Transcript Математическая модель глобальных экономических

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Математическая модель глобальных
экономических циклов в
классическом приближении
E.C. Куркина
Москва, 2013
Циклы Кондратьева (40-60 лет)
Циклы
Кондратьева
являются
разновидностью
глобальных исторических циклов, появились в эпоху
капитализма, начало первого цикла относят к концу
VIIIX в. Шумпетер в 1930-е годы утверждал, что циклы
Кондратьева
генерируются
инновациями.
Инновационная теория циклов подтвердилась в
последующие годы. Благодаря самоорганизации
инновации действуют не в одиночку, а собираются в
группы – кластеры. Кластеры базисных технологий
приводят к возникновению новых отраслей и тем самым
запускают длинные экономические волны, формируя
повышательную стадию Кондратьевского цикла. Для
экономического цикла Кондратьева характерно то, что
изменяются все показатели, и что цикл охватывает все
отрасли.
Причины экономических циклов
Одно из главных свойств рыночной экономики – наличие
экономических
циклов.
Экономические
циклы
—
циклические изменения экономической конъюнктуры,
регулярные колебания уровня деловой активности от
экономического подъема (бума) до спада (рецессии).
Основной причиной экономических циклов выступает
несоответствие между совокупным спросом и совокупным
предложением,
между
совокупными
расходами
и
совокупным объемом производства, которое порождается
инерцией экономических систем.
В стадии кризиса для увеличения прибыли усиливается
спрос на инвестиционные товары, что служит стимулом для
расширения производства в отраслях, производящих
инвестиционные товары.
Вывод, основу экономического цикла составляет
изменение
инвестиционных
расходов.
Инвестиции
являются наиболее нестабильной частью совокупного
спроса (совокупных расходов).
Фундаментальная зависимость, порождающая деловые
циклы, в том числе и циклы Кондратьева - это
обратная связь между величинами уровня совокупного
потребления (он же – совокупный уровень спроса на
потребительские товары) и уровнем инвестиций
(другими словами, реальный спрос на инвестиционные
товары). Чем выше уровень потребления, тем меньше
компании заинтересованы в закупке новых основных
фондов,
так
как
оборачиваемость
средств
(капиталоотдача) и норма прибыли также растут.
Однако когда потребление падает, что вызвано
насыщением емкости рынка товаров, производителям
необходимо обращаться к кластеру инноваций, что
дает очередной всплеск занятости, покупательной
способности и экономика переходит на новый виток.
Выбор модели
За
основу
была
взята
макроэкономическая
динамическая
модель,
описывающая
поведение
экономики в долгосрочной перспективе в классическом
приближении (соответствует классической модели
Солоу). Модель охватывает все основные рынки: рынок
труда, капитала, и рынок товаров. Инфляция не
учитывается, чтобы исключить движение тренда. Также
не учитывается финансовый рынок и банковская сфера.
В основе модели лежит нелинейная система ОДУ
относительно
изменения
восьми
основных
макроэкономических переменных. Модель дополняется
алгебраическими
уравнениями,
полученными
из
соотношений балансового типа, в которые входят
одиннадцать других важнейших переменных.
S. Hallegattea, M. Ghilc, P. Dumasa, J.-C. Hourcadea «Business cycles,
bifurcations and chaos in a neo-classical model with investment
dynamics»//J. of Economic Behavior & Organization ,2008, P. 57–77.
Вывод уравнений
Рынок товаров
• Изменение в размерах запасов вызвано несоответствием между
производством Y и спросом D :
dH/dt = Y – D,
•
𝐷 = 𝐶 + 𝐼, (C – потребление, I – инвестиции).
Изменение цены определяется изменением в запасах. Если товары
копятся на складе, цена на них падает:
dp/dt = -p*αp*H/D.
(В модели Солоу цена p определяется из равенства Y=D)
Рынок труда
• Производственная функция Кобба-Дугласа (как в модели Солоу):
Y = A*L2/3*K1/3 ,
•
Уровень занятости определяется разницей между эффективным
спросом на труд и текущем уровнем занятости:
dL/dt = (Le - L)/ τempl, (τemp =2года), Le = min(Ld, Lmax)
•
Нахождение Ld. Оптимизация производителем спроса на труд:
𝑤
𝑝
=
𝑑𝑌(𝐿𝑑,𝐾)
,
𝑑𝐿
Ld = 8∗p3∗K∗A3/(27∗w3).
•
Уровень зарплат диктуется кривой Филлипса:
dw/dt = (L/Lmax - efull)*w/τwage.
efull =0.9, τwage=2г.
Производитель стремится оптимизировать свой спрос на труд Ld,
считая, что его продукция будет продана.
Заработная плата определяется исключительно из занятости.
τwage позволяет учитывать гибкости рынка труда.
(В модели Солоу зарплата w определяется из предположения
полной занятости: L = efullLmax )
Поведение потребителей
(В модели Солоу, общий доход от заработной платы и прибыли (wL + Π),
всегда равен потреблению и сбережениям pC + S)
•
Изменение потребительских запасов денег М в обращении отражает
задержку в располагаемых доходах экономических агентов:
dM/dt = (w*L + Div) - (p*C + S).
• Уравнения потребления и сбережений :
C = (1 - ysave)*αM*M/p,
S = ysave*αM*M.
Производственный капитал
• Для капитала используется классическое уравнение Солоу:
dK/dt = I - K/τdep., (τdep= 20 лет),
I – инвестиции.
• Уравнение для изменения ликвидных активов производителя F
𝑑𝐹
𝑑𝑡
= 𝛱 + 𝑆 − 𝐷𝑖𝑣 – 𝑝𝐼.
• Уравнения для валовой и чистой прибыли:
𝛱 = 𝑝𝐷 – 𝑤𝐿,
П𝑛 = 𝛱 –
1
𝜏𝑑𝑒𝑝
𝑝𝐾 = 𝑝𝐷 − 𝑤𝐿 –
1
𝜏𝑑𝑒𝑝
𝑝𝐾.
(Валовая прибыль Π растет с ростом продаж и уменьшается с
ростом затрат на труд.)
• Производитель распределяет имеющиеся активы согласно
желанию инвестировать:
I = GinvαFF/p.
• Уравнение для дивидендов:
Div = αFF - pI.
Управленческая экономика
Изменение коэффициента производственных инвестиций:
𝑑𝐺𝑖𝑛𝑣
𝑑𝑡
= 𝛼𝑖𝑛𝑣 𝐺𝑖𝑛𝑣 − 𝑦𝑚𝑖𝑛 𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝐺𝑖𝑛𝑣
П𝑛
𝑝𝐾
− 𝜈 .
Распределение дивидендов и инвестиций зависит от чистой
прибыли Πn на капитал. Πn сравнивается с уровнем
рентабельности ν. Если ожидаемая чистая прибыль на капитал
Πn/(pK) выше, инвестирование увеличивается; если, напротив,
ожидаемая прибыль ниже, чем ν, инвестиции уменьшаются, что
соответствует модели Тобина.
𝑦𝑚𝑖𝑛 =0, 𝑦𝑚𝑎𝑥 =0.8 – определяют предельные уровни инвестиций.
Акционерная экономика
𝑑𝐺𝑖𝑛𝑣
𝑑𝑡
= 𝛼𝑖𝑛𝑣 𝐺𝑖𝑛𝑣 − 𝑦𝑚𝑖𝑛 𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝐺𝑖𝑛𝑣
 - доходность на капитал
𝐷𝑖𝑣+𝐸𝑟𝑟
𝑝𝐾
−  .
Математическая модель
𝑑𝐹
𝑑𝑡
𝑑𝐻
𝑑𝑡
𝑑𝐾
𝑑𝑡
𝑑𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑀
𝑑𝑡
= 𝛱 + 𝑆 − 𝐷𝑖𝑣 – 𝑝𝐼,
ликвидные активы
= 𝑌 – 𝐷,
товарные запасы
= −
= −
1
𝜏𝑑𝑒𝑝
𝐾 + 𝐼,
1
𝜏𝑒𝑚𝑝𝑙
∗ 𝐿 − 𝐿𝑒 ,
капитал
занятость
= 𝑤𝐿 + 𝐷𝑖𝑣 − 𝑝𝐶 + 𝑆 , объем денег у
потребителей
𝑝 𝐻
𝑑𝑝
= − 𝛼𝑝 ,
𝑑𝑡
𝐷
𝑑𝑤
𝑤
𝐿
=
𝑑𝑡
𝜏
𝐿𝑚𝑎𝑥
уровень цен
− 𝑒𝑓𝑢𝑙𝑙 ,
зарплата
𝑤𝑎𝑔𝑒
𝑑𝐺𝑖𝑛𝑣
𝑑𝑡
= 𝛼𝑖𝑛𝑣 𝐺𝑖𝑛𝑣 − 𝑦𝑚𝑖𝑛 𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝐺𝑖𝑛𝑣
П𝑛
𝑝𝐾
− 𝜈 .
доля инвестиций
Основные переменные модели
Обозначение
F
H
K
Описание
Ликвидные активы
банков и компаний
Запасы товаров
Капитал
Ед. изм.
Денежная
Физическая
Физическая
L
Количество занятых Миллионы
работников (труд)
трудящихся
М
Объем
потребительской
денежной массы
Цена
Заработная плата
p
w
Ginv
Доля инвестиций
производителя
Денежная
Денежной
Денежная
безразмерная
Вспомогательные переменные модели
Обозначение
писание
Потребительский расход
(потребление)
Общий спрос
Ед. изм.
Физическая
Физическая
Дивиденды
Денежная
Инвестиции
Физическая
Оптимальный спрос на труд
Число рабочих
Текущий спрос на труд
Число рабочих
Доступные запасы
Денежная
Продукция (производство)
Физическая
Валовая прибыль
Денежная
Чистая прибыль
Денежная
Базовые параметры модели
Обозначение Описание
А=9.3×10−2
Общая производительность
efull = 0.9
Lmax =180
млн
ysave =0.3
ν = 0.03
ρ=0. 1
Равновесный уровень занятости
Общее число рабочих
Коэффициент сбережений (доля)
Финансовая рентабельность
Требуемая доходность на капитал
τdep=20 лет Время амортизации капитала
αinv
Коэффициент инвестиций производителя
αF = 0. 2
Доля используемых ликвидных активов
αM=0. 2
αp=0. 0036
τempl = 2 г.
τwage = 2 г.
производителя
Доля используемой денежной массы потребителя
Ценовой коэффициент
Временная характеристика занятости
Временная характеристика заработной платы
Стационарное состояние
𝑑𝑀
𝑑𝑡
+
𝑑𝐹
𝑑𝑡
= 0, 𝑀 + 𝐹 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Количество денег постоянно. Дополнительное условие: p=1
p – условный уровень
Состояние равновесия: Y=D, H=0,
L  Lmax e full  180* 0.9  162
Le  Ld  L  162
K  tdep Ginv F F / p
Для оставшихся 4-х переменных: F, M, w, Ginv
имеем систему 4-х нелинейных алгебраических уравнений.
Решаем ее методом Ньютона.
H  0, L  Lmaxe full , p  1
Параметрический анализ модели
Стационарное состояние модели с параметрами
для Евросоюза

При 𝛼𝑖𝑛𝑣 < 2.83
стационарное
состояние устойчиво
Обозначение Описание
Равновесие
при
9
Данные ЕС
2001
8.8
162 млн 90%
167 млн 92.6%
Y
Производство
(=спрос = ВВП)
L
Количество
занятых
работников
wL
Общая годовая 6
заработная
плата
5.6
C
S
Потребление
сбережения
потребителей
7
3(2)
6.8
1.8
Π
Валовая
прибыль
3
3.2
Div
Годовые
дивиденды
4(3)
3.2
I
Физические
инвестиции
2
1.8
Все значения триллионах евро
Переход действительной части пары
комплексно-сопряженных собственных
значений через ноль
Бифуркационная диаграмма
Графики изменений переменных модели в продолжении
одного цикла, длительность которого составляет
примерно 50 лет.
Механизм колебаний
1: Рост занятости, сопровождающуюся ростом потребления и инвестиций.
Предприятия инвестируют в новые технологии и новые товары. Начинается рост
производства.
2: Высокая занятость сопровождается ростом зарплат и совокупного спроса. В
результате высокого спроса и зарплат растут цены. Капиталоотдача стремительно
уменьшается из-за высоких зарплат и растущих цен на сырье.
3: Когда капиталоотдача падает ниже нормы прибыльности, наблюдается
мощное падение инвестиций, которое усиливает падение спроса из-за высоких
цен и насыщения уже имеющимися товарами. Из-за перепроизводства товары
лежат на складах, прибыли очень низкие, растет безработица. Цены до
последнего держатся высокие (во многих странах работает т.н. «crisis tax», но в
конце концов начинают снижаться). Производители ищут выходы из ситуации.
Диверсификации в новые, инновационные, товары, еще ждет их впереди.
4: Инвестиции все еще очень низкие, производство сокращается, но спрос уже
больше не падает из-за снизившихся цен. Снижение цен и зарплат, а также
зарождающийся кластер инноваций повышает капиталоотдачу, что вновь делает
инвестиции выгодными. Производители готовятся инвестировать в свое будущее:
в новые товары на новых технологиях.
Параметрический портрет
Фазовый портрет

Область устойчивости
стационарного
состония

Область
автоколебаний
Пример для переменных – капитал (K) и денежная масса (M)
Выход колебаний на стационар
Пример для переменной капитал (K)
СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!
Классическая модель экономики
В классической модели экономики, основоположником
которой является А. Смит, считается, что деньги не
воздействуют на ситуацию в реальном секторе и что все
цены относительные. Поэтому в классической модели
денежный рынок отсутствует, а реальный сектор состоит
из трех рынков: рынка труда, рынка заемных средств и
товарного рынка. На всех реальных рынках имеет место
совершенная
конкуренция,
что
соответствовало
экономической ситуации конца ХVШ и всего ХIХ века, и все
цены гибкие. Гибкость цен означает, что цены меняются,
адаптируясь к изменениям рыночной конъюнктуры (т.е. к
изменениям соотношения спроса и предложения) и
обеспечивают восстановление нарушенного равновесия на
любом из рынков, причем на уровне полной занятости
ресурсов. То есть имеет место саморегулирование
рынков, и никто не должен (ни агенты, ни государство)
вмешиваться в процесс регулирования экономики, а тем
более более в функционирование самой экономики.
Длинные волны и их фазы, идентифицированные
Н. Д. Кондратьевым
Номер
цикла
I
II
III
Фаза цикла
A: восходящая
Даты начал
циклов
Конец 1780-х –
начало 1790-х гг.
Даты концов
циклов
1810–1817 гг.
B: нисходящая
1810–1817 гг.
1844–1851 гг.
A: восходящая
1844–1851 гг.
1870–1875 гг.
B: нисходящая
1870–1875 гг.
1890–1896 гг.
A: восходящая
1890–1896 гг.
1914–1920 гг.
B: нисходящая
1914–1920 гг.
«Пост-Кондратьевские» длинные волны и их фазы
Даты начал
циклов
Даты концов
циклов
A: восходящая
1890–1896 гг.
1914–1920 гг.
1939–1950 гг.
B: нисходящая
С 1914 по
1928/29 гг.
A: восходящая
1939–1950 гг.
1968–1974 гг.
B: нисходящая
1968–1974 гг.
1984–1991 гг.
A: восходящая
1984–1991 гг.
2005–2008 гг.?
B: нисходящая
2005–2008 гг.?
?
Фаза цикла
Номер
волны
III
IV
V