Transcript Agnesi

1
Μ Α Γ Ι Σ Σ Α Τ Η Σ Α Ν Ι Ε Σ Ι (Agnesi)
Πρόκειται για μία καμπύλη που είχε μελετηθεί από τον Pierre Fermat (1601-1665).O Λουίτζι
Γκουίντο Γκράντι (1671-1742) ,καθηγητής μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Πίζας, ονόμασε την καμπύλη,λόγω της μορφής της, versiera («γυριστή» από το λατινικό vertere που
σημαίνει «γυρίζω»).Στην ιταλική γλώσσα υπάρχει και η λέξη aversiera που σημαίνει «γυναίκα
του διαβόλου».Όταν η Ιταλίδα φιλόσοφος και μαθηματικός Maria Agnesi (1718-1799) διαπραγματεύτηκε στο βιβλίο της Instituzioni Analitiche την καμπύλη του Fermat,οι κατοπινοί
μεταφραστές του έργου της αντί να χρησιμοποιήσουν την ονομασία του Γκράντι από λάθος
μετάφραση χρησιμοποίησαν τη λέξη aversiera.Έτσι η καμπύλη του Fermat έμεινε με την ονομασία «μάγισσα της Ανιέσι».
Αφορμή για το άρθρο αυτό είναι το ερώτημα Β4 των θεμάτων Μαθηματικά Προσανατολισμού
2016.Η γραφική παράσταση του Β4 αν «αναποδογυριστεί» μοιάζει με τη «μάγισσα της Ανιέσι».
Πρόβλημα
Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε κύκλο (Κ,α) α>0 με Κ(0,α) και την εφαπτομένη του ε στο σημείο Μ(0,2α).Έστω Α ένα τυχαίο σημείο του κύκλου διαφορετικό του Ο.Η
ημιευθεία ΟΑ τέμνει την ε στο σημείο Ν.Από το Α φέρουμε παράλληλο προς τον άξονα χ’χ που
τέμνει την παράλληλο από το Ν προς τον άξονα ψ’ψ στο σημείο P.Αν το Α διαγράφει τον κύκλο,να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου P.
Λύση
1ος τρόπος: Αναλυτική προσέγγιση
Έστω τυχαία θέση του Α πάνω στον κύκλο διαφορετική του Μ και του Ο.
Η εξίσωση της ΟΑ είναι:  :   ,   0 .
Επίσης η εξίσωση του κύκλου είναι: C :  2        2 .
2
Οι συντεταγμένες του σημείου Α προκύπτουν από τη λύση του συστήματος:
Σπύρος Γιαννακόπουλος
2

2 2
   



2
  
 2 2 2 


1



,
.Άρα
.

2  
 2

2
2 
2
2
1


1




(



)




2





 
1 2

1  2
Η τεταγμένη του  είναι τεταγμένη και του P.
Οι συντεταγμένες του Ν προκύπτουν από τη λύση του συστήματος:
  2
  2

 2


, 2  .
2 .Άρα  

 

  
   
Η τετμημένη του Ν είναι τετμημένη και του P.
 2 2 2 
,
Άρα P 
.
2 
  1  
Έστω (  , ) τυχαίο από τα σημεία P,τότε για κάποια τιμή του   R * έχουμε:
2




2


3
     0

8

.Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του Μ

3
2
2
8

2


 
 
  2
(1)


4 2
  4 2
1  2
1 2



επαληθεύουν την (1),
Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η γραφική παράσταση (Μάγισσα της Agnesi) της
8 3
,xR .
συνάρτησης f ( x)  2
x  4 2
2ος τρόπος:
Έστω  η γωνία που σχηματίζει η ημιευθεία ΟΑ με τον άξονα   .Λόγω των παραλληλιών


     ,με 0     .Έστω P  x( ), y( )  .
 x( )

 x( )  2 .

2
 y ( )

Στο ορθογώνιο τρίγωνο  έχουμε:  
(1’).
 
Στο ορθογώνιο τρίγωνο  έχουμε:  
Σπύρος Γιαννακόπουλος
3

  900 , ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο,


     , ως οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες.


Στο τρίγωνο  έχουμε:  
  
   2 (2) .

2
(2)
(1)  y( )    y( )  2 2 .
Άρα P  2 , 2 2  .
΄Εστω ( x, y ) τυχαίο από τα σημεία P ,τότε για κάποια τιμή του   (0,  ) έχουμε:
x

 

1
x2
2
 x  2

2
2
1





1



.Όμως



2
2
2


4

y
y
2
 y  2 
  
0 y 0

2

8 3
y 2
.
x  4 2
Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης
8 3
f ( x)  2
,xR .
x  4 2
Σημείωση: Οι συντεταγμένες του P είναι η παραμετρική έκφραση της Μάγισσας της Agnesi.
Πατήστε εδώ για να δείτε το γεωμ.τόπο
 Μονοτονία-Ακρότατα της f
Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πηλίκο παραγωγισίμων συναρτήσεων με
f ( x)  
16 3 x
 x2  4 2 
2
.
f ( x)  0  x  0 . f ( x)  0  x  0 και f ( x)  0  x  0 .
x


0
f ( x )

0

f ( x)
➶
f (0)  2
➴
Ολ.Μέγιστο
H f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( , 0] και γνησίως φθίνουσα στο [0,  ) .
Σπύρος Γιαννακόπουλος
4
Για x  0 παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f (0)  2 .
 Κυρτότητα – Σημεία καμπής της C f
Η f  είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγισίμων συναρτήσεων με
f ( x)  ... 
16 3  3 x 2  4 2 
 x2  4 2 
3
.
4
2 3
f ( x)  0  3x 2  4 2  0  x 2   2  x  
 .
3
3
x


f ( x )

f ( x)

2 3

3
2 3

3
0
f (
2 3
)
3
Σημ.Καμπής


0
f(


2 3
)
3

Σημ.Καμπής


2 3  2 3
Η f είναι κυρτή στα διαστήματα  , 
,
 ,   και κοίλη στο διάστημα
3

  3

 2 3 2 3 
,
 .

3
3


 2 3 3a 
Η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει δύο σημεία καμπής τα   
 ,  ,
3
2 

 2 3 3a 
 
 ,  .
2 
 3
 Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f
Η f είναι συνεχής στο R ,οπότε η C f δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.
lim f ( x)  0 και lim f ( x)  0 .Άρα ό άξονας   είναι ασύμπτωτη της C f στο  και στο  .
x 
x 
 Γραφική παράσταση της f
Η f είναι άρτια,οπότε η C f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα   .
Με βάση τα παραπάνω έχουμε την παρακάτω γραφική παράσταση της f .
Σπύρος Γιαννακόπουλος
5
Σπύρος Γιαννακόπουλος