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Tree & Heap
SANGJI University
Kwangman Ko
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트리(Tree) & 힙(Heap)
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1. 개 요
 트리(Tree)
~ 계층적인 구조를 나타내는 비선형(Non-linear) 자료구조
~ 트리는 부모-자식 관계의 노드로 구성
~ 응용분야



계층적인 조직 표현
파일 시스템
인공지능에서의 결정 트리
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 트리 자료구조를 사용하는 이유 ?
~ 다른 자료구조와 달리 비선형 구조.
~ 정렬된 배열
탐색은 빠르지만 O(logN), 삽입/삭제는 느림 (O(N)).
~ 연결리스트
 삽입/삭제는 빠르지만 (O(1)), 탐색은 느림 (O(N)).
~ 트리
 삽입과 삭제, 탐색이 모두 빠름 (O(logN)).

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트리에서 사용하는 용어
 경로(path)
~ 어떤 한 노드에서 다른 노드까지 링크를 통해 이동했을 때, 거쳐
온 노드들의 집합.
 루트(root)
~ 트리의 가장 상위에 있는 노드로 루트는 항상 하나만 존재
 부모, 자식(parent, children)
~ 링크로 연결된 노드 중 위에 있는 노드를 부모 노드, 아래 있는
노드를 자식 노드.
 키(key)
~ 자료 항목을 찾거나 또는 다른 동작을 하기 위해 필요한 값
~ 각 자료 항목을 구분해주는 역할, 자료 항목을 대표하는 값
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 하위트리(subtree)
~ 하나의 큰 트리에 속해있는 부분트리.
 방문(visiting)
~ 노드에 도착해 노드의 자료 값을 읽는 행위.
 순회(traversing)
~ 트리의 노드 전체를 방문하는 행위.
 레벨(level)
~ 어떤 노드의 레벨은 루트노드로부터 얼마나 많이 떨어졌는지를 의미
~ 여기에서는 루트를 레벨 1로 가정.
 높이(height)
~ 높이는 최장 루트-잎 경로의 길이이다.
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 노드(node)
~ 트리의 구성요소
 루트(root)
~ 부모가 없는 노드(A)
 서브트리(subtree)
~ 하나의 노드와 그 노드들의 자
손들로 이루어진 트리
 단말노드(leaf node)
~ 자식이 없는 노드(A,B,C,D)
 비단말노드
~ 적어도 하나의 자식을 가지는
노드(E,F,G,H,I,J)
 레벨(level)
~ 트리의 각층의 번호
 높이(height)
~ 트리의 최대 레벨(3)
 차수(degree)
~ 노드가 가지고 있는 자식 노드
의 개수
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트리의 일반적인 성질
 한 노드에서 다르 노드로 가는 경로가 유일
~ 임의의 두 노드에 대해 최소 공통 선조 (least common ancestor)
를 갖음.
 두 노드가 가질 수 있는 가장 가까운 선조
~ 경로가 중복되지 않는다면 두 노드간의 경로는 반드시 한 노드에
서 최소 공통 선조까지 올라갔다 다른 노드로 내려오는 유일한
경로만이 존재.
 N개의 노드를 갖는 트리는 N-1개의 링크.
~ 그래프와 달리 루트를 제외하고는 모든 노드가 자신의 선조를 향
한 하나의 링크를 가지고 있음.
~ N개의 노드를 가진 트리는 N-1개의 링크를 갖음.
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2. 이진 트리
 이진 트리(binary tree)
~ 트리 구조 중 자식을 최대 둘까지 가질 수 있는 트리
~ 모든 노드의 차수가 2 이하
구현하기가 편리함
모든 노드가 2개의 서브 트리를 가지고 있는 트리
~ 서브 트리는 공집합일 수 있음.
이진 트리에는 서브 트리간의 순서가 존재
각 노드들은 자식이 없거나, 하나 또는 두 개의 자식 노드를 유지
가장 보편적인 트리 구조, 이진 탐색 트리(binary search tree)

~
~
~
~
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생김새
 특징
~ 왼쪽 자식(left child), 오른쪽 자식(right child).
~ 왼쪽 자식의 키(key)는 부모노드의 키보다 작고, 오른쪽 자식의
키는 부모노드의 키보다 크다.
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 노드의 개수가 n개이면 간선의 개수는 n-1
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 높이가 h인 이진 트리
~ 최소 h개의 노드
~ 최대 2h-1개의 노드
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 n개의 노드를 가지는 이진 트리의 높이
~ 최대 n, 최소 log2(n+1)
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 완전 이진 트리(complete binary tree)
~ 마지막 레벨을 제외한 각 레벨의 노드들이 모두 차있고, 마지막
레벨에서는 노드들이 순서대로 존재하는 상태
 꽉 찬 이진 트리(full binary tree)
~ 모든 레벨이 꽉 찬 이진트리
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3. 이진 트리 구현
 배열 표현법
~ 모든 이진트리를 포화 이진트리라고 가정
~ 각 노드에 번호 부여, 그 번호를 배열의 인덱스
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 배열 구현법에서 인덱스 결정
~ 노드 i의 부모 노드 인덱스 : i/2
~ 노드 i의 왼쪽 자식노드 인덱스 : 2i
~ 노드 i의 오른쪽 자식노드 인덱스 : 2i+1
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 링크 표현법
~ 포인터를 이용하여 부모노드가 자식노드를 가리키게 하는 방법
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 노드 구조, in C
~ 노드


구조체로 구현
각 노드가 포인터(=링크)를 가지고 있어 노드와 노드를 연결
typedef struct TreeNode {
int
data;
struct TreeNode
*left;
struct TreeNode
*right;
}
~ 교재 p.256, 프로그램 7.1 참고.
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4. 트리 순회(traverse)
 순회(traversal)
~ 트리의 노드들을 체계적으로 방문하는 것
 순회 방법
~ 전위 순회(preorder traversal), VLR
~ 루트 노드, 왼쪽 자식, 오른쪽 를 먼저 방문.
~ 중위 순회(inorder traversal), LVR
~ 왼쪽 자손, 루트, 오른쪽 자손 노드 순서로 방문.
~ 후위 순회(postorder traversal), LRV
~ 루트 노드보다 자손 노드를 먼저 방문.
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전위 순회
 전위 순회(Preorder Traverse)
~ 루트를 먼저 방문하는 순회방법
1. 루트 노드.
2. 왼쪽 하위트리.
3. 오른쪽 하위트리.
// 전위 순회
preorder( TreeNode *root ){
if ( root ){
printf("%d", root->data ); // 노드 방문
preorder( root->left );
// 왼쪽서브트리 순회
preorder( root->right );
// 오른쪽서브트리 순회
}
}
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중위 순회
 중위 순회 (Inorder Traverse)
~ 왼쪽 서브트리 -> 루트 -> 오른쪽 서브트리 순서로 방문
1. 왼쪽 하위트리.
2. 노드를 방문.
3. 오른쪽 하위트리.
// 중위 순회
inorder( TreeNode *root ){
if ( root ){
inorder( root->left );// 왼쪽서브트리 순회
printf("%d", root->data ); // 노드 방문
inorder( root->right );// 오른쪽서브트리 순회
}
}
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5
+
2
7
*
1
3
a
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/
8
6
b
c
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d
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후위 순회
 후위 순회 (Postorder Traverse)
~ 왼쪽서브트리->오른쪽서브트리 -> 루트노드 순으로 방문
1. 왼쪽 하위트리 방문.
2. 오른쪽 하위트리 방문.
3. 노드 방문.
// 후위 순회
postorder( TreeNode *root ){
if ( root ){
postorder( root->left );// 왼쪽서브트리 순회
postorder( root->right );// 오른쪽서브트리순회
printf("%d", root->data ); // 노드 방문
}
}
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전위, 중위, 후위 순회 구현
 선택 방법
 교재 p.265, 프로그램 7.3 참고.
 레벨 순회, 그림 7-31, 프로그램 7.4 참고.
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수식 트리
 수식 트리(evalaution tree)
~ 산술식을 트리 형태로 표현한 것


비단말노드: 연산자(operator)
단말노드: 피연산자(operand)
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수식
a+b
a - (b × c)
(a < b) or (c < d)
전위순회
+ab
-a×bc
or < a b < c d
중위순회
a+b
a-b×c
a < b or c < d
후위순회
ab+
abc×-
a b < c d < or
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5. 이진 트리 연산
 노드 개수
~ 탐색 트리안의 노드의 개수를 계산
~ 각 서브트리에 대하여 순환 호출한 다음, 반환되는 값에 1을 더
하여 반환
int get_node_count(TreeNode *node)
{
int count=0;
if( node != NULL )
count = 1 + get_node_count(node->left)+
get_node_count(node->right);
return count;
}
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 트리 높이 구하기
~ 서브트리에 대하여 순환호출
~ 서브트리들의 반환값 중에서 최대값을 구하여 반환
int get_height(TreeNode *node)
{
int height=0;
if( node != NULL )
height = 1 + max(get_height(node->left),
get_height(node->right));
return height;
}
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6. 스레드 이진 트리
 정의 및 특징
~ 이진트리의 NULL 링크를 이용하여 순환호출 없이도 트리의 노
드들을 순회
~ NULL 링크에 중위 순회시에 후속 노드인 중위 후속자를 저장시
켜 놓은 트리
~ 단말노드와 비단말노드의 구별을 위히여 is_thread 필드 필요
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7. 이진 트리 탐색
 이진 트리(binary tree)
~ 모든 원소의 키는 유일
~ 왼쪽 서브트리의 키값들은 루트의 키값보다 작다.
~ 오른쪽 서브트리의 키값들은 루트의 키값보다 크다.
~ 왼쪽과 오른쪽 서브트리도 이진 트리의 특성 유지.
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 탐색(search)
~ 어떤 주어진 키를 가지고 그 키와 동일한 값을 갖는 노드를 찾는
것.
~ 루트노드부터 방문하여 노드의 키 값과 주어진 키 값을 비교하여
내려가는 식으로 진행.
Public Node find(int key) {
Node current = root;
while (current.keyData != key)
{
if (current == null) return null;
if (key < current.keyData)
current = current.leftChild;
else
current = current.rightChild;
}
return current;
}
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 특징
~ 탐색작업을 효율적으로 하기 위한 자료구조
~ key(왼쪽서브트리)≤key(루트노드)≤key(오른쪽서브트리)
~ 이진탐색를 중위순회하면 오름차순으로 정렬.
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 알고리즘
~ 비교한 결과가 같으면 탐색 성공.
~ 주어진 키 값이 루트 노드의 키값보다 작으면 탐색은 이 루트 노
드의 왼쪽 자식을 기준으로 다시 시작.
~ 주어진 키 값이 루트 노드의 키값보다 크면 탐색은 이 루트 노드
의 오른쪽 자식을 기준으로 다시 시작.
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search(x, k)
if x=NULL
then return NULL;
if k=x->key
then return x;
else if k<x->key
then return search(x->left, k);
else return search(x->right, k);
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 최대값과 최소값 탐색
~ 현 노드보다 작은 값은 왼쪽 자식에, 큰 값은 오른쪽 자식에 위치
~ 최소값
트리의 가장 왼쪽
~ 최대값
 트리의 가장 오른쪽에 존재

~ 루트에서 왼쪽 자식을 따라 내려가면서 더 이상 왼쪽 자식이 없
는 노드를 만나면 그 노드가 최소값을 가진 노드
~ 최대값은 오른쪽 자식을 따라가면 찾을 수 있다.
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pubilc Node findMin() {
Node current = root;
while (current.leftChild != null)
current = current.leftChild;
return current;
}
public Node findMax() {
Node current = root;
while (current.rightChild != null)
current = current.rightChild;
return current;
}
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이진 트리에서 삽입
 방법
~ 노드가 삽입될 위치 탐색.
~ 적절한 경로를 따라 내려간 뒤 그 위치의 부모가 되는 노드 탐색
~ 삽입될 위치의 부모노드의 키보다 삽입될 노드의 키가 작다면 부
모노드의 왼쪽 자식으로, 크다면 부모노드의 오른쪽 자식으로 생
성.
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insert_node(T,z)
p←NULL;
t←root;
while t≠NULL do
p←t;
if z->key < p->key
then t←p->left;
else t←p->right;
if p=NULL
then root←z;// 트리가 비어있음
else if z->key < p->key
then p->left←z
else p->right←z
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이진 트리에서 삭제
 3가지의 경우
~ 삭제하려는 노드가 단말 노드일 경우
~ 삭제하려는 노드가 하나의 왼쪽이나 오른쪽 서브 트리중 하나만
가지고 있는 경우
 삭제하려는 노드의 자식 노드가 하나일 때
~ 삭제하려는 노드가 두개의 서브 트리 모두 가지고 있는 경우

삭제하려는 노드의 자식 노드가 둘일 때
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1. 삭제하려는 노드의 자식이 없을 때, 단말 노드 삭제
~ 삭제 노드의 부모 노드에게서 삭제 노드를 가리키는 링크를 null
If (current.leftChild == null && current.rightChild == null) {
if (current == root)
root = null;
else if (current == parent.leftChild)
parent.leftChild = null;
else
parent.rightChild = null;
}
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~ 단말 노드의 부모 노드를 찾아서 연결을 삭제(null)
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2. 삭제하려는 노드의 자식이 하나일 때
~ 삭제하려는 노드의 자식노드와 부모노드를 바로 연결.
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3. 삭제하려는 노드의 자식이 둘일 때
~ 삭제하려는 노드의 자식 중 하나로 그 위치를 대체할 수 없음
~ 삭제될 노드의 위치를 채워줄 후보 노드 선정.
 후보 노드(candidate node)
~ 삭제될 노드의 키 값보다 바로 위의 키 값을 가진 노드나 바로 아
래의 키 값을 가진 값을 후보 노드로 선택.
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 후보 노드 선정 1
~ 삭제될 노드보다 큰 값을 갖는 (오른쪽) 서브 트리 선택.
~ 서브 트리에서 가장 작은 값을 갖는 노드를 후보 노드로 지정.
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 후보 노드 선정 2
~ 삭제될 노드보다 작은 값을 갖는 (왼쪽) 서브 트리 선택.
~ 서브 트리에서 가장 큰 값을 갖는 노드를 후보 노드로 지정.
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 삭제하려는 노드의 자식이 둘일 때
~ 잘못된 대체의 예
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 후보노드가 삭제 노드의 오른쪽 자식일 경우
~ 부모 노드에서 삭제 노드에 대한 링크 절단
~ 후보 노드로 링크를 연결.
~ 삭제 노드의 왼쪽 자식은 삭제 노드와의 링크 절단, 후보 노드의
왼쪽 자식으로 링크.
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 후보노드가 삭제노드의 오른쪽 자식의 왼쪽 자손일 경우
~ 후보노드의 오른쪽 자식
후보노드의 부모노드에 대한 왼쪽 자식 노드로 저정
~ 삭제노드의 오른쪽 자식
 후보노드의 오른쪽 자식으로 지정.
~ 부모노드에서 삭제노드에 대한 링크 절단, 후보노드로 연결
~ 삭제노드의 왼쪽 자식
 삭제노드와의 링크를 끊고 후보노드의 왼쪽 자식으로 연결

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7 효율성
 특징
~ 트리 연산은 하위 레벨로의 탐색을 포함.
~ 꽉 찬 트리에서 노드의 반 정도가 맨 아래 레벨에 존재.
~ 노드들에 대한 연산(삽입, 삭제 등)은 최하위 레벨에 있는 노드까
지 찾는 연산을 필요로 함
~ 탐색하는 동안 최소한 하나의 레벨에 하나의 노드를 방문
~ 어떠한 연산을 하는데 걸리는 시간은 트리의 레벨에 따라 유추
 노드의 수를 N, 레벨의 수를 L
~ L = log2(N + 1)
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Chap 8: 우선순위 큐
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1. 기본 개념
 큐(queue)
~ 먼저 들어온 자료를 먼저 처리
 우선순위 큐(priority queue)
~ 우선순위가 더 높은 자료를 먼저 처리
~ FIFO 순서가 아니라 우선 순위가 높은 데이터가 먼저 처리
자료구조
삭제되는 요소
스택
가장 최근에 들어온 데이터
큐
가장 먼저 들어온 데이터
우선순위큐
가장 우선순위가 높은 데이터
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우선순위 큐 구현 방법
 구현방법, 교재 pp304-305 필독
~ 배열을 이용한 우선순위 큐
~ 연결 리스트를 이용한 우선순위 큐
~ 히프(heap)를 이용한 우선순위 큐
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 힙(heap)
~ 우선순위 큐와 비슷한구체적인 자료구조, 완전 이진 트리
~ 우선 순위 설정 방법, 우선 순위 높은 자료 추출 등의 방법 포함
~ 큐 자료중 우선 순위가 가장 높은 자료를 선택
 종류
~ 최대 히프(max heap)
부모 노드의 키값이 자식 노드의 키값보다 크거나 같은 완전
이진 트리
 key(부모노드) ≥key(자식노드)
~ 최소 히프(min heap)
 부모 노드의 키값이 자식 노드의 키값보다 작거나 같은 완전
이진 트리
 key(부모노드) ≤key(자식노드)

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이진 힙(binary heap)
 이진 힙 조건
~ 조건 1 : 완전 이진 트리(complete binary tree) 구조.
~ 조건 2 : 부모 노드는 두 자식 노드보다 우선순위가 높다.
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힙의 구현 방법
 배열을 이용한 힙 구현
~ 완전 이진트리의 각 노드에 번호를 부여.
~ 부연된 번호를 배열의 인덱스로 간주



왼쪽 자식의 인덱스 = (부모의 인덱스)*2
오른쪽 자식의 인덱스 = (부모의 인덱스)*2 + 1
부모의 인덱스 = (자식의 인덱스)/2
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 완전 이진 트리의 구현
~ 배열을 이용한 레벨 순서 순회(level order traverse) 방법
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 배열, 부모 노드와 자식 노드 관계
~ 왼쪽 자식 = 부모 노드 * 2 + 1
~ 오른쪽 자식 = 부모 노드 * 2 + 2
~ 부모 노드 = (왼쪽 자식 – 1) / 2
~ 부모 노드 = (오른쪽 자식 – 2) / 2
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힙 구현 : 삽입 연산
 개념
~ 회사에서 신입 사원이 들어오면 일단 말단 위치에 앉힌 다음에,
신입 사원의 능력을 봐서 위로 승진시키는 것과 비숫
히프에 새로운 요소가 들어 오면, 일단 새로운 노드를 히프의 마지
막 노드에 이어서 삽입
 삽입 후에 새로운 노드를 부모 노드들과 교환해서 히프의 성질을 만
족

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 조건
~ 적어도 삽입과 삭제의 두 가지 메소드 필요
~ 자료의 삽입 시 자료의 위치를 바꿔 트리의 루트에 우선순위가
가장 높은 노드를 확보
 이진 힙 삽입 알고리즘
~ 단계 1. 삽입할 자료를 트리의 마지막 위치에 넣는다.
~ 단계 2. 부모 노드와 우선순위를 비교하여 계속 반복.
2-1. 부모 노드의 우선순위가 더 높을 경우, 삽입 종료.
2-2. 부모 노드의 우선순위가 더 낮을 경우, 부모 노드와 교환
한 뒤 비교를 계속.
2-3. 트리의 루트가 되면 삽입 동작 종료.
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 입력 순서 : 5, 3, 8, 14, 4, 16, 1, 10, 11, 2, 6, 20
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힙 구현 : 삭제 연산
 개념
~ 최대히프에서의 삭제는 가장 큰 키값을 가진 노드를 삭제
~ 회사에서 사장의 자리가 비게 되면 먼저 제일 말단 사원을 사장
자리로 올린 다음에, 능력에 따라 강등시키는 것과 비숫.
 루트 노드를 삭제, 마지막 노드를 루트 노드로 이동
 루트에서부터 단말노드까지의 경로에 있는 노드들을 교환하
여 힙 성질 만족.
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 이진 힙 삭제 알고리즘
~ 단계 1. 루트 노드 삭제
~ 단계 2. 힙의 마지막 노드를 루트 노드 자리로 이동
~ 단계 3. 자식 노드들과 우선순위를 비교



3-1. 두 자식 노드의 우선순위가 더 낮을 경우, 삭제 종료
3-2. 우선순위가 더 높은 자식 노드가 있을 경우, 두 자식 노
드 중 우선순위가 더 높은 노드와 교환한 뒤 다시 비교
3-3. 자식을 갖지 않는 잎(leaf) 노드가 될 경우, 삭제 종료
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응용 : 힙 정렬(Heap sort)
 개요
~ 삭제를 수행할 때마다 우선순위가 가장 높은 루트 노드를 반환
~ 반환 받은 노드를 별도의 배열에 순서대로 저장하여 정렬 수행
~ 단점


힙에 사용된 배열 외에 별도의 메모리 필요
비교적 느린 속도
 효율적인 메모리 관리
~ 삭제된 자료를 별도의 배열에 저장하는 것이 아니라,
~ 힙에서 삭제되면서 생긴 빈 공간에 기록
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// 우선 순위 큐인 히프를 이용한 정렬
void heap_sort(element a[], int n)
{
int i;
HeapType h;
init(&h);
for(i=0;i<n;i++){
insert_max_heap(&h, a[i]);
}
for(i=(n-1);i>=0;i--){
a[i] = delete_max_heap(&h);
}
}
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