Transcript 迷宫最短路径

 应用背景：
最短运输问题、校园导游问题
 对于一个陌生环境进行摸索而得到众多路径
中的最短路径
 迷宫的最短路径问题
 二维数组maze[i][j]
 有向图
 广度优先搜索
 队列（链队列）
 二维数组maze[i][j]表示迷宫，可取0或1，
0表示走通，1表示受阻
 迷宫入口坐标为[0][0],出口坐标为
[m-1][n-1],而且maze[0][0]=0,
maze[m-1][n-1]=0
行0
11
22
33
列 0
0 弧
1
20
1
1
1
10
1
30
2
20
20
1
40
3
1
1
30
1
表2从入口到当前方位所走步数
表1表示迷宫的有向图
迷宫及其最短路径
图1
44
60
1
40
1
55
60
50
1
50
广
度
优
先
搜
索
 那么我们需要解决两个问题
（1）如何用数据结构实现和迷宫相应的有向图
（2）如何用数据结构得到路径
通过上面的假设，我们自然用二维数组maze表示迷
宫，从迷宫的任意一个方位（i,j）出发,一般情况下
可能有8个方向可走，如图2所示。假设可以到达下
g=i+di[v]
一方位的坐标为（g,h），则

h=j+dj[v]
i-1 , j-1
i , j-1
i +1, j-1
i -1, j
i+1 , j+1
i,j
i , j+1
i +1, j
i-1, j+1
图2 .8个相邻位置的坐标
v=0,1…….7
其中下标增量数组是di和dj（v的值=0为向东方向，
之后顺时针旋转增加）。
 如果当前方位（i,j）是有向图中的一个“顶点”（即
相应坐标元素为0），则其“邻接点”由计算所得元
素值为0的方位（g,h）而得。

（i,j+1）
（i+1，j）
（i，j-1）
（i-1，j）
di
0
1
1
1
0
-1
-1
-1
dj
1
1
0
-1
-1
-1
0
1
（i+1，j+1）
（i+1，j-1）
表3 下标增量数组
（i-1，j-1）
（i-1，j+1）

保存搜索路径顶点

记录是从哪一个顶点搜索到该顶点的

在到达出口方位时逆搜索方向“倒退”回到入口，
以确定从入口到出口的最短路径。

怎样实现？那我们可以运用链队列的知识,下面先进
行补充。

队列（queue）是限定只能在表的一端进行插入，在
表的另一端进行删除的线性表。允许插入一端为队尾
（rear），允许删除的一端为队头（front），并且
遵从先进先出（FIFO，即First In First Out）的原
则。
出队列 （队头元素）a1 a2
---- ---
an （ 队 尾 元 素 ）入队列
图3 队列结构示意图
用链表表示的队列——链队列
 一个链队列需要两个分别指向队头和队尾的指针（分
别称为头指针和尾指针）。


我们用链队列结构和它们的操作来改变广度优先遍历：

一是在出队列时“只修改队头指针而不删除队头结
点”；

二是入队列时，在你新插入的队尾结点中“加入弧尾
顶点（方位）的信息”。
为此，在链队列的结点中增加一个指针域，它的值指
向当前出队列的的顶点（即从“队头”到“队尾”之
间存在一条弧）。
。

0,0
1,1
行0
1
2
3
列0
0
1
1
2
2
2
2
3
3
4
6
3
4
4
1,2
表2
从入口到当前方位所走步数
2,0
图4 最短路径搜索过程中的队列
0,2
5
6
5
5




(1)产生迷宫矩阵maze[i][j]和下标增量数组;
(2)建立链队列的头指针、尾指针和指向弧尾位置的
指针；
(3)用matlab的动态数组实现队列，进行广度优先搜
索；
(4)找到路径后，逆搜索方向“倒退”回到入口，以
确定从入口到出口的最短路径。
下面是运行matlab程序后，根据所得的不同类型的
maze矩阵(随机而得)的三种不同的情况。
 图中，绿色点为入口，红色点为出口，黑色点为所的
路径。

图5.1有最短路径
图5.2 没有最短路径，只进行了一些搜索
图5.3开始便搜索受阻

这样的问题还可以推广为骑士巡游问题，也就是：设
有一个m×n的棋盘(2≤m≤50,2≤n≤50)，在棋盘上任
一点有一个中国象棋“马”，马走的规则为：马走日字
；马只能向右走。当m,n给出后，同时给出马起始的
位置和终点的位置，试找出从起点到终点所有路径的
数目，并求最短路径。

这样的问题思路都是有相通之处的：首先表示出用二
维数组表示出棋盘，然后将其生成有向图，并用链队
列进行广度优先搜索或深度优先搜索，最后逆路径而
得最短路径。