Transcript Document
Biomechanika przepływów
WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Właściwości materiałów opisywane są za pomocą Równań Konstytutywnych
Ogólnie rzecz ujmując podają one relacje pomiędzy tensorem naprężeń a
tensorem odkształceń w danym ciele.
W przyrodzie występuje ogromna liczba materiałów , których właściwości opisywane są
równie ogromną liczbą równań konstytutywnych.
Okazuje się jednak że trzy wyidealizowane relacje naprężenia – odkształcenia tj.:
Lepki płyn Newtonowski
Płyn nielepki
Elastyczne ciało Hooka
w bardzo dobry sposób opisują mechaniczne właściwości wielu materiałów.
Niestety materiały biologiczne nie mogą być opisywane za pomocą tych relacji…
Równania konstytutywne opisują fizyczne własności materiałów, z tego powodu muszą być
niezależne od wyboru układu odniesienia. Równania konstytutywne muszą być więc
równaniami tensorowymi: każdy element równania musi być tensorem
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
PŁYN NIELEPKI
Dla płynu nielepkiego tensor naprężeń przybiera postać:
ij p ij
skalar zwany ciśnieniem
delta Kroneckera
1 i j
ij
0 i j
Ciśnienie p jest dla gazu idealnego związane z gęstością i temperaturą przez równanie
stanu:
p
RT
Dla gazów rzeczywistych równanie
to jest bardziej skomplikowane
ale osiągalne:
p
stała gazowa
RT
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
przypomnijmy że równanie ruchu dla ośrodka ciągłego :
Dvi ij
Xi
Dt x j
równanie ruchu Eulera
vi
ij
v
i
vj
Xi
x j x j
t
jeżeli podstawimy wyrażenie na naprężenia korzystając z równania konstytutywnego:
vi
vi
p
vj
ij
Xi
x j
x j
t
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
PŁYN LEPKI NEWTONOWSKI
Płyn Newtonowski lepki to taki dla którego naprężenia ścinające są liniowo proporcjonalne do
szybkości odkształcenia.
Równanie konstytutywne przybiera postać:
ij pij DijklVkl
tensor naprężenia
ciśnienie statyczne
tensor współczynników
lepkości płynu
tensor szybkości odkształcenia
1 vi v j
Vij
2 x j xi
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Dijkl
dla płynów Newtonowskich zakładamy, że elementy tensora mogą zależeć od
temperatury ale nie mogą zależeć od naprężeń i od szybkości deformacji .
Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 34=81 elementów. Nie wszystkie elementy
są niezależne.
Jeżeli założymy, że tensor Dijkl jest izotropowy to może być przedstawiony jako suma dwóch
niezależnych stałych λ i μ :
Dijkl ij kl ik jl il jk
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Podstawiając to wyrażenie do równania na tensor naprężeń otrzymujemy:
ij pij Vkkij 2Vij
jest to izotropowe równanie konstytutywne materiał który je spełnia musi być materiałem
izotropowym
Dla izotropowego płynu Newtonowskiego równanie to można uprościć:
kk 3 p 3 2 Vkk
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Jeżeli założymy że średnie naprężenia normalne 1/3 σkk są niezależne od szybkości deformacji
Vkk to musimy przyjąć iż:
3 2 0
i równanie konstytutywne przybiera postać:
2
ij p ij 2Vij Vkk ij
3
równanie to wyprowadził George G. Stokes
płyny je spełniające noszą nazwę płynów Stokesa
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Jeżeli płyn jest nieściśliwy to Vkk = 0 i otrzymujemy równanie konstytutywne dla nieściśliwych
płynów lepkich:
ij pij 2Vij
a przy zerowej lepkości otrzymujemy:
ij p ij
vi v j
ij p ij
x
x
i
j
po podstawieniu do równania Eulera i odpowiednich przekształceniach otrzymamy
równanie N-S
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
w równaniach tych występuje jedna stała fizyczna opisująca cechy materiału – współczynnik
lepkości μ
du
dy
Newton zaproponował następującą relację
Y
Ux
S
Fx
Jednostką lepkości w systemie SI jest [N*s/ m2]
X
Z
yx
Fx
S
yx
dux
dy
naprężenie styczne
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Ciało elastyczne Hooka
Jest to ciało spełniające prawo Hooka które głosi iż tensor naprężeń jest liniowo
proporcjonalny do tensora odkształcenia:
ij Cijklekl
tensor naprężenia
tensor stałych sprężystych
lub modułów materiału
tensor odkształcenia
jeżeli przemieszczenie jest nieskończenie
małe to:
1 vi v j
eij
2 x j xi
jeżeli jest skończone to eij jest tensorem
przemieszczeń Almansiego
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Cijkl
Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 34=81 elementów. Dla ciał sprężyście
izotropowych liczba niezależnych elementów tensora C redukuje się do 2
a więc uogólnione prawo Hooka można zapisać w postaci:
ij eij 2Geij
stałe λ i G są zwane stałymi Lamego
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Dla kartezjańskiego układu współrzędnych równanie można rozpisać w postaci:
xx exx eyy ezz 2Gexx
yy exx eyy ezz 2Geyy
zz exx eyy ezz 2Gezz
xy 2Gexy yz 2Geyz zx 2Gezx
albo w formie odwrotnej:
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
1
eij
ij ij
E
E
1
exx xx yy zz
E
1
e yy yy xx zz
E
1
exx zz xx yy
E
1
1
exy
xy
xy
E
2G
1
1
e yz
yz
yz
E
2G
1
1
ezx
zx
zx
E
2G
w równaniach tych pojawiają się stałe E, ν . Stała E nosi nazwę modułu Younga natomiast
stała ν nosi nazwę liczby Poissona. (Liczby te charakteryzują właściwości materiałów)
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Należy pamiętać że Lepki płyn Newtonowski, Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka są
tylko wyidealizowanymi modelami i żaden materiał nie zachowuje się w pełni zgodnie
z przedstawionymi relacjami. Oczywiście w pewnych zakresach temperatury, naprężeń i
odkształceń niektóre materiały spełniają te prawa.