Transcript 作者：許秉文課程名稱：HCI 授課教授：連震杰撰寫日期：2011/1/8

Camera calibration with moving one-dimensional objects
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作者：許秉文
課程名稱：HCI
授課教授：連震杰
撰寫日期：2011/1/8
大綱
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1. 文獻介紹
2. 校正物體與攝影機模型
3. 攝影機參數推導
4. 參數最佳化
5. 實驗與結果
6. 結論
7. 參考文獻
文獻介紹
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 攝影機校正為機器視覺中重要的一環，尤其對於需要高精度的工作會有直接影響。
 現有的校正技術共分為四大項
1.
使用三維校正物體 (EX. Tsai[5])
2.
使用二維校正物體 (EX. Z. Zhang[2])
3.
使用一維校正物體 (EX. Z. Zhang[3], F. C. Wu[4], Isao M. [1])
4.
自行校正
 使用三維校正物體的技術對於需要寬廣取像空間的系統既費工又耗時，因此近年
來的校正技術逐漸往低維次發展，但大多數的低維次校正技術需要滿足某些假設
條件或擺設方位上的限制。
 此篇論文提供利用兩直交一維物體、並僅需單張影像的校正技術。
校正物體與攝影機模型(1/2)
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 校正物體

為兩個直交的一維物體組成，每個一維物體各
包含三個共線的特徵點如圖1所示。
圖1 四種可能的直交組合方式 (a)L型 (b)Γ型 (c)十型 (d)T型
 攝影機空間模型

圖2為攝影機與校正物體的配置方式，需注意
攝影機與世界座標系的YZ平面為平行。
圖2 攝影機與校正物體之相對關係
校正物體與攝影機模型(2/2)
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 數學模型

從圖2中世界座標系旋轉及平移至攝影機座標系的步驟可使用尤拉角及一平移完成，轉換矩陣如下：
R11
R = R 21
R 31

R12
R 22
R 32
cos 𝜃
R13
R 23 = − sin 𝜃
R 33
0
根據立體視覺的深度公式可得(以特徵點D為例)：
sin 𝜃 cos 𝜙
cos 𝜃 cos 𝜙
− sin 𝜙
sin 𝜃 sin 𝜙
cos 𝜃 sin 𝜙
cos 𝜙
Z
B
A
O
T`z
C
D (X`d,Y`d,Z`d)
f
T`x
o
(xd,yd)
圖3 深度公式幾何示意圖(XZ平面)
X
攝影機參數推導(1/5)
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 校正流程
1.
2.
3.
求解參數θ
求解參數Φ、ω、f
求解參數Tx、Ty、Tz
 求解參數θ

首先將特徵點O、A、B的影像及空間座標代入
深度公式：
圖4 參數推導流程
攝影機參數推導(2/5)
7
 求解參數Φ、ω、f

將特徵點C、D的影像及空間座標代入空間深度公式：
攝影機參數推導(3/5)
8
攝影機參數推導(4/5)
9
 求解參數Tx、Ty、Tz

將五個特徵點共十條深度方程式分成𝑇𝑥 、𝑇𝑦 、𝑇𝑧 項並以矩陣表示其線性方程組為：

求解後即可得到攝影機於世界座標系的空間位置 𝑇𝑥 , 𝑇𝑦 , 𝑇𝑧 。
攝影機參數推導(5/5)
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 特徵點於影像上之特殊排列


求解過程中所得到的𝛼、𝛽、𝛾、𝜖數值可
能因校正物體上的特徵點在影像上的特
殊排列而為0，若代入方程式中則會出
現分母為零的錯誤。這些情況會發生在
如圖5所示的排列上。
因此在計算攝影機參數前需先檢查是否
出現這類的情況，再根據表1修改𝛼、𝛽
的數值。
圖5 四種特徵點於影像上之特殊排列
表1 參數修改對照表
特殊排列
𝑥0 = 𝑥1 = 𝑥2
𝑥0 = 𝑥3 = 𝑥4
𝑥0 = 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 𝑥4
參數修改
𝛼 = 𝑥0
𝛾 = 𝑥0
𝛼 = 𝛾 = 𝑥0
參數最佳化
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 利用求出的參數重解θ

避免解出之參數誤差過大，將解出之參數代入新的方程式重解θ再根據新的θ重解其餘參數；反覆迭
代後可使誤差小於一預設門檻值。流程如下圖所示。
圖6 參數最佳化流程
實驗與結果(1/2)
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 電腦模擬測試


測試目的為比較各個校正技術之抗雜訊功能。使用預設的攝影機內部參數及已知位置的校正特徵點
來摸擬攝影機取像的過程，並給予影像不同程度的雜訊來進行實驗。結果顯示在圖7及表2。
參予測試的校正方法包含一個固定點的一維校正(1D-calib、1D+BA)、棋盤格的二維校正(2D-calib、
2D+BA)、使用單迴圈(SC)及最佳化演算法(RC)的二直交一維物體校正。
表2 各種校正方式之誤差比較
圖7 雜訊強度與誤差比較結果
實驗與結果(2/2)
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 實際取像測試

使用具有固定端的一維校正物體、二維棋盤格及L型的二直交一維校正物體(圖8)來進行實驗。
圖8 (a)具固定端之一維校正 (b)棋盤格二維校正 (c)L型一維校正

一維校正的數學模型並不包含世界座標Y軸的旋轉角度，因此所有的一維校正參數皆會乘上由二維棋
盤格校正所得到對Y軸的旋轉矩陣。同時各校正方法所得到的空間座標原點也平移至二維棋盤格校正
所得到的原點位置。藉此用來比較結果是否相似。
表3 實際取像之校正結果
結論
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 電腦模擬測試

由表1可看出未經過最佳化處理的得到的𝜃參數受到雜訊的影響是最嚴重的，而表現最佳的是二維的
棋盤格校正，其原因為誤差得以被大量的特徵點給平均掉。
 實際取像測試

根據實驗結果(表3)所得到的數據，可看出相較於1D-calib與1D+BA，RC明顯的縮小了與二維棋盤
格校正的誤差；表示RC校正是有效率且可信賴的。
 總結



此篇論文提出了一個簡單的校正方法使用二直交的一維校正物體，並且根據新的數學模型推導出各
個參數的固定解(close-form solution)。基於對精確度的需求同時介紹了將參數解進行最佳化的步
驟。
此方法相當程度的簡化了以往瑣碎的校正步驟。僅需要一張影像即可做校正的優點使得攝影機校正
可以更快速的進行。
然而此校正方法在攝影機及校正物之間必需要遵守特定的擺放條件，且數學模型是建立在沒有任何
鏡頭扭曲及成像中心偏移的假設上，因此在使用上需要特別注意，並事前將攝影機內部參數校正完
全，以免產生無法預期的嚴重誤差。
參考文獻
15

[1] Isao, M., Hiroyuki, A., Hideki, K., “Simple Camera Calibration From a Single Image Using Five Points on Two
Orthogonal 1-D Objects”, IEEE Transactions On Image Processing, Vol. 19, No. 6, June 2010.

[2] Z. Zhang., “A Flexible New Technique for Camera Calibration”, Microsoft Research, Technical Report MSR-TR98-71, December 2, 1998.

[3] Z. Zhang., “Camera Calibration with One-Dimensional Objects”, IEEE Transactions On Patten Analysis And
Machine Intelligence, Vol. 26, No. 7, July 2004.

[4] F.C. Wu, Z.Y. Hu, H.J. Zhu, “Camera calibration with moving one-dimensional objects”, Pattern Recognition,
Vol. 38, P. 755~765, 2005.

[5] R. Y. Tsai. “A versatile camera calibration technique for high-accuracy 3D machine vision metrology using offthe-shelf tv cameras and lenses.” IEEE Journal of Robotics and Automation, 3(4):323–344, Aug. 1987.