一个链结点代表一条边(边结点), 结点中有
另一顶点的下标 dest 和指针 link。

有向图的邻接表和逆邻接表
A
B
data adj
0 A
1 B
2 C 
C
data adj
0 A
1 B
2 C
dest link
1 
0
dest link
2 
邻接表 (出边表)
dest link
1 
0 
1 
逆邻接表 (入边表)

网络 (带权图) 的邻接表
6
data adj dest cost link
A
D
0 A
1 5
3 6
9
5
2
1 B
2 8 
B
C 2 C
8
3 2 
3 D

1 9 
(顶点表)



(出边表)
设图中有 n 个顶点，e 条边，
邻接表表示无向图需要 n 个顶点结点，2e 个边结点；
邻接表表示有向图只需 n 个顶点结点，e 个边结点。
 对于无向图，邻接表容易求得顶点和边的各
种信息。
 但是，每一条边(vi , vj)的两个结点分别在第i
个和第j个链表中，若要找到一条边的两个结
点，则不方便。
 采用邻接多重表(Adjacency Multilist)更好。
A
B
C
data adj
0 A
1 B
2 C 
用十字链表可把有
向图的两个表结合
起来表示。
dest link
1 
0
dest link
2 

3. 邻接多重表 (Adjacency Multilist)
无向图

边结点的结构
mark vertex1 vertex2 path1 path2
 mark 是记录是否处理过的标记;
 vertex1和vertex2是该边两顶点位置；
 path1域是指针, 指向下一条依附顶点vertex1的边；
 path2 是指向下一条依附顶点vertex2的边链接指针。
 需要时还可设置一个该边权值的域 cost。
顶点结点的结构

data
Firstout
 data 存放与该顶点相关的信息
 Firstout 是指示第一条依附该顶点的边的指针。
所有依附同一个顶点的边都链接在同一个单链表中。
 从顶点 i 出发, 可以找到所有依附于该顶点的边和它
的所有邻接顶点。
每一条边只有一个边结点，为边的处理提供了方便。
v1
v2
v3
v4
0
v1
1
v2
2
v3
3
4
v4
v5
邻接多重表
v5
0
1
0  3 
2
1
2
4
1 
2  4 
3
data adj
v1
v2
0
1
2
3
4
V1
dest link
1
3 

4
2
v3
V3
3
4 
V4
v4
v5

2
0
V5
1
2 
邻接多重表和邻接表的差别：同一条边在邻接
表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有
一个结点。
邻接多重表的存储量和邻接表相同。
邻接多重表各种操作的实现也和邻接表相似。
V2
0
1


有向图
边结点的结构
mark vertex1 vertex2 path1 path2
 mark是处理标记；
 vertex1和vertex2指明该有向边始顶点和终顶点的
位置；
 path1是指向始顶点相同的下一条边的指针；
 path2是指向终顶点相同的下一条边的指针；
 需要时还可有权值域cost。
顶点结点的结构

data
Firstin
Firstout
data存放与该顶点相关的信息
Firstin指示以该顶点为始顶点的出边表的第
一条边
 Firstout指示以该顶点为终顶点的入边表的
第一条边
邻接多重表的结构
data Fin Fout
e6
0
A
A
E
e2
e5 1 B
e1
B
mark vtx1 vtx2 path1 path2

e1
0 1
e2
0 3 
e4 2 C
e3
e3
1 2  
3 D
e4
2 3  
4 E
e5
3 4  
e6
4 0  
D
C