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 引理15.5：[G;*]为交换群,aG是其中阶最大
元,设其阶为n。则任一xG的阶可整除n。
 定理15.16:GF(pm)中非零元全体关于乘法构
成循环群。
 关键证明存在元素，其阶为pm－1。
 找元素，阶最大的。
 定义15.10:循环群[GF(pm)*;*]之生成元称
为有限域GF(pm)的本原元。
 GF((pm))是本原元, 则GF((pm))中元素
可表示为:
m-2
m
0
2
p
GF((p ))={0, =1,, ,,
}
 例:找出GF(32)的所有本原元。
 不可约多项式x2+1
 +1, +2, 2+1, 2+2都是本原元
 +1是本原元,则其他元素2,, +2,2,
2+1,2+2怎样表示成+1的幂次?
 二、本原多项式
 定义15.11:设g(x)Zp[x]是m次不可约多
项式,当k=pm-1时g(x)|(xk-1),当k<pm-1时
g(x)不能整除(xk-1),称g(x)为Zp 上的 本原
多项式。
 定理15.17:g(x)Zp[x]是不可约的m次多
项式,它是本原多项式,当且仅当g(x)的所
有根x都是Zp[x]/(g(x))=GF(pm)的本原元。
( 1 ) g(x) 是 不 可 约 的 m 次 多 项 式 , 所 有 根 都 是
Zp[x]/(g(x))=GF(pm)的本原元,则 是本原多项
式
(g(x))+x是g(x)的根,则阶为pm-1
(2)g(x)是本原多项式
g(x)与xt-1有公共零点
习题15.16:f(x)不可约,f(x)与g(x)有公共零点,则
f(x)|g(x)
 例:GF(22)≌Z2[x]/(x2+x+1),证明x2+x+1是
Z2上的本原多项式。
 设是Z2[x]上的多项式( x2+x+1)的根,请
将下式化简为的幂次。
 (2+)*(2+1)-1+-2+
 例:GF(24)≌Z2[x]/(x4+x+1),证明x4+x+1是
Z2上的本原多项式。
 已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出GF(pn)
上的所有本原元？
 GF*(pn)中的每个元素可表示为的幂次形式
 k。
 由习题13.19知，k的阶为pn -1当且仅当(k, pn
-1)=1，即k为本原元当且仅当(k, pn -1)=1。
n-1
2
p
因此我们就可在, , 中找出所有的本
原元。
 已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样
求出Zp上所有的n次本原多项式?
 1.费尔马小定理:
设p为素数,a为非零整数,且(a,p)=1,则
ap-11 mod p
证明:对任意与p互素的非零整数a,
有[a]pZp*,
因为元素的阶是群的阶的因子,
所以[a]p-1=1,
即ap-1=1modp,




2.(x)=xp是GF(pn)的自同构映射.
证明:满足同态等式
一对一
满射:设为生成元,对任意的GF(pn),有
n-1
k
kp
= ,取x=
,
n-1 p
n
n k
kp
kp
p
 则(x)=(
) = ( )= ( )
n-1
k
k
p
 =( ) = 
 3.设为本原多项式f(x)的根,则,p,p2,
n-1
p
, 是本原元,且是f(x)的根.
i
p
 证明:(1) 是本原元
 先证明(pi,pn-1)=1
i
p
 然后由习题13.19得: 的阶是pn-1
 所以pi是本原元
i
p
 (2) 是f(x)的根




结论:
1. 为本原多项式f(x)的根,则有
2
n-1
p
p
p
f(x)=(x-)(x- )(x- )(x- )
2.已知Zp 上的一个n次本原多项式f(x),求
所有n次本原多项式的方法是:
 (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后
求出GF(pn)中的所有本原元,
 (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构
造其他本原多项式.
 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,
则它的所有根都是本原元,即,它一定是本
原多项式.
 如何判别一个多项式不可约，并没有一个行
之有效的方法
 1.在无限数域上的不可约多项式问题
 复数域上的任何多项式都是可约的。
 实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质，
知道实数域上只有2次不可约多项式。
 有理数域，存在任意次不可约多项式。
 定理1：若n次整系数多项式f(x)∈Z[x]在有理
数域Q上可约，则f(x)在整数环Z上一定可约。
 定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设
f(x)=a0+a1x+…+anxn 是 整 系 数 多项 式 ， 若 能
找到一个素数p，使得
 (1)p不能整除an；
 (2)p|a0,a1,┅,an-1；
 (3)p2不能整除a0；
 那么，f(x)在有理数域上不可约。
 艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的
多项式，不一定就可约。
 如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件，
 前者在有理数域上可约，后者不可约。
 2.有限域上的不可约多项式
 有限域上的不可约多项式，最直观的就是将
域上所有n次多项式按次数列成表，
 次数小的在前面，大的在后，次数相等的按
某种规定排列先后，排在最前面的多项式就
是不可约的，把它圈出来，
 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。
 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就
是不可约的，
 重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量
就很大。
 设f(x)是F(q=pk)上的n次多项式，
 如果f(0)=0,则f(x)有因子x,故f(x)可约.
 如果f(0)0，若f(x)可约，则f(x)必有次数n/2
的不可约因式g(x)。
 设g(x)次数为m,因为g(x)是有限域F上的m次
不可约多项式，则根据有限域上不可约多项
m-1
m-1
q
q
式根域的结论知，g(x)|x
-1
-1,即f(x)与x
有次数大于1的公因子。
 检验f(x)是否可约，只要考察下列最大公因子：
i-1
q
 （f(x)，x -1）,对i=1,2,┅,[n/2],如果这些最大
公因子都是1，则f(x)不可约。
 常用的判断Z2上一个n次多项式是可约的方
法有：
 1）如果f(x)的常数项为0，除非f(x)=x，否则
一定可约。
 2）如果f(x)中系数为1的项个数为偶数，则
一定可约。
 3）如果(f(x),f’(x))1,则一定可约。
 4）如果f(x+1)可约，则f(x)一定可约。
 5）如果xnf(1/x)可约，则f(x)一定可约。




一、基本概念
1.代数系统
运算， SnS的映射称为S上的n元运算
代数系统：一个非空集合S,与一个或若干
个定义在S上的运算Q1,…,Qk(k1),就构成
了一个代数系统, 表示为 [S;Q1,…,Qk]。
 单位元，结合律，交换律，逆元，零元，
分配律
 同态，同构
 2.相容
 设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上
的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b，
c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与
运算 是相容的，称~为代数系统[S;]的
相容等价关系。
 3.半群，拟群，群
 有关定理
 4.元素的阶和群的阶
 定义,结论











5.子群与陪集
概念,定理,陪集的实质
6.商群与群同态基本定理
7.环的基本概念
环的零元,环的单位元,交换环
在环中讨论元素可逆
1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1)
8.特征数
整环的特征数9.子环，理想，商环
9.主理想,主理想环
10.多项式环









11.扩域与单扩域
线性空间与域的关系
素域
12.代数元与代数扩域
极小多项式
13.根域
根域的存在性与唯一性(同构意义下)
14.有限域，形式微商
15.本原元与本原多项式













二、证明及判别、计算
1.群
元素阶与群的阶
陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的一
些结论。
子群，正规子群的验证和证明
设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素
a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元
等价的元素全体构成G的一个子群。
H={xG|xe}
对任意的xH，xe=xe=xx-1，因此有
ex-1，所以x-1H，
对任意的x,yH，有xe，ye，
即x-1xy=eye=x-1x，因此有xyxe，
所以xyH
用群同态基本定理证明群同构
 2.环
 理想,子环的判别
 设环R存在唯一一个右单位元，证明该环
一定存在单位元。
er为右单位元，对任意的a∈R，
(era-a+er)，设法证明(era-a+er)也是右单位元
 设A是环R的理想，B是R的子集， B={b|
对任意aA, ba=0}，证明：B是环R的理想。
 商环中的元素表示
 零因子
 用环同态基本定理证明环同构
 求多项式的逆









3.域
扩域,代数元
求 3  5 在有理数域上的极小多项式.
4.根域
确定根域,及扩张次数
有限域的根域存在性,唯一性证明方法
重根与形式微商
Zp上n次不可约多项式根域
定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是
GF(pn)=Zp()





5.本原元与本原多项式
有关定理和结论的证明
GF(pn)的表述,化简
求出所有本原元,本原多项式
已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出
GF(pn)上的所有本原元？
 GF*(pn)中的每个元素可表示为的幂次
形式k。由习题14.19知，k的阶为pn -1
当且仅当(k, pn -1)=1，即 k 为本原元当
且 仅 当 ( k, pn -1)=1。 因 此 我 们 就 可 在
n-1
2
p
, , 中找出所有的本原元。
 已知Zp 上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出
所有的n次本原多项式?
 1. 为本原多项式f(x)的根,则有
2
n-1
p
p
p
 f(x)=(x-)(x- )(x- )(x- )
 2.已知Zp 上的一个n次本原多项式f(x),求所有n
次本原多项式的方法是:
 (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后求出
GF(pn)中的所有本原元,
 (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其
他本原多项式.
 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的
所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式.
 已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1
的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用
的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原
多项式。
 与15互质：1，2，4，7，8，11，13，14
 ，2， 4， 7， 8， 11， 13， 14，
 (x-)(x- 2)(x- 4)(x- 8)
2
3
7
7
2
7
2
7
2
 (x- )(x- ( ) )(x- ( ) )(x-( ) )
 =(x-7)(x- 14)(x- 13)(x-11)
 定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设
f(x)=a0+a1x+…+anxn 是 整 系 数 多项 式 ， 若 能
找到一个素数p，使得
 (1)p不能整除an；
 (2)p|a0,a1,┅,an-1；
 (3)p2不能整除a0；
 那么，f(x)在有理数域上不可约。
 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约
多项式。
 p=3




基本概念要清楚
熟知的数集上性质
注意按照定义和规则，不能想当然
要有一定的灵活，善于思考
 考题类型：
 判断说明理由；
 证明，说明，计算
 考试时间：5月8日9:50—11:35
 地点：Z2108
 占总分40%
 作业: P208 26
 1.已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1
的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的
幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项
式。
 2.已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1
的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的
幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项
式。
 3.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多
项式。
 4.求出Z2上所有5次不可约多项式和本原多项式