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제3장
민감도 분석
(Sensitivity Analysis)
민감도분석의 개념
개념
목적함수의 계수 또는 제약조건의 우변상수값의
변화에 따라 현재의 최적해가 어떻게 변하는가를
분석
LP 문제의 input data값 변화 → 결과에 어느 정
도 민감하게 영향을 미치는지 분석
강의 내용
– 민감도분석 기본원리
– 민감도분석을 위한 엑셀 활용
민감도 분석
목적함수 계수 의 변화
우변상수값 변화
(예제 2-4) 경동산업(주)
결정변수
x1 : 제품 A 생산량
x2 : 제품 B 생산량
Max z = 40x1 + 30x2
s.t.
x1 + x2 ≤ 180
4x1 + 8x2 ≤ 1,120
9x1 + 6x2 ≤ 1,440
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
: 총판매이익
① 유리
② 알루미늄
③ 제조공정시간
x2
220
220
140
A (0,140)
기울기 -1/2
②
기울기 -4/3
B (80,100)
기울기 -1
①
C (120,60)
기울기 -3/2
③
D (160,0)
O (0,0)
160
x1
x1 의 목적함수 계수 C1 의 변화
z C1 x1 30 x2
C1
1
x2 x1 z
30
30
최적해 C(120, 60)가 계속 유지되는 범위
(p.85 [그림 3-1] 참조)
x1 의 목적함수 계수 C1 의 변화
z C1 x1 30 x2
C1
1
x2 x1 z
30
30
최적해 C(120, 60)가 계속 유지되는 범위
(p.85 [그림 3-1] 참조)
3
C1
1
2
30
30 C1 45
x2 의 목적함수 계수 C2 의 변화
z 40 x1 C2 x2
40
1
x2
x1
z
C2
C2
최적해 C(120, 60)가 계속 유지되는 범위
(p.85 [그림 3-1] 참조)
x2 의 목적함수 계수 C2 의 변화
z 40 x1 C2 x2
40
1
x2
x1
z
C2
C2
최적해 C(120, 60)가 계속 유지되는 범위
(p.85 [그림 3-1] 참조)
3
40
1
2
C2
2
26 C2 40
3
유리의 잠재가격
유리 가용량이 180단위에서 181단위로 1단위
증가한다면,
최적해 : x1 = 118 , x2 = 63
목적함수값 : z = 6,610
유리 1단위 증가에 따른 총판매이익의 순증가
: 10만원
유리 가용량이 1단위 감소한다면 ?
유리의 잠재가격
잠재가격
추가되는 자원 한 단위가 순수하게 목적함수
값에 기여하는 양
자원 1단위의 증가 또는 감소가 목적함수값에
미치는 영향을 알 수 있음
알루미늄의 잠재가격
알루미늄 가용량이 1120kg에서 1121kg
으로 1kg 증가한다면,
최적해 : x1 = 120 , x2 = 60
목적함수값 : z = 6,600
☞ 알루미늄의 잠재가격 : 0
알루미늄 가용량이 1kg 감소한다면 ?
제조공정시간의 잠재가격
제조공정시간이 1440시간에서 1441시
간으로 1시간 증가한다면,
최적해 : x1 = 120.33 , x2 = 59.66
목적함수값 : z = 6,603.33
제조공정시간의 잠재가격 : 3.33만원
잠재가격의 경제적 의미
자원 1단위의 증가 또는 감소가 목적함수값에
미치는 영향. 자원의 한계가치 또는 기회비용
자원이 일정한 양까지 증가할 때까지는 자원증
가량에 비례해서 목적함수값이 증가
자원 감소의 경우도 동일
목적함수값이 비례적으로 변화하는 자원의 증
감 범위 파악 → 민감도분석 핵심
(예제 3-2) 신제품 C의 추가 생산
제품 C의 개당 생산에 투입되는 자원소요량
유리 1단위, 알루미늄 6kg, 제조시간 8시간
제품 C의 개당 판매이익 : 32만원
제품 C 한 개 추가 생산시 효과
판매이익의 증가 : 32만원
판매이익의 감소 : 1×10 + 6×0 + 8×3.33 = 36.67 만원
제품 C 한 개 생산이 판매이익에 미치는 순효과
= 한계이익 - 한계손실 = 32 - 36.67 = -4.67 (만)원
엑셀을 이용한 민감도분석
30≤x1≤45
26.67≤x2≤40
160≤자원1≤ 190
960≤자원2≤ ∞
1320≤자원3≤1620
목적함수 계수의 변화 분석
현재의 최적생산방식이 최적해로 계속
유지되는 목적함수 계수의 변화 범위
현재 최적해 : x1 = 120 , x2 = 60
제품 A의 목적함수 계수 변화 범위
[40-10, 40+5]
제품 B의 목적함수 계수 변화 범위
[30-3.33, 30+10]
우변상수값의 변화 분석
각 자원의 잠재가격이 변하지 않는 자원가용량의
변화 범위
유리의 잠재가격 : 10만원
유리 가용량 변화범위 : [180-20, 180+10]
알루미늄의 잠재가격 : 0
알루미늄 가용량 변화범위 : [1120-160, 1120+∞]
제조공정시간의 잠재가격 : 3.33만원
제조공정시간 가용량 변화범위 : [1440-120, 1440+180]
유리의 추가구입에 대한 의사결정
(예제 3-3)
프리미엄 8만원, 유리 5단위 추가구입 여부
한계이익-한계손실
= 10만원 × 5단위 - 8만원 × 5단위 = 10만원
따라서 구입하는 게 좋음
프리미엄 7만원, 유리 15단위 추가구입 여부
한계이익-한계손실
= 10만원 × 10단위 - 7만원 × 15단위 = -5만원
따라서 구입하지 않는 게 좋음
초과근무시간에 대한 수당지급 의사결정
(예제 3-4)
시간외 근무로 제조공정시간이 300 시간 증
가시 시간당 기본수당에 추가할 특별수당
제조공정시간의 잠재가격 : 3.33 만원
허용가능 증가치 : 180 시간
= 3.33만원 × 180시간 = 600만원
추가 300시간에 대해 최대 시간당 2만원씩
추가로 특별수당 지급 가능
신제품 생산에 대한 의사결정
(예제 3-5) : (예제 3-2)와 동일
결정변수
x1 : 제품 A 생산량,
x2 : 제품 B 생산량,
Max z = 40x1 + 30x2 + 32x3
s.t.
x1 + x2 + x3 ≤ 180
4x1 + 8x2 +6x3 ≤ 1,120
9x1 + 6x2 +8x3 ≤ 1,440
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
x3 : 제품 C 생산량
: 총판매이익
(유리)
(알루미늄)
(제조공정시간)
30≤x1≤45
26.67≤x2≤40
-∞≤x2≤36.67
160≤자원1≤ 190
960≤자원2≤ ∞
1320≤자원3≤1620
신제품 생산에 대한 분석
Reduced Cost (한계비용)
= 제품 1개 추가 생산에 의한 총판매이익의 증가분
- 제품 1개 추가 생산에 소요되는 자원의 가치
제품 A의 Reduced Cost
= 40 - (1 × 10 + 4 × 0 + 9 × 3.33) = 0
제품 B의 Reduced Cost
= 30 - (1 × 10 + 8 × 0 + 6 × 3.33) = 0
제품 C의 Reduced Cost
= 32 - (1 × 10 + 6 × 0 + 8 × 3.33) = - 4.67
신제품 생산에 대한 분석
Reduced Cost (한계비용) 경제적 의미
최적의 생산을 하고 있는 상태에서 해당
제품의 한 단위 추가 생산에 따른 목적함
수 값의 순증가분
제품 C의 한계비용 = -4.67 의 의미는?
☞ 신제품 C 추가로 1개 생산하게 될 때 총판매
이익이 현재보다 4.67만원 감소
(예제 3-6) 신제품 C 생산
제품 C를 의무적으로 10개 생산해야 한다면 총판매
이익은 어떻게 변할까 ?
제품 C의 한계비용이 –4.67이므로 총판매이익이 46.7만원 감소
신제품 C의 생산이 회사에 이익을 가져다주기 위해서
는 제품 C의 개당 판매이익이 최소한 얼마 이상이 되
어야 하나 ?
신제품 C의 판매가격은 신제품 C를 생산하는데 소요되는 자원
들의 가치 총합 이상이 되어야 한다.
= 1×10 + 6×0 + 8×3.33 = 36.67만원
(예제 3-6) 신제품 C 생산
제품 C 1개 생산에 소요되는 제조공정시간이 6시간
이면 제품 C의 생산이 유리한가 ?
제품 C의 한계비용 = 32 - (1×10 + 6×0 + 6×3.33) = 2만원
제품의 한계비용 > 0 → 제품의 추가 생산하면 이익
제품의 한계비용 < 0 → 제품의 추가 생산하면 손해
제품의 한계비용 = 0 → 제품의 추가 생산 ?