Transcript Document

Biomechanika przepływów
WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Właściwości materiałów opisywane są za pomocą Równań Konstytutywnych
Ogólnie rzecz ujmując podają one relacje pomiędzy tensorem naprężeń a
tensorem odkształceń w danym ciele.
W przyrodzie występuje ogromna liczba materiałów , których właściwości opisywane są
równie ogromną liczbą równań konstytutywnych.
Okazuje się jednak że trzy wyidealizowane relacje naprężenia – odkształcenia tj.:
Lepki płyn Newtonowski
Płyn nielepki
Elastyczne ciało Hooka
w bardzo dobry sposób opisują mechaniczne właściwości wielu materiałów.
Niestety materiały biologiczne nie mogą być opisywane za pomocą tych relacji…
Równania konstytutywne opisują fizyczne własności materiałów, z tego powodu muszą być
niezależne od wyboru układu odniesienia. Równania konstytutywne muszą być więc
równaniami tensorowymi: każdy element równania musi być tensorem
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
PŁYN NIELEPKI
Dla płynu nielepkiego tensor naprężeń przybiera postać:
 ij   p ij
skalar zwany ciśnieniem
delta Kroneckera
1 i  j
 ij  
0 i  j
Ciśnienie p jest dla gazu idealnego związane z gęstością i temperaturą przez równanie
stanu:
p

 RT
Dla gazów rzeczywistych równanie
to jest bardziej skomplikowane
ale osiągalne:
p
stała gazowa

 RT
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
przypomnijmy że równanie ruchu dla ośrodka ciągłego :
Dvi  ij


 Xi
Dt x j
równanie ruchu Eulera
 vi
  ij

v
i

 
 vj
 Xi

x j  x j
 t
jeżeli podstawimy wyrażenie na naprężenia korzystając z równania konstytutywnego:
 vi
vi 
p


 vj
  ij
 Xi

x j 
x j
 t
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
PŁYN LEPKI NEWTONOWSKI
Płyn Newtonowski lepki to taki dla którego naprężenia ścinające są liniowo proporcjonalne do
szybkości odkształcenia.
Równanie konstytutywne przybiera postać:
 ij   pij  DijklVkl
tensor naprężenia
ciśnienie statyczne
tensor współczynników
lepkości płynu
tensor szybkości odkształcenia
1  vi v j 
Vij 


2  x j xi 
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Dijkl
dla płynów Newtonowskich zakładamy, że elementy tensora mogą zależeć od
temperatury ale nie mogą zależeć od naprężeń i od szybkości deformacji .
Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 34=81 elementów. Nie wszystkie elementy
są niezależne.
Jeżeli założymy, że tensor Dijkl jest izotropowy to może być przedstawiony jako suma dwóch
niezależnych stałych λ i μ :
Dijkl   ij kl   ik jl  il jk 
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Podstawiając to wyrażenie do równania na tensor naprężeń otrzymujemy:
 ij   pij  Vkkij  2Vij
jest to izotropowe równanie konstytutywne materiał który je spełnia musi być materiałem
izotropowym
Dla izotropowego płynu Newtonowskiego równanie to można uprościć:
 kk  3 p  3  2 Vkk
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Jeżeli założymy że średnie naprężenia normalne 1/3 σkk są niezależne od szybkości deformacji
Vkk to musimy przyjąć iż:
3  2   0
i równanie konstytutywne przybiera postać:
2
 ij   p ij  2Vij  Vkk ij
3
równanie to wyprowadził George G. Stokes
płyny je spełniające noszą nazwę płynów Stokesa
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Jeżeli płyn jest nieściśliwy to Vkk = 0 i otrzymujemy równanie konstytutywne dla nieściśliwych
płynów lepkich:
 ij   pij  2Vij
a przy zerowej lepkości otrzymujemy:
 ij   p ij
 vi v j 

 ij   p ij   



x

x
i 
 j
po podstawieniu do równania Eulera i odpowiednich przekształceniach otrzymamy
równanie N-S
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
w równaniach tych występuje jedna stała fizyczna opisująca cechy materiału – współczynnik
lepkości μ
du
 
dy
Newton zaproponował następującą relację
Y
Ux
S
Fx
Jednostką lepkości w systemie SI jest [N*s/ m2]
X
Z
 yx
Fx

S
 yx
dux
 
dy
naprężenie styczne
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Ciało elastyczne Hooka
Jest to ciało spełniające prawo Hooka które głosi iż tensor naprężeń jest liniowo
proporcjonalny do tensora odkształcenia:
 ij  Cijklekl
tensor naprężenia
tensor stałych sprężystych
lub modułów materiału
tensor odkształcenia
jeżeli przemieszczenie jest nieskończenie
małe to:
1  vi v j 
eij 


2  x j xi 
jeżeli jest skończone to eij jest tensorem
przemieszczeń Almansiego
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Cijkl
Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 34=81 elementów. Dla ciał sprężyście
izotropowych liczba niezależnych elementów tensora C redukuje się do 2
a więc uogólnione prawo Hooka można zapisać w postaci:
 ij  eij  2Geij
stałe λ i G są zwane stałymi Lamego
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Dla kartezjańskiego układu współrzędnych równanie można rozpisać w postaci:
 xx  exx  eyy  ezz  2Gexx
 yy   exx  eyy  ezz  2Geyy
 zz  exx  eyy  ezz  2Gezz
 xy  2Gexy  yz  2Geyz  zx  2Gezx
albo w formie odwrotnej:
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
1 

eij 
 ij     ij
E
E






1
exx   xx   yy   zz 
E
1
e yy   yy   xx   zz 
E
1
exx   zz   xx   yy 
E
1 
1
exy 
 xy 
 xy
E
2G
1 
1
e yz 
 yz 
 yz
E
2G
1 
1
ezx 
 zx 
 zx
E
2G
w równaniach tych pojawiają się stałe E, ν . Stała E nosi nazwę modułu Younga natomiast
stała ν nosi nazwę liczby Poissona. (Liczby te charakteryzują właściwości materiałów)
WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne
Należy pamiętać że Lepki płyn Newtonowski, Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka są
tylko wyidealizowanymi modelami i żaden materiał nie zachowuje się w pełni zgodnie
z przedstawionymi relacjami. Oczywiście w pewnych zakresach temperatury, naprężeń i
odkształceń niektóre materiały spełniają te prawa.