Transcript 선형대수 (Linear Algebra) ch 1

Chapter 1. Vector Space

Set
◦ 집합
◦ “A set is a collection into a whole of definite, distict
objects of our intuition or of our thought, which are
called the elements of the set” – by Georg Cantor

Mapping
◦ Let S and S’ be two sets. A mapping from S to S’ is an
association which to every element of S associates an
element of S’.
◦ When F is a mapping from S to S’, we write

Magma (G0)
◦ 가장 기본적인 형태의 대수 구조
◦ 집합과 이항연산
이 닫혀 있을 때 마그마라 한다.
◦ 마그마를 Groupoid 라고도 한다.
◦ 우리말로는 “준군” 이다.

Semigroup (G1)
◦ For a given mapping and
association is satisfied :
, the following
◦ Associative Law (결합법칙)
◦ 결합법칙이 만족되는 Mapping을 “반군” Semigroup 이
라 한다.
◦ Semigroup의 예
 슈레딩거 방정식 (양자역학)
Normalized Plank
Constant : h/2pi
Laplacian Operator
Hamiltonian
Operator
Wave Function
Potential Energy
 Fokker-Plank Operator (Forward Operator)
◦ Forward Operator의 특성
 기본 특성
 결합법칙
 교환법칙 성립 (Commutative Semigroup)
 교환법칙이 성립되는 이항연산은 매우 특수하므로 다음에 다
룬다.
◦ Semigroup 은 대체로 확률밀도 함수의 형태로 나타나거
나 (실함수의 경우) Wave 함수의 형태로 나타난다.
(Wavelet)
 Wave 함수의 경우 Orthogonal 특성이 있다면 좌표계를 줄
수 있다.

Monoid (G2)
◦ (G0) 이항연산에 대하여 닫혀 있으며
◦ (G1) 결합법칙이 성립하며
◦ 항등원(Identity)이 존재하면 Monoid 라고 한다.
◦

Group (G3)
◦
◦
◦
◦
(G0) Closure
(G1) Associative
(G2) Identity
Inverse element
 Every element is a unit i.e.
◦ “Group” 혹은 군 이라고 하며 일반적인 형태의 “연산”을 정의
할 수 있는 구조
◦ 연산 표 등을 통해 Group의 특성을 알 수 있으며 이를 통해 유
사한 군의 특성을 대역적으로 알 수 있다. (Galois Theory)
◦ 대표적인 Group
 Linear Algebraic group
 Lie Group
◦ General Linear Group GL(n, F)
 nxn Matrix 로 Inverse Matrix 가 정의 되는 행렬
 Identity Matrix(G2), Inverse Matrix (G3) 존재
◦ Special Linear Group SL(n, F)
 GL(n, F)의 Subgroup
 GL(n, F) 중 Determinant가 1, -1인 행렬
 주로 Permutation, 변환, Eigen Vector로 이루어진 행렬
◦ Orthogonal Group O(n,F)
 SL(n,F)의 Subgroup
 Eigen Vector로 이루어진 행렬, 회전 변환
◦ Special Orthogonal Group SO(n, F)
 회전 변환, SO(1) = 1, SO(2) = S, SO(3)=S2

Abellian Group or Commutative Group
◦ 교환법칙이 성립되는 군
◦ (Z, +) 혹은 (Z, x)
◦ Example
 Cyclic Group
 Graph Theory
 Fast Algorithm
 Ring (under addition)
 (R,+)
 (R-{0}, X)

지금 까지는 하나의 이항 연산에 대한 Algebra, 서
로 다른 두 개의 이항연산에 대하여는?

Ring
◦ A ring is a system consisting of a set S and two
binary compositions (X) and (+), such that
 S together with (+) is an Abelian Group
 S together with (X) is a semigroup
 The Distribution Laws
(b,c는 Abelian Group Component, no a)
(a는 Abelian Group Component, no b,c)
 (+) : G0, G1, G2, G3, G4 (*) : G0, G1 & Distribution
◦ Commutative Ring
 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 Ring (Ring + *:G4)
◦ Ring with Identity
 Ring whose multiplicative semigroup has an identity
 Ring + * : G2

Integer Domain (or Integral Domain)
◦ A ring is an integral domain if and only if it
possesses no zero divisors
◦ 여기에서 부터 나누기를 정의할 수 있다.
◦ 0 을 포함한다.
◦ 간단히 Domain 이라고도 한다.
◦ If a is an element of a ring S for which
Then a is called a left (right) zero-divisor in S

Field
◦ A ring S containing an identity
if
, then
and
◦ 곱셈에 대한 항등원 (G2)과 역원 (G3) 을 가진 Ring을
Field라고 한다.
◦ (Additive)
G0,G1,G2,G3,G4
◦ (Multiplication)
G0,G1,G2,G3
◦ G4까지 만족하면 Commutative Field
◦ Example




is
is
is
is
Field ?
Field ?
Field ?
Field?
Yes
Yes
Yes
No

*Vector Field
◦ For a vector valued function
in
standard Euclidean coordinates
,
◦ There are
-vector valued functions V, W on a ring
S, and a
- real valued function f on S which are
closure to scalar multiplicand and vector addition
such that
◦ The
vector field over the ring of
functions.
◦ 미분기하학, 미분다양체론, 비선형 제어, 비선형 확률 프
로세스론 등에서 사용

Module
◦ Let S be a commutative ring with identity 1.
◦ A module over the ring S is an Abelian group M
together with a map (s,m) -> sm from SxM to M
satisfying following conditions
◦ 가장 강력한 형태의 연산구조
◦ Vector Field에 Ring과 Abelian group 모두에
Distribution 성립
◦ Abelian Group에 곱셈에 대한 항등원

Ideal
◦ A subset of a ring S is called ideal
◦ If ( , +) is a semigroup of the additive group of S
and
has the following closure properties.

Principal Ideal Domain (PID)
◦ An integer domain such that every ideal is
generated by one element

Euclidean Domain
◦ 0이 없는 Integral Domain 으로 Integral Domain S와
map
에 대하여 다음을 만족한다.

Definition of the vector space
◦ A vector space V (over the field K)
 Closure under multiplicand and Additive operation
such that
 (Additive)
G0
 (Multiplicand) G0
 And satisfying the following 8 conditions

Abelina Group Axiom Under Additive
◦
◦
◦
◦

G1
G2
G3
G4
Semigroup
Identity
Inverse Element
Commutative
Field Axiom under Multiplication
◦
◦
◦
◦
Distribution for Vector
Distribution for number
G1 Semigroup
G2 Identity
특히 Field K에 대하여 정의된 Vector Space를 Vector Space
over field K 라고 한다. (그렇지 않으면 Ring with Identity)

Inner Product Axiom
◦ Inner Product Axiom을 만족하는 Vector Space를 Inner
Product Space 라고 한다.
◦ Inner Product Axiom의 두번째 항목을 통해 Norm (or Metric)
을 정의할 수 있다.
◦ Norm을 정의하면 거리(Metric)를 정의할 수 있으므로 거리공간
(Metric Space) 를 정의할 수 있다.

Induced Norm
◦ Inner Product를 통해 다음과 같이 Norm이 정의 되면
Induced Norm이라고 한다.
◦ 이 경우, Inner Product Space의 Metric은 다음과 같다.
◦ Norm이 정의되는 Vector Space는 Normed Space
◦ Lemma of Norm Properties
HW. Lemma of Norm
Property를 증명하라.

Space? Set?
◦ Topological Space
 A Toplogical Space is a pair
consisting of a set
X and a set O of subset of X (called open sets), such
that the following axioms hold
 일반적으로 공학에서는 Topological Space 중에서
“Hausdorff” 공간 부터 정의 된다.

Metric Space (거리공간)
◦ Metric 공리를 만족하는 거리(Metric)을 줄 수 있는
Topological Space
 M1 :
 M2 :
 M3 :

(Triangluar Inequality : 삼각부등식)

Hausdorff Space
◦ A topological space is called “Hausdorff” If for any
two different points, there exist disjoint
neighborhoods.

Example of Hausdorff Space
◦ Every metric space is Hausdorff space
 If d is metric and
, then the sets
 are disjoint neighborhoods.
서로 다른 두개의
Open Set이 동등하게
정의될 수 있으면
Hausdorff 공간t

Limit Point
◦ 다른 표현으로 아래와 같이 쓴다.

폐집합(Closed Set)
◦ 집합 A의 모든 Sequence
의 Limit Point가 집합 A에
있을 때 집합 A를 Closed Set 이라고 한다.

Cauchy Sequence

Complete (Metric) Space (완비거리공간)
◦ 모든 Cauchy Sequence가 해당 공간내에 수렴하는 공간

Definition of Hilbert Space
◦ An inner product Space로서 주어진 Metric d 에 대하
여 완비 거리 공간이면 (즉, 모든 Cauchy Sequence가 수
렴하면) 이를 Hilbert Space 라고 한다.
◦ (Topological) Vector Space 이므로 Basis를 줄 수 있다.
◦ Basis에 대하여 Vector를 이루므로 기하학(Geometry)과
위상공간(Toplogical Space), 집합론(Set Theory), 대수
(Algebra)가 통일적으로 다루어진다.
◦ 모든 Cauchy Sequence가 수렴하므로 해석적(Analytic)
공간이 될 수 있다.
 해석적 -> Taylor 급수가 수렴하는 경우
 미분을 줄 수 있다. -> 공학적으로 매우 유의미한 공간

Banach Space
◦ Normed Space
 다음의 세가지 Norm 공리를 만족하는 Vector Space E over
field K 를 Normed Space라고 한다.
◦ Definition of Banach Space
 A normed vector space is called a Banach space if it is
complete, i.e. if every Cauchy sequence converge.

Banach Space와 공학적 응용
◦ Banach Space는 좌표계를 주기 어렵거나 좌표계를 통한
해석보다 거리, 혹은 목적함수를 통한 공학적 해석이 유
용한 곳에 사용된다.
◦ Discrete한 문제 보다 Continuous 문제에 사용된다.
◦ Norm의 경우 무한차원에서는 정의되지 못한다.





Lyapunov (Stability) Thorem에 의한 비선형 제어 이론
Hamiltonian에 의한 최적 제어 문제
Hamiltonian에 의한 최적 선택 문제 (경제학)
Largrangian에 의한 최적 제어 문제
Input-Output Stability에 의한 (비선형)제어 이론
Continuous의 정의

Frechet Space
◦ Definition of Semi-norm
 Let a vector space E over field K . A map
called a semi-norm if following hold :
is
 For instance
 Semi-Norm을 사용하면 무한차원 공간에 대해서도 거리를
줄 수 있다.


Norm, Semi-Norm의 개념도
Pre-Frechet Space
◦ A Hausdorff topological vector
◦ space can be defined by an at
◦ most countable family of semi-norms.
◦ Semi-Norm Family :

Frechet Space
◦ A Complete pre-Frechet Space
◦ For Example
가산 첨자 침합
가산 (Countable) : 자연수의
집합 N에 대응되는 경우

Frechet Space의 사용 예
◦ 최적화 이론 Optimization (Nonlinear Optimization)
◦ Algorithm의 안정성 판정

Three Dominant Vector Space
◦ Hilbert Space
 Most Algebraic Space (Group, Field and so on…)
 Coordinate System (so we should exploit bases of it)
◦ Banach Space
 Continuous Space
 Control Theory
◦ Frechet Space
 Decision of Convergence of sequence.
 Optimization Theory

이 정도 Space 로서 충분할까?
◦ Ordinary Differential Equation 기반 문제는 해결 가능
◦ Convex 특성을 가진 최적화 문제는 해결 가능
◦ 편미분 방정식의 경우 충분하지 않음






Semi-group의 특성
경계치 문제 특성
Weak Topology 정의 필요 (Probability 기반 공간)
White-Noise 해석 가능 공간 필요
상대성 이론에 맞는 공간 필요 (Minkowsky 공간 –복소 공간)
복소 해석을 위한 공간 필요
◦ Linear Algebra는 Algebra, Topology, Geometry를 포
괄하는 개념이므로 여기에서 출발하여 새로운 수학(문제
해결방법) 을 만들어 갈 수 있다.





Subspace of vector space
Linear Combination
Bases
Dimension
Sums and Direct Sums