Transcript Practical Portfolio Optimization

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Practical Portfolio Optimization
组员：肖霄
安迪
陈骁军
李嘉雨
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NAG
 Numerical Algorithms Group:
NAG是1976年由威尔金森参与并推动成立的一
个非赢利性的公司，以开发和推广数值分析和统
计分析的软件包。NAG始终致力于通过发展和提
供通用数值分析软件库帮助其用户解决复杂的数
学问题,已经为68种型号的计算机配备了Fortran
库，Ada、Pascal、C的通用数学库也已上市。
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目的：
得到最优投资组合
投资组
合的衡
量标准
.
什么样的
投资组合
是最优的
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衡量标准
效用值
风险
投资组合
收益
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Markowitz 均值—方差模型

均值—方差模型是由H.M.Markowitz在
1952年提出的风险度量模型。其中以收益率的
均值表示期望收益率，并把风险定义为期望收
益率的波动率，
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Markowitz 均值—方差模型
 投资组合由n份风险资产s1 , s2 ,
 x  ( x1 , x2 ,
sn 组成
, xn ) t
投资组合中风险资产的权函数
 投资组合r  xt s
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Markowitz 均值—方差模型
 收益：
期望收益率E(r )
 风险：
期望收益率的波动率 (r )
2
 效用值：
1
U (r )  E (r )  A 2 (r )
2
A为风险厌恶系数
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Markowitz 均值—方差模型
考虑矩阵Y , 矩阵中的元素yi , j 表示资产j在时段i的收益率。
考虑m个时段，n份资产，Y 是一个m  n的矩阵。
借由Y，得出资产的期望收益率向量和协方差矩阵：
1 m
期望收益率：a j   yi , j
m i 1
a  (a1 , a2 ,
协方差矩阵：Y  Y  ea t
e  (1,1, 1)t1m
1 t
V YY
m
an )t
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Markowitz 均值—方差模型
 期望收益率：
E (r )  a t x
 方差：
 (r )  x Vx
2
t
 效用值：
1 t
U (r )  a x  Ax Vx
2
t
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最优化标准
 以更低的风险获得更高的收益
 效用值更高的投资组合
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最优化标准
 当风险一定时，选取收益最大的投资组合
 当收益一定时，选取风险最小的投资组合
 风险厌恶系数一定时，选取效用值最大的投资组合
 不考虑风险，得到所有投资组合中收益最大的
 不考虑风险，得到所有投资组合中收益最小的
 不考虑收益，得到所有投资组合中风险最小的
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最优化标准

 E (r1 )  E (r 2 )
如果有  2
2

(
r
)


( r1 )

1
则认为r1优于r2

在A一定的情况下，如果有U (r1 )  U (r2 )
则认为r1优于r2
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最优化标准
 一般性约束条件
n
1. xi  1即e x  1
t
i 1
2.l  x  u
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最优化标准
  x Vx ( 为定值)
max imize a x
r  at x
min imize x tVx
t
(r为定值)
A为常数
t
1 t
max imize a x  Ax Vx
2
max imize a t x
t
min imize a t x
min imize xtVx
约束条件
目标函数
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例子
选取香港恒生指数的31支股票，得到如下的有效前沿的图
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手续费问题
考虑资产i的买卖手续费，
( xi  xi ) gi
买：pi  
 0
当 xi  xi
( xi  xi ) gi
卖：qi  
 0
当 xi  xi
当 xi  xi
当 xi  xi
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手续费问题
用 ( x)表示之前优化问题的目标函数（统一为求min）
则考虑手续费的目标函数为：
n
n
i 1
i 1
 ( x)   ( pi  qi )   ( x)   max{ pi , qi }
记为yi资产i所需付的手续费，则新的目标函数为：
n
 ( x)   yi
i 1
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手续费问题
约束条件：
pi  yi
qi  yi
或表示为：
   gi xi  yi  gi xi
hi xi  yi  hi xi  
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手续费问题
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数据丢失
在计算协方差矩阵 时，可能会出现数据丢失的情况
如下例
1 1 1 
2

1


1
1 


t



1
1
2
 V  Y Y   1 1 1 
Y 
  
4
4
2
1
1
1









在IEEE的计算机中，精度最多达到  253
当   时，计算机会认为1   2  1
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数据丢失
于是有
1   2 1
1 
 1 t
1 t
1
2
V  Y Y   1 1 1   e e
4
4
4
2
1 1 
 1
即有数据丢失了
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数据丢失
解决方法：
对Y 做QR分解，
Y  QR
其中Q为正定矩阵，
1 t
1 t
V YY RR
m
m
方差可以表示为：
 2 (r )  xt R t Rx  ( Rx)t ( Rx)
即解决了数据丢失问题
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