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Sovrapposizione di onde
la somma di onde produce vari tipi di fenomeni
• Battimenti :
somma di onde progressive/regressive con pulsazione e lunghezza d’onda leggermente
diverse tra loro
• Interferenza :
somma di onde progressive/regressive con la stessa pulsazione, con la stessa
lunghezza d’onda, ma con una differenza di fase costante nel tempo
• Onde stazionarie :
somma di onde progressive e regressive che si propagano nello stesso mezzo
•Diffrazione:
comportamento delle onde in presenza di fenditure o di ostacoli
•Onde evanescenti:
comportamento delle onde in presenza di riflessione totale su di una discontinuita’ nella
propagazione dell’onda dovuta alla interfaccia di separazione tra due mezzi diversi
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A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
battimenti, onde stazionarie, interferenza e diffrazione sono tutte caratteristiche dei fenomeni ondulatori
e anche la presenza di onde evanescenti e’ una manifestazione caratteristica dei fenomeni ondulatori
e puo’ manifestarsi in qualunque contesto sia possibile descrivere il fenomeno come ondulatorio
quindi non solo in ottica , in elettromagnetismo, ma anche in acustica, nel caso di onde su di una corda tesa
e in particolare anche in meccanica quantistica (effetto tunnel)
un onda evanescente e’ un’onda stazionaria di “campo vicino” caratterizzata dal fatto che presenta una
ampiezza decrescente esponenzialmente con la distanza dalla sorgente, antenna e/o
interfaccia di separazione tra i due mezzi, dove l’onda e’ generata
queste onde si manifestano alla superficie di interfaccia tra due mezzi diversi e sono presenti per lo piu’
ad una distanza dall’interfaccia che non supera un terzo della lunghezza d’onda della radiazione incidente
in ottica ed in acustica le onde evanescenti si formano quando un’onda che viaggia in un determinato mezzo
subisce riflessione totale nel passaggio dal primo mezzo ad un secondo mezzo con indice di rifrazione
diverso e questo avviene quando l’onda incide sulla superficie di separazione tra i due mezzi con un angolo
superiore all’angolo critico
se si passa da un mezzo
meno denso ad un mezzo
piu’ denso
sen
i
i r
sent

se si passa da un mezzo
piu’ denso ad un mezzo
meno denso
vi
n
 t
vt
ni
ni  nt
i r
nt  ni
t  i
n
sen i  t sent
ni
 seni  sent
t
i  t
t
Riflessione totale
i r
angolo limite
c  arcsen
nt
ni
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la motivazione fisica della presenza delle onde evanescenti e’ che l’ ampiezza dei campi elettromagnetici,
o delle onde di pressione nel caso di onde acustiche, devono essere continue
all’ interfaccia di separazione tra due mezzi e se non fossero presenti onde evanescenti
non sarebbe rispettata la condizione di continuita’ della perturbazione nell’interfaccia di separazione
nel caso di riflessione totale
l’equazione di Shroedinger rappresentante il moto nella direzione perpendicolare alla interfaccia di
separazione non puo’ essere discontinua nell’interfaccia stessa
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interfaccia
onda rifratta
onda evanescente
la porzione di onda riflessa
totalmente non e’ stata qui
raffigurata
Battimenti
esempio: somma di due onde armoniche piane progressive con la stessa ampiezza e con fase iniziale
nulla
 1 ( x, t )  Asen(k1 x  1t )
si ha
e
 2 ( x, t )  Asen(k2 x  2t )
 T ( x, t )   1 ( x, t )  2 ( x, t )
 T ( x, t )  A  sen(k1 x  1t )  sen(k2 x  2t ) 
1
2
1
2
dalla identita’ trigonometrica: sen  sen  2sen (   )  cos ( -  )
ponendo:
riesce
k  k1  k2
  1  2
k1  k2
km 
2
e
m 
1  2
2
k

 T ( x, t )  2 A cos( x 
t )  sen(km x  mt )
2
2
si e’ ottenuta un’onda la cui ampiezza non e’ piu’ costante ma “modulata”
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vai al Physlet Battimenti 
Vai al Physlet Battimenti 2 
la modulazione dell’ampiezza
si propaga con la velocita’
f(x,t) = 2cos(px  pt)
k
 

A  2 cos(
x
t) 
2
2



vg 
k
o, passando agli infinitesimi, v g 
d
dk
contemporaneamente, si ha la propagazione di un’onda armonica, detta “portante” che si
propaga con velocita’ di fase
vf 
m
km
Vai al Physlet “ Suono Battimenti” 
http://surendranath.tripod.com/Applets.html
http://www.falstad.com/mathphysics.html
http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/JavaSounddemos/beats.htm
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alla somma di un gran numero di onde si da’ il nome di “ pacchetto d’onda”
Vg e’ detta velocita’ di gruppo ed e’ la velocita’ con cui si propaga l’ inviluppo
delle onde o “pacchetto d’onda”
vale la relazione
vg  v f  k
dv f
dk
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Onde armoniche stazionarie
in generale le onde stazionarie nascono dalla sovrapposizione di onde
progressive e regressive aventi uguali pulsazione e lunghezza d’onda
esempio : onda stazionaria su di una corda tesa
supponendo che :
• la corda sia fissata a due estremi, ad x = 0 e x = L
• l ’onda che si propaga lungo la corda una volta arrivata all’ estremo x = L si
rifletta invertita rispetto all’onda incidente, ma con la stessa ampiezza
• l’onda incidente e quella riflessa siano onde piane armoniche , dunque che
l’onda incidente che giunge in x=0 sia del tipo Asin(t+kx) e l’onda riflessa in
x = 0 sia del tipo -Asin(t-kx)
la perturbazione totale in un punto generico della corda sara’
 T   I  R  Asen(t  kx)  Asen(t  kx)
 A  sen(t  kx)  sen(t  kx) 
1
2
1
2
sfruttando l’identita’ trigonometrica sen  sen   2 sen( (   )) cos( (   ))
1
2
1
2
 T  2 A( sen (t  kx  t  kx) cos (t  kx  t  kx))
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in conclusione:
 T  2 Asenkx  cos t
attenzione :
non si tratta piu’ di un’ onda progressiva ma di un moto armonico semplice
modulato in ampiezza dove l’ampiezza del moto e’
pari a
2Asenkx
l’ampiezza e’ nulla nei punti detti nodi, e’ massima nei punti detti ventri
kx  np con n  0,1, 2, 3....
2p
x  np con n  0,1, 2, 3...
in termini di lunghezza d’onda si avra’ un nodo se

si avra’ un nodo quando
n
con n  0,1, 2,3.... si ha ampiezza nulla
2
se si impone l’ ulteriore limitazione che oltre all’origine anche il punto x = L
debba essere un nodo
quindi nei punti
x
2p
2L
si ha che kL  np da cui
L  np ossia  
con n  0,1, 2, 3....

n
 sono possibili solo alcune lunghezze d’onda multiple intere di
una singola lunghezza d’onda ( condizione di quantizzazione )
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in dettaglio :
per n = 0 si ha

corrispondente alla situazione della corda tesa e ferma
  2 L per n  1
da
  L per n  2
  v

v
2
  L per n  3
etc.
3

e si ha una analoga relazione di quantizzazione per le frequenze

nv
con n  1, 2,3....
2L
1 
v
2L
dove si e’ scartata la soluzione banale n = 0
e’ detta “ frequenza fondamentale
le frequenze, multiple intere della frequenza fondamentale, sono dette
“ armoniche ”
su di una corda tesa la velocita’ di propagazione delle onde e’ :
quindi :  
v
T

n T
con n  1, 2,3....
2L 
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Onde piane armoniche in piu’ dimensioni
se un’onda piana viaggia in una direzione qualsiasi dello spazio la si caratterizza
con il vettore di propagazione k un vettore che ha modulo pari a 2p/
e direzione e verso coincidenti con quelli in cui si propaga la perturbazione
dunque una qualunque onda piana armonica progressiva avra espressione
   0 sen(k  r  t )
in un generico sistema di coordinate cartesiane si avra’
k  k xiˆ  k y ˆj  k z kˆ
quindi
e
r  xiˆ  yjˆ  zkˆ
k  r  kx x  k y y  kz z
   0 sen(k  r  t )   0 sen(k x x  k y y  k z z  t )
valgono le relazioni :
k k  k k k
2
x
2
y
2
z
k 
2
2
V
2
e
2p

k
un onda piana che si propaga in una direzione qualunque nello spazio soddisfa
alla equazione
 2  2  2
1  2
 2  2  2
2
x
y
z
v t 2
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nota 1: non solo le onde piane sono soluzioni di questa equazione, ma anche
le onde sferiche e cilindriche
nota 2: il fronte d’onda puo’ essere sferico solo se il mezzo in cui si propagano
le onde e’ omogeneo ed isotropo , ossia se la velocita’ di propagazione e’ la
stessa in tutte le direzioni
nota 3 : un fronte d’onda sferico non implica che anche l’intensita’ debba avere
simmetria sferica l’intensita’ dipende dalla sorgente dell’onda piu’ che dal
mezzo in cui l’onda si propaga e’ quindi possibile avere onde sferiche la cui
intensita’ sia massima in certe direzioni delle spazio e minima altrove, pur
essendo il fronte d’onda una sfera
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Onde elastiche in una membrana tesa
la tensione elastica su di una membrana tesa e’ la forza per unita’ di lunghezza
equivalente alla tensione superficiale in un liquido
z
la perturbazione consiste in un sollevamento
rispetto al piano in cui giace la membrana
all’equilibrio, di una area dS , ossia di una massa
pari a sdS, dove s e’ la densita’ superficiale di
massa
la situazione e’ analoga a quella della corda tesa
e si puo’ dimostrare che la perturbazione
 ( x, y , t )
T
T
T
T
y
x
sara’ soluzione dell’equazione
 2  2 s  2
 2 
2
x
y
T t 2
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Onde stazionarie su membrana
se si tende la membrana su di un telaio rigido di lati L1 ed L2 e si genera
una perturbazione progressiva sulla membrana partendo dall’origine .
y
la cui forma d’onda sara’    sen(k x  k y  t )
0
x
y
l’onda si riflettera’ varie volte e in generale si avranno
quattro onde possibili
 1   01sen(k x x  k y y  t )
 2   02 sen(k x x  k y y  t )
 3   03 sen(k x x  k y y  t )
 4   04 sen(k x x  k y y  t )
L2
O
L1
x
successivamente le riflessioni continueranno a ripetersi ma sempre con le
stesse combinazioni di Kx e Ky quindi si ha che sulla membrana viaggeranno
contemporanemente quattro perturbazioni e l’onda risultante sara’ la somma
di queste quattro onde
   1  2  3  4
imponiamo ora che gli assi siano punti nodali, ossia che la perturbazione sia
nulla ad ogni istante di tempo t sugli assi
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• se si impone che l’onda sia nulla ad ogni istante di tempo t sull’asse delle ordinate
( i cui punti sono definiti dalla x = 0 per ogni y )
 ( x  0)   01sen(k y y  t )  02 sen(k y y  t )  03 sen(k y y  t ) 
+  04 sen(k y y  t )  0
raggruppando i termini simili
 ( 01  04 ) sen(k y y  t )  ( 02  03 ) sen(k y y  t )  0
affinche’ cio’ sia vero ad ogni istante di tempo dovra’ essere
 01  04  0 e  02  03  0
• se si impone che l’onda sia nulla ad ogni istante di tempo t sull’asse delle ascisse
( dove i punti sono caratterizzati dalla y = 0 per ogni x)
si ha che dovra’ essere
 01  02  0
combinando queste quattro relazioni
la
e
e si procede in modo analogo a prima
 03  04  0
 01   02   03   04
   1  2  3  4 diviene
   01sen(k x x  k y y  t )   01sen(k x x  k y y  t ) 
 01sen(k x x  k y y  t )   01sen(k x x  k y y  t )
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raccogliendo
 01
e riarrangiando i termini
   01  sen(k x x  k y y  t )  sen(k x x  k y y  t )  
+ 01  sen(k x x  k y y  t )  sen(k x x  k y y  t )  
applicando in ciascuna riga separatamente la formula di addizione
sen(   )  sen(   )  2sen cos 
e successivamente trasformando la differenza dei coseni in prodotto si perviene alla
  401sen(k x x)  sen(k y y )  sen(t )
dove il segno negativo e’ irrilevante trattandosi di ampiezze
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imponendo l’ulteriore condizione che in x = L1 e che in y = L2 la perturbazione si annulli si
hanno le condizioni:
k x L1  n1p
n1  1, 2, 3....
k y L2  n2p
n2  1, 2, 3....
k  k k
2
x
da
2
y
2p

k
e dalla
  v
in conclusione :
da cui
k x  n1
k y  n2
2
1
2
1
p
L1
p
L2
2
2
2
2
n
n
k p

L L
si ricava la condizione di quantizzazione delle 
la condizione di quantizzazione della frequenza
ogni vibrazione stazionaria della membrana e’
caratterizzata da due numeri interi n1 ed n2
 vai al Physlet (2007)  http://www.falstad.com/membrane/j2/index.html
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Estensione a tre dimensioni
se un onda piana si propaga all’interno di una cavita’ a forma di parallelepipedo di lati
L1, L2 ed L3 rilettendosi perfettamente sulla sua superficie, le onde stazionarie che si
potranno generare all’interno della cavita’ saranno caratterizzate da tre numeri interi
n1, n2 ed n3
n12 n22 n32
k  k p 2  2  2
L1 L2 L3
le condizioni di quantizzazione delle lunghezze d’onda divengono
k
1 n12 n22 n32


 2 2
2
 2p 2 L1 L2 L3
1
n1 , n2 , n3  1, 2, 3....
ovvero, prendendo in considerazione le frequenze
v n12 n22 n32
 
 2 2
2
 2 L1 L2 L3
v
n1 , n2 , n3  1, 2, 3....
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Backup Slides
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