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5-3 半群
广
群
一个代数系统<S，>，
其中S是非空集合， 是
S上的一个二元运算，如
果运算是封闭的，则代
数系统<S，>为广群。
半
群
 一个代数系统<S，>，其中S是
非空集合， 是S上的一个二元运
算，如果：
 （1）运算是封闭的。
 （2）运算是可结合的，即对任
意的x，y，zS，满足
(xy) z = x(yz)
则代数系统<S，>为半群。
子半群
设<S，>是一个半群，
BS且 在B上是封闭的，
那么<B，>也是一个半
群。通常称<B，> 是
半群<S，>的子半群。
独异点
含有幺元的半群称为
独异点。
群
设<G，>一个代数系统，其中G
是非空集合， 是G上的一个二元
运算 ，如果：
 （1）运算是封闭的。
 （2）运算是可结合的。
 （3）存在幺元e。
 （4）对于每一个元素xG，存在
着它的逆元x-1 。
则称<G，>是一个群。

有限群
设<G，>是一个群。如
果G是有限集，那么称
<G，>为有限群，G中
元素的个数通常称为该
有限集的阶数，记为
|G|；
无限群
设<G，>是一个群。
如果G是无限集，那么
称<G，>为无限群。
子 群
设<G，>是一个群，S
是G的非空子集， 如果
<S，>也构成群，则称
<S，> 是<G，>一个
子群。
平凡子群
设<G，>是一个群，
<S，> 是<G，>一个
子群， 如果S={e}，或
者S=G，则称<S，>
是<G，>一个平凡子群。
交换群
如果群<G，>中的
运算 是可交换的，
则称该群为阿贝尔群，
或称交换群。
循环群
设<G，>为群，若在G
中存在一个元素a，使得
G中的任意元素都由a的
幂组成，则称该群为循
环群，元素a称为循环群
G的生成元。