Transcript Приложение 1

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №42
с углубленным изучением английского языка и математики»
г.Петрозаводск
Системы уравнений
как математические модели
реальных ситуаций
Рулева Т.Г.
«Все науки настолько связаны
между собою, что легче изучать
их все сразу, нежели какую-либо
одну из них в отдельности от
всех прочих».
Рене Декарт
Рулева Т.Г.
Методы решения систем
уравнений:
- подстановки;
- алгебраического сложения;
- введения новых переменных;
- графический.
Рулева Т.Г.
Алгоритм решения задачи с
помощью системы уравнений:
1.Обозначить неизвестные элементы
переменными;
2.Составить по условию задачи систему
уравнений;
3.Определить метод решения системы
уравнений;
4.Выбрать ответ, удовлетворяющий
условию задачи.
Рулева Т.Г.
Этапы решения задачи:
• Первый этап.
Составление математической модели.
• Второй этап.
Работа с составленной моделью.
• Третий этап.
Ответ на вопрос задачи.
Рулева Т.Г.
Л. Н. Толстой «Арифметика»
У двух мужиков 35 овец.
У одного на 9 овец больше, чем у другого.
Сколько у каждого овец?
Iэтап. Обозначим х - число овец у
первого мужика, у – у второго.
х + у = 35
х–у=9
IIэтап.(решаем методом алгебраического
сложения).
IIIэтап. Ответ: 13 и 22.
Рулева Т.Г.
Илья Ильф и
Евгений Петров
«Двенадцать стульев»
Рулева Т.Г.
Задача.
«Потом отец Федор подошел к
комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей
трехрублевками и пятирублевками. В коробке
оставалось еще 20 рублей».
Сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и
сколько оставил? Ну, а чтобы обеспечить
единственность решения, добавим условие: отец
Федор взял с собой большую часть трехрублевок
и большую часть пятирублевок.
Теперь найдите решение.
Рулева Т.Г.
Решение:
а) Пусть взято x трехрублевок и y пятирублевок
3x+5y=50
5и7
10 и 4
15 и 1
б) а – осталось трехрублевок
b – осталось пятирублевок
3а+5b=20
5и1
0и4
Получим: 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или
10 трехрублевок и 4 пятирублевок взял отец
Федор.
Рулева Т.Г.
Задачи от Н.Носова
Рулева Т.Г.
Задача № 1.
«Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они
сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два
раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал
каждый из них?»
Решение:
Iэтап. Пусть мальчик сорвал х ор., а девочка у ор.
х =2у
х + у=120
IIэтап. (решаем методом подстановки).
IIIэтап.
Ответ: мальчик сорвал 80 ор., а девочка сорвала 40 ор.
Рулева Т.Г.
Задача № 2.
«В магазине было 8 пил, а
топоров в три раза больше.
Одной бригаде плотников продали половину топоров и три
пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали
другой бригаде плотников за 100 рублей.
Сколько стоит один топор и одна пила?»
Решение:
Iэтап. Пусть топор стоит х руб., а пила стоит у руб.
12х +3у=84
12х +5у=100
IIэтап. (решаем методом алгебраического
сложения).
IIIэтап. Ответ: топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб.
Рулева Т.Г.
А.П.Чехов «Репетитор»
«Купец купил 138 аршин
черного и синего сукна за 540
руб. Спрашивается, сколько
аршин купил он того и другого
сукна, если синее стоило 5 руб.
за аршин, а черное 3 руб.?»
1 аршин ≈ 71 см
Рулева Т.Г.
Решение:
Iэтап. Пусть черного сукна приобрел купец – х м и синего
сукна – у м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1м, а
черное – 3 руб. за 1м, то составим и решим систему
уравнений:
x + y = 138
5x + 3y = 540
IIэтап.
x = 138 – y
5(138 – y) + 3y = 540
5(138 – y) + 3y = 540
690 – 5y +3y = 540
-2y = -150
y = 75
x = 138 – 75 = 63.
IIIэтап. Ответ: 63 (аршина) – синего и 75 (аршин) –
черного сукна приобрел купец.
Рулева Т.Г.
Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав
содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять
каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава,
содержащего 30% меди?
Iэтап. Пусть первого сплава взяли х г и второго – у г.
М
С
М С
15%
65%
30%
+
=
х(г)
у(г)
200(г)
IIэтап. (метод подстановки)
х + у = 200
0,15х + 0,65у =0,3*200
х = 140 и у = 60
IIIэтап. Ответ: 140г меди и 60г свинца.
Рулева Т.Г.
Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6%
и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы
получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с
содержанием меди 8%?
Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08
Iэтап. Пусть надо взять х т «бедной» руды и у т «богатой» руды. Первое
уравнение: х + у = 20.
«Бедная» руда будет содержать 0,06х т меди, «богатая» руда будет
содержать 0,11у т меди. Получившиеся 20 т руды будут содержать
20*0,08 = 1,6 т меди.
Получим второе уравнение: 0,06х + 0,11у = 1,6.
IIэтап. (метод подстановки)
х + у = 20
0,06х + 0,11у = 1,6
Решим систему уравнений, получим х = 12 и у = 8.
IIIэтап. Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди.
Рулева Т.Г.
Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти
металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в
отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого
сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и
серебро находились бы в отношении 5: 11?
Золото: Серебро = 2: 3
Золото: Серебро = 3: 7
Х кг
У кг
Золото: Серебро = 5: 11
Iэтап. По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.
Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение
2
3
5
*х
+
5
10 *у =16 *1
Аналогично массу серебра и получаем уравнение
3
7
11
*
х
+
*
у
=
*1
5
10
16
IIэтап. Записываем одну из систем:
2 *х + 3 *у = 5
5
10
16
х+у=1
х+у=1
3 х + 7 у = 11
16
5
10
IIIэтап. Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875. Ответ: 125 г и 875 г.
Рулева Т.Г.
Задания из тестов ГИА:
1.Найти пары чисел, являющиеся
решением системы уравнений
xy = 6,
2x − y = 11.
1) (1; 6); (6; 1)
2) (6; 1); (−0, 5; −12)
3) (1; 6); (−12;−0, 5) 4) (6; 1); (−1; −6)
Ответ: 2)
Рулева Т.Г.
2. Прямая y=2x-3 пересекает параболу
y=x2-x-7 в двух точках.
Вычислите координаты точки B.
у
y=2x-3
y=x2-x-7
x1=-1
x2=4
А
0
х
x=-1
y=2•(-1)-3=-5
В
(-1;-5)
Рулева Т.Г.
3.Вычислите координаты точки B.
2x-3y=-9
x-4y=-8 *(-2)
у
x+y=5
2x-3y=-9
А
x-4y=-8
В
2x-3y=-9
-2x+8y=16
5y=7
y=1,4
С
х
0
x-4•1,4=-8
x=-8+5,6=-2,4
(-2,4;1,4)
Рулева Т.Г.
Домашнее задание: задачник под ред.
Мордковича А.Г.№7.37, 7.40 и 7.53).
Спасибо всем за урок!
Удачи!
И помните!
Учение без размышления бесполезно,
но и размышление без учения опасно.
Конфуций.
Рулева Т.Г.