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第四章
基本图形生成算法 （三）
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主要内容：
 直线的扫描转换
 圆与椭圆的扫描算法
 区域填充
 线宽与线型的处理
 字符
 裁剪
 反走样
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字符
 字符的生成：
-
包括数字、字母、汉字与符号（电路、公差、液压……)等；
 标准字符集
-
美国信息交换用标准代码集（ASCII）：
 共127个。
 0－31 不可见，控制字符。
 32－127可见（大小写字母，数字，运算符号，标点符号等）。
 编码用一个字节可以表示
-
信息交换用汉字编码字符集基本集（GB2312-80）:
 汉字量大，必须用两个字节表示。
-
 6000多个常用汉字，英文字母、数字和其他图形符号；
为在终端或绘图仪上输出字符，系统中必须装备有字符库。字符库中存放
了每个字符的形状信息。
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字符
 字符库分有矢量型和点阵型两种；
 笔式绘图仪：矢量型字符，采用矢量代码序
列表示字符的各个笔画；
 终端显示器：点阵型字符库，为每个字符定
义一个字符掩膜，即表示该字符的象素图案
的一个点阵；
- 1） 点阵字符
 每个字符定义成称为字符掩膜的矩阵；
二进制数表示的矩阵
 西文字符：5×7的点阵字符；
 汉文字符：16×16的点阵字符；
 打印：24×24，40×40，72×72的点阵字符
编码（ASCII）
 特殊字符：按需确定。
存储西文需35位，4个多字节
问题：信息量大，质量，变换，动画，...
存储汉文需256位，32个字节
解决：压缩，矢量。
A
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字符
 2）矢量字符
 对每个字符定义矢量代码序列描述字符的几何形状：
- 不同的应用使用不同的方法。
 以AutoCAD采用的定义方法为例：
-AutoCAD采用一种称为形（SHAPE）的实体来定义字符
-基本笔画：直线和圆弧
-形描述格式如下：
* <形编号>，<字节数>，<形名称> <字节1>，<字节
2>，...... 0
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字符
4
3
5
6
形编号：1－255整数；
2
字节数：形定义描述行中包括结
束符0在内的字节数目；
7
1
形名称：用大写字母；否则认为
是形的解释性信息，不存储；
8
0
<字节N>：定义字符组成矢量的
方向和大小，分为标识位、低四 9
F
位和高四位三组数字。标识位表
示十六进制（0）或十进制（无
A
标识位）;高四位表示矢量的长
E
B
C
D
度，低四位表示矢量方向。
所有矢量都具有“相同”的长
如：040即表示一16进制数，其
度，即（2）的单位长度是
中，4表示矢量的长度，0表示矢
（0）的单位长度的2倍
量方向。
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 实例：二极管符号：
 * 133, 11, DIDOE
040, 044, 04c, 042, 04c, 040, 048, 04c, 046, 04c, 0
 把每一个字符都按上述方法描述后，存入一形文件中，即建
立了相应的矢量字符库。
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 字型技术：节约空间，采用压缩技术（字型数据压缩存储，使
用时，还原成字符点阵）：
- 黑白段压缩法：
 优点：简单快速不失真；
 缺点：压缩较差，不方便，一般用于低级文字处理系统；
-
部件压缩法：
 优点：压缩比大
 缺点：字型质量不保证；
-
轮廓字型法：压缩比大，质量保证（采用直线、BEZIER曲线
的集合描述字符的轮廓线;
 轮廓线和控制信息（属性、控制点/线）构成压缩数据，结合填充算法
以取得较好的效果；
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一种轮廓字型法：True Type字型技术
Apple和Microsoft公司联合开发；
- 利用二次Bezier曲线描述字符轮廓，对字符轮廓线的控制点
进行编号；
-
 顺序：按顺时针方向走一圈，填充部分始终在其右边。
 以大写字母H为例：
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字符
 True Type字型控制信息
- X方向控制信息：





-
Y方向控制信息：




-
1）字身最左起始点到字母主干的距离间隙；
2）字母主题部分的宽度；
3）字身的宽度；
4）字母H主干的宽度；
5）字母H的衬线；
6）字母H横干的厚度；
7）字母H衬线的厚度；
8）字母主题部分的厚度；
9）字母H横干的高度；
－》产生控制信息表；
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字符
 字符的输出：
- 绘图仪输出：方向、位移值转换为设备驱动指令；
- 显示器/打印机输出：指定字符掩膜的原点与祯缓存中的字符
左下脚位置对应，从而将字符掩膜中的值平移的写入祯缓存
中；
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主要内容：
 直线的扫描转换
 圆与椭圆的扫描算法
 区域填充
 线宽与线型的处理
 字符
 裁剪
 反走样
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裁剪 －直线段裁剪
 裁剪目的
- 判断图形元素是否落在裁剪窗口之内并找出其位于内部的部分；
 裁剪处理的基础
- 图元关于窗口内外关系的判别；
- 图元与窗口的求交；
 假定条件
- 裁剪窗口：[xmin,xmax]，[ymin,ymax]
- 待裁剪线段：
 待裁剪线段和窗口的关系
- 1）线段完全可见
- 2）显然不可见
- 3）线段至少有一端点在窗口之外，部分线段可见
为提高效率，算法设计时应考虑：
(一）快速判断情形(1)(2)；
(二) 设法减少情形(3)求交次数和每次求交时所需的计算量。
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裁剪 －直线段裁剪
 点裁剪
- 点(x, y)在窗口内的充
分必要条件是：
x min  x  x max
y min  y  y max
 线段裁剪方法：
-
-
Cohen-SutherLand裁减算
法
中点分割算法；
参数化方法；
直接求交算法步骤
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裁剪 －直线段裁剪－ Cohen-SutherLand算法
 Cohen-SutherLand算法
- 算法步骤：
 第一步 判别线段两端点是否都落在窗口内，如果是，则线段完全可见；
否则进入第二步；
 第二步 判别线段是否为显然不可见，如果是->裁剪结束；否则继续；
 第三步 求线段与窗口边延长线的交点，这个交点将线段分为两段，其
中一段显然不可见，丢弃。
 第四步 对余下的另一段重新进行判断，直至结束 ；
裁剪过程是递归过程！
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裁剪 －直线段裁剪 － Cohen-SutherLand算法
 Cohen-SutherLand算法的改进：编码算法
-
目的：对显然不可见线段实现快速判别；
编码方法：由窗口四条边所在直线把二维平面分成9个区域，每个区域赋
予一个四位编码，Ct Cb Cr Cl，上下右左；
1
Ct  
0
当y  y max
1
Cb  
0
当y  y min
1
Cr  
0
当x  x max
1
Cl  
0
当x  x min
else
else
else
else
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裁剪 －直线段裁剪 － Cohen-SutherLand算法
端点编码：定义为它所在区域的编码；
- 结论：当线段的两个端点编码的逻辑“与”非零时 ，线段为显
然不可见：端点同时在上方、下方、左方或右方。
-
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裁剪 －直线段裁剪 － Cohen-SutherLand算法
对那些非显然可见、非显然不可见的线段，需要求交
（如，线段CD)，求交前先测试与窗口哪条边所在直线
有交？(按序判断端点编码中各位的值ClCtCrCb）；
- 1）特点：用编码方法可快速判断线段 － 完全可见
和显然不可见。
- 2）特别适用二种场合：
 大窗口场合；
 窗口特别小的场合(如,光标拾取图形时,光标看作
小的裁剪窗口。）
-
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裁剪 －直线段裁剪 － Nicholl-Lee-Nicholl算法
 Nicholl-Lee-Nicholl算法
-
目的：通过对二维平面的更详细划分，消除Cohen_Sutherland
算法中线段在被裁剪时需多次求交的情况。
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裁剪 －直线段裁剪 － Nicholl-Lee-Nicholl算法
 Nicholl-Lee-Nicholl算法
-
算法假设：假定待裁剪线段P0、P1为非完全可见且非显然不可见。
步骤：
 第一步，窗口四边所在的直线将二维平面划分成9个区域，假定P0
落在区域0、4、5
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裁剪 －直线段裁剪 － Nicholl-Lee-Nicholl算法
第二步：从P0点向窗口的四个角点发出射线，这四条射线和窗
口的四条边所在的直线一起将二维平面划分为更多的小区域；
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裁剪 －直线段裁剪 － Nicholl-Lee-Nicholl算法
此时P1的位置决定了P0、
P1和窗口边的相交关系；
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裁剪 －直线段裁剪 － Nicholl-Lee-Nicholl算法
第三步，确定P1所在的区域（判断P1所在区域位置，可判
定P0、P1与窗口那条边求交)。
根据窗口四边的坐标值及P0P1和各射线的斜率可确定P1所在
的区域。
第四步，求交点，确定P0P1的可见部分 。
结论：效率较高，但仅适合二维矩形窗口；
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裁剪 －直线段裁剪 －中点分割法
 中点分割法
-
思想：
 从P0点出发找出距P0最近
的可见点
 从P1点出发找出距P1最近
的可见点。
-
取中点Pm=(P1+P2)/2；
（算法过程见框图）
求线段中点可以由加法和位移实现，易于用硬件实现
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裁剪 －直线段裁剪 －参数化方法
 参数化方法
-
思想：利用数学上线段的参数方程；
如：考虑凸多边形R和线段P1，计算线段落在区域R中的部分。如图：
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裁剪 －直线段裁剪 －参数化方法
设：
 A：区域R边界上的一点；
 N：区域边界在A点的内法向量；
 P1P2线段： P(t )  ( P2  P1 )t  P1
- 凸多边形性质：
-
(0  t  1)
 P(t)在多边形内的充要条件：对于凸多边形边界上任意一点A和该
处内法向量N，都有N(P(t)-A)>0；
 对线段上任意一点:P(t),有三种可能性：
- 1）N(P(t)-A)<0：P(t)在多边形外侧；
- 2）N(P(t)-A)＝0：P(t)在多边形边界或其延长线上；
- 3）N(P(t)-A)>0：P(t)在多边形内侧；
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裁剪 －直线段裁剪 －参数化方法
-
设多边形有N条边，在每个边上取一个点Ai和该
点处的内法向量Ni（i＝1，2，…,k)，则可见
线段的参数区间为求解下列不等式的解：
 N i  ( P(t )  Ai )  0(i  1,2,, k )

0  t  1
-
实际上，只需关心解的最小值和最大值；
如果Ni(P2-P1)＝0等于0，则法向量与线段垂
直，即线段P1P2与对应边平行，无交点，分两
种情况考虑：
 1）线段在区域外侧:直接判断直线在多边形
外；
 2）线段在区域内侧：忽略，继续处理其它
边；
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裁剪 －直线段裁剪 －参数化方法
-
解的几何意义：
 参数化方法求得的交点参数
Ti，按照P1P2与内法向量的
内积符号分为两组：
- 下线组：以判别式大于0为特
征，表示在该点沿P1P2方向前
进将接近或进入多边形内侧；
- 上限组：以判别式小于0为特
征，表示在该点沿P1P2方向前
进将越来越远地离开多边形区
域。
- 当凸多边形是矩形窗口，
且矩形的边平行于坐标轴
时，上述算法简化为
Liang-Barsky算法；
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裁剪 －直线段裁剪 －四种算法比较
Cohen-Sutherland与中点法在区码测试阶段能以位运算方式
高效率进行－》大多数线段能够简单地取舍时，效率较好；
- Cyrus-Beck(参数化方法)：在多数线段需要进行裁剪时效率
高：因为运算只涉及到参数，仅仅必要时才进行坐标计算；
- Liang Barsky算法只能应用在矩形窗口情形，效率比参数化
方法更高。
-
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裁剪 －多边形裁剪
 错觉：直线段裁剪的组合？
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裁剪 －多边形裁剪
 问题：2）一个凹多边形可能被裁剪成几个小的多边形，如何确
定这些小多边形的边界？
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裁剪 －多边形裁剪
 Sutherland-Hodgman算法（逐边裁剪算法）：
-
-
分割处理策略：将多边形关于矩形窗口的裁剪分解为多边形关于窗口四边
所在直线的裁剪；
流水线过程(左上右下)：左边的结果是上边的开始；
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裁剪 －多边形裁剪
Sutherland-Hodgman算法：
-
裁剪结果的顶点构成：裁剪边内侧的原顶点；多边形的边与裁剪边的交点；
顺序连接；
结论：
裁剪算法采用流水线方式，
适合硬件实现；
可推广到任意凸多边形裁剪
窗口；
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裁剪 －多边形裁剪
Weiler-Athenton算法（内裁剪方法）：
-
裁剪窗口为任意多边形（凸、凹、带内环）的情况：
主多边形：被裁剪多边形，记为A
- 裁剪多边形：裁剪窗口，记为B
-
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裁剪 －多边形裁剪
 Weiler-Athenton算法：
-
多边形顶点的排列顺序（使多边形区域位于有向边的左侧 ）
 外环：逆时针
 内环：顺时针
-
四个区域 ：
-
主多边形和裁剪多边形把二维平面分成两部分；
 内裁剪：A∩B；
 外裁剪：A-B；
A B A  B B  A A B
裁剪结果区域的边界由A的部分边
界和B的部分边界两部分构成，并
且在交点处边界发生交替：
即由A的边界转至B的边界，或由
B的边界转至A的边界；
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裁剪 －多边形裁剪
Weiler-Athenton算法：
-
如果主多边形与裁剪多边形有交
点，则交点成对出现，它们被分
为如下两类：
 进点：主多边形边界由此进
入裁剪多边形内（图中奇下
标I点）如，I1,I3, I5, I7,
I9, I11；
 出点：主多边形边界由此离
开裁剪多边形区域，如，
I0,I2, I4, I6, I8, I10 ；
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Weiler-Athenton算法：
-
算法（内裁剪）步骤：
 1、建立主多边形和裁剪多边的顶点表．
 2、求主多边形和裁剪多边形的交点，并将这些交点按顺序插入两多边形
的顶点表中。在两多边表形顶点表中的相同交点间建立双向指针 。
 3、裁剪：如果存在没有被跟踪过的交点，执行以下步骤：
- (1)建立裁剪结果多边形的顶点表．
- (2)选取任一没有被跟踪过的交点为始点，将其输出到结果多边形顶点
表中．
- (3)如果该交点为进点，跟踪主多边形边边界；否则跟踪裁剪多边形边
界．
- (4) 跟踪多边形边界，每遇到多边形顶点，将其输出到结果多边形顶点
表中，直至遇到新的交点．
- (5)将该交点输出到结果多边形顶点表中，并通过连接该交点的双向指
针改变跟踪方向（如果上一步跟踪的是主多边形边界，现在改为跟踪裁
剪多边形边界；如果上一步跟踪裁剪多边形边界，现在改为跟踪主多边
形边界）．
- (6)重复(4)、(5)直至回到起点
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裁剪 －多边形裁剪 － Weiler-Athenton算法：
-
交点的奇异情况处理
-
1、与裁剪多边形边重合的主多边形的边不参与求交点；
2、对于顶点落在裁剪多边形的边上的主多边的边，如果落在该裁剪边
的内侧，将该顶点算作交点；而如果这条边落在该裁剪边的外侧，将该
顶点不看作交点 ；
-
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裁剪 －字符裁剪
1)基于字符串
2)基于字符
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裁剪 －字符裁剪
 基于构成字符的最小元素：
- 点阵字符：点裁剪，字符掩膜写入象素前，判断是否在窗
口内；
- 矢量字符：线裁剪，对跨越窗口边界的笔划进行裁剪；
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主要内容：
 直线的扫描转换
 圆与椭圆的扫描算法
 区域填充
 线宽与线型的处理
 字符
 裁剪
 反走样
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反走样（混淆，aliasing）- 混淆现象
 像素的表示:
-
中心在(x,y)，边长为1的正方形
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反走样（混淆，aliasing）- 混淆现象
 混淆现象（1/3）
- 混淆:用离散量（象素）表示连续量（图形）引起的
失真;
- 不光滑(阶梯状）的图形边界;
（直线
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多边形）
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反走样（混淆，aliasing）- 混淆现象
-
图形细节失真（比象素更窄的细节丢失）
 静态：容易被丢弃或忽略；
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反走样（混淆，aliasing）- 混淆现象
-
狭小图形的遗失（引起动态图
形的闪烁）
狭小图形没覆盖任何象素，没被显示
（多边形尖角不连续）
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不
能
反
映
狭
小
图
形
的
运
动
过
程
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 什么是反混淆：
- 减少或消除混淆现象的方法；
 提高分辨率的反混淆方法：
缺陷：硬件代价太大，只能减轻，而不能消除走样问题；
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 非加权区域采样方法
- 数学上基于两点假设（直线扫描算法）
 1、象素是数学上抽象的点，它的面积为0，它的亮
度由覆盖该点的图形的亮度所决定；
 2、直线段是数学上抽象直线段，它的宽度为0；
- 现实
 像素的面积不为0；
 直线段的宽度至少为1个像素；
- 假设与现实的矛盾是导致混淆出现的原因之一；
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 解决方法：改变直线段模型；
 实现步骤：
- 1、将直线段看作具有一定宽度的狭长矩形；
- 2、当直线段与某象素有交时，求出两者相交区域的面积；
- 3、根据相交区域的面积，确定该象素的亮度（灰度）值；
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 计算相交区域的面积（上述算法的关键）
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 求相交区域的近似面积的离散计算方法
-
1、将屏幕象素分割成m个更小的子象素；
2、计算中心点落在直线段内的子象素的个数，记为k；
3、k/m为线段与象素相交区域面积的近似值；
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 加权区域采样方法－》盒式滤波器：进行前置滤波后再取样
- 非加权区域采样方法的性质
 1、直线段对一个象素亮度（灰度）的贡献与两者相交区域
的面积成正比；
 2、直线段和象素不相交时，它对该象素的亮度没有影响；
 3、相同面积的相交区域对象素的亮度贡献相同，而与这个
相交区域落在象素内什么位置无关；
 4、直线条上沿理想直线方向的相邻两个象素有时会有较大
的亮度（灰度）差；
- 改进第3、4条性质－》圆锥形滤波器
 相交区域对象素亮度的贡献依赖于该区域与象素中心的距离；
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 加权区域采样方法
- 权函数W(x,y)；
- 以象素A的中心为原点建立二维坐标系；
- w(x,y)反应了微面积元dA对整个象素亮度的贡献大小：
1
w( x, y ) 
d
-
权性（ w(x,y)在象素上具有权性）
 w( x, y)dA  1
A
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 加权区域采样方法
- 相交区域
A  对该象素的亮度贡献 A w( x, y)dA
- 特例：当
时， A w( x, y)dA  A的面积
 加权区域采样方法退化为非加权区域采样方法。
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 实现步骤
- 1．求直线段与象素的相交区域；
- 2．计算的值；
- 3．上面所得到的值介于0、1之间，用它乘象素的最大灰度值，
即设该象素的显示灰度。
 问题：计算量大
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反走样（混淆，aliasing）- 反混淆方法
 离散计算方法
m
A


 1．将屏幕象素均匀分割成m个子象素
，则每个子象素的面
i i 1
1
积为
，计算每个子象素对原象素亮度的贡献，记
 dA  m
为 w ,将 wi  im1
保存在一张加权表中;
i
 2．求出所有中心落于直线段内的子象素，记为  Ai : i 
，
 3．计算所有这些子象素对原象素亮度贡献之和  w
该值乘以象素
i
i
的最大灰度值即为象素的显示灰度值.
- 加权表的取法
Ai
 w1
w
 4
 w7
w2
w5
w8
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w3 
1 2 1
1 


w6  
2
4
2

16 
1 2 1
w9 
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加权区域取样方法：
-
程序源码：pp214
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谢谢!
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