Transcript kulmasuureet ppt

pyöriminen ja gravitaatio
m @ hyl.fi
2005-13
kulma ja kaaren pituus
s
j = eli
r
s = jr
Radiaaneissa täysi kierros
on 2π.
Kulman yksikkö on
fysiikassa yleensä radiaani.
esimerkkejä kulmista
• täysi kierros = 2π ≈ 6,28
• puoliympyrä = π ≈ 3,14
• suorakulma = π/2 ≈1,57
666°·2p
666° =
» 11, 6 (rad)
360°
666·360°
666 (rad) =
≈ 38159°
2π
666
≈
≈106 kierrosta
2π/ täysi ympyrä
kulmanopeus
• pyörimisliikkeessä
kulmanopeus ω
kuvaa kuinka
vikkelästi kulma φ
muuttuu
• kulmanopeuden
yksikkö on rad/s
∆j
w=
∆t
• etenemisliikkeessä
nopeus v kuvaa
kuinka vikkelästi
paikka s vaihtuu
• nopeuden yksikkö
on m/s
∆s
v=
∆t
esimerkki kulmanopeudesta
• sekuntiviisarin kulmanopeus
2p
2p
w=
=
» 0,105rad / s
1min 60s
• Maapallon kulmanopeus
2p
2p
w=
=
» 7,27·10 -5 rad / s
24h 24·60·60s
• Pesulinko 1200 kierrosta minuutissa = 1200
RPM
1200·2p
w=
» 125,6637 rad / s » 130 rad / s
60s
rata- ja kulmanopeus
• ratanopeuden ja kulmanopeuden
yhdistää
v = rw
ratanopeus
• jos sekuntiviisarin pituus on 0,025 m, niin sen
ratanopeus
2p
v = Rw = 0,025m·
» 0,00261m / s » 2,6mm / s
60s
• ratanopeus päiväntasaajalla
2p
v = Rw = 6378140m·
» 463,8m / s » 1700km / h
24·60·60
• Lingon kehäpisteen ratanopeus
v = Rw = 0, 3m·125,66rad / s » 37,698m / s » 40 m / s
kulmakiihtyvyys
• pyörimisliikkeessä
kulmakiihtyvyys α
kertoo
kulmanopeuden ω
muutosnopeuden
• kulmanopeuden
yksikkö on rad/s2
∆w
a=
∆t
• etenemisliikkeessä
kiihtyvyys a on
nopeuden v
muutosnopeus
• kiihtyvyyden yksikkö
on m/s2
∆v
a=
∆t
rata- ja normaalikiihtyvyys
• Kun kappaleen rata ei ole suora, niin
radan suuntainen kiihtyvyys;
ratakiihtyvyys eli
tangentiaalikiihtyvyys on
at = a r
at
an
• Radan kaareutumissäteen keskipistettä
kohden on normaalikiihtyvyys
v
an =
r
2
tasaisesti muuttuva
pyörimisliike
• Jos α on vakio, niin
1 2
j = w 0t + a t
2
w = w 0 + at
j
t
=
w + w0
2
eli keskikulmanopeus
Linkoesimerkki
• Pesulingon rumpu kiihdyttää tasaisesti
0,25 s:ssa kulmanopeuteen 31 rad/s.
Rummun säde on 0,23 m. Kuinka suuri
on rummulla pyörivän sukan
a) kiihtyvyys ja mihin suuntaan ajan
hetkellä 0,25 s.
• b) Kuinka monta kierrosta rumpu pyöri
0,25 s:ssa.
a
at
β
linkoratkaisu
an
t = 0,25s, Dw = 31rad / s, r = 0,23m
• a) Kiihtyvyyttä
varten
tarvitaan
a
ja
a
.
n
t
∆w
31rad / s·0,23m
at = ar =
= 28,52m / s 2
2
t
0,25s
v 2 (wr )
2
an = =
= w 2 r = ( 31rad / s ) ·0,23m = 221,03m / s 2
r
r
a = an 2 + at 2 = 28,522 + 221,032 m / s 2 = 222,86m / s 2 » 220m / s 2
tan b =
r=
an
at
221, 03
28, 52
b » 82, 6°
tan b =
• b) kierrokset:
n·2 p = j
n·2 p = w k t
n·2 p =
n=
koska a on vakio, niin keskikulmanopeus on
(0 + w )
t alku- ja loppukulmanopeuden keskiarvo
2
wt 31rad / s·0,25s
=
» 0, 62 kierrosta
4p
4p
Momentti
• kun voima F, joka on etäisyydellä d
tukipisteestä niin sen pyörimiseen
liittyvää vaikutusta kutsutaan
momentiksi
M = Fd
d
F
hitausmomentti
• kappaleen ”kykyä
vastustaa pyörimistilansa
muutoksia” kutsutaan
hitausmomentiksi
• mitä suurempi
hitausmomentti on, sitä
suurempi momentti
tarvitaan kappaleen
kulmanopeuden
muuttamiseeen
• vastaa etenemisliikeessä
massan hitautta
J = å mi ri
2
• kappaleen ”kykyä
vastustaa
etenemisliikkeensä
muutoksia” kutsutaan
hitaudeksi
• mitä suurempi kappaleen
hitaus on niin sitä suurempi
voima tarvitaan sen
kiihdyttämiseen
m
Liikeyhtälö
• pyörimisliikkeessä
åM
i
= Ja
• etenemisliikkeessä
åF
i
= ma
Pyörimisen
liikeyhtälöesimerkki
• Umpinaisen sylinterin ympäri on kierretty
naru. Sylinterin massa on 2,0 kg ja sen säde
on 0,12 m. Narua vedetään voimalla, jonka
suuruus on 9,81 N. Alussa sylinteri on
levossa.
• Laske sylinterin kulmakiihtyvyys.
ratkaisu
• m = 2,0 kg; r = 0,12 m; F = 9,81 N; t = 0,5 s ja h = 0,25 m.
• Umpinaisen sylinterin hitausmomentti .
1 2
J = mr
• Pyörimisen liikeyhtälö:
2
M = Ja
1 2
Fr = mr a
2
2Fr
a= 2
mr
2F
2 × 9, 81N
a=
=
» 81,75 rad/s2 » 82rad/s 2
mr 2kg × 0,12m
Toinen esimerkki pyörimisen
liikeyhtälöstä
• Umpinaisen sylinterin ympäri on kierretty
naru. Sylinterin massa on 2,0 kg ja sen
säde on 0,12 m. Naruun on kiinnitetty
punnus, jonka massa on 1,0 kg, Alussa
sylinteri on levossa.
• Laske sylinterin kulmakiihtyvyys.
ratkaisu
•
•
•
•
•
ms = 2,0 kg; r = 0,12 m; mp=1 kg; N; t = 0,5 s; h = 0,25 m.
Punnuksen liikeyhtälö kun + -suunta on alaspäin:
Sylinterin liikeyhtälö:
M = Ja
G - Tp = m p a
Newtonin III laki:
Ts = Tp = T
1
Ts r = ms r 2a
2
Ratakiihtyvyys eli punnuksen kiihtyvyys
G - Tp = m p a
mp g -
a = ar
1
ms ra = m pa r
2
1
ms ra
2
mpg
a=
1
m p r + ms r
2
1kg × 9, 81m / s 2
a=
= 40,8750rad/s2 » 41rad/s 2
1
1kg × 0,12m + × 2kg × 0,12m
2
m p g = m pa r +
pyörimismäärä
• pyörimisliike
• etenemisliike
• pyörimismäärä L=Jω
• liikemäärä p = mv
• pyörimismäärän säilymislaki
näkyy esim. pirueteissa,
• etenemisliikkeessä
ponnahduslautahypyissä,
liikemäärän
volteissa voimistelussa, ...
säilymislaki näkyy
• Maa säilyttää akselinsa
esim. törmäyksissä
suunnan kiertäessään
Auringon ympäri
• harvemmin tarkastellaan
toisiinsa törmääviä pyöriviä
kappaleita (paitsi yo kevät 07)
momentin tekemä työ
• momentin tekemä työ
• voiman tekemä työ
W = Mj
W = Fs
pyörimisen liike-energia
• pyörimisliikkeen
liike-energia
1 2
Er = Jw
2
• etenemisliikkeen
liike-energia
1 2
Ek = mv
2
• vierivän kappaleen kokonaisliike-energia
1 2 1 2
Etot = mv + Jw
2
2
ämpäri kaivoon
• Umpinaisen sylinterin ympäri on kierretty
naru. Sylinterin massa on 2,0 kg ja sen säde
on 0,12 m. Naruun on kiinnitetty punnus,
jonka massa on 1,0 kg. Alussa sylinteri on
levossa. Liikevastusvoimat aiheuttavat 0,15
Nm:n jarruttavan voiman.
• Kuinka suuri on punnuksen nopeus kun se on
liikkunut 0,25 m?
•
•
•
•
•
ratkaisu
ms = 2,0 kg; r = 0,12 m; mp=1 kg; N; t = 0,5 s; h = 0,25 m, Mµ = 0,15 Nm.
Tämän voisi ratkaista pyörimisen ja etenemisen liikeyhtälöillä. Niiden avulla saadaan
kiihtyvyys, jonka avulla päästään matkan kautta aikaan ja sen jälkeen nopeuteen.
Tämä on kuitenkin tyypillinen energian säilymislakilasku, käytetään sitä.
Energia säilyy, sovitaan potentiaalienergian
1
1
mp gh = m p v 2 + Jw 2 + M mj
nollatasoksi punnuksen paikka alhaalla:
2
2
Lisäksi tarvitaan nopeuden ja kulmanopeuden sekä matkan ja kulman välinen
yhteys ja tietysti hitausmomentti:
w=
v
r
Niinpä:
J=
j=
h
r
1 2
mr
2
ævö
1
11
h
m p gh = m p v 2 +
ms r 2 ç ÷ + M m
èrø
2
22
r
1
1
h
m p gh = m p v 2 + ms v 2 + M m
2
4
r
æ1
1 ö
h
m p gh = ç m p + ms ÷ v 2 + M m
è2
4 ø
r
etsi vihreet,
minä en jaksa
2
v=
m p gh - M m
h
r
1
1
m p + ms
2
4
v=
1kg·9,81m / s 2 ·0, 25m - 0,15kgm 2 / s 2
1
1
·1kg + 2kg
2
4
v » 1, 4629m / s 2 » 1, 5m / s 2
0, 25m
0,12m
Gravitaatiolaki
m1m2
F =G 2
R
• Newton
• Voima ja vastavoima, molempiin
vaikuttaa yhtä suuri voima.
• Kun G tunnetaan (Cavendish), niin lain
avulla voidaan punnita keskuskappale
kiertoajan ja radan säteen avulla.
• Keplerin lait ovat seurausta
gravitaatiolaista ja päinvastoin.
Newtonin hauta
-
Westminister Abbey
Newtonin patsas Leicester Squarella
http://xkcd.com/681