Transcript WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne CD
Biomechanika przepływów
WYKŁAD 5 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE C. D.
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Jak już wspomniano na wykładach wcześniejszych : Ciało będące pod działaniem pola sił
ulega deformacjom mierzonym jako odkształcenia, które zależą od charakterystyki materiału z którego zbudowane jest dane ciało.
Charakterystyka ciała reprezentowana jest przez odpowiednią relację pomiędzy polem naprężeń a odkształceniami, która to nazywana jest - relacją konstytutywną. Na poprzednim wykładzie omawiane były główne znane relacje konstytutywne opisywane za pomocą tensorowych równań konstytutywnych t. j.: Lepki płyn Newtonowski,
Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka.
Teraz omówimy ogólniej trzy podstawowe relacje: ciała liniowo elastyczne,
ciała nie liniowo elastyczne, oraz ciała liniowo lepko – elastyczne.
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Ciało Liniowo Elastyczne
Odkształcenie oraz naprężenie, mogą być reprezentowane za pomocą jednowymiarowych macierzy ( o wymiarze 6 x 1 ), ze względu na to iż, symetria powoduje że, jest tylko 6 różnych elementów tensorów odkształcenia i naprężenia: naprężenie: 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 13 odkształcenie:
e
1
e
11
e
2
e
22
e
3
e
33
e
4
e
12
e
5
e
23
e
6
e
13 Liniowe równanie dla materiałów izotropowych ( Prawo Hooka) może być zapisane:
Ce
i
C ik e k i
,
k
1,2,....,6
(*) Elastic constitutive matrix
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Wykorzystując założenie o izotropowości można wykazać że, C może być przedstawione Za pomocą dwóch stałych materiałowych : modułu Younga E i stałej Poissona ν. E przedstawia współczynnik proporcjonalności dla jednowymiarowego odkształcania:
Ee
Natomiast ν jest stosunkiem wartości poprzecznego odkształcenia e yy do odkształcenia Wzdłużnego e xx kiedy materiał jest obciążany w kierunku x:
e yy e xx
xx
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Różne formy stałej C dla różnych warunków fizycznych: Dla ogólnej 3-wymiarowej deformacji
C
1
E
1 1 2 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 (**)
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Dla przypadków osiowo symetrycznych tj. : Nie zerowe odkształcenia mogą być odniesione do:
e e
3 1
e xx
xy e
2
e
4
e yy
e zz
gdzie: γ – odkształcenie styczne Macież C sprowadza się do pstaci 4 x 4 :
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
C
1
E
1 1 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 2 0 Dla przypadku płaskiego (a)
C
1
E
1 1 2 1 1 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1 1
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Przykład 1: Płaska membrana: Dla płaskiej membrany (płaskiego stanu naprężenia) w płaszczyźnie x-y mamy następujący warunek:
zz
0
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. również wszystkie styczne naprężenia i odkształcenia w kierunku z są równe 0:
xz
yz
0
xz
yz
0
stosując równanie (*) i (**) otrzymamy:
zz
0 1
E
1 2 1 2 1
e xx
e yy
e zz
Po przekształceniach otrzymujemy równanie określające odksztacenie normalne (na grubości membrany):
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
e zz
1
e xx
e yy
po podstawieniu e zz w prierwszych dwóch równaniach dostajemy:
xx
1
E
1 2 1 2
e xx
1
e yy
1 2 2
e xx
e yy
1
E
2
e xx
e yy
yy
1
E
1 2 1 2 1
e xx
e yy
1 2 2
e xx
e yy
1
E
2
e xx
e yy
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. a więc konsekwentnie constytutywna macierz przybiera postać:
C
E
1
v
2 1 0 1 0 0 0 1 2
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Podobną technikę można użyć do opisu zachowania się powierzchni sferycznej wprowadzamy nowy układ współrzędnych (lokalny: x 1 , x 2 , x 3 ) w którym macierz konstytutywna przybiera postać:
C
1
E v
2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Przykład 2: Określenie siły reakcji dla przewodu kołowego pod ciśnieniem Prosta rura przedstawiona na rysunku nie podlega odkształceniom wzdłużnym. Rura znajduje się pod ciśnieniem wewnętrznym p. Grubość rury δ jest mała w porównaniu z promieniem przewodu R. Zakładamy również że, podpory pozwalają na zmianę średnicy przewodu. Można więc przyjąć iż stan naprężenie – odksztacenie jest jednolity dla przewodu.
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. niezerowe naprężenia w rurze to: naprężenie wzdłużne naprężenie obwodowe
aa
cc
z warunków równowagi można wyprowadzić relację:
F p F c
2
2
iner
cc
p
F p
F c
(siły na jednostkę długości)
cc
R i
p
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. poprzez istnienie wzdłużnych podpór, wzdłużne odksztacenie rury jest zerowe.
korzystając z
Ce
otrzymamy:
e aa
0 oraz macierzy konstytutywnej:
C
E
1
v
2 1 0
aa
E
1 2
e cc
1 0 0 0 1 2
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. odkształcenie obwodowe przyjmuje postać:
e cc
1
E
cc
aa
po podstawieniu do:
aa
E
1 2
e cc
otrzymamy
aa
R iner
p
Siły reakcji na podporach wynoszą:
F A
F B
R
2
iner p
R iner
2
aa
R iner
1 2
R iner
p