Transcript 재료의 전자기적 성질 Part V. Thermal Properties of Materials

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마스터 제목 스타일 편집
•
•
•
•
•
재료의
전자기적
성질
마스터
텍스트 스타일을
편집합니다
둘째 수준
셋째 수준
Part V.
넷째 수준
Thermal
다섯째
수준 Properties of Materials
2
마스터 제목 스타일 편집
•
•
•
•
•
마스터 텍스트 스타일을 편집합니다
Chapter 16
둘째 수준
셋째 수준 Heat Capacity
넷째 수준
다섯째 수준
3
16.1. Classical ( Atomistic ) Theory of Heat
마스터
Capacity 제목 스타일 편집
Average energy of one-dimensional harmonic oscillator
• 마스터
텍스트
스타일을
편집합니다
E  kBT
•Average
둘째energy
수준
per atom ( three-dimensional harmonic
•oscillator
셋째) 수준
E  3kBT
• 넷째 수준
kinetic energy of vibrating atom
•Average
다섯째
수준
3
E  k BT
2
4
Average potential energy of vibrating atom has the same average magnitude as
the kinetic energy.
마스터 제목 스타일 편집
So Total energy of vibrating atom has the same average magnitude as the
average per atom.
•
•
•
•
•
마스터
편집합니다
Total internal텍스트
energy per스타일을
mole
E  3수준
N0 kBT
둘째
Finally, the
molar heat capacity is
셋째
수준
 E 
C

넷째
v
수준
  3N 0 k B
 T v
다섯째 수준
Inserting numerical values for N0 and kB
Cv  25 J/mol  K  5.98 cal/mol  K
16.2. Quantum Mechanical Considerations-The
Phonon
마스터
제목
스타일
편집
16.2.1 Einstein Model
•
•
•
•
•
The energy of the i th energy level of a harmonic oscillator
h = 스타일을
Planck's constant of편집합니다
action
마스터
1
 텍스트
   i   hv v = frequency of harmonic oscillator
 2
둘째 수준
The energy of Einstein crystal ( which can be considered to be a system of 3n
linear harmonic
셋째
수준oscillator)


 1   ne

ne
U   3수준
넷째
 n   3  i  2 hv 

n 
( P : partition function )
 e

P


다섯째  수준 1

i
1
 hv ( i  ) / kT
2
i i
  i
1
 hv ( i  ) / kT
2
1
 hv ( i  ) / kT
2
  ie
e
2
 3nhv 

1
1

hv
(
i

)
/
kT
 hv ( i  ) / kT

2
2
e
 e


 2 ie  hvi / kT 
3
 nhv 1 
 hvi / kT 


2
e



1
 hv ( i  ) / kT
2
i

  ie  hvi / kT 1 
 
  3nhv 
 hvi / kT

e
2 





5
6
Taking
 hvi / kT
i
ie

ix


마스터 제목 스타일 편집
where
•
•
•
•
•
x  e  hv / kT gives,
x
마스터
x(1  2 x 텍스트
3x  )  스타일을 편집합니다
(1  x)
둘째 수준
and
1
셋째
수준
e

x

1

x

x




1 x
넷째 수준
in which case
다섯째 수준
2
2
 hvi / kT
i
2

3
2x  3
2e  hv / kT 

U   nhv 1 
  nhv 1 
 hv / kT 
2
1

x
1

e

 2


3
3nhv
 nhv  hv / kT
2
e
1
7
Heat capacity at a constant volume
마스터
제목
스타일
편집
hv
 U  
C 
 1)
e
  3nhv(e
hv / kT
v
•
•
•
•
•
 T  v
2
hv / kT
kT 2
2
hv / kT
hv
e


마스터
스타일을
 3nk 텍스트
 hv / kT
 1) 2
 kT  (e
둘째
수준
Einstein temperature is
hv
셋째
수준
E 
k
넷째 수준
So,
다섯째 수준 
 E 
2
e
E
/T
cv  3 R    E / T
 1) 2
 T  (e
편집합니다
8
16.2.2 Debye Model
마스터 제목 스타일 편집
Total energy of vibration for the solid
•
•
•
•
•
Eosc = the energy of one oscillator
E   Eosc D( )d 
3V  2
D( )  2 3
2 s
마스터 텍스트
3스타일을 편집합니다

3V

E 2 3
d
 / kT
  debye frequency
0
둘째 2수준
 s
e
1
셋째
수준at a constant volume
Heat capacity
2
4  / kT

3
V

e
넷째
Cv  수준
d
2 3
2 0
 / kT
2
2 s kT
(e
 1)
다섯째 수준
D
D
D
Or indicating with Debye temperature
D
C
ph
v
T 
 9kn  
 D 
3

D / T
0
x 4e x
d
x
2
(e  1)
x

kT

hv
,
kT
D 
D
k

hvD
k
9
16.3. Electronic Contribution to The Heat
Capacity 제목 스타일 편집
마스터
Thermal energy at given temperature
•
•
•
•
•
Ekin 
3
3
kBTdN  k BTN ( EF )kBT
2
2
마스터 텍스트 스타일을 편집합니다
The Heat capacity of the electrons
둘째 수준
 E 
C

셋째 수준

  3k TN ( E )
 T 
For E < E수준
넷째
3N  electrons 
다섯째
수준
N (E ) 


2E
J
N  number of eletrons which have an energy equal to or smaller than E
el
v
2
B
F
v
F
*
F
F


*
*
9 N *kB2T
 E 
2 3N
C 

  3kBT

T
2
E
2 EF

v
F
el
v
F
J
 
K
So far, we assumed that the thermally excited electrons behave like a classical gas.
In reality, the excited electrons must obey the Pauli principle. So,
 2 N *kB2T
2
마스터
2 E
2 제목 스타일 편집
C 
el
v
=
N *kB
F
•
•
•
•
•
T
TF
If we assume a monovalent metal in which we can reasonably assume
one free electron per atom, N* can be equated to the number of atoms
per mole.
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 NkT 
T
 J 
둘째
C  수준 =
Nk


2 E
2
T
 K  mol 
셋째 수준
Below the Debye temperature, the heat capacity of metals is sum
of electron
and phonon contributions.
넷째
수준
C  C  C   T  T
다섯째
수준
C
2
0 B
2
el
v
2
0 B
F
tot
v

el
v
tot
v
T
F
ph
v
3
   T 2
  3k B2 N ( EF )
 1 
  9kn  
 D 
3

D / T
0
x 4e x
d
(e x  1) 2
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Thermal effective mass
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mth*
 (obs.)

m0  (calc.)
•
•
•
•
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마스터 텍스트 스타일을 편집합니다
둘째 수준
셋째 수준
넷째 수준
다섯째 수준