Transcript Συναρτήσεις μιας μεταβλητής

Νικόλαος ∆. Ατρέας
_____________________________________
∆ιαφορικός και
Ολοκληρωτικός Λογισµός
Συναρτήσεων µιας
Μεταβλητής
_____________________________________
Α.Π.Θ.
Θεσσαλονίκη 2003
1
Περιεχόµενα
Κεφάλαιο 1: Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών.
σελ. 4
1.1. ∆ιατεταγµένα σώµατα. Αξίωµα πληρότητας.
1.2. Πληθάριθµος συνόλου.
1.3. Η τοπολογία του .
1.4. Το επεκτεταµένο σύνολο .
Ασκήσεις.
Κεφάλαιο 2: Συναρτήσεις. Οριο-Συνέχεια.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
σελ. 18
Ορισµοί.
Πράξεις µε συναρτήσεις.
Οριο συνάρτησης.
Συνέχεια. Θεωρήµατα συνεχών συναρτήσεων.
Γνωστές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους.
Ασκήσεις.
Κεφάλαιο 3: Παράγωγος συνάρτησης.
σελ. 44
3.1. Ορισµοί.
3.2. Γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου.
3.3. Ιδιότητες της παραγώγου.
3.4. Εφαρµογές της παραγώγου.
3.5. Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης.
Ασκήσεις.
Κεφάλαιο 4: Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών.
σελ. 60
4.1. Ορισµοί.
4.2. Συγκλίνουσες ακολουθίες.
4.3. Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών.
4.4. Υπακολουθίες. Ανώτερο και κατώτερο όριο. Ακολουθίες
Cauchy.
Ασκήσεις.
Κεφάλαιο 5: Σειρές πραγµατικών αριθµών.
5.1. Ορισµοί.
2
σελ. 73
5.2. Σειρές θετικών όρων. Κριτήρια σύγκλισης.
5.3. Εναλλάσουσες σειρές.
Ασκήσεις.
Κεφάλαιο 6: ∆υναµοσειρές. Σειρές Taylor.
σελ. 86
6.1. Ορισµοί.
6.2. Πολυώνυµο Τaylor.
6.3. Σειρά Taylor.
Ασκήσεις.
Κεφάλαιο 7: Το ορισµένο ολοκλήρωµα.
σελ. 97
7.1. Εισαγωγή.
7.2. Κριτήρια ολοκληρωσιµότητας.
7.3. Ιδιότητες ολοκληρώµατος Riemann.
7.4. Θεωρήµατα µέσης τιµής ολοκληρωτικού Λογισµού.
7.5. Αντιπαράγωγος και ορισµένα ολκληρώµατα.
Ασκήσεις.
Κεφάλαιο 8: Το αόριστο ολοκλήρωµα.
σελ. 118
8.1. Ορισµοί.
8.2. Μέθοδοι ολοκλήρωσης.
8.3. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων.
8.4. ολοκλήρωση άρρητων συναρτήσεων.
Ασκήσεις.
Κεφάλαιο 9: Εφαρµογές ορισµένου ολοκληρώµατος.
σελ. 134
9.1. Εµβαδόν χωρίου.
9.2. Μήκος καµπύλης.
9.3. Ογκος στερεού εκ περιστροφής και εµβαδόν παρπα΄λευρης
επιφάνειας στερεού εκ περιστροφής..
Ασκήσεις.
Κεφάλαιο 10: Μη γνήσια ολοκληρώµατα.
3
σελ. 142
KΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
§ 1.1 ∆ιατεταγµένα σώµατα-Αξίωµα πληρότητας
Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν
1.
στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ
είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή
x + y ∈ Σ ∀x, y ∈ Σ ,
x + y = y + x ∀x, y ∈ Σ,
(x + y ) + z = x + ( y + z ) ∀x, y, z ∈ Σ,
∃ µοναδικό µηδενικό στοιχείο του Σ: x + 0 = 0 + x = x ∀x ∈ Σ,
∃ µοναδικό αντίθετο στοιχείο x′ ∈ Σ : x + x′ = x′ + x = 0 .
Το αντίθετο στοιχείο του x στο εξής θα συµβολίζεται µε –x.
2.
στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη τoυ πολ/σµού ως προς την οποία το
σύνολο Σ είναι επίσης αβελιανή οµάδα, δηλαδή
x y ∈ Σ ∀x, y ∈ Σ
x y = y x ∀x, y ∈ Σ,
(x y ) z = x ( y z ) ∀x, y, z ∈ Σ,
∃ µοναδικό µοναδιαίο στοιχείο του Σ: x 1 = 1 x = x ∀x ∈ Σ,
∃ µοναδικό αντίστροφο στοιχείο x′ ∈ Σ : x x′ = x′ x = 1 .
Το αντίστροφο στοιχείο του x στο εξής θα συµβολίζεται µε x-1.
Eπιπλέον ο πολ/σµός είναι πράξη επιµεριστική ως προς την πρόσθεση δηλαδή:
(x + y ) z = x z + y z ∀x, y, z ∈ Σ.
Η πράξη της αφαίρεσης ορίζεται ως εξής
x − y = x + (− y ) ∀x, y ∈ Σ ,
ενώ η πράξη της διαίρεσης ορίζεται ως
4
x / y = x y −1 ∀x, y ∈ Σ, y ≠ 0 .
3.
υπάρχει µία διάταξη στο σύνολο Σ, δηλαδή θεωρούµε ότι υπάρχει ένα
υποσύνολο Θ του συνόλου Σ κλειστό ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και
του πολλαπλασιασµού το οποίο καλείται σύνολο των θετικών στοιχείων του
Σ έτσι ώστε ∀x ∈ Σ να ισχύει ο νόµος της τριχοτοµίας:
x ∈ Θ ή − x ∈ Θ ή x = 0.
Λέµε τότε
x < y ⇔ y − x∈Θ .
Aπό τον παραπάνω ορισµό έπεται ότι
x ∈ Θ ⇔ x > 0.
Eύκολα διαπιστώνουµε τις κάτωθι ιδιότητες της διάταξης
∀x, y ∈ Σ x < y ή x > y ή x = y.
Αν x < y και y < z ⇒ x < z.
Αν x < y και z > 0 ⇒ x z < y z.
Από τη στιγµή που έχουµε ορίσει σε ένα σώµα Σ µία διάταξη (συµβολικά <),
µπορούµε πλέον να µιλάµε για υποσύνολα του Σ άνω και κάτω φραγµένα.
Πράγµατι, έστω Σ είναι ένα διατεταγµένο σώµα. Ενα υποσύνολο Α του Σ καλείται
•
άνω φραγµένο εάν ∃ a ∈ Σ :
•
κάτω φραγµένο εάν ∃ a ∈ Σ :
•
φραγµένο εάν είναι άνω και κάτω φραγµένο.
x≤a
x≥a
∀x ∈ A ,
∀x ∈ A ,
Αν το στοιχείο α∈Σ είναι ένα άνω φράγµα του συνόλου Α, τότε κάθε στοιχείο α1∈Σ
τέτοιο ώστε α1 > α είναι επίσης ένα άνω φράγµα του Α, οπότε είναι φυσικό να
αναρωτηθούµε αν υπάρχει κάποιο ελάχιστο άνω φράγµα του Α.
Ορισµός 1.1.1 Εστω Α είναι ένα άνω φραγµένο υποσύνολο του Σ. Θα λέµε ότι το
στοιχείο α∈Σ είναι ελάχιστο άνω φράγµα του συνόλου Α εάν
•
το a είναι ένα άνω φράγµα του συνόλου Α,
•
αν α1 είναι ένα άλλο άνω φράγµα του συνόλου Α τότε a ≤ a1.
Ορισµός 1.1.2 Εστω Α είναι ένα κάτω φραγµένο υποσύνολο του Σ. Θα λέµε ότι το α∈Σ
είναι µέγιστο κάτω φράγµα του συνόλου Α εάν
5
•
το a είναι ένα κάτω φράγµα του συνόλου Α,
•
αν α1 είναι ένα άλλο κάτω φράγµα του Α τότε a ≥ a1.
Σηµείωση 1 Το ελάχιστο άνω φράγµα και το µέγιστο κάτω φράγµα (εάν υπάρχουν),
ενός συνόλου Α είναι µοναδικά. Πράγµατι αν α, α1 είναι δύο ελάχιστα άνω φράγµατα
του Α τότε a ≤ a1 και a ≥ a1 , οπότε a = a1.
Το ελάχιστο άνω φράγµα συνόλου Α (αν υπάρχει) καλείται supremum (sup) του
συνόλου Α, ενώ το µέγιστο κάτω φράγµα συνόλου Α (αν υπάρχει), καλείται infimum
(inf) του συνόλου Α.
Σηµείωση 2 Το ελάχιστο άνω φράγµα και το µέγιστο κάτω φράγµα µπορεί να
ανήκουν ή να µην ανήκουν στο σύνολο Α.
Πρόταση 1.1.1 Εστω Α είναι ένα υποσύνολο συνόλου Σ και έστω α∈Σ. Τότε:
a = sup A
(i ) a ειναι ανω φραγµα του A
⇔ 
.
 (ii ) ∀ε > 0 ∃ x ∈ A : x > a − ε
Aπόδ. “ ⇒ ” Eστω α = supA. Τότε το α είναι άνω φράγµα του Α. Εστω ε > 0. Εάν για
κάθε x∈A ίσχυε x ≤ a − ε τότε το α-ε θα ήταν επίσης άνω φράγµα του Α, άρα
a ≤ a − ε ⇒ ε ≤ 0 (άτοπο). Αρα:
∀ε > 0 ∃ x ∈ A : x > a − ε .
“ ⇐ ”Aντίστροφα έστω ότι ικανοποιούνται οι (i) και (ii). Aν υποθέσουµε ότι
a ≠ sup A τότε θα υπάρχει β = sup A και β < α. Αφού λοιπόν η (ii) ισχύει για κάθε ε
> 0 θα ισχύει και για ε = α-β > 0. Τότε όµως ∃ x ∈ A : x>β (άτοπο).
Οµοίως αποδεικνύεται ότι
Πρόταση 1.1.2 Εστω Α είναι ένα υποσύνολο συνόλου Σ και έστω α∈Σ. Τότε
a = inf A
(i ) a ειναι κατω φραγµα του A
⇔ 
.
 (ii ) ∀ε > 0 ∃ x ∈ A : x < a + ε
Για να διασφαλίσουµε την ύπαρξη των sup και inf χρειαζόµαστε το ακόλουθο:
Aξίωµα (Πληρότητας ή συνέχειας): Θα λέµε ότι ένα διατεταγµένο σώµα Σ
ικανοποιεί το αξίωµα της πληρότητας αν σε οποιαδήποτε τοµή L και R του σώµατος Σ
υπάρχει αριθµός ξ∈Σ έτσι ώστε κάθε αριθµός µικρότερος του ξ να ανήκει στο σύνολο L
και κάθε αριθµός µεγαλύτερος του ξ να ανήκει στο σύνολο R.
Eνα διατεταγµένο σώµα Σ που ικανοποιεί το αξίωµα της πληρότητας καλείται ολικά
ή πλήρως διατεταγµένο σώµα και σε ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα Σ κάθε µη κενό
και φραγµένο υποσύνολο Α έχει infimum α∈Σ και supremum β∈Σ.
6
Σηµείωση
•
•
Στην περίπτωση που ένα σύνολο Α δεν είναι άνω φραγµένο θα γράφουµε ότι
sup A = +∞ .
Στην περίπτωση που ένα σύνολο Α δεν είναι κάτω φραγµένο θα γράφουµε ότι
inf A = −∞ .
H βάση των αριθµών βρίσκεται στην απλή απαρίθµηση δηλαδή στους φυσικούς
αριθµούς
= {1, 2,3,..., n,...} ,
όπου ορίζουµε τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού.
Σηµείωση 4 Το σύνολο των φυσικών αριθµών ορίζεται συχνά σαν το µικρότερο
επαγωγικό σύνολο, δηλαδή σαν το µικρότερο σύνολο που ικανοποιεί τις ιδιότητες:
•
•
1∈ ,
Αν n∈
τότε n + 1 ∈
.
Ισχύει µάλιστα
Θεώρηµα 1.1.1 (Αρχή της επαγωγής) Εστω Π(n) είναι µια µαθηµατική πρόταση
που εξαρτάται από το φυσικό αριθµό n. Aν η Π(1) είναι αληθής και αν για κάθε
φυσικό αριθµό n ισχύει
Π(n) αληθής ⇒ Π(n+1) αληθής,
τότε η πρόταση Π(n) είναι αληθής για κάθε φυσικό αριθµό n.
Το σύνολο
έχει αδυναµίες, π.χ. δεν υπάρχει αντίθετος ενός φυσικού αριθµού και
έτσι δεν µπορούµε να αφαιρέσουµε φυσικούς αριθµούς. Η άρση της αδυναµίας αυτής
γίνεται µε τον ορισµό του συνόλου των ακεραίων:
= {... − n,..., −1, 0,1,..., n,...} ,
αλλά και αυτό το σύστηµα παρουσιάζει αδυναµίες, π.χ. δεν υπάρχει πάντα ο
αντίστροφος ενός ακεραίου και άρα δεν µπορούµε να διαιρέσουµε δύο
οποιουσδήποτε ακέραιους αριθµούς (µε το αποτέλεσµα εντός του συνόλου ). Ετσι
λοιπόν ορίζουµε το σύνολο των ρητών αριθµών
m

=  : m, n ∈ Z  ,
n

το οποίο είναι πλέον διατεταγµένο σώµα. Μάλιστα είναι το µικρότερο διατεταγµένο
σώµα, αφού µπορούµε να δείξουµε ότι κάθε άλλο διατεταγµένο σώµα περιέχει το
σύνολο .
7
Μία ακόµη σηµαντική ιδιότητα του συνόλου των ρητών αριθµών (και γενικότερα
ενός διατεταγµένου σώµατος) είναι ότι η διάταξή του είναι πυκνή, δηλαδή
εάν x < y ⇒ ∃ z ∈
: x< z< y.
Πράγµατι, αρκεί να ορίσουµε: z = ( x + y )(1 + 1) −1 =
x+ y
.
2
∆υστυχώς και το σύνολο των ρητών αριθµών έχει αδυναµίες, π.χ. αν θεωρήσουµε το
σύνολο
{ x ∈ Q : x2 ≤ 2} ,
τότε το σύνολο αυτό δεν έχει supremum. Πράγµατι, ισχύει:
Πρόταση 1.1.3 ∆εν υπάρχει ρητός αριθµός α τέτοιος ώστε: a 2 = 2 .
Aπόδ. Eστω ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p, q ∈ N :
p
= 2 και οι p,q είναι
q
πρώτοι µεταξύ τους. Επειδή
2
 p
2
2
  = 2 ⇒ p = 2q
q
ο p2 είναι άρτιος, άρα και ο p είναι άρτιος. Eστω p = 2k, τότε:
p 2 = 2q 2 ⇒ 2k 2 = q 2 ,
άρα και ο q2 είναι άρτιος, συνεπώς και ο q είναι άρτιος το οποίο είναι άτοπο διότι
υποθέσαµε ότι οι p,q είναι πρώτοι µεταξύ τους.
Υπάρχουν λοιπόν αριθµοί που δεν είναι ρητοί. Αυτοί οι αριθµοί καλούνται άρρητοι
αριθµοί. Για να επιλύσουµε την παραπάνω αδυναµία του συνόλου των ρητών
αριθµών, πρέπει να δεχθούµε ένα επιπλέον αξίωµα αυτό της πληρότητας, ορίζοντας
έτσι ένα νέο σύνολο , αυτό των πραγµατικών αριθµών. ∆εχόµαστε λοιπόν ότι
Το σύνολο
των πραγµατικών αριθµών είναι ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα.
Αποδεικνύεται µάλιστα ότι:
Θεώρηµα 1.1.2 Υπάρχει µόνον ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα.
Ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις:
Πρόταση 1.1.4 Για κάθε x ∈
υπάρχει µοναδικός ακέραιος m ∈ :
m ≤ x < m +1 .
O µοναδικός αυτός ακέραιος καλείται ακέραιο µέρος του x και συµβολίζεται ως [x].
8
Πρόταση 1.1.5 (Aρχιµήδεια ιδιότητα) Αν ε > 0 και x ∈
αριθµός n ∈ :
n ε > x.
Πρόταση 1.1.6 Αν x, y ∈
τότε υπάρχει ρητός αριθµός p ∈
τότε υπάρχει φυσικός
:
x < p < y.
Η πρόταση αυτή υπονοεί ότι κάθε άρρητος αριθµός προσεγγίζεται από έναν ρητό
αριθµό µε όσο σφάλµα θέλουµε.
§ 1.2 Πληθάριθµος συνόλων
Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου Α καλείται πληθάριθµος του συνόλου Α. ∆ύο
σύνολα καλούνται ισοδύναµα όταν υπάρχει µία 1-1 αντιστοιχία µεταξύ των στοιχείων
τους. ∆ύο ισοδύναµα σύνολα έχουν τον ίδιο πληθάριθµο.
Το σύνολο
των φυσικών αριθµών είναι το µικρότερο σε πλήθος στοιχείων άπειρο
καλούνται αριθµήσιµα σύνολα. Σύνολα που δεν
σύνολο. Σύνολα ισοδύναµα µε το
είναι αριθµήσιµα καλούνται υπεραριθµήσιµα.
Αποδεικνύεται ότι τόσο το σύνολο
των ακεραίων, όσο και το σύνολο
των
ρητών αριθµών είναι αριθµήσιµα σύνολα. Όµως το σύνολο
των πραγµατικών
αριθµών είναι υπεραριθµήσιµο σύνολο (οπότε και οι άρρητοι αριθµοί είναι σύνολο
υπεραριθµήσιµο). Γενικά το αξίωµα της πληρότητας κάνει ένα διατεταγµένο σύνολο
υπεραριθµήσιµο.
§ 1.3 Τοπολογία του
Εστω α,b πραγµατικoί αριθµοί. Το σύνολο
I = {x ∈
: a < x < b}
καλείται ανοικτό διάστηµα µε άκρα τα α και b και συµβολίζεται ως (α,b). Oµοίως το
σύνολο
I = { x ∈ : a ≤ x ≤ b}
καλείται κλειστό διάστηµα µε άκρα τα α και b και συµβολίζεται µε [α,b]. Tα σύνολα
I1 = { x ∈
: a ≤ x < b}
I2 = {x ∈
: a < x ≤ b}
καλούνται ηµιανοικτά διαστήµατα µε άκρα τα α και b και συµβολίζονται µε [α,b)
και (α,b] αντίστοιχα.
Oρισµός 1.3.1 Eστω x0∈
ανοικτό διάστηµα
. Καλούµε περιοχή π ε ( x0 ) κέντρου x0 και ακτίνας ε το
9
π ε ( x0 ) = ( x0 − ε , x0 + ε ) .
Oρισµός 1.3.2 Eνα υποσύνολο Α του συνόλου των πραγµατικών αριθµών καλείται
ανοικτό σύνολο αν
∃ε > 0 : π ε ( x0 ) ⊂ A ∀x0 ∈ A .
Τα σύνολα ,
είναι ανοικτά σύνολα. Η τοµή πεπερασµένου πλήθους ανοικτών
συνόλων είναι ανοικτό σύνολο, ενώ η ένωση οσονδήποτε ανοικτών συνόλων είναι
ανοικτό σύνολο.
Oρισµός 1.3.3 Eνα υποσύνολο Α του συνόλου των πραγµατικών αριθµών καλείται
κλειστό σύνολο αν το συµπλήρωµά του -A είναι ανοικτό σύνολο.
Oρισµός 1.3.4 Eνα σηµείο x0∈
καλείται σηµείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν
∀ε > 0, π ε ( x0 ) − {x0 } ∩ A ≠ ∅ .
To σύνολο Α′ των σηµείων συσσώρευσης ενός συνόλου Α καλείται παράγωγο σύνολο
του Α. Το σύνολο A ∪ A′ καλείται κλειστότητα του Α.
Αποδεικνύονται οι ακόλουθες προτάσεις:
Πρόταση 1.3.1 Α είναι κλειστό ⇔ το Α περιέχει όλα τα σηµεία συσσώρευσης του.
Πρόταση 1.3.2 Αν x0 είναι ένα σηµείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α τότε σε κάθε
περιοχή π ε ( x0 ) του x0 υπάρχουν άπειρα στοιχεία του συνόλου Α.
Πρόταση 1.3.3 Κάθε άπειρο και φραγµένο υποσύνολο του
σηµείο συσσώρευσης.
έχει ένα τουλάχιστον
Πόρισµα 1.3.1 Τα πεπερασµένα σύνολα δεν έχουν σηµεία συσσώρευσης.
§ 1.4 Το επεκτεταµένο σύνολο
Ορίζουµε το επεκτεταµένο σύνολο των πραγµατικών αριθµών
=
∪ {-∞, +∞} ,
όπου
•
•
•
•
•
•
•
•
+∞+∞=+∞
-∞ -∞ =-∞
(+ ∞) ( + ∞ ) = + ∞
(+ ∞) ( - ∞ ) = - ∞
(- ∞) ( - ∞ ) = + ∞
(- ∞) ( + ∞ ) = - ∞
α ± ∞ = ± ∞, α∈
α (± ∞) = ± ∞, α>0
10
ως εξής
•
α / (± ∞) = 0, α∈
.
ΠΡΟΣΟΧΗ !!! Οι κάτωθι πράξεις είναι απροσδιόριστες µορφές, δηλαδή το
αποτέλεσµά τους ∆ΕΝ είναι εκ των προτέρων µονοσήµαντα ορισµένο:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1/0
+ ∞ - ∞ ή -∞ +∞
0 (± ∞ )
(±∞) / (±∞)
0/0
1±∞
(+∞)0
0-∞
00.
Χρήσιµες Ταυτότητες-Ανισότητες
n(n + 1)
2
.
n(n + 1)(2n + 1)
2
2
1 + 2 ... + n =
6
1 + ... + n =
a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n − 2b + a n −3b 2 + ... + ab n − 2 + b n −1 ), n ∈ , a, b ∈
.
Εφαρµογή. Για α = 1, b≠1, η παραπάνω ισότητα γίνεται
1 − b n = (1 − b)(1 + b + b 2 + ... + b n − 2 + b n −1 ),
ή ισοδύναµα
1 + b + b + ... + b
2
n−2
+b
n −1
1 − bn
=
(άθροισµα n-όρων γεωµετρικής προόδου).
1− b
∆ιωνυµικό ανάπτυγµα
( a + b)
n
n
n
= ∑   a k bn−k ,
k =0  k 
n
n!
oπου   =
,
 k  k !(n − k )!
0!=1, n ! = 1 2 3 ... n, n ∈
Ανισότητα Cauchy-Schwarz
 n
 ∑ | ak bk
 k =0
2
n
  n
2 
2
|  ≤  ∑ ak   ∑ bk  , ak , bk ∈
  k =0
  k =0

.
Aνισότητα γεωµετρικού-αριθµητικού-αρµονικού µέσου
11
.
n
1
1
+ ... +
a1
an
≤ n a1a2 ...an ≤
a1 + ... + an
, ai > 0, n ∈
n
.
Aνισότητα Βernoulli
(1 + x )
n
≥ 1 + n x, x > −1, n ∈
.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
Να υπολογίσετε το sup, inf και το παράγωγο σύνολο Α′
υποσυνόλων της πραγµατικής ευθείας:
A = {x ∈
των κάτωθι
: ( x − a )( x − b)( x − c) < 0} , a < b < c
B = {1 + (−1) n : n ∈
},
.


(−1) n +1
C = 1 + (−1) n +
: n∈ 
n


Λύση. (α) Είναι εύκολο να δει κανείς ότι A = (−∞, a ) ∪ (b, c) , άρα
inf A = −∞, sup A = c. Το παράγωγο σύνολο Α′ είναι A′ = [−∞, a] ∪ [b, c] .
(β) Προφανώς Β = {0,2}, το οποίο υπολογίζεται επιλέγοντας n=2k (άρτιος) ή
n=2k+1 (περιττός) αντίστοιχα, άρα: inf B = 0, sup B = 2 . Το παράγωγο σύνολο
A′ = ∅ διότι τα πεπερασµένα σύνολα δεν έχουν σηµεία συσσώρευσης.
(γ) Προφανώς το σύνολο C µπορεί να γραφεί ως εξής
n περιττος
 1/ n,
C=
,
2 − (1/ n), n a ρτιος
1
1

= 0 ) και sup C = 2 (επειδή lim n →+∞  2 −  = 2 ).
n
n

Το παράγωγο σύνολο A′ = {0, 2} , διότι ”οσοδήποτε µικρή περιοχή των δύο αυτών
άρα inf C = 0 (επειδή lim n→+∞
σηµείων και αν θεωρήσουµε”, αυτή πάντοτε θα περιέχει στοιχεία του συνόλου C.
2.
{
Να δείξετε ότι το σύνολο x ∈
}
: 0 < x < 2 δεν έχει supremum στο
.
Λύση. Εστω p είναι ένα στοιχείο του συνόλου, τότε p 2 < 2 . Θα δείξουµε ότι για
κάθε στοιχείο του συνόλου υπάρχει πάντοτε ένα µεγαλύτερο αυτού που είναι
επίσης στοιχείο του συνόλου. Υποθέτουµε λοιπόν ότι h είναι ένας ρητός αριθµός
τέτοιος ώστε 0 < h < 1 και υπολογίζουµε
12
( p + h)
2
= p 2 + 2 ph + h 2 = p 2 + ( 2 p + h ) h < p 2 + ( 2 p + 1) h ,
2 − p2
οπότε αν ορίσουµε h =
αντικαθιστώντας στο δεξιό µέλος της παραπάνω
2 p +1
σχέσης παίρνουµε
3.
( p + h)
2
< 2 , άρα ( p + h ) ∈ {x ∈ Q : x < 2} .
2
 n   n   n + 1
Nα δείξετε ότι (α) 
+  = 
,
 k − 1  k   k 
n
n
n!
oπου   =
,   = 1 και n ! = 1 2 3 ... n, n ∈
 k  k !(n − k )!  0 
( a + b)
(β)
n
.
n
n
= ∑   a k bn−k .
k =0  k 
 n  n
n!
n!
+
Λύση. (α) 
+  =
 k − 1  k  (k − 1)!(n − (k − 1))! k !(n − k )!
=
n!
n!
+
(k − 1)!(n − k )!(n − k + 1) (k − 1)! k (n − k )!
=
(n ! k ) + (n ! (n − k + 1))
n ! (n + 1)
=
(k − 1)! k (n − k )!(n − k + 1) k ! (n − k + 1)!
=
 n + 1
(n + 1)!
=
.
k ! (n + 1 − k )!  k 
(β) Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο της επαγωγής. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι για
n = 1 ισχύει η πρόταση. Υποθέτουµε ότι για λ = n ισχύει
( a + b)
n
n
n
= ∑   a k bn−k
k =0  k 
και θα δείξουµε ότι για λ = n+1 ισχύει
( a + b)
n +1
n +1 n + 1

 k n +1− k
= ∑
.
a b
k =0  k 
Πράγµατι
( a + b)
n +1
 n n

n
= ( a + b ) ( a + b ) =  ∑   a k bn−k  ( a + b )
 k =0  k 

13
n
n
n
n
= ∑   a k +1b n − k + ∑   a k b n +1− k
k =0  k 
k =0  k 
k +1= λ
=
 n  λ n +1−λ n  n  k n +1− k
+ ∑  a b
+ b n +1
∑

a b
1
k
λ
−
λ =1 
k =1  

n +1
n
 n  r n +1− r n  n  r n +1− r
= a n +1 + ∑ 
+ ∑  a b
+ b n +1
a b
r =1  r − 1 
r =1  r 
k =λ = r
n 
 n   n   r n +1− r
= a n +1 + ∑  
+ b n +1
 +  a b
r
−
r
1
r =1  
  
n
n +1 n + 1
 n + 1 r n +1− r

 r n +1− r
n +1
.
= a n +1 + ∑ 
a
b
+
b
=
∑


a b
r =1  r 
r =0  r 
4.
Nα δείξετε ότι (1 + x ) ≥ 1 + nx +
n
n(n − 1) 2
x , x > 0, n ∈
2
.
Λύση. Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο της επαγωγής. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι
για n = 1 ισχύει η πρόταση. Υποθέτουµε ότι για k = n ισχύει
(1 + x )
n
≥ 1 + nx +
n(n − 1) 2
x ,
2
και θα δείξουµε ότι για k = n+1 ισχύει
(1 + x )
n +1
≥ 1 + (n + 1) x +
(n + 1)n 2
x .
2
Πράγµατι:
(1 + x )
5.
n +1
(n − 1)n 2 
n

= (1 + x ) (1 + x ) ≥ 1 + nx +
x  (1 + x )
2


= 1 + (n + 1) x +
n(n + 1) 2 n(n − 1) 3
x +
x
2
2
≥ 1 + (n + 1) x +
n(n + 1) 2
x .
2
Εάν ∀ ε > 0 ισχύει α < b + ε να δειχθεί ότι α ≤ b .
Λύση. Θα εργασθούµε µε την εις άτοπον απαγωγή. Αν υποθέσουµε ότι ισχύει α > b ,
α −b
τότε αφού η σχέση α < b + ε ισχύει ∀ ε > 0 θα ισχύει και για ε =
> 0 . Τότε
2
14
b+ε = b+
α −b
2
=
α +b
2
< α (άτοπο),
άρα δεν ισχύει η υπόθεσή µας α > b , άρα από το νόµο της τριχοτοµίας α ≤ b .
6.
Αν Α,Β είναι φραγµένα υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών να
δειχθεί ότι
inf( A + B ) = inf A + inf B .
Λύση. Εφόσον Α,Β είναι φραγµένα υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών
αριθµών έχουν µέγιστο κάτω φράγµα infA, infB. Eστω
x ∈ A + B ⇒ x = y + z , y ∈ A, z ∈ B
⇒ x = y + z ≥ inf A + inf B ⇒ Α+Β είναι κάτω φραγµένο ⇒ inf A + inf B είναι ένα
κάτω φράγµα του Α+Β. Εφόσον το σύνολο Α+Β έχει µέγιστο κάτω φράγµα inf(A+Β)
και εφόσον το inf A + inf B είναι ένα κάτω φράγµα του έχουµε
inf( A + B ) ≥ inf A + inf B .
Αρκεί λοιπόν να δείξουµε ότι inf( A + B ) ≤ inf A + inf B . Θα εργασθούµε µε τη
µέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Υποθέτουµε ότι
inf( A + B ) > inf A + inf B ,
(α)
τότε inf( A + B ) − inf A > inf B , άρα υπάρχει z∈B:
inf( A + B ) − inf A > z ⇒ inf( A + B) − z > inf A ,
οπότε υπάρχει y∈A:
inf( A + B) − z > y ⇒ inf( A + B) > y + z ∈ A + B ,
άτοπο, διότι inf( A + B ) ≤ x ∀x ∈ A + B άρα δεν ισχύει η αρχική µας υπόθεση (α),
οπότε αναγκαστικά inf( A + B ) ≤ inf A + inf B . Εφόσον λοιπόν αποδείξαµε ότι
inf( A + B ) ≤ inf A + inf B και ταυτόχρονα inf( A + B ) ≥ inf A + inf B , από το νόµο της
τριχοτοµίας έχουµε ότι:
inf( A + B ) = inf A + inf B .
7.
Να αποδειχθεί η ανισότητα Cauchy-Schwarz:
 n
 ∑ | ak bk
 k =0
2
  n
 n

|  ≤  ∑ | ak |2   ∑ | bk |2  , ak , bk ∈
  k =0
  k =0

15
.
Λύση. Eστω λ∈
, τότε
n
n
n
n
k =0
k =0
k =0
0 ≤ ∑ | ak | −λ | bk | = ∑ | ak |2 −2λ ∑ ak bk +λ 2 ∑ | bk |2 .
2
k =0
To δεξιό µέλος της παραπάνω ισότητας είναι ένα τριώνυµο του λ µη αρνητικό για
κάθε τιµή του λ, άρα πρέπει η διακρίνουσά του να είναι µικρότερη ή ίση του µηδενός,
δηλαδή:
2
 n

 n
 n

∆ ≤ 0 ⇔ 4  ∑ ak bk  − 4  ∑ | ak |2   ∑ | bk |2  ≤ 0,
 k =0

 k =0
  k =0

οπότε προκύπτει το ζητούµενο.
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να υπολογίσετε το sup, inf και το παράγωγο σύνολο Α′ των κάτωθι υποσυνόλων
της πραγµατικής ευθείας:
n

2
A = 1 + (−1) n +   : n ∈
3


,

.
2

n = 3k
 1+ n ,

1

B =  2− ,
n = 3k + 1 , k ∈
n

1 + (−1) n , n = 3k + 2


2. Με τη µέθοδο της επαγωγής να δείξετε ότι:
n(n + 1)
2
.
n(n + 1)(2n + 1)
2
2
1 + 2 ... + n =
6
1 + ... + n =
3. Nα δείξετε ότι 2 + 3 ∉ .
4. Αν Α,Β φραγµένα υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών, να δείξετε
ότι:
(i ) sup( A + B) = sup A + sup B,
(ii ) inf( A ∪ B ) = min {inf A,inf B} ,
 λ inf A, λ > 0
(iii ) inf(λ A) = 
, λ∈
λ sup A, λ < 0
16
.
n n
 n
5. Nα δειχθεί ότι   +   + ... +   = 2n .
0 1
 n
(Υπόδειξη. Xρησιµοποιείστε κατάλληλα το διωνυµικό ανάπτυγµα).
6. Αν ai , bi > 0 ∀i µε a12 + a22 + ... + ann = 1 και b12 + b22 + ... + bnn = 1, να δείξετε ότι:
( a1b1 + a2b2 + ... + anbn )
2
≤ 1.
(Υπόδειξη. Xρησιµοποιείστε κατάλληλα την ανισότητα Cauchy-Schwarz).
n
n +1
7. Nα δειχθεί ότι n ! ≤ 
 .
 2 
(Υπόδειξη. Xρησιµοποιείστε κατάλληλα την ανισότητα γεωµ.-αριθµ. µέσου).
17
KΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ
§ 2.1 Ορισµοί
Ας θεωρήσουµε δύο σύνολα Α, Β. Μία απεικόνιση f : A → B καλείται συνάρτηση
αν σε κάθε στοιχείο x ∈ A αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y ∈ B . Το σύνολο Α
καλείται πεδίο ορισµού της συνάρτησης f ενώ το σύνολο Β καλείται σύνολο άφιξης
της συνάρτησης f. Κάθε στοιχείο y του συνόλου Β καλείται εικόνα του στοιχείου x
µέσω της συνάρτησης f και συµβολίζεται ως y = f(x).
των πραγµατικών αριθµών τότε η f
Aν το σύνολο Β είναι υποσύνολο του συνόλου
καλείται πραγµατική συνάρτηση. Αν το πεδίο ορισµού της f είναι υποσύνολο του
τότε η f καλείται συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής. Στο εξής θα ασχοληθούµε
µόνο µε πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής.
Εστω f : A ⊆
•
→
. Τότε:
Το σύνολο f ( A) = { y ∈
f. Προφανώς f ( A) ⊆
•
: y = f ( x)} καλείται πεδίο τιµών της συνάρτησης
.
H f καλείται αµφιµονότιµη συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της εάν
∀x1 , x2 ∈ A : x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
ή ισοδύναµα εάν
∀x1 , x2 ∈ A : f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 .
•
Η f καλείται επί του συνόλου B ⊆ αν ∀y ∈ B ∃x ∈ A : f ( x) = y . Προφανώς
η f είναι επί του πεδίου τιµών της f(Α).
Σηµείωση 1 Μία αµφιµονότιµη συνάρτηση f : A ⊆
1-1.
•
Η f καλείται άνω φραγµένη στο Α εάν
∃M∈
•
: f ( x) ≤ M ∀x ∈ A .
Η f καλείται κάτω φραγµένη στο Α εάν
∃M∈
•
→ f ( A) καλείται συνάρτηση
: f ( x) ≥ M ∀x ∈ A .
Η f καλείται φραγµένη στο Α εάν
18
∃ m,M ∈
: m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ A .
Ισοδύναµα η f καλείται φραγµένη στο Α εάν
∃ M > 0 : | f ( x) |≤ M ∀x ∈ A .
•
H f καλείται γνησίως αύξουσα (αντ. αύξουσα) στο Α εάν
∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 (αντ . x1 ≤ x2 ) ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) (αντ . f (x1 ) ≤ f ( x2 )) .
•
Η f καλείται γνησίως φθίνουσα (αντ. φθίνουσα) στο Α εάν
∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 (αντ . x1 ≤ x2 ) ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) (αντ . f (x1 ) ≥ f ( x2 )) .
Αν µία συνάρτηση f είναι (γνησίως) αύξουσα ή (γνησίως) φθίνουσα στο Α τότε
λέµε ότι η f είναι (γνησίως) µονότονη στο Α.
•
Η f καλείται άρτια συνάρτηση στο Α εάν για κάθε x ∈ A , − x ∈ A και
f (− x) = f ( x) .
Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης είναι συµµετρική ως προς τον
άξονα y′y.
•
Η f καλείται περιττή συνάρτηση στο Α εάν για κάθε x ∈ A , − x ∈ A και
f (− x) = − f ( x) .
Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης είναι συµµετρική ως προς
την αρχή των αξόνων.
•
Η f καλείται Τ- περιοδική συνάρτηση αν για κάθε x ∈ A , x + T ∈ A και
f ( x + T ) = f ( x) ,
όπου ο Τ είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οποίο ισχύει η παραπάνω
ισότητα. Οι γραφικές παραστάσεις περιοδικών συναρτήσεων είναι
επαναλαµβανόµενες “κόπιες” ανά διαστήµατα µήκους Τ.
∆ύο συναρτήσεις f1 : A1 → f ( A1 ), f 2 : A2 → f ( A2 ) καλούνται ίσες όταν έχουν κοινό
πεδίο ορισµού και ίδιο τύπο, δηλαδή όταν Α1 = Α2 και f1 ( x) = f 2 ( x), ∀x ∈ A1 .
19
§ 2.2 Πράξεις µε συναρτήσεις
Εστω f1 : A1 → f ( A1 ), f 2 : A2 → f ( A2 ) είναι πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής
µεταβλητής, τότε ορίζουµε τις κάτωθι πράξεις:
Πρόσθεση: ∀x ∈ A1 ∩ A2 ,
( f1 + f 2 ) ( x) =
f1 ( x) + f 2 ( x) .
Aφαίρεση: ∀x ∈ A1 ∩ A2 ,
( f1 − f 2 ) ( x) =
f1 ( x) − f 2 ( x) .
Πολ/σµός: ∀x ∈ A1 ∩ A2 ,
( f1 f 2 ) ( x) =
f1 ( x) f 2 ( x) .
∆ιαίρεση: ∀x ∈ A1 ∩ A2 − { x : f 2 ( x) = 0} ,
( f1
/ f 2 ) ( x) = f1 ( x) / f 2 ( x) .
Σύνθεση συναρτήσεων: Eστω f : A ⊆ → f(A) ⊆ , g : f(A) → B ⊆
ορίζουµε τη σύνθεση g f : A → B των συναρτήσεων f και g ως εξής
, τότε
g f ( x) = g ( f ( x) ) .
Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι για να ορίζεται η σύνθεση g f θα πρέπει
πάντοτε το πεδίο τιµών της συνάρτησης f να ταυτίζεται µε το πεδίο ορισµού της
συνάρτησης g.
Αντίστροφη συνάρτηση: Eστω f : A ⊆
συνάρτηση, τότε ορίζεται η συνάρτηση
→ f ( A), y = f ( x)
είναι µία 1-1
f −1 : f ( A) → A : x = f −1 ( y ) ,
η οποία καλείται αντίστροφη συνάρτηση της f(x) και ισχύει
f
f −1 ( x) = f ( f −1 ( x)) = f −1 ( f ( x)) = f −1 f ( x) = x.
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x.
y = f ( x) και z = f −1 ( x) είναι
Παραµετρικές εξισώσεις καµπύλης
Θεωρούµε ένα διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας και ορίζουµε τις συναρτήσεις
a : I → a( I ) : x = a (t )
β : I → β ( I ) : y = β (t )
.
Για κάθε t ∈ I τα σηµεία µε συντεταγµένες (a(t),β(t)) ορίζουν µία καµπύλη του
επιπέδου όχι κατ’ ανάγκη γραφική παράσταση συνάρτησης.
20
Οι συναρτήσεις x=α(t), y=β(t), t∈I καλούνται παραµετρικές εξισώσεις της
καµπύλης.
Eάν η συνάρτηση α(t) είναι 1-1 τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση t = α-1(x),
oπότε oρίζεται η συνάρτηση
y : a ( I ) → β ( I ) : y = β (t ) = β (a −1 ( x)) = β a −1 ( x) .
§ 2.3 Οριο συναρτήσεων
Εστω f : A ⊆ → f ( A) είναι µία πραγµατική συνάρτηση και έστω x0 είναι σηµείο
συσσώρευσης του πεδίου ορισµού Α της f. Θα λέµε ότι η f έχει όριο στο σηµείο x0 τον
αριθµό λ όταν µπορούµε να βρούµε πάντοτε µία “περιοχή” του σηµείου x0 τέτοια
ώστε όλες οι τιµές f(x) που αντιστοιχούν στη συγκεκριµένη περιοχή να βρίσκονται
“εγκλωβισµένες οσοδήποτε κοντά θέλουµε” σε µία “περιοχή” του αριθµού λ.
Τι εννοούµε όµως όταν µιλάµε για περιοχή σηµείου;
Υπενθυµίζουµε ότι στο Κεφάλαιο 1 (σελ. 11) ορίσαµε την περιοχή π ε ( x0 ) ενός
σηµείου x0 κέντρου x0 και ακτίνας ε να είναι το ανοικτό διάστηµα ( x0 − ε , x0 + ε ) .
Θα επεκτείνουµε αυτό τον ορισµό στην περίπτωση x0 = ±∞.
Oρισµός 2.3.1 Eστω ε>0. Καλούµε περιοχή του σηµείου x0∈
το ανοικτό διάστηµα
( x0 − ε , x0 + ε ), οταν x0 ∈

π ε ( x0 ) =  (ε , +∞),
οταν x0 = +∞ .
 (−∞, −ε ),
οταν x0 = −∞

Eχοντας πλέον ορίσει την έννοια της περιοχής σηµείου µπορούµε να περιγράψουµε
µε µαθηµατικό τρόπο τον ορισµό του ορίου που δώσαµε διαισθητικά. Εχουµε λοιπόν
Oρισµός 2.3.2 Εστω f : A ⊆
→ f ( A) και x0 είναι ένα σηµείο συσσώρευσης του Α.
Θα λέµε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο σηµείο x0∈
lim x → x0 f ( x) = λ , αν
τον αριθµό λ∈
, συµβολικά
∀ε > 0 ∃δ (ε , x0 ) > 0 : ∀x ∈ (π δ ( x0 ) − {x0 }) ∩ A ⇒ f ( x) ∈ π ε (λ ).
Ο παραπάνω ορισµός παριστάνεται γραφικά στα ακόλουθα ενδεικτικά σχήµατα:
Σχήµα 1 Εστω x0∈
, λ∈
.
Οποιο ε>0 και αν επιλέξουµε, υπάρχει πάντα ένα διάστηµα (x0-δ,x0+δ), έτσι ώστε
για κάθε x∈ A ∩ (x0-δ,x0+δ)-{x0} η αντίστοιχη τιµή f(x) εγκλωβίζεται εκατέρωθεν
του πραγµατικού αριθµού λ στο διάστηµα (λ-ε,λ+ε).
21
Σχήµα 2 Εστω x0∈
, λ=+∞.
Οποιο Μ>0 και αν επιλέξουµε, υπάρχει πάντα ένα διάστηµα (x0-δ,x0+δ), έτσι
ώστε για κάθε x∈ A ∩ (x0-δ,x0+δ) )-{x0} η αντίστοιχη τιµή f(x) είναι µεγαλύτερη
του Μ.
Σχήµα 3 Εστω x0∈
, λ=-∞.
Οποιο Μ>0 και αν επιλέξουµε, υπάρχει πάντα ένα διάστηµα (x0-δ,x0+δ), έτσι
ώστε για κάθε x∈ A ∩ (x0-δ,x0+δ)-{x0}, η αντίστοιχη τιµή f(x) είναι µικρότερη
του -Μ.
Σηµείωση 2
•
Το σηµείο συσσώρευσης x0 δεν ανήκει κατ’ανάγκη στο πεδίο ορισµού της
συνάρτησης f.
•
H f δεν έχει όριο στο σηµείο x0 αν ισχύει η άρνηση του ορισµού, δηλαδή:
∃ε > 0 : ∀δ > 0 ∃x ∈ A ∩ π δ ( x0 ) − {x0 }: f ( x) ∉ π ε (λ ).
22
•
Για να υπάρχει το όριο lim x → x0 f ( x) δεν είναι αναγκαίο να ορίζεται η τιµή
f(x0).
Σηµείωση 3 Μία συνάρτηση xn : → µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών
αριθµών καλείται ακολουθία. Αποδεικνύεται ότι:
lim x → x0 f ( x) = λ ⇔ ∀( xn ) : lim n→+∞ xn = x0 ⇒ lim n→+∞ f ( xn ) = λ .
(3.1)
H σχέση (3.1) είναι πολύ χρήσιµη σε περιπτώσεις όπου θέλουµε να δείξουµε ότι δεν
υπάρχει το όριο lim x → x0 f ( x) . Αρκεί να βρούµε δύο ακολουθίες xn και yn:
lim n→+∞ xn = lim n→+∞ yn = x0 και lim n→∞ f ( xn ) ≠ lim n→∞ f ( yn ).
Πρόταση 2.3.1 Το όριο µιας συνάρτησης (εάν υπάρχει) σ’ ένα σηµείο συσσώρευσης x0
είναι µοναδικό.
Πρόταση 2.3.2 Αν lim x → x0 f ( x) = λ ≠ 0 τότε υπάρχει περιοχή του σηµείου x0 όπου η
f(x) διατηρεί το πρόσηµο του ορίου λ.
Πρόταση 2.3.3 Αν f(x)>0 (αντίστ. f(x)<0) σε µία περιοχή ενός σηµείου x0 τότε
lim x → x0 f ( x) ≥ 0 (αντίστ. lim x → x0 f ( x) ≤ 0 ) υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει.
ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ
Υποθέτουµε ότι ένα σηµείο x κινείται πάνω στην πραγµατική ευθεία προς την
κατεύθυνση ενός σηµείου x0 κινούµενο εξ αριστερών του σηµείου x0, δηλαδή x < x0
και x→ x0. Αν ισχύει f(x)→λ1 όταν x→ x0 κατά την κίνηση που περιγράψαµε λέµε ότι
η συνάρτηση f έχει εξ αριστερών όριο στο σηµείο x0 τον αριθµό λ1 και γράφουµε:
lim x→ x− f ( x) = λ1 .
0
Υποθέτουµε τώρα ότι ένα σηµείο x κινείται πάνω στην πραγµατική ευθεία προς την
κατεύθυνση ενός σηµείου x0 κινούµενο εκ δεξιών του σηµείου x0, δηλαδή x > x0 και
x→ x0. Αν ισχύει f(x)→λ2 όταν x→ x0 κατά την κίνηση που περιγράψαµε λέµε ότι η
συνάρτηση f έχει εκ δεξιών όριο στο σηµείο x0 τον αριθµό λ2 και γράφουµε:
lim x → x+ f ( x) = λ2 .
0
Προφανώς
lim x → x0 f ( x) = λ ⇔ lim x → x+ f ( x) = lim x → x− f ( x) = λ .
0
0
Σηµείωση 4 Ενδείκνυται η χρήση πλευρικών ορίων στις ακόλουθες περιπτώσεις:
(α) όταν x→ x0, το x0 είναι ρίζα του αριθµητή ή του παρονοµαστή µιας ρητής
συνάρτησης f(x) και το πρόσηµο της f εναλλάσσεται εκατέρωθεν του x0,
23
(β) όταν υπάρχει ακέραιο µέρος στον τύπο της f, ο x0 είναι ακέραιος αριθµός και x→
x0 εντός του ακεραίου µέρους,
(γ) όταν υπάρχει απόλυτη τιµή στον τύπο της f, x→ x0 και το x0 είναι ρίζα της
ποσότητας µέσα στο απόλυτο.
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΟΡΙΑ
Eστω lim x → x0 f ( x) = λ1 και lim x → x0 g ( x) = λ2 , (λ1,λ2∈
). Τότε
lim x → x0 ( f ( x) ± g ( x) ) = λ1 ± λ2
lim x → x0 ( f ( x) g ( x) ) = λ1 λ2
lim x → x0 ( f ( x) / g ( x) ) = λ1 / λ2 , λ2 ≠ 0
lim x → x0
n
f ( x) = n λ1 , f ( x) ≥ 0, λ1 ≥ 0
.
lim x → x0 f ( x) = λ1
f ( x) ≤ g ( x) ⇒ λ1 ≤ λ2
Πρόταση 2.3.4 (Παρεµβολή)
Εάν f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) και lim x → x0 f ( x) = lim x→ x0 h( x) = λ. Τότε lim x → x0 g ( x) = λ .
Πρόταση 2.3.5 Εστω f : A → f ( A) : y = f ( x), g : f ( A) → B : z = g ( y ) . Εάν
υπάρχει το lim x → x0 f ( x) = λ ∈ και το lim y →λ g ( y ) = m ∈ και αν υπάρχει περιοχή
π ε ( x0 ) του σηµείου x0 τέτοια ώστε f ( x) ≠ λ ∀x ∈ π ε ( x0 ) − {x0 } , τότε
lim x → x0 ( g f )( x) = m ∈
.
ΓΝΩΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΓΝΩΣΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
lim x →0
ηµ (ax)
x
= a,
+∞, a > 0
lim x →+∞ x a = 
 0 a<0
x
 a
lim x →+∞ 1 +  = ea
 x
ηµ x ≤ x ≤ εφ x
Για να υπολογίσουµε όρια συναρτήσεων εφαρµόζουµε τις ιδιότητες ορίων, εφόσον
όµως δεν προκύπτουν απροσδιόριστες µορφές. Στην περίπτωση που έχουµε
απροσδιόριστες µορφές θα πρέπει να ”άρουµε” την απροσδιοριστία ώστε στη
συνέχεια να µπορέσουµε να χρησιµοποιήσουµε τις συνήθεις ιδιότητες των ορίων.
Οσον αφορά τις απροσδιόριστες µορφές της µορφής ∞/∞, 0/0, ∞-∞, συνήθως
χρησιµοποιούµε τεχνικές όπως π.χ. ο πολ/σµός και διαίρεση µε συζυγή παράσταση
24
και τον κανόνα L’ Hospital που θα αναφέρουµε στο επόµενο κεφάλαιο (βλέπε επίσης
άσκ. 5 (δ), (η)). Οσον αφορά τις απροσδιόριστες µορφές 00, 1∞, 0-∞ ,(+∞)0,
εργαζόµαστε ως εξής:
Εστω f : A ⊆
lim x →λ f ( x)
g ( x)
→ [0, +∞) , g : A ⊆
→
. Τότε
 f (λ ) g ( λ ) ,
εαν lim x→λ f ( x) > 0, lim x →λ g ( x) ∈
.
=
+
− {0,1}, lim x →λ g ( x) = ±∞
0 η + ∞, εαν lim x →λ f ( x) ∈
Aν συµβεί κάποια από τις απροσδιόριστες µορφές 00 ,1±∞ , 0−∞ , ( +∞ ) εργαζόµαστε ως
0
εξής:
Εστω h( x) = f ( x) g ( x ) , τότε
lim x →λ ln ( h( x) ) = lim x →λ ln ( f ( x) g ( x ) ) ⇔ ln ( lim x →λ h( x) ) = lim x →λ ( g ( x) ln ( f ( x) ) ) .
Για να υπολογίσουµε το lim x →λ ( g ( x) ln ( f ( x) ) ) χρησιµοποιούµε τον κανόνα L’
Hospital (απροσδιοριστία 0 ⋅ ∞ την οποία µετασχηµατίζουµε σε απροσδιοριστία 0/0 ή
∞/∞ και παίρνουµε τελικά
lim x →λ f ( x) g ( x ) = elim x→λ ( g ( x )ln( f ( x ))) .
§ 2.4 Συνέχεια-Θεωρήµατα συνεχών συναρτήσεων
Oρισµός 2.4.1 Εστω f : A → f ( A), A ⊂
x0∈Α εάν
. Θα λέµε ότι η f είναι συνεχής στο σηµείο
∀ε > 0 ∃δ (ε , x0 ) > 0 : ∀x ∈ A ∩ π δ ( x0 ) ⇒ f ( x) ∈ π ε ( f ( x0 )).
Επειδή στην περίπτωση αυτή το σηµείο x0 και η τιµή f(x0) είναι πραγµατικοί αριθµοί,
οι περιοχές π δ ( x0 ), π ε ( f ( x0 )) είναι ανοικτά διαστήµατα (βλέπε σελ. 18) και ο
παραπάνω ορισµός µπορεί να γραφεί ως εξής:
∀ε > 0 ∃δ (ε , x0 ) > 0 : ∀x ∈ A : x − x0 < δ ⇒
f ( x) − f ( x0 ) < ε .
Σηµειώνουµε ότι µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε µεµονωµένα σηµεία του πεδίου
ορισµού της. Τελικά έχουµε:
Εστω f : A → f ( A), A ⊆
, x0∈Α. H f είναι συνεχής στο σηµείο x0 αν
(α) το x0 είναι µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της,
(β) το x0 είναι σηµείο συσσώρευσης του πεδίου ορισµού της, υπάρχει το lim x → x0 f ( x)
και επιπλέον lim x → x0 f ( x) = f ( x0 ) .
25
Στο εξής θα θεωρούµε ότι το x0∈Α είναι σηµείο συσσώρευσης του Α. Τότε
f συνεχής στο x0 ⇔ lim − f ( x) = lim + f ( x) = f ( x0 ) .
x→ x
x→ x
0
0
Επίσης ισχύει
f συνεχής στο x0 ⇔ f ( x0 + h) − f ( x0 ) → 0, h → 0.
Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και αν υποθέσουµε ότι το x0 είναι σηµείο
συσσώρευσης τότε ισχύει η σχέση (3.1) σελ. 23 για λ = f(x0), oπότε:
∀( xn ) : xn → x0 ⇒ f ( xn ) → f ( x0 ) ,
άρα:
lim n→+∞ f ( xn ) = f ( x0 ) = f ( lim n →+∞ xn ) .
Ετσι προκύπτει και η ακόλουθη:
Πρόταση 2.4.1 Αν f : A → f ( A) είναι συνεχής στο x0∈A και η g : f ( A) → B είναι
συνεχής στο f(x0), τότε και η σύνθεση g f είναι συνεχής στο x0∈A και ισχύει
lim x → x0 ( g f )( x) = g ( f ( x0 )) = g (lim x → x0 f ( x)).
Η πρόταση αυτή µας επιτρέπει να κάνουµε αλλαγή µεταβλητής στον υπολογισµό
ορίων. Για παράδειγµα
lim x →+∞
( )
ηµ 1 x
x
y=
1
x
= lim y →0
ηµ ( y )
1
y
= lim y →0 y ηµ ( y ) = 0 ,
αφού οι συναρτήσεις y = 1/x, y = ηµx είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους.
Σηµεία ασυνέχειας-Συνεχής επέκταση
Όταν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο x0 λέµε ότι το x0 είναι σηµείο
ασυνέχειας της f. Yπάρχουν δύο ειδών σηµεία ασυνέχειας:
Σηµεία ασυνέχειας 1ου είδους: υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι διαφορετικά.
Σηµεία ασυνέχειας 2ου είδους: ένα ή και τα δύο πλευρικά όρια είτε δεν υπάρχουν είτε
δεν είναι πεπερασµένα.
Αν τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίδια, τότε λέµε ότι η ασυνέχεια είναι
απαλείψιµη και µπορούµε να επεκτείνουµε συνεχώς τη συνάρτηση µας.
26
Oρισµός 2.4.2 Εστω f : A → , x0 είναι σηµείο συσσώρευσης του Α, x0 ∉ A . Αν
υπάρχει συνάρτηση g : A ∪ {x0 } → έτσι ώστε f(x) = g(x) ∀x ∈ A και
g ( x0 ) = lim x → x0 f ( x) θα λέµε ότι η g(x) είναι συνεχής επέκταση της f(x).
Παράδειγµα 1 Εστω f :
− {0} →
+
, f ( x) =
1 − cos | x |
. Εστω x > 0.
| x|
Παρατηρούµε ότι:
 |x|
 x
2sin 2 
sin 2 


1 − cos | x |
,
 2 =1
 2  
f ( x) =
=
→1
x→0
2
|x|
|x|
2  x 2


 2 
άρα υπάρχει η συνεχής επέκταση της f:
 f ( x), x ∈ − {0}
.
g ( x) =  1
x
,
=
0
 2
Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων
Πρόταση 2.4.3 Αν f , g : A →
είναι συνεχείς στο x0∈A τότε και οι
f ( x) ± g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) / g ( x), µε g ( x0 ) ≠ 0
είναι επίσης συνεχείς στο x0∈A. Επίσης η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής
συνάρτηση.
Πρόταση 2.4.3 Αν f : A → είναι συνεχής στο x0∈A τότε ∃δ > 0 έτσι ώστε η f να
είναι φραγµένη στο ανοικτό διάστηµα (x0-δ,x0+δ).
Βασικά θεωρήµατα συνεχών συναρτήσεων
Θεώρηµα 2.4.1 (Βοlzano) Αν f :[a, b] →
είναι συνεχής µε f(α)f(b) < 0, τότε
υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοικτό διάστηµα (α,b).
Θεώρηµα 2.4.2 (ενδιαµέσων τιµών) Αν f :[a, b] → είναι συνεχής µε f(α) ≠ f(b) ,
τότε η f(x) παίρνει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ των τιµών f(a) και f(b), είναι φραγµένη στο
[α,b] και το πεδίο τιµών της είναι κλειστό διάστηµα.
Θεώρηµα 2.4.3 Αν f :[a, b] → είναι συνεχής και γνησίως µονότονη στο κλειστό
διάστηµα [α,b] τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής η οποία έχει το ίδιο είδος
µονοτονίας µε την f..
27
Θεώρηµα 2.4.4 Αν f : I → f ( I ) είναι συνεχής και 1-1 σε διάστηµα Ι τότε είναι
γνησίως µονότονη στο Ι.
§ 2.5 Μερικές γνωστές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους
1. Η εκθετική συνάρτηση.
Oρίζουµε ως εκθετική συνάρτηση µε βάση ένα θετικό πραγµατικό αριθµό α τη
συνάρτηση
f : → + : f ( x) = a x .
Iδιότητες:
•
Το πεδίο τιµών της εκθετικής συνάρτησης είναι το ανοικτό διάστηµα (0,+∞).
•
Για κάθε τιµή του α > 0 ισχύει
 εαν a > 1

εαν 0 < a < 1
f γνησιως αυξουσα
.
f γνησιως φθινουσα
Eάν α = 1 προφανώς έχουµε τη σταθερή συνάρτηση f(x) = 1.
•
H εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής και 1-1 συνάρτηση.
•
Ο άξονας x′x είναι οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της
εκθετικής συνάρτησης.
( a1a2 )
•
x
= a1x a2x , x ∈ , a1 , a2 > 0
a− x =
1
,
ax
(a )
= a xy , x, y ∈
x
y
.
a x a y = a x + y , x, y ∈
( ab )
x
= a x b x , x ∈ , a, b > 0
2. Η συνάρτηση Logax.
Eφόσον η εκθετική συνάρτηση είναι συνάρτηση 1-1 για κάθε α > 0 (α ≠ 1) ορίζεται η
αντίστροφη συνάρτηση αυτής που καλείται λογαριθµική συνάρτηση µε βάση το
θετικό αριθµό α:
28
log a x :
+
→
, α > 0, α ≠ 1.
Iδιότητες:
•
Το πεδίο ορισµού της λογαριθµικής συνάρτησης είναι το ανοικτό διάστηµα
(0,+∞).
•
Για κάθε τιµή του α > 0 ισχύει:
 a > 1,

0 < a < 1,
f γνησιως αυξουσα
.
f γνησιως φθινουσα
•
H λογαριθµική συνάρτηση είναι συνεχής και 1-1 συνάρτηση.
•
Ο άξονας y′y είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της
λογαριθµικής συνάρτησης.
log a ( a x ) = x = a loga x , x ∈
+
,
log a ( xy ) = log a x + log a y, x, y ∈
•
+
log a ( x / y ) = log a x − log a y, x, y ∈
log a ( x b ) = b log a x, x ∈
+
,
+
,
.
, b∈ ,
log a a = 1, log a 1 = 0
log b x =
log a x
, x∈
log b a
+
, a, b > 0, a, b ≠ 1
oταν a > 1
 x > 1,
log a x > 0 ⇔ 
0 < x < 1, oταν 0 < a < 1
y'y
H συν άρτηση fHxL=log 2 x
y'y
H συν άρτηση fHxL=log 0 . 7x
25
2.5
2
4
6
8
10
20
x'x
-2.5
15
-5
10
-7.5
5
-10
2
-12.5
4
6
8
10
x'x
-5
Εάν α = e, παίρνουµε τον νεπέριο λογάριθµο που συνήθως συµβολίζουµε µε lnx.
Oταν γράφουµε logx συνήθως εννοούµε το λογάριθµο µε βάση το 10.
3. Tριγωνοµετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους
(α) Η συνάρτηση ηµίτονο, ηµx: →[-1,1] είναι 2π-περιοδική συνάρτηση µε πεδίο
τιµών το κλειστό διάστηµα [-1,1].
29
fHxL=sinx
1
0.5
−π
−
π
2
π
2
π
x'x
-0.5
-1
Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση ηµx είναι 1-1 συνάρτηση και µάλιστα γνησίως
µονότονη στο διάστηµα [-π/2,π/2] (και γενικότερα στα διαστήµατα [kπ-π/2, kπ+π/2],
k∈ ), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο
ηµιτόνου και συµβολίζουµε ως τοξηµx ή arcsinx ή sin-1x ως εξής:


τοξηµ x :[−1,1] →  kπ −
π
2
, kπ +
π
2 
, k∈ .
Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο ηµιτόνου (k = 0):
 π π
τοξηµ x :[−1,1] →  − , 
 2 2
fHxL=arcsinx
1.5
1
0.5
-1
1
x'x
-0.5
-1
-1.5
(β) Η συνάρτηση συνηµίτονο, συνx:
→[-1,1] είναι 2π-περιοδική συνάρτηση µε
πεδίο τιµών το κλειστό διάστηµα [-1,1].
fHxL=cosx
1
0.5
π
2
π
3π
2
2π
x'x
-0.5
-1
Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση συνx είναι 1-1 συνάρτηση και µάλιστα γνησίως
µονότονη στο διάστηµα [0,π] (και γενικότερα στα διαστήµατα [kπ, kπ+π], k∈ ),
oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο συνηµιτόνου
και συµβολίζουµε ως τοξσυνx ή arccosx ή cos-1x:
τοξσυν x :[−1,1] → [ kπ , kπ + π ] , k ∈ .
Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο συνηµιτόνου (k = 0):
30
τοξσυν x :[−1,1] → [ 0, π ]
fHxL=arccosx
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
x'x
1
-{kπ+π/2: k∈ }→
είναι π-περιοδική
(γ) Η συνάρτηση εφαπτοµένη, εφx:
συνάρτηση µε πεδίο τιµών όλο το . Oι ευθείες x = kπ ± π/2 είναι κατακόρυφες
ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της εφx.
fHxL=tanx
75
50
25
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
x'x
-25
-50
-75
Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση εφx είναι 1-1 συνάρτηση και µάλιστα γνησίως
αύξουσα στο ανοικτό διάστηµα (-π/2,π/2), (και γενικότερα στα διαστήµατα (kπ-π/2,
kπ+π/2) k∈Z), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε
τόξο εφαπτοµένης και συµβολίζουµε ως τοξεφx ή arctanx ή tan-1x:
τοξεφ x :
π
π

→  k π − , kπ +  , k ∈ .
2
2

Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο εφαπτοµένης (k = 0):
 π π
→ − , 
 2 2
τοξεφ x :
fHxL=arctanx
1.5
1
0.5
-10
-5
5
10
x'x
-0.5
-1
-1.5
(δ) Η συνάρτηση συνεφαπτοµένη, σφx: -{kπ: k∈ } →
είναι π-περιοδική µε
. Oι ευθείες x = kπ±π είναι κατακόρυφες ασύµπτωτες της
πεδίο τιµών όλο το
γραφικής παράστασης της σφx.
31
fHxL=cotx
75
50
25
-25
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x'x
-50
-75
Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση σφx είναι 1-1 συνάρτηση και µάλιστα γνησίως
φθίνουσα στο ανοικτό διάστηµα (0,π), (και γενικότερα στα διαστήµατα (kπ, kπ+π),
k∈ ), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο
συνεφαπτοµένης και συµβολίζουµε ως τοξσφx ή arccotx ή cot-1x:
τοξσφ x :
→ ( kπ , kπ + π ) , k ∈ .
Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο συνεφαπτοµένης (k = 0):
τοξσφ x :
→ ( 0, π ) .
Χρήσιµες τριγωνοµετρικές ταυτότητες
ηµ ( x ± y ) = ηµ x συν y ± συν x ηµ y
συν ( x ± y ) = συν x συν y ∓ ηµ x ηµ y
εφ x ± εφ y
εφ ( x ± y ) =
1 ∓ εφ xεφ y
ηµ (2 x) = 2ηµ x συν x
συν (2 x) = 1 − 2ηµ 2 x = 2συν 2 x − 1
ηµ ( x + y ) + ηµ ( x − y ) = 2ηµ x συν y
συν ( x + y ) + συν ( x − y ) = 2συν x συν y
συν ( x + y ) − συν ( x − y ) = −2ηµ x ηµ y
4. Υπερβολικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους
(α) Η συνάρτηση
sinh x :
e x − e− x
→ , sinh x =
2
καλείται υπερβολικό ηµίτονο. Είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο
32
.
fHxL=sinhx
10
5
-3
-2
-1
1
2
3
x'x
-5
-10
Αφού η sinhx είναι συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση στο , oρίζεται η
αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµβολίζουµε µε sinh-1x: → .
(β) Η συνάρτηση
e x + e− x
→ [1, +∞), coshx =
2
cosh x :
καλείται υπερβολικό συνηµίτονο. Είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση µε πεδίο τιµών
το διάστηµα [1,+∞).
fHxL=Coshx
10
8
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
x'x
Παρατηρούµε ότι η coshx είναι συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση στο
[0,+∞), oπότε oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµβολίζουµε µε
cosh-1x:
co s h −1 x :[1, +∞) → [0, +∞) .
(γ) Η συνάρτηση
→ (−1,1), tanhx =
tanh x :
e x − e− x
e x + e− x
καλείται υπερβολική εφαπτοµένη. Είναι συνεχής και περιττή συνάρτηση µε πεδίο
τιµών το ανοικτό διάστηµα (-1,1).
fHxL=Tanhx
1
0.5
-3
-2
-1
1
-0.5
-1
33
2
3
x'x
Παρατηρούµε ότι η tanhx είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο ,
oπότε oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµβολίζουµε µε tanh-1x:
tanh −1 x : (−1,1) →
.
(δ) Η συνάρτηση
coth x :
- {0} → (−∞, −1) ∪ (1, +∞), cothx =
e x + e− x
e x − e− x
καλείται υπερβολική συνεφαπτοµένη. Είναι συνεχής και περιττή συνάρτηση µε πεδίο
τιµών την ένωση διαστηµάτων (-∞,-1)∪(1,+∞), ενώ οι ευθείες y = ±1 είναι
οριζόντιες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της cothx.
fHxL=cothx
4
2
-10
-5
5
10
x'x
-2
-4
Παρατηρούµε ότι η cothx είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σε καθένα
από τα διαστήµατα (-∞,-1), (1,+∞), oπότε oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής
την οποία συµβολίζουµε µε coth-1x:
coth −1 x : (−∞, −1) ∪ (1, +∞) →
- {0} .
Xρήσιµες ιδιότητες των υπερβολικών συναρτήσεων
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
sinh( x ± y ) = sinh x coshy ± cosh x sinhy .
cosh( x ± y ) = cosh x coshy ± sinh x sinhy
tanh x ± tanh y
tanh( x ± y ) =
1 ± tanh x tanh y
.
sinh(2 x) = 2sinh x sinhy
cosh(2 x) = 1 + 2sinh 2 x = 2 cosh 2 x − 1
5. Πολυωνυµικές συναρτήσεις
Κάθε συνάρτηση της µορφής:
f:
→ , f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n , ai ∈ , n ∈
καλείται πολυωνυµική συνάρτηση βαθµού n.
34
Για n = 1 παίρνουµε τις γραµµικές συναρτήσεις
f ( x) = a0 + a1 x ,
οι οποίες καλούνται έτσι διότι η γραφική τους παράσταση είναι µία ευθεία γραµµή.
Για n = 2 παίρνουµε τα τριώνυµα
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 , a2 ≠ 0 ,
οι γραφικές παραστάσεις των οποίων είναι παραβολές. Εάν a2 > 0 , οι παραβολές
στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω, ενώ εάν a2 < 0 οι παραβολές στρέφουν τα κοίλα
προς τα κάτω. Οι ρίζες του τριωνύµου υπολογίζονται από τη σχέση
ρ1,2 =
−a1 ± ∆
,
2a2
όπου ∆ είναι η διακρίνουσα: ∆ = a12 − 4a0 a2 . Yπενθυµίζουµε ότι το τριώνυµο έχει
πραγµατικές ρίζες ρ1,ρ2, αν και µόνον αν η διακρίνουσά του είναι µεγαλύτερη ή ίση
του µηδενός. Ακόµη:
a
−a
ρ1 + ρ 2 = 1 , ρ1 ρ 2 = 0 .
a2
a2
Τέλος όσον αφορά το πρόσηµο του τριωνύµου αυτό είναι ετερόσηµο του συντελεστή
της µεγιστοβάθµιας δύναµης του x (δηλαδή του α2) στο διάστηµα εντός των ριζών,
δηλαδή στο (ρ1,ρ2), όπου ρ1<ρ2. Αν ρ1=ρ2, τότε το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α2.
Αν η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι αρνητική τότε το τριώνυµο είναι οµόσηµο του
α2 .
Οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους:
1. οι πολυωνυµικές
2. οι τριγωνοµετρικές και οι αντίστροφές τους
3. οι εκθετικές
4. οι λογαριθµικές
5. οι υπερβολικές και οι αντίστροφές τους
35
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( x) =
x3
, x∈
x2 + 1
είναι αµφιµονότιµη.
Λύση. Αρκεί να δειχθεί ότι f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y, x, y ∈
f ( x) = f ( y ) ⇒
. Εχουµε λοιπόν:
x3
y3
=
⇒ x3 ( y 2 + 1) = y 3 ( x 2 + 1) ⇒ ( x3 − y 3 ) + ( x 3 y 2 − x 2 y 3 ) = 0
2
2
x +1 y +1
⇒ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) + ( xy ) 2 ( x − y ) = 0 ⇒ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + ( xy ) 2 ) = 0 ,
άρα x = y , διότι x 2 + xy + y 2 + ( xy ) 2 ≥ 0.
2. Εστω f , g , h : →
x∈
τέτοιες ώστε ( g f )( x) = x και (h g )( x) = x για κάθε
. Να δειχθεί ότι f = h.
Λύση. Iσχύει: ( g f )( x) = x ⇒ h ( ( g f ) ) ( x) = h( x) ⇒ (h ( g f ))( x) = h( x)
⇒ ( ( h g ) f ) ( x) = h( x) ⇒ ( h g )( f ( x) ) = h( x) ⇒ f ( x) = h( x)
Παρατήρηση: Iσχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: ( h g ) f = h
(g
f ).
3. Να δείξετε ότι:
π

0≤ x≤π
 τοξηµ(συνx)= 2 − x,
.

x
π
ηµ (τοξεφ x) =
, 0≤ x<
2
1 + x2

 π
 π
Απόδ. τοξηµ(συνx)= τοξηµ  ηµ  − x   = − x .
 2
 2
x = εφ ( τοξεφ x)=
ηµ(τοξεφ x)
ηµ(τοξεφ x)
α(x)
=
=
,
2
συν(τοξεφ x)
1- ηµ (τοξεφ x)
1- α(x)2
όπου το αρνητικό πρόσηµο µπροστά από τη ρίζα απορρίπτεται διότι η συνάρτηση
συν(τοξεφx) είναι θετική συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της. Λύνουµε ως προς α και
παίρνουµε:
x
a ( x) =
,
1+ x 2
όπου το αρνητικό πρόσηµο απορρίπτεται λόγω του γεγονότος ότι η συνάρτηση
a( x) = ηµ(τοξεφ x) είναι θετική στο ηµιανοικτό διάστηµα [0,π/2).
36
4. Mε χρήση του ορισµού να δειχθεί ότι:
lim x →1
1
lim x →+∞ ln   = −∞ .
 x
1
= +∞,
( x − 1) 2
Λύση. Ισχύει ο oρισµός που δώσαµε στη σελ. 22:
lim x → xo f ( x) = λ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ (ε , x0 ) > 0 : ∀x ∈ π δ ( x0 ) − {x0 } ⇒ f ( x) ∈ π ε (λ ) .
Ο παραπάνω ορισµός συγκεκριµενοποιείται ως εξής (βλέπε επίσης σελ. 22):
(α) f(x)=1/(x-1)2, x0 = 1, λ = + ∞ , πδ(x0) = (1-δ,1+δ), πε(λ) = (ε,+∞), άρα ο ορισµός
του ορίου γίνεται:
lim x →1 f ( x) = +∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ (1 − δ ,1 + δ ) − {1} ⇒ f ( x) ∈ (ε , +∞ ) .
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι f ( x) ∈ (ε , +∞) ή ισοδύναµα ότι f(x) > ε. Εχουµε:
f ( x) =
1
1
> 2,
2
( x − 1)
δ
διότι
x ∈ (1 − δ ,1 + δ ) ⇒ 1 − δ < x < 1 + δ ⇒ −δ < x − 1 < δ ⇒| x − 1|< δ ⇒
Θέτουµε ε =
1
δ
2
⇒δ =
1
ε
, οπότε ισχύει:
∀ε > 0 ∃δ =
άρα lim x →1
1
1
> 2.
2
| x − 1| δ
1
ε
: ∀x ∈ (1 − δ ,1 + δ ) ⇒ f ( x) >
1
δ2
= ε,
1
= +∞.
( x − 1) 2
(β) f(x)=ln(1/x), x0 = + ∞ , λ = - ∞ , πδ(x0) = (δ,+ ∞ ), πε(λ) = (-∞,-ε), άρα ο ορισµός
του ορίου γίνεται:
lim x →1 f ( x) = +∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ (δ , +∞ ) ⇒ f ( x) ∈ (−∞, −ε ) .
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι f ( x) ∈ (−∞, −ε ) ή ισοδύναµα ότι f(x) < - ε. Εχουµε:
1
f ( x) = ln   = ln1 − ln x = − ln x < − ln δ ,
 x
διότι η συνάρτηση ln(x) είναι γνησίως αύξουσα και
37
x ∈ (δ , +∞) ⇒ x > δ ⇒ ln x > ln δ ⇒ − ln x < − ln δ
µε την προϋπόθεση ότι δ>1. Θέτουµε ε = ln δ ⇒ δ = eε και παίρνουµε:
∀ε > 0 ∃δ = eε > 0 : ∀x ∈ (δ , +∞) ⇒ f ( x) < − ln δ = −ε ,
1
άρα lim x →+∞ ln   = −∞ .
 x
5 Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια:
(a) lim x →3
( )
2
x2
1
, (β) lim x→0 ηµ   , (γ) lim x →0 x 2συν e x +1
x −3
 x
x2
(δ ) lim x →−∞
x3 − 2 x 2 + 1
 x +1 
 2x −1 
, (ε) lim x →+∞ 
 , (στ) lim x→+∞ 

2
4 x − 3x + 3
 2x + 1 
 2x + 5 
x2
1
(ζ ) lim x →+∞ x x , (η) lim x →+∞ ( x − x + 1)
Λύση. (α) Παρατηρούµε ότι το σηµείο συσσώρευσης x0 = 3 είναι ρίζα του
παρονοµαστή, οπότε χρησιµοποιούµε πλευρικά όρια (βλέπε σελ. 24) και έχουµε:
lim x →3+
lim x →3−
x2
= +∞
x−3
,
x2
= −∞
x −3
άρα δεν υπάρχει το όριο.
(β) Εστω f(x) = ηµ(1/x). Θα δείξουµε ότι δεν υπάρχει το όριο χρησιµοποιώντας την
παρατήρηση στη σελίδα 23. Ορίζουµε λοιπόν δύο ακολουθίες (xn), (yn) που τείνουν
στο ίδιο σηµείο συσσώρευσης που στην προκειµένη περίπτωση είναι το x0 = 0, αλλά
οι αντίστοιχες ακολουθίες f(xn), f(yn) δεν τείνουν στο ίδιο όριο. Πράγµατι έστω
xn =
1
2π n
, n ∈ , yn =
1
, n∈
2π n + (π / 2)
*
,
τότε xn → 0, yn → 0, (n → +∞), αλλά:
π

f ( xn ) = ηµ ( 2π n ) , yn = ηµ  2π n +  , n ∈
2

άρα: f ( xn ) = 0, f ( yn ) = 1, οπότε δεν υπάρχει το όριο.
38
*
,
2
2
(γ) Εχουµε: x 2συν (e x +1 ) = x 2 συν (e x +1 ) ≤ x 2 → 0, x → 0, άρα από το κριτήριο της
παρεµβολής το ζητούµενο όριο είναι το µηδέν.
(δ) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή ∞/∞. Βγάζουµε κοινό παράγοντα από αριθµητή
και παρονοµαστή ξεχωριστά την µεγιστοβάθµια δύναµη του x και στη συνέχεια
εφαρµόζουµε ιδιότητες των ορίων (Θα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε L’ Hospital).
lim x →−∞
2 1
1− + 3
x3 − 2 x 2 + 1
x3
x x
= lim x →−∞ 2
2
4 x − 3x + 3
x 4− 3 + 3
x x2
= lim x →−∞ x lim x →−∞
2 1
1− + 3
x x = (−∞) 1 − 0 + 0 = −∞ .
2 3
4−0+0
4− + 2
x x
(ε) Παρατηρούµε ότι το όριο της βάσης είναι lim x →+∞
x +1 1
= (βλέπε (δ)), ενώ το
2x +1 2
όριο του εκθέτη είναι lim x →+∞ x 2 = +∞ , άρα
x2
 x +1 
1
lim x →+∞ 
 = 
 2x +1 
2
+∞
=0.
2x −1
= 1 (βλέπε (δ)), ενώ το
2x + 5
όριο του εκθέτη είναι lim x →+∞ x 2 = +∞ , άρα έχουµε απροσδιόριστη µορφή 1∞.
Εργαζόµαστε ως εξής (βλέπε σελ. 26):
(στ) Παρατηρούµε ότι το όριο της βάσης είναι lim x →+∞
x
  2x −1 x
 2x −1 

y ( x) = 
lim
ln
y
(
x
)
lim
ln
⇔
=
( )
x →+∞
x →+∞

  2 x + 5 
 2x + 5 

2
 2 x − 1  ∞⋅0
= lim x →+∞ x ln 
 = lim x→+∞
 2x + 5 
2
2




 2x −1 
ln 

 2 x + 5  0=/ 0 − ∞ L ' Hospital
(
)
1
x2
Aρα
lim x →+∞ ln ( lim x →+∞ y ( x) ) = −∞ ⇔ lim x→+∞ y ( x) = e−∞ = 0. .
(ζ) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή (+∞)0. Εργαζόµαστε ως εξής (βλέπε σελ. 26):
1
x
1
y=x =e
ln x x
άρα:
39
=e
1
ln x
x
,
1
x
lim x →+∞ x = lim x →+∞ e
1
ln x
x
=e
lim x→+∞
ln x
x
= e0 = 1 .
(η) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή +∞-∞. Πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε τη
συζυγή παράσταση:
x − x +1 =
(
x − x +1
)(
x + x +1
x + x +1
)=
−1
,
x + x +1
άρα:
lim x →+∞ ( x − x + 1) = lim x →+∞
= − lim x →+∞
−1
1
= − lim x →+∞
x + x +1
x
1
lim x →+∞
x
1
1
1+ 1+
x
1
1+ 1+
1
x
= −(0) (1)=0 .
 2 x, x ≤ 0
. Να βρεθεί η τιµή του α ώστε η f(x) να είναι συνεχής.
 a, x > 0
6. Εστω f ( x) = 
Λύση. Προφανώς η f(x) είναι συνεχής για κάθε x ∈
έχουµε:
− {0} . Για το σηµείο x0 = 0,
lim x→0+ f ( x) = a , lim x →0− f ( x) = 0 , f(0) = 0,
άρα για να είναι η f συνεχής στο x0 = 0 πρέπει
lim x →0+ f ( x) = lim x →0− f ( x) = f (0) = 0 ,
άρα α = 0.
7. Εστω f συνεχής συνάρτηση στο
για την οποία ισχύει:
2 + f ( x)( x5 − 1) = 3 2 x 2 + 6 .
Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f.
2x2 + 6 − 2
. Για x = 1 έχουµε απροσδιόριστη µορφή
x5 − 1
0/0. Επειδή όµως η f είναι συνεχής συνάρτηση στο
το όριο αυτό πρέπει να
υπάρχει και να ισούται µε την τιµή f(1). Πράγµατι πολλαπλασιάζω και διαιρώ µε
Λύση. Εστω x≠1, τότε: f ( x) =
3
συζυγή παράσταση (α3-β3 = (α-β) (α2+αβ+β2), για α =
40
3
2 x 2 + 6 και β = 2 ):
f (1) = lim x →1 f ( x) = lim x →1
= lim x →1
= lim x →1
= lim x→1
3
2 x2 + 6 − 2
x5 − 1
(
3
2 x2 + 6 − 2
)(
3
(2 x 2 + 6) 2 + 2 3 2 x 2 + 6 + 4
)
( x − 1) ( x 4 + x3 + x 2 + x + 1) ( 3 (2 x 2 + 6)2 + 2 3 2 x 2 + 6 + 4 )
2( x − 1)( x + 1)
( x − 1) ( x 4 + x3 + x 2 + x + 1) ( 3 (2 x 2 + 6)2 + 2 3 2 x 2 + 6 + 4 )
(x
4
+ x3 + x 2 + x + 1)
(
2( x + 1)
3
(2 x 2 + 6) 2 + 2 3 2 x 2 + 6 + 4
)
=
1
.
15
8. Eστω f συνεχής στο κλειστό διάστηµα [0,2α] µε f(0) = f(2α). Να δείξετε ότι
υπάρχει ένα τουλάχιστον x0∈(0,α) έτσι ώστε: f(x0) = f(x0+α).
Λύση. Ορίζουµε τη συνάρτηση g(x) = f(x) – f(x+α). Η g είναι συνεχής στο [0,2α] και
g (0) = f (0) − f (a)
,
g (a) = f (a) − f (2a) = f (a) − f (0)
άρα g (0) g (a ) = − ( f (0) − f (a) ) ≤ 0 , συνεπώς το ζητούµενο προκύπτει µε εφαρµογή
2
του θεωρήµατος Bolzano.
9. Εστω f συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x+y) = f(x) + f(y), για κάθε x,y∈ . Aν η
f(x) είναι συνεχής στο x0 = 0 να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής σε όλο το
.
Λύση. Εστω y = 0, τότε f(x+0) = f(x) + f(0) ⇒ f(0)=0. Για να δείξω τη συνέχεια σε
όλο το
αρκεί να δείξω ότι f ( x + h) − f ( x) → 0, h → 0 για κάθε x ∈ . Πράγµατι:
f ( x + h) − f ( x) = f ( x) + f (h) − f ( x) = f (h) = f (h) − 0 = f (h) − f (0) → 0
όταν h→0 , αφού υποθέσαµε ότι η f είναι συνεχής στο x0 = 0.

1
1 − x   , x > 0
. Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στοx0 = 0.
10. Εστω f ( x) = 
x

0,
x=0

Λύση. Eστω x > 1, τότε (1/x) < 1. Αρα [1/x] = 0, συνεπώς f(x) = 1. Eστω 0 < x < 1.
Αν 1/(n+1) < x ≤ 1/n, n∈ , τότε: n ≤ 1/x < n+1, συνεπώς f(x) = 1-nx, άρα:
41
x >1
 1,

f ( x) = 
1 − nx,
Eχoυµε λοιπόν για
1
1.
<x<
n +1
n
1
1
<x< :
n +1
n
| f ( x) − f (0) |=| f ( x) |= 1 − nx < 1 − n
1
→ 0, n → +∞ ,
n +1
άρα η f είναι συνεχής στο x0 = 0.
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια:
(a) lim x→1
4
| x 2 − 1|
x −1
 x +1
, (β) lim x →0 ηµ  2  , (γ) lim x →1 3
2x + 2
x −1
 x 
x
(δ ) lim x →+∞
(ζ ) lim x→0−
xηµ x
x −π / 2
 x+3
, (ε) lim x →+∞ 
 , (στ) lim x → π
2
x +3
1 − ηµ x
 x −1 
2
x
, (η) lim x →+∞ ( ( x + 1)( x + 2) − x), (θ) lim 1 [2 x − 1]
x→
2 − 2συν x
2
2. Nα δείξετε ότι οι συναρτήσεις ηµx, συνx είναι συνεχείς στο
.
3. Εστω f ( x) = lim n→+∞ (cos x) 2 n , n ∈ . Για ποιες τιµές του x ∈
η συνάρτηση f
είναι συνεχής;

1
1 − xηµ   , x ≠ 0
. Yπολογίστε την τιµή του α ώστε η f να είναι
4. Εστω f ( x) = 
 x

a,
x=0

συνεχής στο .
x∈
1,
0, x ∈ −
5. Εστω f ( x) = 
. Εξετάστε αν η f είναι συνεχής στο
6. Εστω f πραγµατική συνάρτηση τέτοια ώστε:
42
.
f ( x + 1) = f ( x), ∀x ∈
f ( x) = x3 + kx 2 + λ x + µ , ∀x ∈ [0,1)
.
Nα βρεθεί η τιµή f(1) και η συνθήκη που πρέπει να ισχύει ώστε η f να είναι συνεχής
στο .
7. Aν οι πραγµατικές συναρτήσεις f, φ ικανοποιούν την f 2 ( x) + x 2ϕ 2 ( x) = x 2 − 1
όπου x ≥ 1 , να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f, φ είναι συνεχείς στα σηµεία x0 =1 και x0
= -1 υπό την προϋπόθεση ότι τα lim x → x0 f ( x) και lim x → x0 ϕ ( x) υπάρχουν και είναι
πραγµατικοί αριθµοί.
8. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f ( x) = [ x] + x − [ x] είναι συνεχής στο
.
9. Nα δείξετε ότι αν α>0 τότε υπάρχει µοναδικός θετικός αριθµός x τέτοιος ώστε xn =
*
α, n ∈ .
43
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
§ 3.1 Ορισµοί
Ορισµός 3.1.1 Εστω f : A → f ( A) , A ⊂
πραγµατική συνάρτηση και έστω x0∈Α
είναι σηµείο συσσώρευσης του Α. Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0 εάν
υπάρχει λ ∈ :
f ( x) − f ( x0 )
= λ.
lim x → x0
x − x0
Ισοδύναµα:
f ( x0 + h) − f ( x0 )
= λ , x0 + h ∈ A .
lim h →0
h
Το µοναδικό αυτό όριο (αν υπάρχει), καλείται παράγωγος της f στο σηµείο x0 και
συµβολίζεται µε f′(x0 ).
Eφόσον η παράγωγος συνάρτησης είναι ένα όριο µπορούµε να ορίσουµε τα πλευρικά
όρια και έχουµε:
Ορισµός 3.1.2 Εστω f : A → f ( A) όπως παραπάνω. Θα λέµε ότι η f είναι
παραγωγίσιµη από δεξιά (αντ. από αριστερά) του σηµείου x0 εάν υπάρχει λ ∈ :
lim h→0+
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 )


= λ ,  αντ. lim h →0−
= λ . .
h
h


Τa παραπάνω όριa (αν υπάρχoυν), καλούνται παράγωγος της f εκ δεξιών (αντ. εξ
αριστερών) του σηµείου x0 και συµβολίζονται µε f +′( x0 ) ( αντ. f −′( x0 ) ) . Προφανώς:
f παραγωγισιµη στο x0 ⇔ f ′( x0 ) = f +′( x0 ) = f −′( x0 ).
Σηµείωση 1 Αν οι παράγωγοι εκ δεξιών και εξ αριστερών της f στο x0 υπάρχουν
αλλά είναι διαφορετικές µεταξύ τους, ή αν κάποια από αυτές (ή και οι δύο) δεν
υπάρχει (δεν υπάρχουν) τότε θα λέµε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0. Είναι
δυνατόν µία συνάρτηση να µην είναι παραγωγίσιµη σε κανένα σηµείο του πεδίου
ορισµού της.
είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0∈Α τότε
Πρόταση 3.1.1 Αν η f : A → f ( A) , A ⊂
η f είναι συνεχής στο x0.
f ( x) − f ( x0 )
→ f ′( x0 ) ⋅ 0 = 0,
( x − x0 ) 
x → x0
x − x0
→ f ( x0 ).
άρα f ( x) 
x → x0
Απόδ. f ( x) − f ( x0 ) =
44
Σηµείωση 2 Το αντίστροφο της Πρότασης 3.1.1 δεν ισχύει. Για παράδειγµα η
αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο
συνάρτηση f(x) = |x| είναι συνεχής στο
x0 = 0. Πράγµατι:
f (0 + h) − f (0)
h
= lim h→0+ = 1 ,
lim h→0+
h
h
ενώ
f (0 + h) − f (0)
−h
= lim h→0+
= −1 .
lim h →0−
h
h
Εφόσον τα πλευρικά όρια στο σηµείο x0 = 0 είναι διαφορετικά µεταξύ τους η f(x) δεν
είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0 = 0.
Ορισµός 3.1.3 Εστω f : A → f ( A) , A ⊂
σηµείο του Α. Τότε ορίζεται η συνάρτηση
g = f ′: A →
πραγµατική και παραγωγίσιµη σε κάθε
: g ( x) = f ′( x) ,
η οποία καλείται παράγωγος συνάρτηση της f. Eάν υπάρχει η g′, τότε λέµε ότι η f είναι
δύο φορές παραγωγίσιµη στο Α και γράφουµε g ′( x) = f ′′( x) . Γενικά χρησιµοποιούµε
το συµβολισµό
f ( k ) ( x) =
d k f ( x)
dx k
για να δηλώσουµε την k-παράγωγο µιας συνάρτησης f. Aν η f έχει άπειρες παραγώγους,
τότε λέµε ότι είναι απειροδιαφορίσιµη συνάρτηση.
§ 3.2 Γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου
Εστω f : A → f ( A) , A ⊂
και η f είναι πραγµατική συνάρτηση παραγωγίσιµη σε
σηµείο x. Eστω x+h∈Α και P(x,f(x)), Q(x+h,f(x+h)) είναι σηµεία της γραφικής
παράστασης της f (βλέπε σχήµα 3.1).
Σχήµα 3.1
Το ευθύγραµµο τµήµα PQ έχει κλίση ίση µε:
εφ (θ (h)) =
f ( x + h) − f ( x )
,
h
45
όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει το ευθύγραµµο τµήµα PQ µε τον άξονα x′x. H
εξίσωση της ευθείας γραµµής που ορίζουν τα σηµεία P,Q είναι η ακόλουθη:
y − f ( x0 ) = εφ (θ (h)) ( x − x0 ) .
H oριακή θέση του ευθυγράµµου τµήµατος PQ όταν Q → P κατά µήκος της
καµπύλης που ορίζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) καλείται
εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f(x) στο σηµείο x. Όταν όµως Q → P
κατά µήκος αυτής της καµπύλης τότε h → 0 , συνεπώς αν ω είναι η γωνία που
σχηµατίζει η εφαπτόµενη ευθεία στη γραφική παράσταση της f(x) στο σηµείο x µε
τον άξονα x′x, έχουµε:
lim h→0
f ( x + h) − f ( x )
= lim h→0 εφ (θ (h)) = εφ ( lim h→0 θ (h) ) = εφω ,
h
δηλαδή:
f ′( x0 ) = εφω .
Κατ’ επέκταση, η εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας στη γραφική παράσταση της
f(x) στο σηµείο x0 γίνεται:
y − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ( x − x0 ) .
(3.1)
∆ιαφορικό συνάρτησης
Από τον ορισµό της παραγώγου έχουµε:
f ( x + h) − f ( x) = h f ′( x) + ε (h)h, οπου ε (h) → 0 οταν h → 0.
Aν θέσουµε y = f(x), ∆x=h=(x+h)-x και ∆y=f(x+h) – f(x), τότε η παραπάνω γίνεται:
∆y = ∆x f ′( x) + ε (∆x)∆x, οπου ε (∆x) → 0 οταν ∆x → 0.
O όρος ∆x f ′( x) καλείται διαφορικό της y ως προς x και συµβολίζεται µε dy.
∆ηλαδή:
dy = df ( x) = f ′( x) ∆x .
Aν µάλιστα θεωρήσουµε τη συνάρτηση f(x) = x, τότε f′(x) = 1, άρα dy = dx = ∆x,
oπότε:
dy = df ( x) = f ′( x) dx ,
απ΄όπου δικαιολογείται και ο συµβολισµός της παραγώγου f ′( x) = dy
λοιπόν έχουµε:
∆y = dy + ε (∆x)∆x, οπου ε (∆x) → 0 οταν ∆x → 0,
46
dx
. Τελικά
δηλαδή το διαφορικό dy είναι µία προσέγγιση της µεταβολής ∆y µε την έννοια ότι η
διαφορά τους γίνεται όσο µικρή θέλουµε για ∆x αρκετά µικρό.
Μία συνάρτηση f(x) για την οποία ορίζεται το διαφορικό της σ’ ένα σηµείο x λέµε ότι
είναι διαφορίσιµη στο x και αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι η f παραγωγίσιµη
στο x µε πεπερασµένη παράγωγο.
Αν υπάρχει η f ′′( x) (και θεωρήσουµε ότι η ποσότητα dx είναι σταθερή συνεπώς
ανεξάρτητη του x ), τότε
d 2 f ( x) = d ( df ( x) ) = d ( f ′( x)dx ) = d ( f ′( x) ) dx = f ′′( x)dx ⋅ dx = f ′′( x) ( dx ) .
2
Η ποσότητα d 2 f ( x) καλείται διαφορικό 2ης τάξης της συνάρτησης f. Εάν ορίσουµε
dx 2 = ( dx ) ,
2
τότε από η παραπάνω ισότητα γίνεται
d f ( x) = f ′′( x)dx 2 ⇔ f ′′( x) =
2
d 2 f ( x)
.
dx 2
Γενικεύοντας παίρνουµε
f ( k ) ( x) =
d k f ( x)
.
dx k
§ 3.3 Iδιότητες της παραγώγου
Πρόταση 3.3.1 Εστω f , g : A → f ( A) , A ⊂ είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο
σηµείο x0∈Α, και α∈ , τότε oι συναρτήσεις αf, f+g, fg, f/g (g(x0)≠0) είναι
παραγωγίσιµες στο σηµείο x0∈Α και
( af )′ ( x0 ) = af ′( x0 )
(f
± g )′ ( x0 ) = f ′( x0 ) ± g ′( x0 )
( fg )′ ( x0 ) =
f ′( x0 ) g ( x0 ) + f ( x0 ) g ′( x0 ).
 f ′
f ′( x0 ) g ( x0 ) − f ( x0 ) g ′( x0 )
  ( x0 ) =
2
( g ( x0 ) )
g
Απόδ. Εφαρµογή του ορισµού. Ενδεικτικά θα αποδείξουµε την ισότητα για την
παράγωγο γινοµένου.
( fg )′ ( x0 ) = lim h→0
( fg ) ( x0 + h) − ( fg ) ( x0 ) = lim
h
47
h →0
f ( x0 + h) g ( x0 + h) − f ( x0 ) g ( x0 )
h
= lim h→0
( f ( x0 + h) − f ( x0 ) ) g ( x0 + h) + f ( x0 ) ( g ( x0 + h) − g ( x0 ) )
h
( f ( x0 + h) − f ( x0 ) ) g ( x
= lim h→0
0
h
+ h) + lim h→0
( g ( x0 + h) − g ( x0 ) ) f ( x )
0
h
= f ′( x0 ) lim h→0 g ( x0 + h) + g ′( x0 ) f ( x0 ) = f ′( x0 ) g ( x0 ) + g ′( x0 ) f ( x0 ) ,
λόγω συνεχείας της συνάρτησης g(x). Oµοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες
ιδιότητες.
Σηµείωση 3. H Πρόταση 3.3.1 ισχύει και για το διαφορικό συναρτήσεων.
Πόρισµα 3.3.1 (Leibnitz) Eστω f , g : A → f ( A) ,
παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο σηµείο x0∈Α, τότε:
( fg )
(n)
A⊂
είναι
n-φορές
n
n!
n
n
.
( x0 ) = ∑   f ( n − k ) ( x0 ) g ( k ) ( x0 ), οπου   =
 k  k !(n − k )!
k =0  k 
Aπόδ. Επαγωγικά.
Πρόταση 3.3.2 (Κανόνας αλυσίδας) Εστω f : I → J είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη
είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο σηµείο f(x0)∈J.
στο σηµείο x0∈Ι και g : J →
Τότε και η σύνθετη συνάρτηση ( g f ) ( x) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0∈Ι και
ισχύει:
(g
f )′ ( x0 ) = g ′ ( f ( x0 ) ) f ′( x0 ) .
Πρόταση 3.3.3 (Παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησης) Εστω f : I →
είναι
συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση σε διάστηµα Ι, x0∈I, υπάρχει η f ′( x0 ) και
ισχύει f ′( x0 ) ≠ 0 . Τότε η αντίστροφη συνάρτηση f −1 είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο
y0 = f ( x0 ) και ισχύει:
( f )′ ( y ) =
−1
0
1
.
f ′( x0 )
Παράδειγµα 1 Να δειχθεί ότι για το πρωτεύων τόξο ηµιτόνου ισχύει
(τοξηµ x )′ =
1
1 − x2
, x ∈ (−1,1) .
Εχουµε: y = τοξηµ x ⇔ x = ηµ y , y∈(-π/2,π/2), άρα:
(τοξηµ x )′ =
1
(ηµ y )′
=
1
συν y
48
=
1
1 − ηµ 2 y
=
1
1 − x2
,
εφόσον συνy > 0 όταν y∈(-π/2,π/2).
Πίνακας παραγώγων βασικών συναρτήσεων
f(x)
f(x) = c, c=σταθερά
f(x) = xa, a∈
f(x) = ex
f(x) = lnx, x > 0
f(x) = ax, a>0
f(x) = ηµx
f(x) = συνx
f(x) = εφx
f(x) = σφx
f(x) = sinhx
F(x) = coshx
f(x) = τοξηµx, x∈(-1,1)
f′(x)
f′(x) = 0
f′(x) = a xa-1, a∈
f′(x) = ex
f′(x) = 1/x
f′(x) = ax lna
f′(x) = συνx
f′(x) = -ηµx
f′(x) = 1/συν2x
f′(x) = -1/ηµ2x
f′(x) = coshx
f′(x) = sinhx
f(x) =τοξσυνx, x∈(-1,1)
f′(x) = - 1/ 1 − x 2
f′(x) = 1/ 1 − x 2
f′(x) = 1/ (1 + x 2 )
F(x) =τοξεφx
είναι
Πρόταση 3.3.4 (Κανόνας L’ Hospital) Εστω ότι οι συναρτήσεις f , g : I →
συνεχείς στο ανοικτό διάστηµα Ι, ο πραγµατικός αριθµός α είναι ένα άκρο του Ι και
έστω
lim x →a f ( x) = lim x →a g ( x) = 0,
ή
lim x →a f ( x) = lim x →a g ( x) = ±∞.
Αν οι f ′( x), g ′( x) υπάρχουν σε όλα τα σηµεία του Ι, g ( x) ≠ 0, g ′( x) ≠ 0 σε κάθε
f ′( x)
είναι πραγµατικός αριθµός ή το ±∞ , τότε:
σηµείο του Ι και αν το όριο lim x →a
g ′( x)
lim x →a
Σηµείωση 4 Αν
ή
f ( x)
f ′( x)
= lim x →a
.
g ( x)
g ′( x)
lim x →a f ′( x) = lim x →a g ′( x) = 0,
lim x →a f ′( x) = lim x→a g ′( x) = ±∞,
και όλες οι υπόλοιπες προϋποθέσεις του κανόνα L’ Hospital ικανοποιούνται, τότε αν
f ′′( x)
υπάρχουν οι f ′′( x), g ′′( x) και επιπλέον αν το lim x →a
είναι πραγµατικός
g ′′( x)
αριθµός ή το ±∞ , τότε:
49
lim x →a
f ( x)
f ′( x)
f ′′( x)
= lim x →a
= lim x →a
.
g ( x)
g ′( x)
g ′′( x)
Σηµείωση 5 Μπορεί να µην υπάρχει το όριο lim x →a
lim x →a
f ′( x)
αλλά να υπάρχει το όριο
g ′( x)
f ( x)
.
g ( x)
§ 3.4 Εφαρµογές της παραγώγου
Ορισµός 3.4.1 Εστω A ⊂
και f : A → f ( A) . Θα λέµε ότι η f έχει τοπικό µέγιστο
(αντ. τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο ξ∈Α, εάν υπάρχει ε>0 έτσι ώστε να ισχύει
f ( x) ≤ f (ξ ) (αντ. f ( x) ≥ f (ξ ) ) για κάθε x∈ π ε (ξ ) ∩ A . O αριθµός ξ καλείται
τοπικό ακρότατο της f.
Θεώρηµα 3.4.1 (Fermat) Αν η f : ( a, b ) →
έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο
ξ ∈ ( a, b ) και είναι παραγωγίσιµη στο ξ τότε f ′(ξ ) = 0 .
Απόδ. Ισχύει f ′(ξ ) = f +′(ξ ) = f −′(ξ ) . Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε
ότι το σηµείο ξ∈Α είναι τοπικό µέγιστο της f. Τότε
f +′(ξ ) = lim h →0+
f (ξ + h) − f (ξ )
≤0
h
σε µία περιοχή του σηµείου ξ, ενώ
f −′(ξ ) = lim h→0−
f (ξ + h) − f (ξ )
≥0
h
σε µία περιοχή του σηµείου ξ, δηλαδή f ′(ξ ) = f +′(ξ ) = f −′(ξ ) = 0.
Το Θεώρηµα Fermat υπονοεί ότι όταν αναζητούµε τοπικά ακρότατα µιας
παραγωγίσιµης συνάρτησης σε ανοικτό διάστηµα τότε τα πιθανά σηµεία είναι
•
•
εκείνα στα οποία µηδενίζεται η 1η παράγωγος.
Τα σηµεία όπου δεν υπάρχει η παράγωγος.
Σηµείωση 6 Το αντίστροφο του Θεωρήµατος 3.4.1 δεν ισχύει. Για παράδειγµα η
συνάρτηση f : (−1,1) → , f ( x) = x3 ικανοποιεί την f ′(0) = 0 , αλλά δεν έχει τοπικό
ακρότατο στο σηµείο ξ = 0.
Θεώρηµα 3.4.2 (Rolle) Eστω α,b∈
, α<b και f :[a, b] →
(i) η f είναι συνεχής στο [α,b],
(ii) η f είναι παραγωγίσιµη στο (α,b) και
(iii) f (α) = f (b),
50
. Αν
τότε υπάρχει ξ∈(α,b) έτσι ώστε f ′(ξ ) = 0 .
Απόδ. Αν η f είναι σταθερά τότε κάθε ξ∈(α,b) ικανοποιεί την f ′(ξ ) = 0 . Χωρίς
περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι f ( x0 ) > f (a) για κάποιο x0 ∈ [a, b] .
Λόγω συνεχείας της f υπάρχει ξ∈[α,b] τέτοιο ώστε f ( x) ≤ f (ξ ) για κάθε x ∈ [a, b] .
Τότε f (ξ ) ≥ f ( x0 ) > f (a) = f (b), όπου ξ∈(α,b). Αφού η f έχει τοπικό ακρότατο στο
(α,b) από το Θεώρηµα του Fermat προκύπτει ότι f ′(ξ ) = 0 .
Θεώρηµα 3.4.3 (Γενικευµένο Θεώρηµα µέσης Τιµής του Cauchy) Eστω
f , g :[a, b] → είναι συνεχείς στο [a, b] και παραγωγίσιµες στο (α,b). Τότε υπάρχει
ξ∈(α,b) έτσι ώστε
( f (b) − f (a) ) g ′(ξ ) = ( g (b) − g (a) ) f ′(ξ ) .
Aπόδ. Η συνάρτηση F :[a, b] →
µε τύπο
F ( x) = ( f (b) − f (a ) ) g ( x) − ( g (b) − g (a ) ) f ( x)
ικανοποιεί το Θεώρηµα του Rolle.
Πόρισµα 3.4.2 (Θεώρηµα µέσης Τιµής) Eστω f :[a, b] →
παραγωγίσιµη στο (α,b). Τότε υπάρχει ξ∈(α,b) έτσι ώστε
συνεχής στο [α,b] και
f (b) − f (a) = f ′(ξ ) (b − a) .
Aπόδ. Παίρνουµε g(x) = x και εφαρµόζουµε το γενικευµένο Θεώρηµα µέσης τιµής
του Cauchy.
Πόρισµα 3.4.3 (i) Αν
(ii) Αν
(iii) Αν
(iv) Αν
(iii) Αν
f ′( x) = 0 ∀x ∈ (a, b)
f ′( x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b)
f ′( x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b)
f ′( x) > 0 ∀x ∈ (a, b)
f ′( x) < 0 ∀x ∈ (a, b)
τότε f ( x) = c ∀x ∈ [a, b] .
τότε η f είναι αύξουσα στο [a, b] .
τότε η f είναι φθίνουσα στο [a, b] .
τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [a, b] .
τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [a, b] .
Aπόδ. Εστω a ≤ x1 < x2 ≤ b , τότε εφαρµόζουµε το Θεώρηµα µέσης τιµής στον
περιορισµό της f στο διάστηµα [x1,x2].
Θεώρηµα 3.4.4 (Ενδιαµέσων τιµών) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα
[α,b], α<b µε f′(α) ≠ f′(b), τότε η f ′( x) παίρνει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ των τιµών
f ′(a ) , f ′(b) .
Πόρισµα 3.4.4 Eστω f :[a, b] → παραγωγίσιµη στο [α,b] µε f ′( x) ≠ 0 για κάθε
x ∈ [a, b] , τότε η f είναι γνησίως µονότονη.
51
Πρόταση 3.4.1 Eστω f :[a, b] → συνεχής στο [α,b] και παραγωγίσιµη στο (α,b). Αν
f ′(ξ ) = 0 και αν υπάρχει η f ′′(ξ ) στο (α,b), τότε
(i) αν f ′′(ξ ) > 0 τότε η f εχει τοπικο ελαχιστο στο σηµειο ξ ,
(ii) αν f ′′(ξ ) < 0 τότε η f εχει τοπικο µεγιστο στο σηµειο ξ .
Aπόδ. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι f ′′(ξ ) > 0 , τότε:
f ′′(ξ ) > 0 ⇒ lim h →0
f ′(ξ + h) − f ′(ξ )
f ′(ξ + h)
> 0 ⇒ lim h→0
> 0,
h
h
άρα υπάρχει δ>0 έτσι ώστε
f ′(ξ + h)
> 0, ∀x ∈ (ξ − δ , ξ + δ ) .
h
Εστω |h| < δ, τότε ∀x ∈ (ξ , ξ + δ ) θα ισχύει f ′(ξ + h) > 0 για h > 0, ενώ για
∀x ∈ (ξ − δ , ξ ) θα ισχύει f ′(ξ + h) < 0 για h < 0, άρα το ξ είναι τοπικό ελάχιστο.
Οµοίως αποδεικνύεται και η (ii).
Σηµείωση 7 Για το αντίστροφο της Πρότασης 3.4.1 ισχύει:
(i)
(ii)
Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ και έχει τοπικό ελάχιστο στο
ξ τότε f ′′(ξ ) ≥ 0 .
Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ και έχει τοπικό µέγιστο στο ξ
τότε f ′′(ξ ) ≤ 0 .
Γενικότερα ισχύει η ακόλουθη:
Πρόταση 3.4.2 Eστω f :[a, b] → είναι n-φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ∈(α,b).
Αν f (ξ ) = f ′(ξ ) = ... = f ( n −1) (ξ ) = 0, f ( n ) (ξ ) ≠ 0 , τότε
(i) αν n = άρτιος τότε η f εχει τοπικο ελαχιστο στο σηµειο ξ αν f ( n ) (ξ ) > 0 , ενώ η f
έχει τοπικό µέγιστο στο σηµείο ξ αν f ( n ) (ξ ) < 0 .
(ii) αν n = περιττός τότε η f δεν εχει τοπικο ακροτατο στο σηµειο ξ .
Ορισµός 3.4.3 Εστω Ι είναι ένα διάστηµα της πραγµατικής ευθείας. Μία συνάρτηση
f : Ι → καλείται κυρτή στο Ι αν ∀x1 , x2 ∈ I και για κάθε t ∈ [0,1] ισχύει
f
( (1 − t ) x + tx ) ≤ (1 − t ) f ( x ) + tf ( x ) .
f
( (1 − t ) x + tx ) ≥ (1 − t ) f ( x ) + tf ( x ) ,
Aν ισχύει
1
1
2
1
2
1
52
2
2
τότε η f καλείται κοίλη.
Ο παραπάνω ορισµός υπονοεί ότι αν η συνάρτηση f είναι κυρτή (αντ. κοίλη), τότε η
χορδή που ενώνει δύο οποιαδήποτε σηµεία P(x1,f(x1)), Q(x2,f(x2)) της γραφικής
παράστασης της f βρίσκεται πάνω (αντ. κάτω) από το γράφηµα της f.
Πρόταση 3.4.3 Μία συνάρτηση f : Ι →
∀x1 , x2 , x3 ∈ I µε x1 < x2 < x3 ισχύει
είναι κυρτή στο διάστηµα Ι αν και µόνον αν
f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x3 ) − f ( x2 )
≤
.
x2 − x1
x3 − x2
Απόδ. Εφαρµογή του ορισµού κυρτότητας για x2 =
Πρόταση 3.4.4 Εστω f : Ι →
x3 − x2
x −x
x1 + 2 1 x3 .
x3 − x1
x3 − x1
είναι κυρτή στο ανοικτό διάστηµα Ι, τότε:
(i) υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι f +′( x), f −′( x) για κάθε x∈I,
(ii) η f είναι συνεχής στο Ι.
Πρόταση 3.4.5 Εστω f : Ι →
παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα Ι, τότε:
(i) f κυρτη στο Ι ⇔ f ′( x) ειναι αυξουσα στο Ι ,
(ii) f κοιλη στο Ι ⇔ f ′( x) ειναι φθινουσα στο Ι .
Ορισµός 3.4.4 Εστω f : ( a, b ) →
και ξ ∈ ( a, b ) . Θα λέµε ότι το ξ είναι σηµείο
καµπής της f εάν υπάρχει δ > 0 έτσι ώστε η f να είναι κυρτή (ή κοίλη) στο ανοικτό
διάστηµα (ξ − δ , ξ ) και κοίλη (ή κυρτή) στο ανοικτό διάστηµα (ξ , ξ + δ ) .
Πρόταση 3.4.6 Aν η f είναι ορισµένη σε διάστηµα ( a, b ) , το σηµείο ξ ∈ ( a, b ) είναι
σηµείο καµπής της f και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ τότε
f ′′(ξ ) = 0 .
Απόδ. Όπως στο θεώρηµα του Fermat.
H Πρόταση 3.4.6 µας λέει ότι όταν αναζητούµε σηµεία καµπής µιας 2 φορές
παραγωγίσιµης συνάρτησης σε ανοικτό διάστηµα, τότε τα πιθανά σηµεία είναι εκείνα
στα οποία µηδενίζεται η 2η παράγωγος.
Σηµείωση 8 Το αντίστροφο της Πρότασης 3.4.6 δεν ισχύει. Για παράδειγµα η
συνάρτηση f ( x) = x 4 ικανοποιεί την f ′′(0) = 0 , αλλά το σηµείο ξ = 0 δεν είναι
σηµείο καµπής της f.
Γενικότερα ισχύει η ακόλουθη:
53
Πρόταση 3.4.7 Eστω f :[a, b] → R n-φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ∈(α,b). Αν
f ′′(ξ ) = ... = f ( n −1) (ξ ) = 0, f ( n ) (ξ ) ≠ 0 , τότε
(i) αν n = άρτιος, η f ειναι κυρτη σε µια περιοχη του σηµειου ξ αν f ( n ) (ξ ) > 0 , ενώ
η f ειναι κοιλη σε µια περιοχη του σηµειου ξ αν f ( n ) (ξ ) < 0 ,
(ii) αν n = περιττός, τότε το ξ είναι σηµείο καµπής.
§ 3.5 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης
Ορισµός 3.5.1 Εστω f : Α → , Α ⊆ . Μία ευθεία L µε εξίσωση y = a x + b
καλείται ασύµπτωτη στη γραφική παράσταση της καµπύλης µε εξίσωση z = f(x) στο
σηµείο x0, αν η απόσταση µεταξύ των σηµείων της ευθείας και των αντιστοίχων
σηµείων της καµπύλης τείνει στο µηδέν όταν το x→x0, δηλαδή:
| f ( x) − (ax + b) |→ 0, x → x0 .
Eστω x0 = +∞. Tότε
| f ( x) − (ax + b) |→ 0, x → +∞ ⇔
f ( x)
b
− a + → 0, x → +∞ ,
x
x
δηλαδή:
lim x →+∞
f ( x)
=a,
x
συνεπώς
lim x →+∞ ( f ( x) − ax ) = b .
Εχουµε λοιπόν:
Πρόταση 3.5.1 Η ευθεία µε εξίσωση y = a x + b είναι ασύµπτωτη της γραφικής
παράστασης της καµπύλης µε εξίσωση z = f(x) στο +∞ αν και µόνον αν
lim x →+∞
f ( x)
=a
x
lim x →+∞ ( f ( x) − ax ) = b .
και
Εάν α≠0, τότε η ασύµπτωτη καλείται πλάγια ασύµπτωτη.
Εάν α=0, τότε η ασύµπτωτη καλείται οριζόντια ασύµπτωτη.
Η ευθεία x = x0 καλείται κατακόρυφη ασύµπτωτη της καµπύλης Γ, αν υπάρχει µία
τουλάχιστον από τις οριακές τιµές f + ( x0 ), f − ( x0 ) και είναι +∞ ή -∞. Οι κατακόρυφες
ασύµπτωτες πρέπει να αναζητηθούν σε σηµεία όπου η f δεν είναι συνεχής και σε
σηµεία συσσώρευσης που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισµού.
Οµοίως εργαζόµαστε για τις ασύµπτωτες όταν x → −∞ .
54
Για τη µελέτη και τη γραφική παράσταση συνάρτησης τα βήµατα που συνήθως
ακολουθούµε είναι:
(i)
εύρεση πεδίου ορισµού της συνάρτησης f,
(ii)
εύρεση συµµετριών της συνάρτησής µας (αν υπάρχουν), δηλαδή αν είναι
άρτια, ή περιττή, ή περιοδική,
(iii)
καθορίζουµε τα σηµεία ασυνέχειας της συνάρτησής µας και τα σηµεία
όπου η συνάρτησή µας δεν είναι παραγωγίσιµη, διαχωρίζοντας εκείνα τα
σηµεία όπου η παράγωγος απειρίζεται, από εκείνα τα σηµεία στα οποία
υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι και είναι πεπερασµένες και
διαφορετικές.
(iv)
Μελετούµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα του πεδίου
ορισµού.
(v)
Καθορίζουµε τις ασύµπτωτες, αν υπάρχουν.
(vi)
Προσδιορίζουµε το πρόσηµο της 1ης παραγώγου για να εντοπίσουµε τα
διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης και τα πιθανά ακρότατα.
(vii)
Προσδιορίζουµε το πρόσηµο της 2ης παραγώγου για να εντοπίσουµε τα
διαστήµατα όπου η συνάρτησή µας είναι κυρτή ή κοίλη καθώς επίσης και
τα πιθανά σηµεία καµπής.
(viii) Σχεδιάζουµε.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ex
1. Να υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης f ( x) = ee .
( )
Λύση. f ′( x) = ee
ex
′
= ee
ex
( e )′ = e
ex
ee
x
x
ex
x
ee ( e x )′ = ee ee e x .
 2  1 
x ηµ  2  , x ≠ 0
είναι παραγωγίσιµη στο
2. ∆είξτε ότι η συνάρτηση f ( x) = 
x 

0
x=0

αλλά η f ′( x) δεν είναι συνεχής στο .
Λύση Για x ≠ 0 έχουµε:
 1  2
 1 
f ′( x) = 2 x ηµ  2  − συν  2  .
x  x
x 
Eπίσης:
55
,
 1 
x 2ηµ  2 
 x  = lim  xηµ  1   = 0.
x →0 
 2 
x
 x 

f ′(0) = lim x →0
Aρα:

 1  2
 1 
2 x ηµ  2  − συν  2  , x ≠ 0
f ( x) = 
.
x  x
x 

0
x=0

Tώρα:

 1 
lim x →0  2 xηµ  2   = 0 (κριτήριο παρεµβολής)
 x 

αλλά
 2
 1 
lim x →0  − συν  2  
 x 
 x
δεν υπάρχει (βλέπε Κεφ. 2 όρια συναρτήσεων). Eποµένως το lim x →0 f ′( x) δεν
υπάρχει, άρα η f ′( x) δεν είναι συνεχής στο x = 0. Προφανώς για κάθε x ≠ 0 η
f ′( x) είναι συνεχής.


1
3. Υπολογίστε το όριο lim x→+∞  x +  − x a  , a > 0 .
a
x


a
a
 1 + x 2  a 


1
x2  
a
Λύση. lim x →+∞  x +  − x  = lim x →+∞ 

 1 −
2 
x
 x   1 + x  



x2 
1
−


1 + x2 

= lim x →+∞
a
 x 

2 
 1+ x 
a
= lim x →+∞
0
0
  x 2 a ′
1 −

  1 + x 2  


  x  a ′
 
2  

  1+ x  
a>2
+∞

=  2,
a=2 .
 0 0<a<2

4. ∆είξτε ότι αν p > 1 τότε ( x + 1) > x p + 1, x ≥ 0 .
p
56
= lim x →+∞
2xa
x2 −1
Λύση. Θεωρούµε τη συνάρτηση f ( x) = ( x + 1) − x p − 1, x ≥ 0 . Τότε:
p
(
f ′( x) = p ( x + 1)
p −1
)
− x p −1 > 0
για κάθε x ≥ 0 (διότι p > 1). Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+∞) και συνεχής
στο [0,+∞). Εποµένως για κάθε x ≥ 0 έχουµε:
0 = f (0) < f ( x) = (1 + x ) − x p − 1 ⇒ (1 + x ) > x p + 1.
p
p
5. Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση της συνάρτησης:
f ( x) = x x , x > 0 .
Λύση: Eχουµε f(x) > 0 για κάθε x > 0.
Συµµετρίες: ∆εν υπάρχουν.
Ασύµπτωτες:
lim x →0+ f ( x) = 1,
lim x →+∞ f ( x) = +∞,
άρα
δεν
ασύµπτωτες.
 < 0 0 < x < 1/ e

1 παράγωγος: f ′( x) = x (1 + ln x ) = = 0,
x = 1/ e .
> 0
x > 1/ e

η
x
2
1
2η παράγωγος: f ′( x) = x x  + (1 + ln x )  > 0.
x

Πίνακας
f(x)
f′(x)
f′′(x)
(0,1/e)
+
f γνησίως φθίνουσα
+
f κυρτή
Γραφική παράσταση
57
(1/e,+∞)
+
+
f γνησίως αύξουσα
+
f κυρτή
υπάρχουν
fHxL=xx
y'y
5
4
3
2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x'x
6. Υπολογίστε τη 2η παράγωγο της συνάρτησης y = f(x) που δίνεται σε παραµετρική
µορφή x = a (t ) = t 2 + t 3 , y = b(t ) = t 2 − 2t , t ∈ [0,1] . Σχεδιάστε την καµπύλη.
Λύση. Παρατηρούµε ότι a′(t ) = 2t + 3t 2 ≥ 0 για κάθε t ∈ [0,1] , άρα η x = a(t) είναι
γνησίως αύξουσα, άρα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση t=a-1(x) και συνεπώς η
καµπύλη σε παραµετρική µορφή ορίζει µία συνάρτηση y=f(x). Eφόσον η y=f(x)
µπορεί να γραφεί ως
b(t) =f(a(t))
παραγωγίζοντας ως προς t παίρνουµε
b′(t ) = f ′ ( a (t ) ) a′(t ) ⇒ b′(t ) = f ′ ( x ) a′(t ) ⇒ f ′ ( x ) =
b′ ( t )
.
a′ ( t )
Επίσης:
b′′(t ) = f ′′ ( a (t ) ) a′(t )a′(t ) + f ′ ( a (t ) ) a′′(t ) ⇒ b′′(t ) = f ′′ ( x )( a′(t ) ) + f ′ ( x ) a′′(t )
2
⇒ b′′(t ) = f ′′ ( x )( a′(t ) ) +
2
b′ ( t )
b′′(t )a′(t ) − b′(t )a′′(t )
a′′(t ) ⇒ f ′′ ( x ) =
3
a′ ( t )
( a′(t ) )
οπότε µε αντικατάσταση παίρνουµε:
f ′′ ( x ) =
2(2t + 3t 2 ) − (2t − 2)(2 + 6t )
( 2t + 3t )
2 3
=
4 + 12t − 6t 2
.
t 3 (2 + 3t )3
Προφανώς όταν t ∈ [0,1] ⇒ x ∈ [0, 2] , άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το [0,2].
2t − 2
2t − 2
Εφόσον f ′( x) =
≤ 0 για κάθε t ∈ (0,1] και limt →0+
= −∞ , άρα η f
2
2t + 3t
2t + 3t 2
είναι γν. φθίνουσα στο [0,2) και η ευθεία y = 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη στη
γραφική παράσταση της f στο σηµείο x(0) = 0.
4 − 12t − 6t 2
και limt →0+ f ′′( x(t )) = +∞ και εφόσον
f ′′ ( x ) = 0
t 3 (2 + 3t )3
⇔ t = −0.290994 η t = 2.29099 , η f είναι κυρτή στο διάστηµα [0,1], άρα αφού
y(0)=0, y(1) = -1, έχουµε:
Επίσης
f ′′ ( x ) =
58
y'y
0.5
1
1.5
2
x'x
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
7. Yπολογίστε την παράγωγο των πεπλεγµένων συναρτήσεων:
x3 + y 3 − 3 xy = 0
x2 + y 2 = a2 , a > 0
.
Λύση (α) ∆ιαφορίζουµε και τα δύο µέλη και έχουµε:
d ( x 3 + y 3 − 3xy ) = d (0) ⇔ d ( x 3 ) + d ( y 3 ) + d (−3 xy ) = 0
⇔ 3 x 2 dx + 3 y 2 dy − 3( ydx + xdy ) = 0
⇔ 3x 2 + 3 y 2
⇔ y′ =
dy
dy 

− 3 y + x  = 0
dx
dx 

dy 3 y − 3 x 2
=
.
dx 3 y 2 − 3 x
(β) d ( x 2 + y 2 ) = d (a 2 ) ⇔ d ( x 2 ) + d ( y 2 ) = 0 ⇔ 2 xdx + 2 ydy = 0 ⇔ y′ =
59
dy − x
=
.
dx
y
KΕΦΑΛΑΙΟ 4
AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
§ 4.1 Ορισµοί
Ορισµός 4.1.1 Μία συνάρτηση a : → µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών
αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών
αριθµών. Αντί να συµβολίζουµε τις τιµές της µε α(1), α(2),…,a(n), γράφουµε α1, α2, …,
αn, … και λέµε ότι ο αn είναι ο νιοστός όρος της ακολουθίας. Συνήθως µία ακολουθία
συµβολίζεται µε {αn}n∈N, ή αn ή (αn).
∆ιάγραµµα ή γραφική παράσταση µιας ακολουθίας a :
των σηµείων του επιπέδου
Γ = {(n, an ) : n ∈
→
καλείται το σύνολο
}.
Όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα το διάγραµµα µιας ακολουθίας είναι ένα σύνολο
διακεκριµένων σηµείων του επιπέδου.
0.9
0.8
0.7
0.6
5
10
15
20
Μία ακολουθία µπορεί να ορισθεί ως εξής:
(α) µε τη βοήθεια ενός γενικού τύπου όποτε αυτός έχει νόηµα, π.χ. αn = n2+1:
α1 = 12+1=2,
α2 = 22+1=5,
…
α10 =102+1=101,
…
(β) µε τη βοήθεια ενός αναδροµικού ή αναγωγικού τύπου ο οποίος συνδέει µε µία
ισότητα διαδοχικούς όρους της ακολουθίας, π.χ. α1 =1, α2 =3, αn+1 = αn+αn-1. Tότε:
α3 = α2 + α1 =3+1=4,
α4 = α3 + α2 =4+3=7,
α5 = α4 + α3 =7+4=11,
…
Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι η αn είναι µία αναδροµική ακολουθία.
Mία ακολουθία αn καλείται άνω φραγµένη εάν
60
∃M∈
: an ≤ M ∀n ∈
.
: an ≥ M ∀n ∈
.
H αn καλείται κάτω φραγµένη εάν
∃M∈
H αn καλείται φραγµένη εάν
∃ m,M ∈
: m ≤ an ≤ M ∀n ∈
.
Ισοδύναµα η αn είναι φραγµένη εάν
∃ M > 0 : | an |≤ M , ∀n ∈
.
H αn καλείται γνησίως αύξουσα (αντ. αύξουσα) εάν
an < an +1 (αντ. an ≤ an +1 ) .
H an καλείται γνησίως φθίνουσα (αντ. φθίνουσα) εάν
an > an +1 (αντ. an ≥ an +1 ) .
Αν µία ακολουθία an είναι (γνησίως) αύξουσα ή (γνησίως) φθίνουσα τότε λέµε ότι η
an είναι (γνησίως) µονότονη.
§ 4.2 Συγκλίνουσες ακολουθίες
Στο Κεφάλαιο 2 είδαµε ότι η µελέτη του ορίου σε ένα σηµείο x0 έχει νόηµα µόνον
όταν το x0 είναι σηµείο συσσώρευσης. Είδαµε επίσης παραπάνω ότι όλα τα σηµεία
µιας ακολουθίας είναι αποµονωµένα. Εφόσον κάθε αποµονωµένο σηµείο ∆ΕΝ είναι
σηµείο συσσώρευσης, άρα όσον αφορά τις ακολουθίες το µόνο σηµείο συσσώρευσης
αυτών είναι το +∞. Οσον αφορά τη συνέχεια είδαµε στο Κεφάλαιο 2 ότι κάθε
αποµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού µιας συνάρτησης ΕΙΝΑΙ σηµείο συνέχειας
της συνάρτησης, άρα ΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Από
τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι µόνον η περίπτωση lim n →+∞ an µένει να µελετηθεί.
Oρισµός 4.2.1 Θα λέµε ότι η ακολουθία αn έχει όριο τον πραγµατικό αριθµό a∈
συµβολικά lim n→+∞ an = a , αν
∀ε > 0 ∃n0 ∈
,
: ∀n > n0 ⇒ an − a < ε .
Ο παραπάνω ορισµός παριστάνεται γραφικά στο ακόλουθο σχήµα:
Οποιοδήποτε ε>0 και αν επιλέξουµε υπάρχει πάντα ένας φυσικός αριθµός n0 έτσι
ώστε για κάθε φυσικό αριθµό n µεγαλύτερο του n0 όλες οι τιµές της ακολουθίας
εγκλωβίζονται εκατέρωθεν του πραγµατικού αριθµού α στο διάστηµα (α-ε,α+ε).
61
Oρισµός 4.2.2 Θα λέµε ότι η ακολουθία αn έχει όριο το +∞, συµβολικά
lim n→+∞ an = +∞ , αν
∀ε > 0 ∃n0 (ε ) ∈
: ∀n > n0 ⇒ an > ε .
Ο παραπάνω ορισµός παριστάνεται γραφικά στα ακόλουθο σχήµα:
Οποιοδήποτε ε>0 και αν επιλέξουµε υπάρχει πάντα ένας φυσικός αριθµός n0 έτσι
ώστε για κάθε φυσικό αριθµό n µεγαλύτερο του n0 όλες οι τιµές της ακολουθίας
αn είναι µεγαλύτερες του ε.
800
600
400
200
5
10
15
20
25
30
Oρισµός 4.2.3 Θα λέµε ότι η ακολουθία αn έχει όριο το -∞, συµβολικά
lim n→+∞ an = −∞ , αν
∀ε > 0 ∃n0 (ε ) ∈
: ∀n > n0 ⇒ an < −ε .
Ο παραπάνω ορισµός παριστάνεται γραφικά στα ακόλουθο σχήµα:
Οποιοδήποτε ε>0 και αν επιλέξουµε υπάρχει πάντα ένας φυσικός αριθµός n0 έτσι
ώστε για κάθε φυσικό αριθµό n µεγαλύτερο του n0 όλες οι τιµές της ακολουθίας
αn είναι µικρότερες του -ε.
62
5
10
15
20
25
30
-200
-400
-600
-800
Σηµείωση 1
•
Συµφωνούµε να λέµε ότι µία ακολουθία αn συγκλίνει όταν συγκλίνει σε
κάποιο πραγµατικό αριθµό α. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις θα λέµε ότι η
ακολουθία αποκλίνει στο ±∞ ή δε συγκλίνει (εάν το όριο δεν υπάρχει).
•
Μία ακολουθία αn δεν έχει όριο όταν n→+∞ όταν ισχύει η άρνηση του
ορισµού δηλαδή:
∃ε > 0 : ∀n0 , ∃n > n0 : an − a ≥ ε .
Aποκλίνουσες ακολουθίες
40
1.5
1
20
0.5
10
10
20
30
20
30
40
40
-20
-0.5
-1
-40
§ 4.3 Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών
Πρόταση 4.3.1 Το όριο κάθε συγκλίνουσας ακολουθίας είναι µοναδικό.
Απόδ. Εστω an → a, an → b . Τότε αν θεωρήσουµε ε =
| a −b|
έχουµε:
2
∀ε > 0 ∃n1 ∈
: ∀n > n1 ⇒ an − a < ε ,
∀ε > 0 ∃n2 ∈
: ∀n > n2 ⇒ an − b < ε .
Aν λοιπόν n0 = max{n1 , n2 } , τότε:
| a − b |=| a − an + an − b |≤| an − a | + | an − b |< 2ε = 2
| a −b|
=| a − b |,
2
(άτοπο). Αρα α = b.
Πρόταση 4.3.2 Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη.
63
Απόδ.
∀ε > 0 ∃n0 ∈
: ∀n > n0 ⇒ an − a < ε ⇒ a − ε < an < a + ε .
Aν λοιπόν M = max{a + ε , a1 , a2 ,..., an0 } , τότε | an |< M , ∀n ∈
, άρα η αn είναι
φραγµένη.
Πρόταση 4.3.3 Αν an → a, an → b ( a, b ∈
) , τότε:
lim n→+∞ ( an ± bn ) = a ± b
lim n→+∞ ( an bn ) = a b
.
lim n→+∞ ( an /bn ) = a / b, b ≠ 0
Απόδ. Θα δείξουµε ότι lim n →+∞ ( an bn ) = a b . Εχουµε:
an bn − ab = an bn − abn + abn − ab = (an − a )bn + a (bn − b)
≤ an − a || bn + a || bn − b < ε M + | a | ε .
Oµοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες.
Πρόταση 4.3.4 (i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Aν an → a ⇒| an |→| a | .
Aν an → a (a ≠ 0) , τότε όλοι οι όροι της ακολουθίας εκτός
πεπερασµένου πλήθους έχουν το πρόσηµο του ορίου α.
Aν an → 0 και bn φραγµένη τότε anbn → 0 .
Aν an → a, bn → b και an < bn ⇒ a ≤ b .
Aν an → a, cn → a και an < bn < cn ⇒ bn → a (Παρεµβολή).
Απόδ. (i) | an | − | a | ≤ an − a < ε .
|a|
|a|
|a|
⇒a−
< an < a −
, ∀n > n0 .
2
2
2
(iii) | an bn |< M ε .
(ii) an − a <
ε
ε
ε
ε
= b+ε ⇒ a ≤ b .
2
2
2 2
(v) a − ε < an ≤ bn ≤ cn < a + ε ⇒ bn − a < ε ⇒ bn → a .
(iv) a < an +
≤ bn +
<b+
+
Πρόταση 4.3.4 Κάθε µονότονη και φραγµένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα.
Απόδ. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι η ακολουθία αn είναι
αύξουσα. Αφού το σύνολο A = {an : n ∈ } είναι φραγµένο θα έχει ένα ελάχιστο άνω
φράγµα, έστω a = sup A. Θα δείξουµε ότι an → a . Εστω ε > 0. Εφόσον α-ε < α, ο α-ε
δεν είναι άνω φράγµα του Α άρα από γνωστή Πρόταση (βλέπε Κεφ. 1) υπάρχει
64
n0 ∈
: an0 > a − ε . Εφόσον η αn είναι αύξουσα έχουµε an ≥ an0 ∀n ≥ n0 και εφόσον
ο α είναι άνω φράγµα έχουµε an ≤ a . ∆ηλαδή:
a − ε < an0 < an ≤ a < a + ε ⇒| an − a |< ε ⇒ an → a.
Aν τώρα η ακολουθία αn είναι αύξουσα αλλά όχι άνω φραγµένη, τότε
∀M > 0 ∃n0 : an0 > M , οπότε ∀n > n0 ισχύει an > M , άρα lim n→+∞ an = +∞ .
Σηµείωση 2 Για την εύρεση ορίων ακολουθιών χρησιµοποιούµε τις παραπάνω
ιδιότητες εφόσον δεν προκύπτουν απροσδιόριστες µορφές. Όταν προκύπτει
απροσδιόριστη µορφή (βλέπε Κεφ. 1) προσπαθούµε να “άρουµε” την
απροσδιοριστία.
Πολλές φορές, (όταν ο ορισµός της ακολουθίας γίνεται µε γενικό τύπο π.χ. αn = n2),
για να υπολογίσουµε το όριο lim n→+∞ an , ορίζουµε την αντίστοιχη συνάρτηση f(x)
θέτοντας στον τύπο της ακολουθίας όπου n=x και υπολογίζουµε το όριο της
συνάρτησης f(x) όταν x→+∞.
Πρόταση 4.3.5 (i) Aν αn ≥ bn για κάθε n>n0 και αν bn → +∞ τότε an → +∞ .
(ii) Aν |αn| ≤ | bn| για κάθε n>n0 και αν bn → 0 τότε an → 0 .
Aπόδ. (i) Από τον ορισµό, ∀ε > 0 ∃n1 (ε ) ∈
bn για κάθε n>n0, έχουµε
∀ε > 0 ∃n′ = max {n0 , n1} ∈
: ∀n > n1 ⇒ bn > ε , άρα αφού αn ≥
: ∀n > n′ ⇒ an ≥ bn > ε ⇒ an → +∞ .
(ii) Oµοια.
Πρόταση 4.3.6 (D’ Alembert)
(i) Aν lim n →+∞
an +1
= λ > 1 τότε an → +∞ .
an
(ii) Aν lim n →+∞
an +1
= λ < 1 τότε an → 0 .
an
Πρόταση 4.3.7 (Cauchy) (i) Aν lim n→+∞ n | an | = λ < 1 τότε an → 0 .
(ii) Aν lim n→+∞ n | an | = λ > 1 τότε an → +∞ .
Πρόταση 4.3.8 (Stolz) Eστω µία ακολουθία an και µία ακολουθία bn η οποία είναι
γνησίως αύξουσα µε lim n →+∞ bn = +∞ , τότε:
lim n→+∞
an +1 − an
=λ∈
bn +1 − bn
⇒ lim n→+∞
65
an
=λ∈ .
bn
ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΠΟΥ ΘΑ ΘΕΩΡΟΥΝΤΑΙ ΓΝΩΣΤΑ:
•
 0 0 < a <1

lim n→+∞ a =  1,
a =1 .
+∞
a >1

n
Πράγµατι αν ορίσουµε τη συνάρτηση f(x) = αx (α>0) τότε είναι γνωστό ότι
lim x →+∞ a x = 0, 0 < a < 1 , ενώ lim x →+∞ a x = +∞, a > 1.
•
lim n→+∞ n k a n = 0, oταν 0 < a < 1.
Ορίζουµε f(x) =xk αx (0<α<1) (x>0), oπότε έχουµε απροσδιόριστη µορφή (+∞) 0.
Εφαρµόζουµε τον κανόνα L’ Hospital k-φορές:
lim x →+∞
lim x →+∞
•
xk
1
 
a
x
= lim x →+∞
xk
1
, b = >1
x
b
a
kx k −1
k (k − 1)(k − 2)...1
= ... = lim x →+∞
= 0.
x
b ln b
b x (ln b) k
lim n→+∞ n a = 1, a > 0.
n
•
 1
H ακολουθία bn = 1 +  είναι γνησίως αύξουσα και φραγµένη. Επιπλέον:
 n
lim n →+∞ bn = e .
n
 a
Γενικότερα ισχύει: 1 +  → e a , n → +∞ .
 n
§ 4.4 Yπακολουθίες-Ανώτερο και κατώτερο όριο-Ακολουθίες Cauchy
Oρισµός 4.4.1 Εστω φ : → , είναι µία γνησίως αύξουσα ακολουθία πραγµατικών
αριθµών, τότε η ακολουθία aφ ( n ) καλείται υπακολουθία της an .
Για παράδειγµα οι ακολουθίες a2 n , a2 n +1 , a3n , n = 1, 2,... είναι υπακολουθίες της an .
Oρισµός 4.4.2 Ο αριθµός ξ ∈ καλείται οριακός αριθµός µιας ακολουθίας an όταν
σε κάθε περιοχή του σηµείου ξ (δηλαδή σε κάθε ανοικτό διάστηµα της µορφής (ξε,ξ+ε)) υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας an .
66
∆ηλαδή οι οριακοί αριθµοί µιας ακολουθίας είναι:
(α) τα σηµεία συσσώρευσης του συνόλου τιµών των όρων της, ή
(β) κάθε τιµή των όρων της που επαναλαµβάνεται άπειρες φορές.
Oρισµός 4.4.3 Ο µεγαλύτερος (αντ. µικρότερος) από τους οριακούς αριθµούς µιας
ακολουθίας an καλείται ανώτερο όριο της an και συµβολίζεται µε liman η lim sup an
(αντ. liman η lim inf an ).
Προφανώς µία ακολουθία είναι συγκλίνουσα αν και µόνον αν έχει ΜΟΝΑ∆ΙΚΟ
οριακό αριθµό, δηλαδή:
lim an = liman = liman .
Σηµείωση 3 Αν µία ακολουθία έχει περισσότερους του ενός οριακούς αριθµούς
καλείται µη συγκλίνουσα ακολουθία.
Παράδειγµα: H ακολουθία an = (−1) n είναι µη συγκλίνουσα ακολουθία. Πράγµατι:
a2 n = 1, n → +∞
a2 n +1 = −1, n → +∞
.
Άρα η ακολουθία an = (−1) n έχει δύο οριακούς αριθµούς το ±1. Προφανώς:
liman =1 ≠ liman = −1 .
Ορισµός 4.4.4 (ακολουθίες Cauchy) Mία ακολουθία an καλείται ακολουθία Cauchy
αν
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : ∀n, m > n0 ⇒ an − am < ε .
Ισχύει δε η ακόλουθη:
Πρόταση 4.4.1 (κριτήριο Cauchy)
Mία ακολουθία an είναι συγκλίνουσα ⇔ η an είναι ακολουθία του Cauchy.
Σηµείωση 4 Η Πρόταση 4.4.1 είναι σηµαντική διότι µας δίνει τη δυνατότητα να
αποδείξουµε ότι µία ακολουθία είναι συγκλίνουσα χωρίς να γνωρίζουµε εκ των
προτέρων το όριό της όπως απαιτεί ο ορισµός της συγκλίνουσας ακολουθίας.
Θεώρηµα 4.4.1 (Bolzano-Weierstrass) Kάθε φραγµένη ακολουθία έχει τουλάχιστον
µία συγκλίνουσα υπακολουθία.
Απόδ. Αν το σύνολο των όρων της ακολουθίας είναι πεπερασµένο τότε ένας
τουλάχιστον όρος της ακολουθίας παρουσιάζεται άπειρες φορές οπότε έχουµε ένα
67
τουλάχιστον οριακό σηµείο. Αν το σύνολο των όρων της είναι άπειρο τότε υπάρχει
τουλάχιστον ένα σηµείο συσσώρευσης, άρα έχουµε πάλι ένα τουλάχιστον οριακό
σηµείο. Λαµβάνοντας υπόψην ότι τα οριακά σηµεία µιας ακολουθίας είναι όρια
συγκλινουσών υπακολουθιών της έχουµε το ζητούµενο.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Mε χρήση του ορισµού να δειχθεί ότι:
lim n→+∞
1
= 0, lim n→+∞ n k = +∞ .
k
n
Λύση. (α) Αρκεί να δειχθεί ότι ∀ε > 0 ∃n0 (ε ) : ∀n > n0 ⇒
∀n > n0 ,
Θέτουµε ε =
1
− 0 < ε . Εχουµε:
nk
1
1
1
= k < k.
k
n
n
n0
1
και λύνουµε ως προς ε, άρα:
n0k
ε=
1
1
1
⇒ n0k = ⇒ n0 = k ,
k
n0
ε
ε
 1
και επειδή ο n0 είναι φυσικός αριθµός θεωρούµε n0 =  k
 ε
ακέραιο µέρος ενός αριθµού (βλέπε Κεφ. 1), οπότε:
 1
∀ε > 0 ∃n0 =  k
 ε

 + 1 , όπου [.] είναι το

1
1
1
1

<
=ε
k
k
 + 1: ∀n > n0 ⇒ n k − 0 < n k =

1




0
 1 
k 
  k  + 1
 ε
 ε  
(Υπενθύµιση: [x] ≤ x < [x]+1), συνεπώς από τον ορισµό του ορίου έχουµε
1
lim n →+∞ k = 0 .
n
(β) Αρκεί να δειχθεί ότι ∀ε > 0 ∃n0 (ε ) : ∀n > n0 ⇒ n k > ε . Εχουµε ∀n > n0 , n k > n0k .
Θέτουµε ε = n0k και λύνουµε ως προς ε, άρα:
ε = n0k ⇒ n0 = k ε ,
και επειδή ο n0 είναι φυσικός αριθµός, θεωρούµε n0 =  k ε  + 1 , οπότε:
68
(
) ( ε)
k
∀ε > 0 ∃n0 =  k ε  + 1: ∀n > n0 ⇒ n k > n0k =  k ε  + 1 >
k
k
=ε ,
συνεπώς από τον ορισµό του ορίου έχουµε lim n→+∞ n k = +∞ .
2.
Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια:
( )
n 2 +1
(a ) lim n→+∞
συν e
n2
, (β) lim n→+∞
n−3
n2
(δ ) lim n →+∞
n 3 − 2n 2 + 1
 n +1 
 2n − 1 
, (ε) lim n→+∞ 
 , (στ) lim n→+∞ 

2
4n − 3n + 3
 2n + 1 
 2n + 5 
(γ) lim n→+∞
n n
−
3  3 
n2
n2
1 + 2 + ... + n
, (η) lim n→+∞ ( n − n + 1)
n
x2
Λύση (α) Θέτουµε f ( x) =
και υπολογίζουµε το όριο lim x →+∞ f ( x) = +∞
x −3
χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες ορίων συναρτήσεων.
(ζ ) lim n→+∞
(β)
( ) ≤ 1 → 0, n → +∞ , (παρεµβολή), άρα συν ( e ) → 0, n → +∞ .
συν e n
n2
2
n 2 +1
+1
n2
n2
(γ) Κάθε φυσικός αριθµός µπορεί να γραφεί ως n = 3 k + υ, υ = 0,1,2. Τότε:
n  n  3k + υ  3k + υ 
υ  υ
υ
υ  υ
−  =
−
= k + − k +  = k + − k −   =

3 3
3
3 
3
3
 3 
3 3
άρα η ακολουθία έχει 3 οριακά σηµεία τα 0,1/3, 2/3 άρα δεν συγκλίνει.
(δ) Ορίζουµε f ( x) =
x3 − 2 x 2 + 1
και υπολογίζουµε το όριο lim x →+∞ f ( x) = +∞ .
4 x 2 − 3x + 3
x2
 x +1 
(ε) Ορίζουµε f ( x) = 
 . Παρατηρούµε ότι το όριο της βάσης είναι
 2x +1 
x +1 1
lim x →+∞
= , ενώ το όριο του εκθέτη είναι lim x →+∞ x 2 = +∞ , άρα έχουµε:
2x +1 2
x2
 x +1 
1
lim x →+∞ 
 = 
 2x +1 
2
69
+∞
=0.
x2
(στ) Ορίζουµε
 2x −1 
f ( x) = 
 . Παρατηρούµε ότι το όριο της βάσης είναι
 2x + 5 
2x −1
= 1 , ενώ το όριο του εκθέτη είναι
2x + 5
απροσδιόριστη µορφή 1∞. Εχουµε:
lim x →+∞ x 2 = +∞ , άρα έχουµε
lim x →+∞
x2
x
 2x −1 
lim x →+∞ 
=
lim
e
x →+∞

 2x + 5 
2
 2 x −1 
ln 

 2 x +5 
=e
 2 x −1  L ' Hosp .
lim x→+∞ x 2 ln 

 2 x +5 
= ... = e −∞ = 0 .
(ζ) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή ∞/∞. Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα Stolz: Eστω
an = 1 + 2 + ... + n, bn = n . Προφανώς η bn είναι γνησίως αύξουσα και bn → +∞ , άρα
ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος και εφόσον:
lim n→+∞
an +1 − an
a
1 + ... + n
n +1
= lim n→+∞
= +∞ ⇒ lim n→+∞ n = lim n→+∞
= +∞
1
bn +1 − bn
bn
n
(η) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή +∞-∞. Εργαζόµαστε όπως στις (α), (δ),(ε),(στ).
3.Υπολογίστε το όριο της ακολουθίας an =
Λύση. lim n→+∞
an +1
= lim n→+∞
an
n!
.
nn
(n + 1)!
(n + 1) n +1
= lim n→+∞
n!
nn
1
 1
1 + 
 n
n
=
1
< 1 ⇒ an → 0
e
από το κριτήριο D’ Alembert.
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια:
(a1 ) lim n →+∞ 8 n 2 + 1 − 4 n + 1
(a2 ) lim n →+∞ n a n + b n
(a3 ) lim n →+∞
(a4 ) lim n →+∞
(a5 ) lim n →+∞
2n + (−1) n
2n +1 + (−1) n +1
(−1) n nηµ (n n )
n +1
n
ln n
1
(a6 ) lim n→+∞ n ηµ  
n
70
1+
 1
(a7 ) lim n →+∞ 1 + 
 n
1
n
5
(a8 ) lim n →+∞ n 5n + n n +1ηµ  
n
n
5
(a9 ) lim n →+∞  
n
(a10 ) lim n→+∞ συν ( 3π n / 5 )
(a11 ) lim n→+∞ n(ln(n + 1) − ln(n))
n
1

(a12 ) lim n→+∞  4 + 
n

3
(a13 ) lim n →+∞ (−1) n +
n
1 + 2 + ... + n
(a14 ) lim n→+∞
n
2. Να δείξετε ότι:
(α) αν an → a ⇒
a1 + ... + an
→ a, n → +∞ .
n
(β) µε χρήση της (α) να δείξετε ότι: an → a ⇒ n a1...an → a, n → +∞ .
3. Χρησιµοποιώντας την άσκηση 2(β) να δείξετε ότι:
lim n→+∞
an +1
= λ ⇒ n an → λ .
an
Εφαρµογή: Υπολογίστε το όριο an =
n
n!
.
n
4. Η ακολουθία αn ορίζεται από την αναδροµική σχέση:
2,
n =1


an +1 =  1 
.
2
,
1
+
>
a
n


n
2
an 
 
∆είξτε ότι an → 2, n → +∞
5. Η ακολουθία αn ορίζεται από την αναδροµική σχέση:
71
n =1
 1,

.
an +1 =  3an + 4
 2a + 3 , n > 1
 n
∆είξτε ότι an → 2.
6. Εστω an µία φραγµένη ακολουθία τέτοια ώστε 2an ≤ an −1 + an +1 . ∆είξτε ότι η
ακολουθία bn = an +1 − an είναι συγκλίνουσα.
7. ∆είξτε ότι αν η a2n → a και a2 n +1 → a (οι υπακολουθίες των άρτιων και περιττών
όρων συγκλίνουν), τότε an → a.
72
KΕΦΑΛΑΙΟ 5
ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
§ 5.1 Ορισµοί
Εστω αn δοθείσα πραγµατική ακολουθία. Ορίζουµε µία νέα ακολουθία sn ως εξής:
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
.
...
sn = a1 + a2 + ... + an
Ορισµός 5.1.1 Εάν υπάρχει το lim n→+∞ sn = s ∈
αθροίσιµη και το όριο
τότε η ακολουθία sn καλείται
∞
s = lim n→+∞ sn = ∑ an
n =1
καλείται άθροισµα των όρων της ακολουθίας an .
∞
Σηµείωση 1 Ένα άπειρο άθροισµα a1 + a2 + ... + an + ... = ∑ an καλείται σειρά των
n =1
∞
όρων της ακολουθίας an . Εάν
∑a
n
n =1
=λ∈
∞
θα λέµε ότι η σειρά
∑a
n =1
n
συγκλίνει
∞
(έστω κι αν αυτό είναι ιδιόρρυθµο αφού το σύµβολο
∑a
n =1
n
ως όριο µιας ακολουθίας
συµβολίζει στην καλύτερη περίπτωση έναν αριθµό ή και τίποτα).
n
Ορισµός 5.1.2 Η ακολουθία sn = a1 + a2 + ... + an = ∑ ak καλείται ακολουθία των
k =1
∞
µερικών αθροισµάτων της σειράς
∑a
n =1
n
.
Συνεπώς:
∞
Πρόταση 5.1.1 Η σειρά
∑a
n =1
n
συγκλίνει αν και µόνον αν η ακολουθία sn έχει
µοναδικό οριακό αριθµό και είναι φραγµένη.
Παράδειγµα Mελετήστε τη σύγκλιση της σειράς:
∞
∑ ( −1)
n =1
73
n +1
.
n
Eχουµε sn = ∑ ( −1)
k +1
k =1
, άρα sn = {1, 0,1, 0,1, 0......} , οπότε η sn είναι φραγµένη αλλά
έχει δύο οριακούς αριθµούς το 0 και το 1, οπότε η σειρά
∞
∑ ( −1)
n +1
αποκλίνει.
n =1
∞
∑a
Πρόταση 5.1.2 Η σειρά
n =1
∀n > m > n0 ,
n
∑a
k = m +1
Απόδ. Η συνθήκη
n
συγκλίνει αν και µόνον αν υπάρχει n0 ∈
:
<ε .
k
n
∑a
k = m +1
k
< ε ( n > m > n0 ) υπονοεί ότι η ακολουθία sn είναι Cauchy
και άρα συγκλίνει.
∞
Παράδειγµα Mελετήστε τη σύγκλιση της σειράς
1
∑n
(αρµονική σειρά).
n =1
Eχουµε
2n
1
1
1
1
1
n 1
=
+ ... +
≥
+ ... +
=
= , άρα
2n 2 n
2n 2n 2
n +1
k = n +1 k
∑
∃ε =
1
> 0 : ∀n0 , ∃ n = 2n0 , m = n0 + 1: ∀n > m > n0 ⇒
2
∞
άρα από την άρνηση της Πρότασης 5.1.2 προκύπτει ότι
2n
∑a
k = m +1
k
>
1
,
2
1
∑ n = +∞ .
n =1
∞
Πρόταση 5.1.3 Αν η σειρά
∑a
n =1
n
συγκλίνει, τότε lim n →+∞ an = 0 .
Απόδ. Από την Πρόταση 5.1.2 γνωρίζουµε ότι η σειρά
∞
∑a
n =1
αν
n
∑a
k = m +1
k
n
συγκλίνει αν και µόνον
< ε , ∀n > m > n0 . Aφού αυτή η συνθήκη ισχύει ∀n > m > n0 θα ισχύει και
για n = m+1. Τότε όµως | an |< ε , οπότε από τον ορισµό έχουµε lim n →+∞ an = 0 .
Σηµείωση 2 Το αντίστροφο της Πρότασης 5.1.3 ∆ΕΝ ισχύει, π.χ. 1/ n → 0 αλλά
∞
1
όπως είδαµε ∑ = + ∞ .
n =1 n
∞
Ορισµός 5.1.3 Θα λέµε ότι η σειρά
∑ an συγκλίνει απόλυτα αν η σειρά
n =1
συγκλίνει.
74
∞
∑| a
n =1
n
|
∞
Πρόταση 5.1.4 Αν η σειρά
∑a
Απόδ.
n
∑
k = m +1
ak ≤
n
∑
k = m +1
συγκλίνει απόλυτα τότε η σειρά συγκλίνει.
n
n =1
| ak |< ε . Αρα
∞
∑a
k =1
k
< +∞ .
Το αντίστροφο της Πρότασης 5.1.4 ∆ΕΝ ισχύει. Όπως θα δούµε παρακάτω η σειρά
∞
∞
∞
(−1) n +1
(−1) n +1
1
<
+∞
αλλά
η
σειρά
=
= +∞ .
∑
∑
∑
n
n
n =1
n =1
n =1 n
§ 5.2 Σειρές θετικών όρων-Κριτήρια σύγκλισης
Eστω αn>0 ∀n ∈
∞
. Τότε η
∑a
n =1
n
καλείται σειρά θετικών όρων. Στην περίπτωση
αυτή η ακολουθία sn των µερικών αθροισµάτων της σειράς
∞
∑a
n =1
n
είναι θετική και
γνησίως αύξουσα.
∞
Πρόταση 5.2.1 (Κριτήριο σύγκρισης) Αν
∞
∑ a , ∑b
n
n =1
n =1
n
είναι δύο σειρές θετικών
όρων για τις οποίες ισχύει an ≤ bn ∀n ≥ n0 , τότε:
∞
(i) αν
∑ bn < + ∞ τότε
n =1
(ii) αν
∞
∑ an = +∞ τότε
n =1
∞
∑a
n
n =1
∞
∑b
n
n =1
< +∞ .
= +∞ .
Aπόδ. (i) Εστω sn, sn′ είναι οι ακολουθίες των µερικών αθροισµάτων των σειρών
∞
∑a
n =1
n
∞
,
∑b
n =1
n
αντίστοιχα. Προφανώς ισχύει sn ≤ sn′ ∀n ≥ n0 . Αν λοιπόν ισχύει
∞
lim n→+∞ sn′ = ∑ bn <+∞ τότε η ακολουθία sn είναι φραγµένη άρα συγκλίνει.
n =1
∞
(ii) Aν lim n→+∞ sn = ∑ an =+∞ προφανώς θα ισχύει
n =1
∞
Παραδείγµατα: (i) Να δείξετε ότι
1
∑ n2
n =1
n
<+∞ .
75
∞
∑ b =+∞ .
n =1
n
∞
1
− 1 = 1 (ως άθροισµα απείρων όρων
1− 1
n =1
2
γεωµετρικής προόδου), µε εφαρµογή του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει το
ζητούµενο.
Εχουµε
1
1
≤ n και εφόσον
n
n2
2
∞
(ii) Να δειχθεί ότι η σειρά
1
∑n
n =1
1
∑2
n
=
συγκλίνει όταν s>1 ενώ αποκλίνει όταν s≤1.
s
∞
1 1
1
≥
.
Εφόσον
= +∞ (όπως είδαµε παραπάνω), από
∑
s
n
n
n =1 n
∞
1
το κριτήριο σύγκρισης προκύπτει ∑ s = +∞ .
n =1 n
Εστω s ≤ 1 . Τότε n s ≤ n ⇒
Εστω s>1. Θεωρούµε την ακολουθία µερικών αθροισµάτων:
s2 n = 1 +
1 1 1 1 1 1 1
1
1
+ s + s + s + s + s + s + ... +
+ ... +
.
s
s
s
2 3 4 5 6 7 8
( 2n−1 + 1)
( 2n )
aνα δυο
aνα τεσσερα
aνα 2n−1
Aλλά:
1
( 2n−1 + 1)
s
+ ... +
1
(2
)
n s
<
(2
1
)
n −1 s
+ ... +
(2
1
)
n −1 s
=
2n −1
(2
)
n −1 s
=
1
( 2n−1 )
s −1
, άρα:
1
1
1
1
1
+ s −1 + s −1 + s −1 + ... +
s −1
s
2 2
4
8
( 2n−1 )
s2 n < 1 +
= 1+
1
1
1
1
1
+ s −1 +
+
+ ... +
2
3
n −1
s
2 2
( 2s−1 ) ( 2s−1 )
( 2s−1 )
1
s −1
1
= 1+ s + 2
< +∞ ,
2 1− 1
2 s −1
άρα η σειρά συγκλίνει.
∞
(iii) Να δείξετε ότι
1
∑ ln n =+∞ .
n=2
1
1
> και
Εφόσον ln n < n ⇒
ln n n
ζητούµενο.
∞
1
∑ n = +∞ , από το κριτηρίο σύγκρισης προκύπτει το
n =1
76
ΣΕΙΡΕΣ ΠΟΥ ΣΤΟ ΕΞΗΣ ΘΑ ΘΕΩΡΟΥΝΤΑΙ ΓΝΩΣΤΕΣ
1 συγκλινει , s > 1
s 
αποκλινει , s ≤ 1
∞
∑n
n =1
∞
∑λ
n =1
n
συγκλινει , | λ |< 1
=
(γεωµετρικη σειρα )
αποκλινει , | λ |≥ 1
∞
Πρόταση 5.2.2 (Κριτήριο ορίου) Εστω
∑ an ,
n =1
Αν lim n →+∞
∞
∑b
n =1
n
είναι δύο σειρές θετικών όρων .
an
= k , τότε:
bn
(i) αν 0 < k < +∞ τότε οι σειρές
∞
∞
∑a , ∑b
n =1
n
n =1
n
συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα.
∞
∞
<
+∞
⇒
b
an < +∞
∑
∑
n

 n =1
n =1
(ii) αν k = 0 τότε  ∞
.
∞
 a = +∞ ⇒ b = +∞
∑
n
n
∑
n =1
n =1
∞
∞
 ∑ an < +∞ ⇒ ∑ bn < +∞
 n =1
n =1
(iii) αν k = +∞ τότε  ∞
.
∞
 b = +∞ ⇒ a = +∞
∑
n
n
∑
n =1
n =1
an
a
= k . Τότε ∀ε > 0 ∃n0 : ∀n > n0 ⇒ k − ε < n < k + ε ,
bn
bn
οπότε µε εφαρµογή του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει το ζητούµενο.
a
a
(ii) Εστω lim n→+∞ n = 0 . Τότε ∀ε > 0 ∃n0 : ∀n > n0 ⇒ n < ε , οπότε µε εφαρµογή
bn
bn
του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει το ζητούµενο.
a
a
(iii) Εστω lim n →+∞ n = +∞ . Τότε ∀ε > 0 ∃n0 : ∀n > n0 ⇒ n > ε οπότε µε εφαρµογή
bn
bn
του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει το ζητούµενο.
Απόδ. (i) Εστω lim n →+∞
Παραδείγµατα (i) ∆είξτε ότι
∞
1
n =1
1+
∑
n
1
n
= +∞ .
77
a
1
1
1
. Τότε lim n→+∞ n = lim n→+∞ 1 = lim n→+∞ n = 1, άρα από
n
bn
n
nn
n
∞
∞
1
1
το κριτήριο του ορίου οι σειρές ∑ 1 , ∑ συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα.
n =1 1+ n
n =1 n
n
∞
∞
1
1
Εφόσον ∑ = +∞ προκύπτει ∑ 1 = +∞ .
n =1 n
n =1 1+ n
n
Εστω an =
1
1
1+
n
, bn =
∞
(ii) ∆είξτε ότι

∑ εφ  n
n =1
1 
 < +∞ .
+1
2
a
1
 1 
Εστω an = εφ  2  , bn = 2
. Τότε lim n →+∞ n = lim n→+∞
bn
n +1
 n +1
τη
συνάρτηση
lim n →+∞
f ( x) =
εφ ( x)
και
x
υπολογίζουµε
∞
συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. Εφόσον
∑n
n =1
n είναι το 2>1) προκύπτει
∞

∑ εφ  n
n =1
lim x →0 f ( x) = 1 .
το
an
= 1 και από το κριτήριο του ορίου οι σειρές
bn
 1 

2
 n + 1  . Oρίζουµε
1
2
n +1
εφ 
∞

∑ εφ  n
n =1
1 
,
2
+1
Τότε
∞
∑n
n =1
1
+1
2
1
< + ∞ , (διότι ο εκθέτης του
+1
2
1 
 < +∞ .
+1
2
Πρόταση 5.2.3 (Κριτήριο λόγου ή D’ Alembert) Θεωρούµε τη σειρά θετικών όρων
∞
∑a
n =1
n
.
(i) Αν lim n →+∞
an +1
= λ < 1 τότε η σειρά
an
(ii) Αν lim n →+∞
an +1
= λ > 1 τότε η σειρά
an
∞
∑a
n =1
συγκλινει .
n
∞
∑a
n
n =1
αποκλινει .
(iii) Αν λ = 1 δεν υπάρχει συµπέρασµα σχετικά µε τη σύγκλιση της σειράς.
Πρόταση 5.2.4 (Κριτήριο ρίζας ή Cauchy) Θεωρούµε τη σειρά θετικών όρων
∞
∑a
n =1
(i) Αν lim n →+∞ n an = λ < 1 τότε η σειρά
(ii) Αν lim n →+∞ n an = λ > 1 τότε η σειρά
∞
∑a
n =1
συγκλινει .
n
∞
∑a
n =1
78
n
αποκλινει .
n
.
(iii) Αν λ = 1 δεν υπάρχει συµπέρασµα σχετικά µε τη σύγκλιση της σειράς.
∞
Παραδείγµατα (i) ∆είξτε ότι
n!
∑n
n =1
Eστω an =
< +∞ .
n
n!
, τότε:
nn
lim n→+∞
(n + 1)!
(n + 1) n +1
= lim n→+∞
n!
nn
an +1
= lim n→+∞
an
∞
άρα από το κριτήριο του λόγου
n!
∑n
n =1
(ii) ∆είξτε ότι
∑(
∞
)
Εχουµε lim n→+∞
∑(
∞
n
n =1
)
n
 1
1 + 
 n
n
=
1
< 1,
e
< +∞ .
n
n
n − 1 < +∞ .
(
n
n =1
n
1
)
n −1
n
= lim n→+∞ n n − 1 = 0 < 1 , οπότε από το κριτήριο ρίζας
n
n − 1 < +∞ .
Πρόταση 5.2.4 (Κριτήριο συµπύκνωσης Cauchy) Εστω αn είναι µία γνησίως
∞
φθίνουσα ακολουθία θετικών όρων. Τότε οι σειρές
∑ an και
n =1
∞
∑2 a
n
n=0
2n
συγκλίνουν ή
αποκλίνουν ταυτόχρονα.
Παράδειγµα Να µελετηθεί η σύγκλιση της σειράς
•
∞
1
n=2
( ln n )
∑n
∞
Αν α = 0 προφανώς έχουµε απόκλιση διότι
a
, a∈
.
1
∑ n = +∞ .
n =1
•
Αν α < 0 τότε
1
n ( ln n )
a
=
( ln n )
−a
>
n
1
, άρα µε εφαρµογή του κριτηρίου
n
σύγκρισης έχουµε πάλι απόκλιση.
•
1
Αν α > 0 τότε η ακολουθία
είναι προφανώς θετική και γνησίως
a
n ( ln n )
φθίνουσα οπότε εφαρµόζουµε το κριτήριο συµπύκνωσης:
∞
∑ 2n
n =1
1
2n ( ln 2
)
n a
=
∞
∑
n =0
1
( n ln 2 )
a
79
=
1
ln 2
∞
a >1
1 < +∞,
.
a 
= +∞, 0 ≤ a ≤ 1
∑n
n =0
Aρα η σειρά
∞
1
n=2
( ln n )
∑n
a
συγκλίνει όταν α > 1 και αποκλίνει όταν α ≤ 1.
, a∈
§ 5.3 Εναλλάσουσες σειρές
Ορισµός 5.3.1 Μία σειρά καλείται εναλλάσουσα όταν οι θετικοί και οι αρνητικοί όροι
της εµφανίζονται διαδοχικά, δηλαδή όταν οι όροι της είναι εναλλάξ θετικοί και
αρνητικοί.
Πρόταση 5.3.1 (Κριτήριο Leibnitz) Μία εναλλάσουσα σειρά της οποίας οι όροι κατ’
απόλυτη τιµή σχηµατίζουν µία φθίνουσα και µηδενική ακολουθία συγκλίνει.
Παράδειγµα ∆είξτε ότι η σειρά
(−1) n +1
συγκλίνει.
n
n =1
∞
∑
(−1) n +1
1
. Τότε η | an |=
είναι µία γνησίως φθίνουσα και µηδενική
n
n
∞
(−1) n +1
ακολουθία οπότε από το κριτήριο του Leibnitz η σειρά ∑
συγκλίνει.
n
n =1
Εστω an =
•
Ισχύει ο ακόλουθος τύπος της άθροισης κατά µέρη του Αbel:
∞
∞
∑ a b = ∑ (b
n =1
n n
n =1
n
n
n
k =1
k =1
− bn +1 )∑ ak + lim n →+∞ bn ∑ ak
∞
Πρόταση 5.3.2 (Κριτήριο Abel) Aν η σειρά
∑a
n =1
n
συγκλίνει και αν η ακολουθία
∞
bn είναι µονότονη και φραγµένη τότε η σειρά
∑a b
n =1
n n
συγκλίνει.
Απόδ. Αµεση εφαρµογή του τύπου άθροισης κατά µέρη του Αbel.
Πρόταση 5.3.3 (Κριτήριο Dirichlet) Aν η ακολουθία sn των µερικών αθροισµάτων της
∞
σειράς
∑a
n =1
∞
σειρά
n
∑a b
n =1
n n
είναι φραγµένη και αν η ακολουθία bn είναι µονότονη και µηδενική τότε η
συγκλίνει.
Απόδ. Αµεση εφαρµογή του τύπου άθροισης κατά µέρη του Αbel.
80
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
∞
∞
σειρές
∑
unυn ,
n =1
∞
1
∑n
n =1
1
, τότε
n2
∞
∑
< +∞ , να µελετηθούν ως προς τη σύγκλιση οι
∞
∞
n
n =1
∞
n =1
1
∑n
∑ bn < +∞ και αν 0 <
n =1
un + υ n
, άρα από το κριτήριο
2
1
2
< +∞ και
unυn =
1
un . Είδαµε όµως ότι
n
un <+∞ .
n =1
∞
unυn ≤
unυn < +∞ .
∑υ = ∑ n
unυn < +∞ , άρα και
2. Αν
n
x2 + y 2
προκύπτει ότι
2
n =1
∑
n =1
un .
n =1
σύγκρισης και την υπόθεση
∞
∑υ
n =1
Λύση. Επειδή xy ≤
Εστω υn =
∞
∑ un < +∞,
1. Αν un ,υn > 0 και
an +1 bn +1
≤
∀n ≥ n0 να δείξετε ότι
an
bn
∞
∑a
n =1
n
< +∞ .
Λύση. ∀n ≥ n0 ισχύει:
an0 +1
an0
≤
...
an0 + k
an0 + k −1


bn0
 γινοµενο κατα µελη a
 an 
bn + k

n0 + k
⇒
≤ 0 ⇒ an0 + k ≤  0  bn0 + k .

 bn 
an0
bn0
 0
bn0 + k 

≤
bn0 + k −1 
bn0 +1
∞
Eφόσον
∑ bn < +∞ , από το κριτήριο σύγκρισης προκύπτει
n =1
3. Αν
∞
∑a
n =1
n
∞
∑a
n =1
n
< +∞ .
< +∞ να δείξετε ότι lim n →+∞ nan = 0 .
Λύση Αν ίσχυε lim n→+∞ nan = k > 0, τότε lim n→+∞
∞
του ορίου οι σειρές
∞
1
∑a , ∑ n
n =1
n
an
= k > 0, οπότε από το κριτήριο
1
n
θα συνέκλιναν ή θα απέκλιναν ταυτόχρονα. Εφόσον
n =1
∞
∞
1
=
+∞
⇒
an = +∞ , (άτοπο).
∑
∑
n =1 n
n =1
81
∞
2n + 1
∞
1
4. Να υπολογίσετε το άθροισµα των σειρών: ∑
,
n =1 n( n + 1)
∑ n (n + 1)
n =1
2
.
2
∞
∞
n
1
1 
1 
1
1
=
−
=
−
lim
∑
∑
n →+∞ ∑ 



n +1
k +1
n =1 n( n + 1)
n =1  n
k =1  k
Λύση.
n
n
n
n +1
1
1
1
1
= lim n→+∞ ∑ − lim n→+∞ ∑
= lim n→+∞ ∑ − lim n→+∞ ∑
k =1 k
k =1 k + 1
k =1 k
k =2 k
1 

= lim n→+∞ 1 −
 = 1.
 n +1
Οµοια:
∞
n 
2n + 1
(n + 1) 2 − n 2
1
1 
=
=
−
lim


∑
∑
n →+∞ ∑
2
2
2
2
 2 ( k + 1)2 
n =1 n ( n + 1)
n =1 n ( n + 1)
k =1 k


∞
n
n
n +1
1
1
1
1
lim
lim
lim
−
=
−
n →+∞ ∑
n →+∞ ∑ 2
n →+∞ ∑ 2
2
2
k =1 k
k =1 ( k + 1)
k =1 k
k =2 k
n
= lim n→+∞ ∑

1 
= lim n→+∞  1 −
= 1.
2 
 (n + 1) 
5. Να µελετηθεί η σύγκλιση των σειρών:
(i )
∞
∑
ηµ (nθ )
n =1
n2
(θ ∈ ( 0, 2π ) ) ,
∞
∞
∑
3n n !
, (vi )
∑
n
n =1 n
ηµ (nθ )
n
2
1
3
n =1
∞
1
(iv) ∑ηµ   , (v)
n
n =1
Λύση. (i) Εστω an =
(ii )
n +1
2
Εστω
an =
. Τότε | an |=
n +1
2
.
Τότε
)
n +1 − n ,
n =1
ηµ (nθ )
n
2
∑ | an |< +∞ . Αρα
1
3
n +1
.
1
, p > 0.
∑
p
n = 3 n ln n(ln(ln n))
n =1
(ii)
∑ (−1) (
∞
∞
∞
κριτήριο σύγκρισης έχουµε
, (iii )
an =
≤
∞
∑a
n
n =1
1
. Εφόσον
n2
Χρησιµοποιούµε το κριτήριο σύγκρισης. Εφόσον
≥
n +1
∞
1
2
∑
n =1
1
∑n
n =1
2
< +∞ , από το
< +∞.
1
3
∞
n
2
1
3
n +n
2
2
=
1
3
2n
= +∞ , έχουµε
3
2
=
∞
∑a
n =1
n
1 1
.
2
2n 3
3
= +∞.
(iii) Xρησιµοποιούµε το κριτήριο Leibnitz για εναλλάσουσες σειρές. Ορίζουµε
82
an = n + 1 − n =
(
n +1 − n
)(
n +1 + n
n +1 + n
)=
1
n +1 + n
και παρατηρούµε ότι η ακολουθία αn είναι γνησίως φθίνουσα και µηδενική, οπότε
ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του κριτηρίου Leibnitz και συνεπώς η σειρά
∑ (−1) (
∞
n +1
)
n + 1 − n συγκλίνει.
n =1
1
1
(iv) Εστω an = ηµ   . Ορίζουµε bn = και χρησιµοποιούµε το κριτήριο του ορίου.
n
n
1
ηµ  
a
 n  = 1, (διότι lim ηµ ( x) = 1 ), άρα οι σειρές
Εχουµε lim n→+∞ n = lim n→+∞
x →0
1
x
bn
n
∞
∞
∞
1
1
1
 
ηµ
και
συγκλίνουν
ή
αποκλίνουν
ταυτόχρονα.
Εφόσον
= +∞
∑
∑
∑
 
n
n =1
n =1 n
n =1 n
∞
1
προκύπτει ∑ηµ   = +∞ .
n
n =1
(v) Eστω an =
3n n !
. Χρησιµοποιούµε το κριτήριο λόγου και έχουµε:
nn
lim n →+∞
άρα
an +1
= lim n→+∞
an
3n +1 (n + 1)!
(n + 1) n +1
= lim n→+∞
3n n !
nn
3
 1
1 + 
 n
n
=
3
> 1,
e
∞
3n n !
= +∞ .
∑
n
n =1 n
1
, p > 0 . Θα χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο της
n ln n(ln(ln n)) p
συµπύκνωσης. Η an είναι θετική και φθίνουσα ακολουθία. Επίσης
(vi) Eστω an =
∞
∑ 2n
n =3
1
2n ln 2n ( ln(ln 2n ) )
p
=
∞
∑ n ln 2
n =3
1
( ln(n ln 2) )
p
=
1 ∞
1
.
∑
ln 2 n =3 n ( ln n + ln(ln 2) ) p
Παρατηρούµε ότι
∞
1
1
1 ∞
1
1 ∞
1
1 ∞
1
.
=
<
<
∑
∑
∑
∑
p
p
p
p
2 ln 2 n = 2 n ( ln n )
ln 2 n = 2 n ( ln n + ln n )
ln 2 n =3 n ( ln n + ln(ln 2) )
ln 2 n =3 n ( ln n ) p
83
∞
1
n =3
( ln n )
∑n
Mελετούµε τώρα τη σύγκλιση της σειράς
p
χρησιµοποιώντας πάλι το
κριτήριο συµπύκνωσης:
∞
∑ 2n
n =3
του
∞
1
n=2
( ln n )
∑n
Τότε
1
=
n
2 (ln 2n ) p
κριτηρίου
p
∞
∞
1
1
=
∑
p
p
(ln 2) p
n =3 n (ln 2)
∞
∑2
< +∞ για p > 1, άρα
n
n =3
σύγκρισης),
p >1
1 < +∞,
.
p 
 = +∞ 0 < p ≤ 1
∑n
n =3
1
2n ln 2n ( ln(ln 2n ) )
∞
1
∑ n ln n(ln(ln n))
συνεπώς
n =1
∞
κριτηρίου συµπύκνωσης). Οµοια δείχνουµε ότι
p
< +∞ (εφαρµογή
< +∞ (εφαρµογή
1
∑ n ln n(ln(ln n))
n =1
6. Να ευρεθούν οι τιµές του x∈
p
p
για τις οποίες συγκλίνει η σειρά
του
= +∞ για 0≤ p<1.
∞
2n x n
.
∑
n =1 n !
Λύση. Χρησιµοποιούµε το κριτήριο της ρίζας και έχουµε
lim n→+∞
x∈
n
2n x n
= 2 | x | lim n→+∞
n!
n
1
= 0 < 1, άρα η σειρά
n!
2n x n
συγκλίνει για κάθε
∑
n =1 n !
∞
.
∞
1
7. Να µελετηθεί η σύγκλιση της σειράς: ∑ 1 + 
n
n =1 
 1
Λύση. Eστω an = 1 + 
 n
n +1
.
n +1
. Παρατηρούµε ότι lim n →+∞ an = e , άρα από την άρνηση
∞
 1
της Πρότασης 5.1.3 η σειρά ∑ 1 + 
n
n =1 
n +1
8. Να µελετηθεί η σύγκλιση της σειράς
αποκλίνει.
∑n(
∞
1
n
)
2 −1 .
n =1
n
 1
1 +  > 2, ∀n ≥ n0 .
 n
(
)
1
1
1
⇒ n 2 − 1 < 2 . Με
n
n
n
∞
1
εφαρµογή του κριτηρίου σύγκρισης προκύπτει ότι η σειρά ∑ n 2 − 1 συγκλίνει.
n =1 n
Λύση.
Ισχύει
Αρα
n
2 −1 <
(
84
)
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Εστω an > 0 και
∞
2
n
a
∑1+ a
n =1
2
n
∞
∑ an < +∞ . Να δειχθεί ότι οι σειρές
n =1
∞
∑ an2 ,
n =1
∞
an
∑ 1+ a
n =1
και
n
συγκλίνουν.
2. Θεωρούµε ακολουθία an έτσι ώστε lim n→+∞ n | an |= 1 . Να δείξετε ότι
3. Να µελετηθεί η σύγκλιση των κάτωθι σειρών:
∞
1
∑
ln n
n = 2 (ln n )
∞
∑ ( −1)
n +1
n=2
∞
∑
n =1
∑ ( −1)
∞
n =1
n2
∑
n
n =1 2 + 1
∑ (−1)
∞
n+2
n +1
n =1
n!
(2n)!
1
∑ n(ln n)
n =1
10n
∑
n
n =1 ( n + 1)
∑
n
n =1
∞
∞
n
∞
∞
n =1
 x
, x∈
n 

∞
nn
∑
n
n =1 (1 + n)
∑ 2 ηµ  3
n =1
∑ (−1)
n2 + 1 − n
n2 + n − 1
∑
3
n =1 2n + 5n − 7
 π 
n +1
(
∞
ln n
n
∑ 1 − συν  n  
∞
n +1
n =1
xn
, x∈
n

∞
∞
∞
∑
n =1
n
2
2
n
( x − 1) n +1
, x∈
∑
n +1
n =1 (2n + 1)2
∞
n +1
−1
n
85
)
∞
∑a
n =1
2
n
< +∞ .
KΕΦΑΛΑΙΟ 6
∆ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
§ 6.1 Ορισµοί
Ορισµός 6.1.1 Εστω αn είναι µία πραγµατική ακολουθία και x, x0 είναι πραγµατικοί
αριθµοί. Ένα “άπειρο” πολυώνυµο της µορφής:
∞
∑a (x − x )
n
n =0
0
n
,
(1)
καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το σηµείο x0. Αν x0 = 0 τότε η δυναµοσειρά καλείται
και σειρά McLaurin:
∞
∑a x
n =0
n
n
.
(2)
Oι αριθµοί α0,…,αn,… καλούνται συντελεστές της δυναµοσειράς και ο x0 καλείται
κέντρο της δυναµοσειράς.
Eίναι προφανές το ερώτηµα: Για ποιες τιµές του x η δυναµοσειρά (1) συγκλίνει;
Ορισµός 6.1.2 To σύνολο Ι των σηµείων x∈
για τα οποία η δυναµοσειρά (1)
συγκλίνει καλείται τόπος σύγκλισης της δυναµοσειράς.
Ορισµός 6.1.3 To σύνολο Ι0 των σηµείων x∈
απολύτως συγκλίνουσα, δηλαδή
∞
∑| a
n =0
n
για τα οποία η δυναµοσειρά (1) είναι
|| x − x0 |n < +∞
καλείται τόπος απόλυτης σύγκλισης της δυναµοσειράς.
Προφανώς x0 ∈Ι αφού
∞
∑a (x
n =0
n
0
− x0 ) = a0 , άρα ο τόπος σύγκλισης όπως και ο τόπος
n
απόλυτης σύγκλισης δεν είναι ποτέ το κενό σύνολο. Εστω x ∈Ι όπου Ι είναι ο τόπος
σύγκλισης της δυναµοσειράς. Ορίζουµε τη συνάρτηση
f :I →
∞
: f ( x) = ∑ an ( x − x0 ) n .
n =0
Θα µελετήσουµε τον τόπο σύγκλισης µιας δυναµοσειράς. Επειδή η µελέτη των
δυναµοσειρών της µορφής (1) ανάγεται στη µελέτη της αντίστοιχης σειράς Mc Laurin
µε την αντικατάσταση y = x-x0, στα επόµενα θα µελετήσουµε τον τόπο σύγκλισης
µιας σειράς Mc Laurin.
86
∞
Θεώρηµα 6.1.1 (Αbel) (i) Αν η δυναµοσειρά
∑a x
n
n
n =0
συγκλίνει για κάποιο πραγµατικό
αριθµό ξ τότε συγκλίνει και µάλιστα απόλυτα για κάθε x στο ανοικτό διάστηµα
( − | ξ |,| ξ |) .
∞
(ii) Αν η δυναµοσειρά
∑a x
n =0
n
n
δεν συγκλίνει για κάποιο πραγµατικό αριθµό ξ τότε αυτή
δεν συγκλίνει για όλα τα x που ανήκουν στο σύνολο ( −∞, − | ξ |) ∪ (| ξ |, +∞ ) .
∞
Πρόταση 6.1.1 Θεωρούµε τη δυναµοσειρά
∑a x
n =0
n
n
. Αν lim n→+∞
an +1
= λ , τότε:
an
∞
1

<
<
+∞
⇒
εαν
0
η
δυναµοσειρα
λ
an x n συγκλινει απολυτα για | x |<
∑

λ
n =1

∞

n
 εαν λ = 0 ⇒ η δυναµοσειρα ∑ an x συγκλινει απολυτα για καθε x
n =1

∞

εαν λ = +∞ ⇒ η δυναµοσειρα ∑ an x n συγκλινει µονον για x = 0

n =1

Aπόδ. Αµεση συνέπεια του κριτηρίου του λόγου για σειρές (βλέπε Κεφ. 5) και του
Θεωρήµατος 6.1.1.
∞
Πρόταση 6.1.2 Θεωρούµε τη δυναµοσειρά
∑a x
n=0
n
n
. Αν lim n→+∞ n | an | = λ , τότε:
∞
1

<
<
+∞
⇒
εαν
0
η
δυναµοσειρα
λ
an x n συγκλινει απολυτα για | x |<
∑

λ
n =1

∞

n
 εαν λ = 0 ⇒ η δυναµοσειρα ∑ an x συγκλινει απολυτα για καθε x
n =1

∞

εαν λ = +∞ ⇒ η δυναµοσειρα ∑ an x n συγκλινει µονον για x = 0

n =1

Aπόδ. Αµεση συνέπεια του κριτηρίου της ρίζας για σειρές (βλέπε Κεφ. 5) και του
Θεωρήµατος 6.1.1.
Σηµείωση 1 Τόσο η Πρόταση 6.1.1 όσο και η Πρόταση 6.1.2 προσδιορίζουν ένα
διάστηµα σύγκλισης της δυναµοσειράς της µορφής (-1/λ,1/λ) και ένα σύνολο
απόκλισης (-∞,-1/λ)∪(1/λ,+∞). Τι συµβαίνει όµως όσον αφορά τη σύγκλιση της
δυναµοσειράς στα σηµεία x = ±1/λ;
Mελετούµε ξεχωριστά τη σύγκλιση των αριθµητικών σειρών
∞
∑a
n=0
1
n
λn
,
( −1)
∞
∑a
n=0
87
n
λn
n
στα σηµεία x = 1/λ, x = -1/λ, για να προσδιορίσουµε επακριβώς τον τόπο σύγκλισης
και απόλυτης σύγκλισης της δυναµοσειράς.
Σηµείωση 2 Για να αποφύγουµε τη χρήση των τύπων των Προτάσεων 6.1.1 και
6.1.2, όταν θέλουµε να βρούµε τον τόπο σύγκλισης µιας δυναµοσειράς µπορούµε να
εφαρµόσουµε κατευθείαν το κριτήριο λόγου ή ρίζας (βλέπε Κεφ. 5) για σειρές και
κάνουµε διερεύνηση όλων των περιπτώσεων.
Παράδειγµα Να ευρεθεί ο τόπος σύγκλισης και ο τόπος απόλυτης σύγκλισης της
∞
3n n
δυναµοσειράς ∑
x .
n
n =1
Λύση. Θεωρώ την ακολουθία an ( x) =
3n n
x και εφαρµόζω το κριτήριο του λόγου
n
για σειρές:
lim n→+∞
•
•
| an +1 ( x) |
= lim n→+∞
| an ( x) |
1
1
1
Αν 3 | x |< 1 ⇒| x |< ⇒ − < x < , τότε η δυναµοσειρά
3
3
3
απόλυτα, άρα συγκλίνει.
Αν 3 | x |> 1 ⇒| x |>
δυναµοσειρά
∞
∑
n =1
•
3n +1 | x |n +1
3| x | n
n + 1 = lim
= 3| x |.
n →+∞
n
n
3 | x|
n +1
n
∞
∑
n =1
3n n
x συγκλίνει
n
1
1
1
1 1


⇒ x > η x < − ⇒ x ∈  −∞, −  ∪  , +∞  , τότε η
3
3
3
3 3


3n n
x αποκλίνει.
n
Για |x| = ±1/3, δεν έχουµε συµπέρασµα. Μελετούµε λοιπόν ξεχωριστά τις
περιπτώσεις αυτές.
1. Εστω x = 1/3, τότε η δυναµοσειρά γίνεται:
∞
∑
n =1
n
∞
3n  1 
1
=
= +∞ .
  ∑
n  3  n =1 n
2. Εστω x = -1/3, τότε η δυναµοσειρά γίνεται:
∞
∑
n =1
n
∞
3n  1 
(−1) n
< +∞ , (Kριτήριο Leibnitz),
 −  =∑
n  3  n =1 n
αλλά αντιθέτως:
88
∞
∑
n =1
n
∞
3n  1 
1
−
=
= +∞ .

 ∑
n  3
n
n =1
Συµπερασµατικά, ο τόπος σύγκλισης της δυναµοσειράς είναι το διάστηµα
 1 1
 − 3 , 3  , ενώ ο τόπος απόλυτης σύγκλισης της δυναµοσειράς είναι το ανοικτό
 1 1
διάστηµα  − ,  .
 3 3
∞
Πρόταση 6.1.3 (Παραγώγιση δυναµοσειρών) Αν µία δυναµοσειρά
∑a x
n=0
σύγκλισης το ανοικτό διάστηµα (-ρ,ρ), τότε και η δυναµοσειρά
∞
∑ na x
n=0
n
n −1
n
n
έχει τόπο
έχει ως τόπο
σύγκλισης το Ι∆ΙΟ ανοικτό διάστηµα (-ρ,ρ). Αν λοιπόν ορίσουµε:
∞
: f ( x) = ∑ an x n ,
f : (− ρ , ρ ) →
n=0
τότε για κάθε x∈(-ρ,ρ) υπάρχει η παράγωγος f ′( x) και ισχύει:
∞
: f ′( x) = ∑ nan x n −1 .
f ′ : (− ρ , ρ ) →
n =0
Ορισµός 6.1.4 Εστω δύο σειρές
∞
∑ an και
n =1
∞
∑b
. Ορίζουµε το γινόµενο (συνέλιξη)
n
n =1
∞
∑c
των δύο σειρών κατά Cauchy ως µία νέα σειρά
n
n =1
, όπου:
n
cn = ∑ ak bn +1− k .
k =1
Πρόταση 6.1.4 Αν δύο δυναµοσειρές
∞
∑a x
n
n=0
n
,
∞
∑b x
n=0
n
n
έχουν τον ίδιο τόπο
σύγκλισης (-ρ,ρ), τότε το γινόµενό τους κατά Cauchy έχει τόπο σύγκλισης ένα
∞
∞
n =0
n=0
υπερσύνολο του (-ρ,ρ) . Αν ορίσουµε f ( x) = ∑ an x n , g ( x) = ∑ bn x n , x∈(-ρ,ρ), τότε:
∞
f ( x) g ( x) = ∑ cn x n , x ∈ (− ρ , ρ ) ,
n=0
όπου cn είναι όπως στον ορισµό 6.1.4.
89
§ 6.2 Το πολυώνυµο Τaylor
Aς θεωρήσουµε το πολυώνυµο
Pn ( y ) = a0 + a1 y + ... + an y n , ai ∈
.
Θα δούµε ότι οι συντελεστές του αi εκφράζονται συναρτήσει των παραγώγων της
συνάρτησης Pn(y) στο σηµείο y = 0. Πράγµατι, παραγωγίζοντας διαδοχικά έχουµε:
Pn′( y ) = a1 + 2a2 y + ... + nan y n −1
Pn′′( y ) = 2a2 + 6a3 y + ... + n(n − 1)an y n − 2
Pn′′′( y ) = 6a3 + 24a4 y + ... + n(n − 1)(n − 2)an y n −3 ,
...
Pn( n ) ( y ) = n(n − 1)(n − 2)...1an = n !an
οπότε θέτοντας y = 0, έχουµε:
Pn (0) = a0
Pn′(0) = a1
Pn′′ (0) = 2a2
Pn′′′ (0) = 6a3
,
...
Pn( n ) (0) = n !an
άρα µπορούµε να γράψουµε το πολυώνυµο Pn(y) ως εξής:
Pn ( y ) = Pn (0) + Pn′(0) y +
Pn′′(0) 2 Pn′′′ (0) 3
P ( n ) (0) n
y +
y ... + n
y .
2
6
n!
(3)
Aν θέσουµε µάλιστα y = x-x0, µπορεί εύκολα να διαπιστώσει κανείς ότι το
πολυώνυµο:
Pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + ... + an ( x − x0 ) , ai ∈
n
γράφεται ως εξής:
Pn′′( x0 )
Pn( n ) ( x0 )
2
n
Pn ( x) = Pn ( x0 ) + Pn′( x0 ) ( x − x0 ) +
( x − x0 ) + ... +
( x − x0 ) .
2
n!
(4)
Η σχέση (4) καλείται ανάπτυγµα Taylor του πολυωνύµου Pn(x) κατά τις δυνάµεις
του x-x0.
Θεωρούµε τώρα µία συνάρτηση f oρισµένη σ΄ ένα διάστηµα Ι της πραγµατικής
ευθείας η οποία έχει σε ένα σηµείο x0∈I παραγώγους µέχρι n-τάξεως. Θέλουµε να
90
βρούµε ένα πολυώνυµο βαθµού n της µορφής
Pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + ... + an ( x − x0 )
n
που να ικανοποιεί τις σχέσεις:
Pn ( x0 ) = f ( x0 ) , Pn′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ,..., Pn( n ) ( x0 ) = f ( n ) ( x0 ) .
(5)
Ενα τέτοιο πολυώνυµο δίνει η σχέση (4), οπότε για τα δεδοµένα (5) παίρνουµε:
Pn , f , x0 ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 ) ( x − x0 ) +
f ′′( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
n
( x − x0 ) + ... +
( x − x0 ) .
2
n!
(6)
Η σχέση (6.6) είναι ένα πολυώνυµο προσέγγισης της συνάρτησης f στο σηµείο x0
και καλείται πολυώνυµο Taylor της συνάρτησης f στο σηµείο x0.
Προφανώς αν η συνάρτηση f ∆ΕΝ είναι πολυώνυµο, ισχύει:
f ( x) − Pn , f , x0 ( x) = Rn , f , x0 ( x) ,
όπου η συνάρτηση Rn, f , x0 ( x) καλείται υπόλοιπο.
Ορισµός 6.2.1 Αν f είναι µία πραγµατική συνάρτηση oρισµένη στο [a, b] , x0 ∈ [a, b]
και η f έχει παραγώγους µέχρι n-τάξεως στο σηµείο x0, τότε το πολυώνυµο:
Pn , f , x0 ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 ) ( x − x0 ) +
f ′′( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
n
( x − x0 ) + ... +
( x − x0 )
2
n!
καλείται πολυώνυµο Taylor ή ανάπτυγµα Taylor της f στο σηµείο x0∈Ι.
Είναι σαφές ότι όταν το υπόλοιπο Rn , f , x0 ( x) είναι µικρό για όλα τα x που ανήκουν σε
µία περιοχή του σηµείου x0, τότε το πολυώνυµο Taylor Pn , f , x0 ( x) δίνει µία αρκετά
καλή προσέγγιση της συνάρτησης f(x) σε µία περιοχή του σηµείου x0 . Το πρόβληµα
λοιπόν είναι ο προσδιορισµός του υπολοίπου Rn, f , x0 ( x) .
Σηµείωση 1 Το ανάπτυγµα Taylor µιας συνάρτησης f σε σηµείο x0 είναι µοναδικό.
Θεώρηµα 6.2.1 Eστω f :[a, b] →
είναι n-φορές παραγωγίσιµη στο [a, b] µε
συνεχείς παραγώγους και υπάρχει η (n+1)-παράγωγος της f στο (α,b). Αν x0 ∈ [a, b] ,
τότε για κάθε x ∈ [a, b] ισχύει
Rn , f , x0 ( x) =
f ( n +1) (ξ )
n +1
( x − x0 ) , ξ µεταξυ των x0 και x ( υπόλοιπο Lagrange) ή
(n + 1)!
91
Rn , f ( x) =
f ( n +1) (ξ )
n
( x − ξ ) ( x − x0 ), ξ µεταξυ των x0 και x (υπόλοιπο Cauchy).
n!
§ 6.3 Η σειρά Τaylor
Ορισµός 6.3.1 Αν f :[a, b] →
τότε η δυναµοσειρά
έχει παραγώγους κάθε τάξεως στο σηµείο x0 ∈ [a, b] ,
∞
T f , x0 ( x) = ∑
n=0
f ( n ) ( x0 )
n
( x − x0 )
n!
καλείται σειρά του Taylor στο σηµείο x0 και έχει τον τόπο σύγκλισής της, τον οποίο θα
συµβολίζουµε στο εξής µε Ι. Επιπλέον αν ισχύει
∞
f ( x) = ∑
n=0
f ( n ) ( x0 )
n
( x − x0 ) , ∀x ∈ I ∩ [a, b]
n!
τότε θα λέµε ότι η f αναπτύσσεται στο I ∩ [a, b] σε σειρά Τaylor γύρω από το σηµείο
x0 ∈ [a, b] .
Θεώρηµα 6.3.1 Eστω ότι η συνάρτηση f : [ a, b ] →
έχει παραγώγους κάθε τάξεως
στο [a,b] και x0 ∈ [a, b] . Aν Ι είναι ο τόπος σύγκλισης της σειράς Taylor T f , x0 ( x) , τότε
η f αναπτύσσεται στο I ∩ [a, b] σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο x0 ∈ [ a, b ] αν και
µόνον αν για το υπόλοιπο Rn , f , x0 ( x) ισχύει
Rn , f , x0 ( x) → 0, n → +∞, ∀x ∈ I ∩ [a, b] .
Πρόταση 6.3.1 Εστω Ι είναι ο τόπος σύγκλισης της σειράς Taylor T f , x0 ( x) . Αν η
συνάρτηση f :[a, b] →
δηλαδή:
έχει φραγµένες παραγώγους κάθε τάξεως στο I ∩ [a, b] ,
∃M > 0 : ∀n ∈ N , ∀x ∈ I ∩ [a, b] | f ( n ) ( x) |≤ M ,
τότε
Rn , f , x0 ( x) → 0, n → +∞, ∀x ∈ I ∩ [a, b] ,
δηλαδή η f αναπτύσσεται στο I ∩ [a, b] σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο x0 ∈ [a, b] .
Σηµείωση 2 Όταν ισχύει lim n→+∞ Rn, f , x0 ( x) ≠ 0 , τότε η σειρά Taylor που
δηµιουργείται από την f στο σηµείο x0 και να είναι συγκλίνουσα ∆ΕΝ ισούται µε την
f(x).
92
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΘΕΩΡΟΥΝΤΑΙ ΓΝΩΣΤΕΣ
∞
xn
e = ∑ , x∈
n =0 n !
x
∞
ηµ x = ∑ ( −1)
n=0
∞
n
x 2 n +1
, x∈
(2n + 1)!
συν x = ∑ ( −1)
n=0
n
x2n
, x∈
(2n)!
∞
1
= ∑ x n , |x |< 1
1 − x n=0
∞
ln(1 + x) = ∑ (−1) n −1
n =1
xn
, x ∈ ( −1,1]
n
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Εστω f(x) = xe x . Να υπολογίσετε τον τύπο της n-ιοστής παραγώγου της
συνάρτησης f(x). Nα αναπτύξετε σε σειρά Mclaurin τη συνάρτηση f(x) και να
υπολογίσετε τον τόπο σύγκλισής της. Συγκλίνει η σειρά Mclaurin στην f(x);
Λύση
f ′( x) = e x + xe x = (1 + x)e x
f ′′( x) = e x + (1 + x)e x = (2 + x)e x
....
.
f ( n ) ( x ) = e x + ( n − 1 + x )e x = ( n + x )e x
Θα δείξουµε µε τη µέθοδο της επαγωγής ότι f ( n ) ( x) = (n + x)e x . Είδαµε παραπάνω η
σχέση ισχύει για n = 1. Yποθέτουµε ότι f ( n ) ( x) = (n + x)e x και θα δείξουµε ότι
f ( n +1) ( x) = (n + 1 + x)e x . Πράγµατι από την υπόθεση f ( n ) ( x) = (n + x)e x έχουµε:
f ( n +1) ( x) = ( f ( n ) )′ ( x) = ( ( n + x ) e x )′ = ( n + x ) e x + e x = ( n + 1 + x ) e x ,
άρα ο τύπος f ( n ) ( x) = (n + x)e x ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό n.
Για x0 = 0 έχουµε f ( n ) ( x0 ) = f ( n ) (0) = n , άρα η σειρά McLaurin της f(x) είναι:
∞
∑
n=0
∞
∞
f ( n ) ( x0 )
n
1
n
n
xn .
( x − x0 ) = ∑ ( x − 0 ) = ∑
n!
n=0 n !
n = 0 ( n − 1)!
93
∞
Επίσης είναι εύκολο να δείξουµε ότι η σειρά McLaurin
1
∑ (n − 1)! x
n
συγκλίνει για
n=0
κάθε x ∈
.
∞
Επιπλέον, ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η σειρά McLaurin
1
∑ (n − 1)! x
n
να
n=0
συγκλίνει στην f(x) είναι Rn , f ,0 ( x) → 0, n → +∞ ∀x ∈
. Γνωρίζουµε όµως ότι το
υπόλοιπο δίνεται από την ακόλουθη ισότητα (Lagrange):
Rn , f ,0 ( x) =
f ( n +1) (ξ ) n +1
x , ξ ∈ (0, x) η ξ ∈ ( x, 0)
(n + 1)!
ή ισοδύναµα
f ( n +1) (θ x) n +1
Rn , f ,0 ( x) =
x , | θ |< 1 .
(n + 1)!
Υπολογίσαµε όµως ότι
(n + 1 + θ x)eθ x n +1 1 n +1 θ xeθ x n +1
Rn , f ,0 ( x) =
x = x +
x .
n!
(n + 1)!
(n + 1)!
Eστω αn(x)=
x
a ( x)
x n +1
, τότε: n +1
= → 0, n → +∞ , οπότε
n!
an ( x)
n
Rn , f ,0 ( x) =
1 n +1 θ xeθ x n +1
x +
x → 0, n → +∞, ∀x ∈
n!
(n + 1)!
,
άρα η σειρά Mclaurin συγκλίνει στην f(x).
2. Εστω f(x) = συν x . Να υπολογίσετε τον τύπο της n-ιοστής παραγώγου της f(x). Nα
αναπτύξετε σε σειρά Mclaurin τη συνάρτηση f(x) και να δείξετε ότι η σειρά Mclaurin
συγκλίνει στην f(x) για κάθε x. Να δείξετε ότι το σφάλµα κατά την προσέγγιση της f
x2 x4
1
δεν υπερβαίνει το
.
στο [-1,1] από το πολυώνυµο p( x) = 1 − +
6!
2 24
Λύση
π

f ′( x) = −ηµ x = συν  x + 
2

f ′′( x) = −συν x = συν ( x + π )
3π  .

f ′′′( x) = ηµ x = συν  x +

2 

f (4) ( x) = συν x = συν ( x + 2π )
....
nπ 

f ( n ) ( x) = συν  x +

2 

94
nπ 

Με τη µέθοδο της επαγωγής δείχνουµε ότι f ( n ) ( x) = συν  x +
.
2 

 nπ
Για x0 = 0 έχουµε f ( n ) (0) = συν 
 2
f(x) είναι:
∞
∑
n=0
  0, n περιττος
 = ±1 n αρτιος , άρα η σειρά Mclaurin της
 
2n
∞
∞
f ( n ) ( x0 )
f ( n ) (0)
n
n
n x
.
( x − x0 ) = ∑
( x − 0 ) = ∑ (−1)
(2n)!
n!
n!
n=0
n=0
Είναι εύκολο να δούµε ότι ο τόπος σύγκλισης αυτής είναι όλο το . Επιπλέον, ικανή
και αναγκαία συνθήκη ώστε η σειρά Mclaurin της f(x) να συγκλίνει στην f(x) είναι το
υπόλοιπο Rn , f ,0 ( x) → 0, n → +∞ ∀x ∈ . Γνωρίζουµε όµως ότι το υπόλοιπο δίνεται
από την ακόλουθη ισότητα (Lagrange):
Rn , f ,0 ( x) =
f ( n +1) (ξ ) n +1
x , ξ ∈ (0, x) η ξ ∈ ( x, 0)
(n + 1)!
ή ισοδύναµα
Rn , f ,0 ( x) =
f ( n +1) (θ x) n +1
x , | θ |< 1 .
(n + 1)!
Από τα παραπάνω έχουµε
Rn , f ,0 ( x) =
Eστω αn(x) =
nπ

2

(n + 1)!
συν  θ x +


n +1
 x n +1 , άρα | R ( x) |≤ | x | .
n, f
(n + 1)!
a ( x) | x |
1
x n +1 , τότε: n +1
=
→ 0, n → +∞ ∀x ∈
(n + 1)!
an ( x)
n
| Rn , f ( x) |→ 0, n → +∞, ∀x ∈
, άρα:
,
άρα η σειρά Mclaurin συγκλίνει στην f(x). Παρατηρούµε ότι το πολυώνυµο Taylor
2ου βαθµού της συν(x) στο x0 = 0 είναι:
P2, f ,0 ( x) = 1 −
x2 x4
x2 x4
+
= 1− +
2 4!
2 4!
Επειδή συν ( x) = P2, f ,0 ( x) + R2, f ,0 ( x) και
R2, f ,0 =
συν (θ x + 3π )
6!
, | θ |< 1 , έχουµε:
95
 x 2 x 4  συν (θ x + 3π ) 1
συν ( x) − 1 − +  =
≤ .
2 4! 
6!
6!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
x
2
1. Να δειχθεί ότι 1 + x ≥ 1 + −
x2
, x ≥ 0.
8
2. Να δείξετε ότι η σειρά Mclaurin της συνάρτησης f(x) = ηµx είναι η
∞
∑ ( −1)
n=0
n
x 2 n +1
, x∈
(2n + 1)!
και να αποδείξετε ότι η σειρά Mclaurin της f(x) συγκλίνει στην f(x).
3. Να αναπτυχθεί σε σειρά Mclaurin η συνάρτηση f(x) =
1
και να υπολογισθεί ο
1+ x
τόπος σύγκλισης αυτής.
Υπόδειξη: Xρησιµοποιείστε κατάλληλα το ανάπτυγµα:
∞
1
= ∑ xn .
1 − x n=0
2
ex −1
4. Να αναπτυχθεί σε σειρά Mclaurin η συνάρτηση f(x) =
και να υπολογισθεί ο
x
τόπος σύγκλισης αυτής.
∞
Υπόδειξη: Xρησιµοποιείστε κατάλληλα το ανάπτυγµα: e x = ∑
n =0
xn
.
n!
5. Εστω f(x) = ( x − 1) 2 e x . Να υπολογίσετε τον τύπο για τη n-ιοστή παράγωγο της f(x).
Nα αναπτύξετε σε σειρά Mclaurin τη συνάρτηση f(x) και να υπολογίσετε τον τόπο
σύγκλισής της. Συγκλίνει η σειρά Mclaurin στην f(x);
6. Να ευρεθούν ο τόπος σύγκλισης και ο τόπος απόλυτης σύγκλισης των κάτωθι
δυναµοσειρών (i)
( x − 1) n
, (ii)
∑
n =1 n + 1
∞
∞
n! n
x , (iii)
∑
n
n =1 n
96
∞
∑
n =1
nx n .
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7
Το ορισµένο ολοκλήρωµα
§1. Εισαγωγή
Ο Ολοκληρωτικός Λογισµός γεννήθηκε από την ανάγκη ανάπτυξης µιας γενικής
µεθόδου υπολογισµού όγκων, εµβαδών και κέντρων βάρους.
Οι αρχές ολοκλήρωσης ανάγονται στη µέθοδο της “εξάντλησης” που χρησιµοποιούσαν οι Αρχαίοι Ελληνες για την εύρεση όγκων και εµβαδών. Στο έργο π.χ. του
Αρχιµήδη “Τετραγωνισµός της παραβολής”, αναπτύσσονται µε θαυµαστή ακρίβεια οι
βασικές αρχές ολοκλήρωσης.
Στους µαθηµατικούς της Αναγέννησης και ιδιαίτερα στους Newton και Leibnitz
οφείλουµε τη σύνδεση µεταξύ παραγώγισης και ολοκλήρωσης. Οι Newton, Leibnitz
και οι µαθητές τους ανέπτυξαν τον Ολοκληρωτικό Λογισµό, ενώ οι µέθοδοι
ολοκλήρωσης έφτασαν στο σηµείο που βρίσκονται σήµερα κυρίως µε τα έργα του
Euler.
Προσοχή: Σήµερα υπάρχουν διάφορες θεωρίες ολοκλήρωσης. Η θεωρία που θα
διδαχθείτε καλείται ολοκλήρωµα Riemann, είναι όµως ανεπαρκής για µια µεγάλη
κλάση συναρτήσεων. Έτσι µετά από προσπάθεια αρκετών δεκαετιών στις αρχές του
αιώνα µας οικοδοµήθηκε η θεωρία για ένα πιο γενικό ολοκλήρωµα (το ολοκλήρωµα
Lebesgue).
Εφ’ όσον οι έννοιες ολοκλήρωµα και εµβαδόν είναι άρρηκτα συνδεδεµένες µεταξύ
τους, είναι φυσικό να ξεκινήσουµε από τη µέθοδο εξάντλησης των Αρχαίων για να
οδηγηθούµε κατά φυσικό τρόπο στη σύγχρονη θεµελίωση της έννοιας του ορισµένου
ολοκληρώµατος.
Ορισµός 7.1 Με την έννοια Εµβαδόν ενός επιπέδου σχήµατος Α εννοούµε τον
αριθµό που προκύπτει αν συγκρίνουµε το σχήµα Α µε ένα τετράγωνο πλευράς 1.
Αξίωµα Η ένωση δύο ή περισσοτέρων απλών σχηµάτων (ορθογωνίων, τριγώνων,
πολυγώνων) που έχουν “ξένα εσωτερικά” σηµεία ισούται µε το άθροισµα των
εµβαδών των αντιστοίχων σχηµάτων.
M’ αυτό τον τρόπο εύκολα οδηγούµαστε στον τύπο εµβαδού ορθογωνίου µε ρητές
πλευρές καθώς επίσης και στο εµβαδόν τριγώνου.
Αρχικά θα αναφέρουµε τη µέθοδο του Αρχιµήδη για τον τετραγωνισµό της
παραβολής (3ος π.Χ. Αιώνας), η οποία θα δούµε ότι οδηγεί µε φυσικό τρόπο στην
αυστηρή θεµελίωση του ολοκληρώµατος Riemann.
Παράδειγµα 1 (Ο τετραγωνισµός της παραβολής) Να δειχθεί ότι το εµβαδόν
µεταξύ της παραβολής f(x) = x2 και του άξονα των x στο κλειστό διάστηµα [0,1]
ισούται µε το 1/3 του τετραγώνου πλευράς 1.
97
Λύση Χωρίζουµε το κλειστό διάστηµα [0,1] σε n-υποδιαστήµατα
[x0, x1), [x1, x2),…, [xn-1, xn],
τέτοια ώστε 0 = x0 < x1 < … < xn = 1. Προφανώς:
xk2 ≤ x 2 ≤ xk2+1 , όπου x∈[xk, xk+1] και 0 ≤ k ≤ n-1
και το ζητούµενο εµβαδόν Ε είναι:
n −1
∑ ( xk − xk −1 ) xk2
n −1
< E <
k =0
∑ ( xk − xk −1 ) xk2+1 .
k =0
Aν ∆ = {x0,x1,…,xn} και αν L(∆) (αντ. U(∆)), είναι το αριστερό (αντ. το δεξιό)
άθροισµα της παραπάνω ανισότητας, τότε το σύνολο:
{L(∆): ∆ οποιαδήποτε διαµέριση του [0,1]},
είναι µη κενό και άνω φραγµένο π.χ. φράσσεται απότον αριθµό Ε, άρα το σύνολο
αυτό έχει supremum. Oµοια το σύνολο
{U(∆): ∆ οποιαδήποτε διαµέριση του [0,1]}
είναι µη κενό και κάτω φραγµένο π.χ. φράσσεται από τον αριθµό Ε, άρα το σύνολο
αυτό έχει infimum.
Τον αριθµό:
1
∫ x dx = sup{L(∆) : ∆ οποιαδηποτε διαµεριση
2
του [0,1]}
0
καλούµε κάτω ολοκλήρωµα Darboux της συνάρτησης f(x) = x2 στο [0,1].
Όµοια τον αριθµό:
∫
1
0
x 2 dx := inf{U (∆ ) : ∆ οποιαδηποτε διαµεριση του [0,1]}
καλούµε άνω ολοκλήρωµα Darboux της συνάρτησης f(x) = x2 στο [0,1].
Oταν το άνω και το κάτω ολοκλήρωµα Darboux της συνάρτησης f(x) = x2 στο
κλειστό διάστηµα [0,1] είναι ίσα, τότε η κοινή τιµή τους καλείται ολοκλήρωµα
Riemann της συνάρτησης f(x) στο [0,1].
Προφανώς για οποιαδήποτε διαµέριση ∆ ισχύει:
L(∆ ) ≤ U (∆ ) ⇒ 0 ≤ U (∆ ) − L(∆ ) .
98
Aρκεί λοιπόν για κάθε ε > 0 να υπάρχει διαµέριση ∆ έτσι ώστε U (∆ ) − L(∆ ) < ε .
Πράγµατι, αν
n 
 1 2
∆ = 0, , ,...., = 1 ,
n 
 n n
τότε:
2
n −1
1 n−1
 k +1 k  k
−  2 = 3 ∑k2 ,
L(∆ ) = ∑ 
n n
n k =0
k =0  n
2
n −1
1 n−1
1 n 2
 k + 1 k  ( k + 1)
2
U (∆ ) = ∑ 
− 
=
(
k
+
1)
=
∑
∑k
n  n2
n 3 k =0
n3 k =1
k =0  n
άρα:
U (∆ ) − L(∆ ) =
1
n.
Aν πάρουµε 1/n < ε, τότε εφόσον
n
∑k
2
=
k =1
n( n + 1)(2n + 1)
,
6
έχουµε:
1 n( n + 1)(2n + 1) n 2
1 n(n + 1)(2n + 1)
− 3 <E< 3
,
n3
6
n
n
6
οπότε οι ακολουθίες δεξιά και αριστερά του Ε συγκλίνουν στο 1/3 άρα 1/3 ≤ Ε ≤ 1/3,
οπότε Ε = 1/3.
H θεµελίωση του ολοκληρώµατος Riemann
Με οδηγό το προηγούµενο παράδειγµα θα ορίσουµε το ολοκλήρωµα Riemann για
φραγµένες συναρτήσεις σε ένα κλειστό διάστηµα [α,β].
Ορισµός 7.3 Το πεπερασµένο σύνολο
∆ = {x0, x1, …, xn}
έτσι ώστε α = x0 < x1 <…< xn = β καλείται διαµέριση του κλειστού διαστήµατος
[α,β].
Ορισµός 7.4 Αν ∆ = {x0,x1,…,xn} είναι µια διαµέριση του [α,β], τότε καλούµε
πλάτος της διαµέρισης ∆ τον αριθµό:
|∆| = max{|xk–xk-1|: k=1,…,n}.
Ορισµός 7.5 To σύνολο των διαµερίσεων του [α,β] συµβολίζεται µε ∆[α,β].
Ορισµός 7.6 Μια διαµέριση ∆΄ καλείται εκλέπτυνση της ∆ εάν ∆ ⊂ ∆΄.
99
Έστω f(x) είναι µια φραγµένη συνάρτηση ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α,β] και ∆ =
{x0,x1,…,xn}∈∆[α,β]. Ορίζουµε:
mk = inf{ f (t ) : t ∈ [ xk , xk +1 ]} ,
M k = sup{ f (t ), t ∈ [ xk , xk +1 ]} ,
όπου k = 0,…,n-1. Eστω:
n −1
L( f , ∆ ) = ∑ mk ( xk +1 −xk ) ,
k =0
n −1
U ( f , ∆ ) = ∑ M k ( xk +1 −xk ) .
k =0
Παρατηρήσεις
(1) Για κάθε διαµέριση ∆ ισχύει L( f , ∆ ) ≤ U ( f , ∆ ) .
(2) Εάν ∆΄ είναι µία εκλέπτυνση της διαµέρισης ∆ του [α,β] τότε:
L( f , ∆ ) ≤ L( f , ∆′) ,
U ( f , ∆′) ≤ U ( f , ∆ ) .
(3) Aν ∆ και ∆΄ είναι δύο διαµερίσεις του [α,β] τότε:
L( f , ∆ ) ≤ U ( f , ∆′) .
Το σύνολο ∆∪∆΄ είναι µία εκλέπτυνση της διαµέρισης ∆, άρα ισχύει η παρατήρηση
(2), δηλαδή:
L( f , ∆ ) ≤ L( f , ∆ ∪ ∆′) ≤ U ( f , ∆ ∪ ∆′) ≤ U ( f , ∆′) .
Η γεωµετρική σηµασία όσων είπαµε είναι απλούστατη:
(α) Το L( f , ∆ ) παριστάνει το εµβαδόν µιας ένωσης ορθογωνίων που προσεγγίζουν
από κάτω το εµβαδόν της συνάρτησης f(t) στο κλειστό διάστηµα [α,β],
(β) Το U ( f , ∆ ) παριστάνει το εµβαδόν µιας ένωσης ορθογωνίων που προσεγγίζουν
από πάνω το εµβαδόν της συνάρτησης f(t) στο κλειστό διάστηµα [α,β].
Το σύνολο
{L(f,∆): ∆ οποιαδήποτε διαµέριση του [0,1]}
είναι άνω φραγµένο σύνολο (π.χ. από το εµβαδόν Ε της f στο [α,β]), άρα το αξίωµα
της επιλογής εξασφαλίζει την ύπαρξη του supremum. Οµοια το σύνολο
100
{L(f,∆): ∆ οποιαδήποτε διαµέριση του [0,1]}
είναι κάτω φραγµένο, άρα έχει infimum.
Ορισµός 7.7 Εστω µία φραγµένη συνάρτηση f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα στο
[α,β] (α < β), τότε ο αριθµός
β
∫ f ( x)dx = sup{L( f , ∆) : ∆ οποιαδηποτε διαµεριση
του [ a, β ]}
a
καλείται κάτω ολοκλήρωµα Darboux της συνάρτησης f(x) στο διάστηµα [α,β]. Ο
αριθµός
β
∫ f ( x)dx = inf{U ( f , ∆) : ∆ οποιαδηποτε διαµεριση
του [a, β ]}
a
καλείται άνω ολοκλήρωµα Darboux της συνάρτησης f(x) στο διάστηµα [α,β].
Ορισµός 7.8 (Darboux)
Μια φραγµένη συνάρτηση f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α,β] καλείται
ολοκληρώσιµη (κατά Riemann) στο [α,β], αν
∫
β
a
β
f (t ) dt = ∫ f (t ) dt .
a
Η κοινή αυτή τιµή καλείται ορισµένο ολοκλήρωµα της συνάρτησης f(x) στο
κλειστό διάστηµα [α,β], ή ολοκλήρωµα Riemann της συνάρτησης f(x) στο
κλειστό διάστηµα [α,β] και συµβολίζεται µε
∫
β
a
f (t ) dt .
Ορισµός 7.9 (Riemann) Εστω f(x) είναι µία φραγµένη συνάρτηση ορισµένη στο
κλειστό διάστηµα [α,β] (α < β). Η f(x) καλείται Riemann ολοκληρώσιµη στο [α,β]
εάν υπάρχει ένας πραγµατικός αριθµός που τον συµβολίζουµε µε
∫
β
a
f (t )dt , έτσι
ώστε:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀∆ ∈ ∆ : | ∆ |< δ ⇒
n −1
∑ f (ξκ )( x
k =0
k +1
β
−xk ) − ∫ f (t ) dt < ε ,
a
για οποιαδήποτε διαµέριση ∆={x0,x1,…,xn} του [α,β] και για οποιαδήποτε επιλογή
σηµείων Ξ = {ξ0,ξ1,…,ξn-1}, όπου xk ≤ ξk ≤ xk+1.
Θεώρηµα 7.1 Οι ορισµοί του Darboux και του Riemann είναι ισοδύναµοι.
101
§2 Κριτήρια ολοκληρωσιµότητας
Θεώρηµα 7.2 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι µία φραγµένη πραγµατική
συνάρτηση f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α,β] ολοκληρώσιµη κατά Riemann
στο [α,β] είναι: για κάθε ε>0 να υπάρχει διαµέριση ∆ τέτοια ώστε:
∀ε > 0 ∃ διαµεριση ∆: U ( f , ∆ ) − L( f , ∆ ) < ε .
Παρατήρηση Aν η f είναι φραγµένη στο [α,β] ⇒ f ολοκληρώσιµη στο [α,β];
Aπάντηση: OXI απαραίτητα π.χ. για τη συνάρτηση
1
f ( x) = 
0
x − ρητος
x − αρρητος
, x ∈ [0,1]
παρατηρoύµε ότι για οποιαδήποτε διαµέριση ∆={x0,…,xn} του [0,1] έχουµε
L( f , ∆ ) = Σ nk−=10 ( xk +1 − xk ) 0 = 0 ,
διότι σε κάθε διάστηµα [xk,xk+1] υπάρχει άρρητος. Όµοια έχουµε
n −1
n −1
k =0
k =0
U ( f , ∆ ) = ∑ ( xk +1 −xk )1 = ∑ ( xk +1 −xk ) = 1 − 0 = 1 ,
άρα το κατώτερο και το ανώτερο ολοκλήρωµα Darboux δεν ταυτίζονται και συνεπώς
η συνάρτηση f(x) δεν είναι ολοκληρώσιµη στο κλειστό διάστηµα [0,1].
Πόρισµα 7.1 Έστω f(x) είναι µια φραγµένη συνάρτηση στο κλειστό διάστηµα [α,β]
και {∆n, n=1,2,…} είναι µια ακολουθία διαµερίσεων του [α,β], τέτοια ώστε:
lim n→∞ (U ( f , ∆ n ) − L( f , ∆ n )) = 0
τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β] και
β
lim n→∞ L( f , ∆ n ) = ∫ f ( x) dx = lim n→∞ U ( f , ∆ n ) .
a
Ασκηση 1 Εστω η συνάρτηση f:[0,1]→
ολοκληρώσιµη στο [0,1].
, µε f(x) = x. Ν∆Ο η f(x) είναι
Λύση Εστω Pn={0<1/n<2/n<…<n/n=1}. Aφού η f είναι αύξουσα, σε κάθε διάστηµα
[(k-1)/n,k/n] ισχύει mk(f)=f((k-1)/n) και Mk(f)=f(k/n), άρα:
L( f , Pk ) = ∑ k =1
N
k −1 1 1
=
n n n2
102
∑
N
k =1
( k − 1) =
n( n − 1)
,
2n 2
U ( f , Pk ) = ∑ k =1
N
k1 1
=
n n n2
∑
N
k =1
(k ) =
n( n + 1)
,
2n 2
συνεπώς από το Πόρισµα 7.1 έχουµε
lim n→∞ (U ( f , ∆ n ) − L( f , ∆ n )) = lim n→∞
1
= 0,
n
άρα
∫
β
a
xdx = lim n→∞
n( n + 1) 1
= .
2n 2
2
Θεώρηµα 7.3 Εστω f(x) είναι µία φραγµένη συνάρτηση ορισµένη στο κλειστό
διάστηµα [α,β], τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:
∫
β
f ( x) dx = γ .
(i)
η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β] και
(ii)
αν ∆={x0,x1,…} είναι οποιαδήποτε διαµέριση του [α,β] και αν ξ1∈[x0,x1],
ξ2∈[x1,x2],... οποιαδήποτε επιλογή ενδιαµέσων σηµείων, τότε
αν |∆| < δ ⇒
∑ f (ξ
k
a
β
k
)( xk +1 − xk ) − ∫ f ( x) dx < ε .
a
Πόρισµα 7.2 Έστω f είναι µια ολοκληρώσιµη συνάρτηση που ορίζεται στο κλειστό
διάστηµα [α,β]. Για κάθε ακολουθία διαµερίσεων {∆n, n=1,2,…} τέτοια ώστε |∆n|→0
και για κάθε ακολουθία {ξn} ενδιαµέσων σηµείων ισχύει
β
lim n→∞ ∑ k =1 f (ξ k )( xk +1 − xk ) = ∫ f ( x) dx.
n
a
Ασκηση 2 Να δειχθεί ότι εάν η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β], τότε το ολοκλήρωµα
αυτής δίνεται από τον κανόνα του τραπεζίου δηλαδή
∫
β
a
όπου xk = a + k
N −1
 f ( xk +1 ) + f ( xk )  β − a
f ( x ) dx = lim N →∞ ∑ 

2
 N ,
k =0 
(β − a)
, k = 0,..., N . Ποια η γεωµετρική ερµηνεία του παραπάνω
N
αθροίσµατος;
Λύση Θεωρούµε τη διαµέριση του [α,β] σε Ν ισοµήκη υποδιαστήµατα µήκους (βα)/Ν, δηλαδή:
∆={xk: xk=α+k(β-α)/N, k=0,…,N)}.
Εφόσον η συνάρτηση f είναι Riemann ολοκληρώσιµη από το πόρισµα 7.2 έχουµε:
103
∫
β
a
f ( x) dx = lim N →∞ ∑ k =0 f ( xk )
N −1
( β − a)
N
= lim N →∞ ∑ k =0 f ( xk +1 )
N −1
( β − a)
.
N
Πρόταση 7.1 Κάθε µονότονη συνάρτηση f oρισµένη στο κλειστό διάστηµα [α,β]
είναι ολοκληρώσιµη.
Απόδειξη Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι η συνάρτηση είναι
αύξουσα. Χωρίζουµε το [α,β] σε n ισοµήκη υποδιαστήµατα:
∆={α, α+(β-α)/n, α+2(β-α)/n ,…, α+k(β-α)/n,…, α+n(β-α)/n=β}
Θα εφαρµόσουµε το Πόρισµα 7.1:
n −1
U ( f , ∆ ) − L( f , ∆ ) = ∑ ( xk +1 − xk )( M k − mk )
k =0
=
β −a
n
n −1
∑ ( f (x
k +1
k =0
) − f ( xk )) =
β −a
n
( f (b) − f ( a )) .
Πρόταση 7.2 Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α,β] είναι Riemann ολοκληρώσιµη.
Απόδειξη Aρκεί να δείξουµε ότι δοθέντος ε > 0 υπάρχει µια διαµέριση ∆ του [α,β]
έτσι ώστε:
n −1
∑ (x
k =0
k +1
−xk )( M κ − mκ ) < ε . .
Υπενθυµίζουµε ότι εάν µια συνάρτηση είναι συνεχής, τότε σε κάθε κλειστό διάστηµα
έχει µέγιστη και ελάχιστη τιµή, άρα για κάθε k=0,…,n-1 υπάρχουν f(ξ′k)=Μκ και f(ξ k
′′) = mk έτσι ώστε:
n−1
n−1
n−1
k =0
k =0
k =0
∑ ( xk +1 −xk )(M k − mk ) = ∑ ( xk +1 −xk )( f (ξk′ ) − f (ξk′′)) ≤ ∑ ( xk +1 −xk )
ε
β −a
Παρατήρηση Αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β] ⇒ f συνεχής στο [α,β];
Aπάντηση: OXI απαραίτητα π.χ. η συνάρτηση
x ∈ [0,1]
 x
f ( x) = 
,
+
∈
x
1
x
(1,
2]

είναι ασυνεχής στο [0,2] αλλά είναι ολοκληρώσιµη στο [0,2] ως µονότονη.
104
≤ε .
Πρόταση 7.3 Εστω συνάρτηση f φραγµένη στο κλειστό διάστηµα [α,β] µε
πεπερασµένο πλήθος (το πολύ αριθµήσιµο πλήθος) σηµείων ασυνέχειας στο [α,β],
τότε η f είναι ολοκληρώσιµη.
Παρατήρηση Είναι δυνατόν µια συνάρτηση να µην ορίζεται σ’ ένα σηµείο x0∈[α,β].
Αν όµως διαπιστώσουµε ότι η συνάρτηση επεκτείνεται συνεχώς σ’ αυτό το σηµείο,
τότε η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β], π.χ. έστω f(x) = ηµ(πx)/(πx) στο
(0,1], επειδή limx→0f(x)=1, η συνάρτηση f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [0,1].
§3 Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Riemann
1. Εάν f(x) = c, x∈[α,β], τότε:
∫
β
a
f (t )dt = c ( β − a ) .
Πράγµατι, για κάθε διαµέριση ∆, Μk = mk =c, άρα:
n −1
U ( f , ∆ ) = ∑ ( xk +1 − xk )c = c( β − α ) = L( f , ∆ ) .
k =0
2. Εάν οι f και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α,β], τότε και η f+g είναι ολοκληρώσιµη
και ισχύει:
β
∫α
β
β
( f ( x ) + g ( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x ) dx .
α
α
Απόδειξη
n −1
Eστω Σ( f , ∆, Ξ ) = ∑ ( xk +1 −xk ) f (ξ k ) το άθροισµα Riemann, τότε:
k =0
n −1
Σ( f + g , ∆, Ξ ) = ∑ ( xk +1 −xk )( f (ξ k ) + g (ξ k )) = Σ( f , ∆, Ξ ) + Σ( g , ∆, Ξ ) .
k =0
3. Εάν οι f και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α,β] και λ,µ είναι πραγµατικοί αριθµοί,
τότε η λf+µg είναι ολοκληρώσιµη και ισχύει:
β
β
∫α (λ f ( x) + µ g ( x))dx = λ ∫α
β
f ( x ) dx + µ ∫ g ( x ) dx
α
(προκύπτει εύκολα απο τα αθροίσµατα Riemann).
4. Εάν α<c<β, τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β] αν και µόνον αν είναι
ολοκληρώσιµη στα [α,c] και [c,β]. Τότε ισχύει:
∫
β
a
c
β
a
c
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .
5. Εάν m ≤ f ≤ M, α ≤ x ≤ β και αν η f είναι ολοκληρώσιµη τότε ισχύει:
105
β
m( β − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ( β − a ) .
a
n −1
n −1
k =0
k =0
Απόδειξη U ( f , ∆ ) = ∑ ( xk +1 − xk ) M k ≤ M ∑ ( xk +1 − xk ) και
n −1
n −1
k =0
k =0
L( f , ∆ ) = ∑ ( xk +1 − xk ) mk ≥m∑ ( xk +1 − xk ) = m( β − α ) .
6. Εάν οι f και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α,β] και f(x) ≤ g(x) , α ≤ x ≤ β , τότε:
∫
β
a
β
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx .
a
β
Απόδειξη Αρκεί να δείξουµε ότι εάν h(x) ≥ 0, τότε ∫α h ≥ 0 . Πράγµατι, επειδή g-f ≥
0 και εφόσον mk ≥ 0 για κάθε k, έχουµε το ζητούµενο.
7. Για κάθε ολοκληρώσιµη συνάρτηση f ισχύει :
β
∫α
β
f ( x ) dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx .
α
Απόδειξη Αρχικά θα δείξουµε ότι η |f| είναι ολοκληρώσιµη. Εστω:
M k′ = sup{| f ( x) |, x ∈ [ xk , xk +1 ]} ,
mk′ = inf{| f ( x) |, x ∈ [ xk , xk +1 ]} ,
M k = sup{ f ( x), x ∈ [ xk , xk +1 ]} ,
mk = inf{ f ( x), x ∈ [ xk , xk +1 ]} .
Eπειδή για κάθε x,y ισχύει: ||f(x)|-|f(y)||≤|f(x)-f(y)| έχουµε 0 ≤ M k′ − mk′ ≤ M k − mk ,
οπότε αν
n−1
n−1
( xk +1 −xk )( M k − mk ) < ε ⇒ ∑ ( xk +1 −xk )( M k′ − mk′ ) < ε .
∑
k =0
k =0
Εφ’ όσον -|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| , α ≤ x ≤ β έχουµε:
β
β
β
α
α
α
− ∫ | f ( x ) | dx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx ⇒
106
β
∫α
β
f ( x ) dx ≤ ∫ | f ( x ) |dx .
α
8. Εάν η συνάρτηση f:[α,β]Æ[γ,δ] είναι ολοκληρώσιµη και εάν η φ:[γ,δ]ÆR είναι
συνεχής, τότε η σύνθεση φοf: [α,β]ÆR είναι ολοκληρώσιµη.
9. Εάν η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β], τότε η fk είναι ολοκληρώσιµη
(k∈Ζ).
Απόδειξη Αν M = sup{| f ( x) |, x ∈ [a, β ]} και αν φ:[-Μ,Μ]→R, x→xk, τότε η φ
είναι συνεχής και από το προηγούµενο Θεώρηµα ϕ f =f k είναι ολοκληρώσιµη.
10. Εάν η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β] και αν υπάρχει δ > 0 και Μ: 0
< δ ≤ f(x) ≤ M, τότε η 1/f είναι ολοκληρώσιµη.
Απόδειξη Εστω φ:[δ,Μ]→R, x→1/x, τότε η φ είναι συνεχής και από την 9 η φοf=1/f
είναι ολοκληρώσιµη.
11. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α,β], τότε η fg είναι
ολοκληρώσιµη στο [α,β].
Απόδειξη Eπειδή οι f+g, f-g , f2 και g2 είναι ολοκληρώσιµες, η fg είναι επίσης
ολοκληρώσιµη, λόγω της ταυτότητας:
fg =[(f+g)2 –(f-g)2]/2.
12. Εάν α ≤ c <d ≤ β και η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β], τότε η f είναι
ολοκληρώσιµη στo [c,d].
Παρατήρηση Ο ορισµός του ολοκληρώµατος της f έχει δοθεί για συναρτήσεις f
ορισµένες στο [α,β] µε α<β. Επεκτείνουµε τον ορισµό του ολοκληρώµατος της f στο
[α,α] και της f στο [β,α] ως εξής:
(i)
(ii)
a
για κάθε f , ορίζουµε ∫α f ( x ) dx = 0 ,
για κάθε f ολοκληρώσιµη στο [α,β] (α < β) ορίζουµε:
β
a
∫β
f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx .
α
§4 Θεωρήµατα µέσης τιµής ολοκληρωτικού Λογισµού
Θεώρηµα 7.4 (10 Θεώρηµα µέσης τιµής του Ο.Λ.) Εάν η f είναι ολοκληρώσιµη στο
κλειστό διάστηµα [α,β] και αν m ≤ f(x) ≤ M για κάθε α ≤ x ≤ β, τότε υπάρχει µ∈[m,Μ]
έτσι ώστε να ισχύει:
∫
β
a
f ( x ) dx = µ ( β − a ) .
Απόδειξη Είναι γνωστό ότι
β
m( β − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( β − a ) ⇔ m ≤
a
107
β
1
f ( x )dx ≤ M .
∫
(β − a) a
Πόρισµα 7.3 Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε υπάρχει ξ∈[α,β] έτσι ώστε
∫
β
a
f ( x ) dx = f (ξ )( β − a ) .
Απόδειξη Εφόσον η f είναι συνεχής, θα είναι και ολοκληρώσιµη στο [α,β] και θα
ισχύει το 10 Θεώρηµα µέσης τιµής του Ολοκλ. Λογισµού, όπου m (αντ. Μ) είναι το
ελάχιστο (αντ. το µέγιστο) της f στο [α,β]. Λόγω συνέχειας, υπάρχει ξ∈[α,β]: µ=f(ξ).
Θεώρηµα 7.5 (20 Θεώρηµα µέσης τιµής του Ο.Λ.) Εάν οι f και g είναι
ολοκληρώσιµες στο [α,β] και αν m ≤ f(x) ≤ M για κάθε α ≤ x ≤ β, ενώ
g ( x ) ≥ 0 (ή g ( x ) ≤ 0 )
για κάθε α ≤ x ≤ β, τότε υπάρχει µ∈[m,Μ] έτσι ώστε:
∫
β
β
f ( x ) g ( x ) dx = µ ∫ g ( x ) dx .
a
a
Απόδειξη Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι g ( x) ≥ 0 , τότε
m g(x) ≤ f(x) g(x) ≤ M g(x),
και αφού η (fg)(x) είναι ολοκληρώσιµη, θα ισχύει
β
β
β
m ∫ g ( x ) dx ≤ ∫ ( fg )( x ) dx ≤ M ∫ g ( x ) dx .
α
a
a
Αν
∫
β
a
g ( x ) dx > 0 , τότε m ≤
∫
β
( fg )( x ) dx
a
∫
β
a
Αν
∫
β
a
g ( x ) dx = 0 , τότε
∫
β
a
g ( x )dx
≤M
και θέτουµε µ=
∫
β
( fg )( x )dx
a
∫
β
a
g ( x ) dx .
( fg )( x ) dx = 0 και εκλέγουµε οποιοδήποτε µ.
Πόρισµα 7.4 Εάν η f είναι συνεχής στο [α,β] και η g είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β]
και αν g ( x) ≥ 0 (ή g ( x) ≤ 0 ) για κάθε α ≤ x ≤ β, τότε υπάρχει ξ∈[α,β] έτσι ώστε:
∫
β
a
β
f ( x ) g ( x ) dx = f (ξ ) ∫ g ( x )dx .
a
§5 Αντιπαράγωγοι και ορισµένα ολοκληρώµατα
Θεώρηµα 7.6 Εάν η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στό [α,β] τότε η συνάρτηση
x
F ( x ) = ∫ f (t ) dt
a
108
είναι συνεχής στο [α,β].
Απόδειξη Eστω x1,x2∈[α,β] µε x1< x2, τότε:
F ( x1 ) − F ( x2 ) =
x1
∫α
f ( x ) dx − ∫
x2
α
f ( x) dx =
∫
x2
x1
f ( x) dx .
Αν λοιπόν Μ = sup x∈[ a ,β ] | f ( x) | , ε > 0 και | x2 - x1 | < ε/Μ, τότε
| F ( x1 ) − F ( x2 ) |≤ M ( x2 − x1 ) < ε .
Θεώρηµα 7.7 (Πρώτο Θεµελιώδες Θεώρηµα O.Λ.) Εάν η συνάρτηση f είναι
x
ολοκληρώσιµη στο [α,β] και συνεχής στο x0, τότε η συνάρτηση F ( x ) = ∫a f (t ) dt , α ≤
x ≤ β, είναι παραγωγίσιµη στο x0 και η παράγωγος αυτής ισούται µε f(x0).
Απόδειξη Εστω α < x0 < β και |h| < min{β-x0,x0–α}, θα δείξουµε ότι F΄(x0) = f(x0), ή
 F ( x0 + h) − F ( x0 )

− f ( x0 )  = 0 .
lim h→0 
h


Έστω h > 0 (όµοια είναι η απόδειξη για h < 0), τότε
F ( x0 + h) − F ( x0 )
1
− f ( x0 ) =
h
h
=
1
h
≤
1 x0 + h
| f (t ) − f ( x0 ) |dt .
h ∫x0
∫
x0 + h
x0
f (t ) dt − ∫
x0 + h
x0
∫
x0 + h
a
f ( x0 ) dt =
f (t ) dt − ∫
x0
a
1
h
∫
x0 + h
x0
f (t ) dt −hf ( x0 )
( f (t ) − f ( x0 )) dt
Έστω ε > 0, λόγω συνέχειας της f στο x0, υπάρχει δ > 0:
| f ( x) − f ( x0 ) |< ε , x0 ≤ x ≤ x0 + h ,
όταν h < δ, άρα
F ( x0 + h) − F ( x0 )
1 x0 + h
1
− f ( x0 ) ≤ ∫ | f (t ) − f ( x0 ) | dt < hε = ε .
x
h
h
h 0
Ορισµός 7.10 Αν η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιµη στο [α,β], τότε η συνάρτηση F
καλείται αντιπαράγωγος της f, ή και αρχική συνάρτηση της f.
109
Θεώρηµα 7.8 Αν η F είναι µια αντιπαράγωγος της f ορισµένη σε διάστηµα, τότε το
σύνολο των αντιπαραγώγων της f είναι της µορφής:
{F+c, c = σταθερά}.
Απόδειξη Εστω F αντιπαράγωγος της f, δηλαδή F′(x) = f(x), προφανώς (F+c)′(x) =
f(x), άρα και η F+c είναι αντιπαράγωγος της f. Εστω G µια άλλη αντιπαράγωγος της
f, δηλαδή G′(x) = f(x), τότε (F- G)′(x) = 0, άρα F = G+c.
Θεώρηµα 7.9 (20 Θεµελιώδες θεώρηµα του Ο.Λ.) Εάν η f είναι συνεχής στο [α,β],
τότε
∫
β
a
f ( x )dx = G ( β ) − G ( a ) ,
όπου η G είναι µια οποιαδήποτε αντιπαράγωγος της f.
Απόδειξη Προφανώς, αν
x
F ( x ) = ∫ f (t ) dt
και αν G είναι µια οποιαδήποτε
a
αντιπαράγωγος της f, ισχύει
x
G ( x) = F ( x) + c ⇔ G ( x) = ∫ f (t ) dt + c .
a
Αν x = a, από την παραπάνω παίρνουµε ότι G(a) = c και για x = β έχουµε:
β
β
a
a
G ( β ) = ∫ f (t ) dt + c = ∫ f (t ) dt + G ( a ) .
Θεώρηµα 7.10 Εάν η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α,β], τότε
∫
β
a
f ( x )dx = G ( β ) − G ( a ) ,
όπου η G είναι µια οποιαδήποτε αντιπαράγωγος της f.
Απόδειξη Αν ∆ = {x0,x1,…,xn} είναι µια οποιαδήποτε διαίρεση του [α,β],
παρατηρούµε ότι
G ( β ) − G ( a ) = ∑ k =1 (G ( xk ) − G ( xk −1 )) = ∑ k =1 G ′(ξ k )( xk − xk −1 ) = ∑ k =1 f (ξ k )( xk − xk −1 ),
n
n
n
το οποίο όµως είναι το άθροισµα Riemann.
ΓΝΩΣΤΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
1.
f ( x) = x n ,
F(x) =
110
x n+1
, n ≠ −1, n ∈ ,
n +1
2.
f ( x) =
1
, x≠0
x
f ( x) = x a ,
3.
5.
6.
7.
f ( x) =
9.
F(x ) =
f ( x) = a x ,
4.
8.
F(x) = log | x |, x ∈
x a +1
, a∈
a +1
F(x) =
− {−1},
ax
, a > 0,
log a
f ( x) = e x ,
F(x) = e x ,
f ( x ) = cos x,
F(x) = sin x,
f ( x ) = sin x,
F(x) = − cos x,
1
, x ∈ ( −π / 2, π / 2 )
cos 2 x
f ( x) =
1
1 − x2
− {0} ,
| x |< 1,
1
10. f ( x ) = 1 + x 2 ,
F(x) = εφ x,
F(x) = τοξηµ x,
F(x) = τοξεφ x,
11. f ( x ) = sinh x,
F(x) = cosh x,
12. f ( x ) = cosh x,
F(x) = sinh x,
1
13. f ( x ) = − sin 2 x , x ∈ ( 0, π )
F(x) = σφ x.
Βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης
I.
Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση
Αυτή προέρχεται από τον τύπο παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης (κανόνας
αλυσίδας).
Θεώρηµα 7.11 Εάν η συνάρτηση φ έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] και αν η
συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα φ([α,β]), τότε
111
ϕ (β )
∫ϕ
(a)
β
f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt .
a
Απόδειξη Εστω G µια αντιπαράγωγος της f, τότε
ϕ (β )
∫ϕ
(a)
f ( x ) dx = G (ϕ ( β )) − G (ϕ ( a ))
Προφανώς η σύνθετη συνάρτηση G(φ(t)) ορίζεται στο [α,β] και η παράγωγος αυτής
δίνεται από τον τύπο:
(G(φ(t)))΄ = G΄(φ(t)) φ΄(t) = f(φ(t)) φ΄(t), t∈[α,β],
Άρα
∫
β
a
f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt = G (ϕ ( β )) − G (ϕ ( a )) .
Παρατήρηση Ο παραπάνω τύπος προκύπτει απο το
∫
β
a
f ( x) dx , αν στη θέση του x
θέσουµε φ(t) και στη θέση του dx θέσουµε το dφ(t) = φ΄(t)dt.
1
Παράδειγµα 1 Να υπολογιστεί το
πx 
 dx.
4 
∫ cos 
0
Θέτουµε t = (πx)/4, άρα dt = (π/4)dx. Για x = 0 ⇒ t = 0, ενώ για x = 1 ⇒ t = (π/4),
άρα το ολοκλήρωµα γίνεται
4 π /4
4
2 2
π /4
πx 
.
 dx = ∫0 cos tdt = sin t 0 =
π
π
π
4 
1
∫ cos 
0
Παράδειγµα 2 Να υπολογιστεί το
1
∫
0
dx
4 − x2
.
Θέτουµε x = 2sint, άρα dx = 2cost dt. Για x = 0 ⇒ t = 0, ενώ για x = 1 ⇒ t = (π/6),
άρα το ολοκλήρωµα γίνεται
∫
1
0
dx
4 − x2
=∫
π /6
0
π /6
2 cos t
π
dt = ∫ dt = .
0
2 | cos t |
6
II Oλοκλήρωση κατά παράγοντες
Αυτή προέρχεται από τον τύπο παραγώγισης γινοµένου συναρτήσεων.
Θεώρηµα Εάν οι συναρτήσεις f,g έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α,β], τότε
∫
β
a
β
β
f ′( x) g ( x) dx = f ( x ) g ( x ) a − ∫ f ( x ) g ′( x ) dx .
a
112
Απόδειξη Είναι προφανής, αν λάβουµε υπόψην ότι
∫
β
β
(fg)′( x) dx = f ( x ) g ( x ) a = f ( β ) g ( β ) − f ( a ) g ( a )
a
και ( fg )′( x) = f ′( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′( x ) .
Παράδειγµα 3 Να υπολογιστεί το
∫
π
x sin xdx.
0
Θέτουµε f(x) = x, g(x) = -cosx, άρα το ολοκλήρωµα γίνεται
∫
π
0
π
π
x sin xdx = ∫ x( − cos x )′dx = − x cos x 0
0
π
π
0
0
π
− ∫ ( x)′( − cos x) dx = π + ∫ cos xdx = π + sin x 0 = π .
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. H συνάρτηση f:[α,β]→
+
είναι συνεχής στο [α,β] και αν
∫
β
a
f (t ) dt = 0 , Ν∆Ο f(t)
= 0 για κάθε t∈[α,β].
Λύση Εστω ότι υπάρχει ξ∈[α,β] τέτοιο ώστε f(ξ) > 0. Αφού η f είναι συνεχής στο
[α,β], υπάρχει διάστηµα [c,d] ⊂ [α,β] τέτοιο ώστε f(t) > f(ξ) για κάθε t∈[c,d]. Τότε
β
d
0 = ∫ f (t ) dt > ∫ f (t ) dt = f (ξ )( d − c) > 0 (άτοπο).
a
c
2. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο (0,1) και αν υπάρχει Μ > 0 έτσι ώστε
|f′(x)| < Μ για κάθε x∈(0,1), Ν∆Ο
∫
1
0
f (t ) dt −
1 n k M
∑f < .
n k =1  n  n
Λύση Χρησιµοποιώντας το 10 ΘΜΤ του ολοκληρωτικού λογισµού έχουµε
n
k
1
1 n
n
(
)
(
)
f
t
dt
=
f
t
dt
=
∑
∑ f (ξ k ) ,
∫0
∫( k −1) n
n k =1
k =1
όπου ξk∈[(k-1)/n,k/n], άρα από το ΘΜΤ του ∆ιαφορικού Λογισµού παίρνουµε
∫
1
0
f (t ) dt −
1 n
∑
n k =1
k
k 1 n 
 k  1 n
f   = ∑  f (ξ k ) − f    = ∑ f ′(λk )  ξ k −  ,
n
 n  n k =1 
 n   n k =1

όπου λk∈[ξk,k/n]. Τελικά
113
∫
1
0
f (t ) dt −
1 n
∑
n k =1
k
1 n
1 M
k 1 n
f   ≤ ∑ | f ′(λk ) | ξ k −
.
< ∑M =
n
n k =1 n n
 n  n k =1
3. Να ευρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης
1
F ( x ) = ∫ 2 ln(t ) dt.
x
Λύση F ′( x) = lim h→0
= lim h→0
F ( x + h) − F ( x)
h
∫
1
1
( x+h )
ln(t ) dt − ∫ 2 ln(t ) dt
2
x
h
= − lim h→0
∫
( x + h )2
x2
ln(t ) dt
h
.
Από το 10 ΘΜΤ του ολοκληρωτικού Λογισµού υπάρχει ξ∈[x2,(x+h)2] έτσι ώστε:
F ′( x ) = − lim h→0 ln(ξ )
( x + h) 2 − x 2
h
= − lim h→0 ln(ξ )(2 x + h) .
Οταν h → 0, ξ → x, άρα: F ′( x) = −2 x ln x.
4. Αν 0 < α < β < π/2, Ν∆Ο
tan a <
ln(cos a ) − ln(cos β )
< tan β
β −a
Απόδειξη Η συνάρτηση εφx είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β], άρα
β
tan a ( β − a ) < ∫ tan xdx < tan β ( β − a ) .
a
Προφανώς για t = cosx, έχουµε
∫
β
tan xdx = ∫
a
β
a
= −∫
cos β
cos a
β
sin x
1
dx = − ∫
d cos x
a
cos x
cos x
1
cos β
dt = − ln t cos a = ln(cos a ) − ln(cos β ) .
t
5. Αν η συνάρτηση f: → είναι συνεχής και ικανοποιεί τη σχέση f(α+β-x) = f(x),
Ν∆Ο
(i)
∫
β
a
xf ( x )dx =
a+β
2
114
∫
β
a
f ( x )dx
∫
(ii) Nα υπολογισθεί το
π
0
x
dx.
1 + sin x
Απόδειξη (i) Εστω x = α+β-y, τότε χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της αντικατάστασης
έχουµε
β
β
a
a
I = ∫ xf ( x )dx = ∫ ( a + β − y ) f (a + β − y )dy
β
β
β
a
a
a
= ∫ ( a + β − y ) f ( y )dy = ( a + β ) ∫ f ( y )dy − ∫ yf ( y )dy
β
= ( a + β ) ∫ f ( y )dy − I ⇒ I =
a
a+β
2
∫
β
a
f ( y )dy.
(ii) H συνάρτηση f(x) = (1+sinx)-1 ικανοποιεί την σχέση f(α+β-x) = f(x), (f(π+0-x) =
f(π-x) = f(x)), άρα:
∫
π
0
x
π
dx =
1 + sin x
2
∫
π
0
1
dx
1 + sin x
και αν θέσουµε x = (π/2)-t παίρνουµε
π
2∫
π
0
=π∫
π /2
1
π π /2
1
1
dx = ∫
dt = π ∫
dt
0
1 + sin x
2 −π / 2 1 + cos t
1 + cos t
π /2
0
1
π π /2
1
π /4
dt = ∫
dt = π tan t 0 = π .
2
0
1 + cos t
2
cos (t / 2)
6. Eάν
 2
π 
 x sin  
f ( x) = 
x

0

x≠0
x=0
δείξτε ότι η παράγωγος αυτής υπάρχει για x = 0 αλλά δεν υπάρχει για x ≠ 0. Αν
 f ′( x )
g ( x) = 
 0
Ν∆Ο
∫
2
−2
x≠0
x=0 ,
g ( x)dx = f (2) − f ( −2).
Λύση Αν x ≠ 0 έχουµε
f′(x) = 2 x sin(π/x) – π cos(π/x).
115
Για x = 0 η παράγωγος δεν υπάρχει. Πράγµατι, αν xn=1/(2n+1) και αν yn=1/(2n+0.5),
τότε
f ′( xn ) =
2
sin(π (2n + 1)) − π cos(π (2n + 1)) → π
2n + 1
ενώ
f ′( yn ) =
2
sin(π (2n + 0.5)) −π cos(π (2n + 0.5)) → 0 .
2n + 0.5
 f ′( x ) x ≠ 0
Αρα η συνάρτηση g ( x) =  0
x = 0 είναι συνεχής παντού εκτός του µηδενός,

άρα είναι ολοκληρώσιµη. Εστω τώρα ε > 0 αυθαίρετα µικρό, τότε
ε
ε
−
−

π  
π 
ε
∫ ε g ( x)dx ≤ ∫ ε  2 x sin  x  + π cos  x   dx ≤ ∫ ε (2 | x | +π )dx = 2ε
−
2
+ 2πε .
Τελικά
∫
2
−2
g ( x) dx = ∫
−ε
−2
ε
2
g ( x) dx + ∫ g ( x) dx + ∫ g ( x ) dx
−ε
ε
ε
= f (2) − f ( −2) + f (−ε ) − f (ε ) + ∫ g ( x ) dx.
−ε
Επειδή οι τρεις τελευταίοι όροι είναι αυθαίρετα µικροί όταν ε → 0, προκύπτει το
ζητούµενο.
7. (Tύπος του Taylor µε ολοκληρωτικό υπόλοιπο) Εστω f πραγµατική συνάρτηση
ορισµένη στο [α,β] µε συνεχείς παραγώγους µέχρι (n+1)-τάξης στο [α,β]. Για
κάθε x∈[α,β] ισχύει ο τύπος
f ′( a )
f ( n ) (a)
1 x
( x − a ) + ... +
( x − a ) n + ∫ ( x − t ) n f ( n+1) (t ) dt.
f ( x) = f (a) +
n! a
1!
n!
Λύση Θα δείξουµε την πρόταση επαγωγικά. Για n = 0 έχουµε
f ( x) = f (a) +
∫
x
a
f ′(t )dt
η οποία προφανώς ισχύει. Υποθέτουµε ότι ισχύει για n = k-1, δηλαδή
f ( x) = f (a) +
x
f ′( a )
f ( n−1) ( a )
1
( x − t ) n−1 f ( n ) (t ) dt.
( x − a ) + ... +
( x − a ) n−1 +
∫
a
1!
( n − 1)!
( n − 1)!
Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για n = k. Με παραγοντική ολοκλήρωση έχουµε
116
Rn−1 ( x) =
x
1
( x − t ) n−1 f ( n ) (t ) dt
∫
a
( n − 1)!
x
1 ( x − t )n (n)
1 x
=−
f (t ) + ∫ ( x − t ) n f ( n+1) (t ) dt
( n − 1)! n
n a
a
=
( x − a)n (n)
1 x
f ( a ) + ∫ ( x − t ) n f ( n+1) (t ) dt.
n!
n a
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Αν η f είναι συνεχής στο [-α,α], Ν∆Ο
(α) f άρτια στο [-α,α] ⇒
∫
(β) f περιττή στο [-α,α] ⇒
a
a
f ( x )dx = 2 ∫ f ( x ) dx.
−a
0
∫
a
−a
f ( x ) dx = 0.
2. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα:
∫
π /4
0
∫
π /4
0
1
dx,
cos 2 x
∫
2
0
∫
x | x + 1| dx,

1 
 3cosh x +
 dx,
1 − x2 

e
1
1
dx,
2x
2π
∫ π (sin | x | + | cos x |)dx.
−
3. Να υπολογισθούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα
π /2
∫π
− /2
∫
π /2
0
1
x cos xdx,
2x
∫ 1+ x
cos 2 xdx,
0
2π
2
∫ π x e dx,
2 x
−
117
∫
dx,
1
−1
∫
π /2
0
1 − x 2 dx,
e x cos(π x )dx.
Κεφάλαιο 8 –Το αόριστο ολοκλήρωµα
§ 8.1 Ορισµοί.
Στο 70 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ’ ένα
κλειστό και φραγµένο διάστηµα. Γενικότερα
Ορισµός 8.1 Μια συνάρτηση F καλείται αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f σ’ ένα
σύνολο Ε, όταν είναι παραγωγίσιµη στο Ε και ισχύει
F′(x) = f(x) για κάθε x∈Ε.
Θεώρηµα 8.1 Αν η F είναι µια αντιπαράγωγος της f στο διάστηµα Ε (ανοικτό ή
κλειστό, φραγµένο ή όχι), τότε το σύνολο των αντιπαραγώγων της f είναι της µορφής:
{F+c, c = σταθερά}.
Ορισµός 8.2 Εστω ότι η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο διάστηµα Ι και έστω F είναι
µια αντιπαράγωγος της f(x), τότε το σύνολο
{ F + c, c = σταθερά}
καλείται αόριστο ολοκλήρωµα της f και συµβολίζεται µε
∫f
ή µε
∫ f ( x)dx .
∆ηλαδή
∫ f ( x)dx = {F + c,
Συνήθως γράφουµε για συντοµία
Προσοχή. Ο τύπος
c = σταθερα } .
∫ f ( x)dx = F ( x) + c.
∫ f ( x)dx = F + c,
το Ε δεν είναι διάστηµα, π.χ. ο τύπος
c = σταθερα , δεν ισχύει στην περίπτωση που
1
∫ xdx = log | x | +c
δεν ισχύει στο σύνολο R-{0}.
Πίνακας βασικών αορίστων ολοκληρωµάτων
10.
∫
x n+1
+ c, n ≠ −1, n ∈ Z,
x dx =
n +1
n
11.
1
∫ xdx = log | x | +c, x ≠ 0 ,
118
12.
∫
x a dx =
x a +1
+ c, a ≠ −1, a ∈ R,
a +1
∫
ax
+ c, a > 0,
log a
13.
a x dx =
14.
∫
19.
x
+ c,
∫ sin xdx = − cos x + c,
17.
18.
x
∫ cos xdx = sin x + c
15.
16.
∫ e dx = e
∫
1
dx = εφ x + c,
cos 2 x
1
1 − x2
dx = Arc sin x + c,
1
∫ 1 + x dx = τοξεφ x + c.
2
Θεώρηµα 8.2 Αν η f είναι συνεχής στο Ε, τότε η f είναι αντιπαραγωγίσιµη στο Ε.
Πρόταση 8.1 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι αντιπαραγωγίσιµες στο Ε και αν c είναι
µία σταθερά, τότε
∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx .
Aπόδειξη
(∫
′
f ( x) dx + g ( x ) dx =
∫
) (∫
′
f ( x )dx +
) (∫
Οµοια αποδεικνύεται και η άλλη σχέση.
119
g ( x) dx
′
)
= f ( x ) + g ( x ).
§ 8.2 Μέθοδοι ολοκλήρωσης
1. Η µέθοδος της αντικατάστασης
Θεώρηµα 8.3 Εστω µία συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής σ’ ένα διάστηµα Ε⊆R, φ
µια συνάρτηση µε συνεχή παράγωγο σ’ ένα διάστηµα J µε φ(J)⊆Ε και F µια αντιπαράγωγος της f στο Ε, τότε
∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = F (ϕ (t )) + c .
Παραδείγµατα
1. Να υπολογιστεί το
1
∫ cos (5 x) dx .
2
Λύση Θέτω y = 5x, x ≠ (kπ/10), dy = 5dx, άρα σε διαστήµατα της µορφής (kπ/10,kπ/10) k∈Z έχουµε:
1
1
1
∫ cos (5 x) dx = 5 ∫ cos
2
2. Να υπολογιστεί το
∫
2
y
dy =
1
tan(5 x )
+c .
tan y + c =
5
5
dx
3 − 2x .
Λύση Θέτω y2 = 3-2x (x < 1.5), 2ydy = -2dx, άρα σε κάθε διάστηµα που περιέχεται
στο (-∞,1.5), έχουµε:
1
y
dx = − 2 dy = − ln | y | + c = − ln | 3 − 2 x | + c .
y
3 − 2x
∫
∫
3. Να υπολογιστεί το
∫
4 − x 2 dx .
Λύση Θέτω x = 2 siny (|x| ≤ 2), εποµένως dx = 2 cosy dy και στο διάστηµα [-2,2]
έχουµε:
∫
∫
∫
4 − x 2 dx = 2 cos 2 ydy = (1 + cos(2 y )) dy = y +

 x 
sin  2 Arc sin   
x
 2 

= Arc sin   +
+ c.
2
2
4. Να υπολογιστεί το
∫ sin
2
x cos xdx .
Λύση Θέτω y = sinx, dy = cosx dx, άρα:
120
sin(2 y )
+c
2
∫
∫
sin 2 x cos xdx = y 2 dy =
5. Να υπολογιστεί το
∫
y3
sin 3 x
+c=
+c .
3
3
ln x
dx .
x
Λύση Θέτω y = lnx (x > 0), dy = (1/x)dx, άρα για κάθε διάστηµα που περιέχεται στο
(0,+∞) έχουµε:
6. Να υπολογιστεί το
∫
ln x
y2
(ln x) 2
+c=
+ c.
dx = ydy =
x
2
2
∫
2 xe x sin(e x ) dx .
∫
2
2
2
2
x
x
Λύση Θέτω y = e , dy = 2 xe dx, άρα:
∫
2
2
∫
2
2 xe x sin(e x ) dx = sin( y ) dy = − cos(e x ) + c.
Σηµείωση Ολοκληρώµατα που περιέχουν συναρτήσεις της µορφής:
a 2 − x2 ,
x 2 − a2 ,
x2 + a2
λύνονται µε αντικατάσταση x = asiny, x = αcoshy και x = atany αντίστοιχα.
2. Oλοκλήρωση κατά παράγοντες
Θεώρηµα 8.4 Εάν οι συναρτήσεις f,g έχουν συνεχείς παραγώγους στο διάστηµα
Ε⊆R, τότε
∫ f ′( x) g ( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ( x) g ′( x)dx
.
Παραδείγµατα
1. Να υπολογιστεί το
Λύση
∫ ln(1 + x)dx.
x
∫ ln(1 + x)dx = x ln( x + 1) − ∫ x + 1 dx
∫
= x ln( x + 1) − dx −
1
∫ x + 1 dx =x ln( x + 1) − ln( x + 1) + c ,
121
όπου η παραπάνω σχέση ισχύει σε κάθε διάστηµα που περιέχεται στο (-1,+∞).
2. Να υπολογιστεί το
Λύση
∫ x e dx = x e
2 x
2 x
∫ x e dx.
2 x
∫
∫
− 2 xe x dx = x 2 e x − 2 xe x + 2 e x dx = x 2 e x − 2 xe x + 2e x + c.
∫
x
3. Να υπολογιστεί το I = e cosxdx .
∫
∫
∫
x
x
x
x
x
x
Λύση I = e cosxdx = e cos x + e sinxdx = e cos x + e sin x − e cosx + c
= e x (cos x + sin x) − I + c ⇒ I =
e x (cos x + sin x )
+ c.
2
dx
4. Να υπολογιστεί το I n = (x 2 + a 2 )n , n ∈ N .
∫
Λύση
∫
dx
x
x2
=
+ 2n
dx
(x 2 + a 2 )n (x 2 + a 2 )n
(x 2 + a 2 )n+1
∫
=
x
1
1
+ 2n
dx - 2na 2
dx
2 n
2
2 n
2
(x + a )
(x + a )
(x + a 2 )n+1
=
x
+ 2nI n - 2na 2 I n+1
(x + a 2 )n
2
∫
∫
2
άρα
1
x
2na 2
In =
I n+1 .
1 - 2n (x 2 + a 2 )n 1 - 2n
Χρήσιµες Παρατηρήσεις (α) Σε ολοκληρώµατα που περιέχουν την εκθετική
συνάρτηση, ξεκινούµε την παραγοντική ολοκλήρωση πάντοτε από την παράγωγο της
εκθετικής συνάρτησης.
(β) Σε ολοκληρώµατα που περιέχουν τη λογαριθµική συνάρτηση, ξεκινούµε την
παραγοντική ολοκλήρωση από την αντιπαράγωγο της ″άλλης″ συνάρτησης.
(γ) Σε ολοκληρώµατα που περιέχουν γινόµενα ηµιτόνων ή συνηµιτόνων µε
πολυώνυµα, ξεκινούµε από την αντιπαράγωγο του ηµιτόνου ή του συνηµιτόνου.
Πολλές φορές η εύρεση τέτοιων ολοκληρωµάτων ανάγεται στον υπολογισµό ενός
αναγωγικού τύπου.
122
§ 8.3. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων
Ορισµός 8.3 Α. Το πηλίκο δύο αλγεβρικών πολυωνύµων
f ( x) =
Pm ( x) b0 + b1 x + ... + bm x m
=
Qn ( x ) a0 + a1 x + ... + an x n ,
όπου αn,bm ≠ 0, m ≥ 0, n ≥ 1 καλείται ρητή συνάρτηση ή ρητό κλάσµα.
Ορισµός 8.4 Ρητές συναρτήσεις της µορφής
A
Ax + B
, 2
, k ∈ N *,
k
(x - a) (x + px + q)k
καλούνται µερικά κλάσµατα.
Θεώρηµα 8.5 Kάθε πολυώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές µπορεί να γραφεί σαν
γινόµενο πρωτοβάθµιων διωνύµων και δευτεροβάθµιων τριωνύµων µε πραγµατικούς
συντελεστές (σαφώς είναι δυνατόν να έχουµε επανάληψη των παραγόντων). Τα
τριώνυµα µπορούµε να δεχθούµε ότι δεν έχουν πραγµατικές ρίζες διότι αλλιώς
θα αναλύονταν σε γινόµενα πρωτοβάθµιων παραγόντων.
Εργαζόµαστε ως εξής:
(α) αν ο βαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος από το βαθµό του παρονοµαστή (m
> n) διαιρούµε το Pm(x) µε το Qn(x) και έχουµε
f(x)=
Pm (x)
R (x)
= S(x)+ k , k < n ,
Qn (x)
Qn (x)
όπου S(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης, βαθµού m-n.
(β) Αναλύουµε το πολυώνυµο Qn(x) σε γινόµενο πρωτοβάθµιων διωνύµων και
δευτεροβάθµιων τριωνύµων (όπως στο Θεώρηµα 8.5), δηλαδή
m
Qn ( x ) = ( x − a1 ) k1 ...( x − ai ) ki ( x 2 + p1 x + q1 ) m1 ... ( x 2 + p j x + q j ) j ,
2
όπου k1 + ...+ ki + 2(m1 + ...m j )= n, p j - 4q j < 0.
Rk ( x )
(γ) Αναλύουµε το κλάσµα Q ( x ) σε µερικά κλάσµατα ως εξής:
n
για κάθε παράγοντα της µορφής
άθροισµα των κλασµάτων:
( x − a ) k στην ανάλυση του Qn(x) παίρνουµε το
123
Ak
A1
A2
,
+
+ ... +
2
( x − a) ( x − a)
( x − a)k
όπου A1 , A2 ,..., Ak
είναι σταθερές που θα προσδιοριστούν. Οµοια, για κάθε
2
k
παράγοντα της µορφής ( x + px + q ) στην ανάλυση του Qn(x), παίρνουµε το
άθροισµα των κλασµάτων:
A x + Bk
A1 x + B1
A x + B2
.
+ 2 2
+ ... + 2 k
2
( x + px + q ) ( x + px + q )
( x + px + q ) k
2
Oι συντελεστές υπολογίζονται από τη λύση ενός συστήµατος εξισώσεων το οποίο
προκύπτει από την εξίσωση:
A1,k1
A1,1
Rk ( x )
+ ... +
+ ...
=
Qn ( x ) ( x − a1 )
( x − a1 ) k1
+
A j ,1 x + B j ,1
(x + p j x + q j )
2
+ ... +
A j ,m j x + B j ,m j
( x2 + p j x + q j )
mj
.
Aρα, το ολοκλήρωµα ρητής συνάρτησης µπορεί να παρασταθεί σαν άθροισµα ενός
ολοκληρώµατος πολυωνύµου και ολοκληρωµάτων των παρακάτω τύπων:
A
A
1
+ c, k > 1,
( k − 1) ( x − a ) k −1
(α)
∫ ( x − a)
(β)
∫ ( x − a) dx = A ln | x − a | +c,
(γ)
∫ (x
k
dx = −
A
2
Ax + B
dx, n ≥ 1, p 2 -4q < 0.
+ px + q ) n
Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα (γ).
I=
p
Θέτουµε x + 2 =
I=
Eστω I n =
∫ (t
2
∫ (x
2
Ax + B
Ax + B
dx =
dx.
n
n
2
+ px + q )

p  4q − p 2 
  x +  +

2
4




∫
4q − p 2
t , οπότε το ολοκλήρωµα γίνεται:
2
∫
at + b
a
1
dt = −
+c+
2
n
2
(t + 1)
2(n − 1) (t + 1) n−1
b
dt. .
+ 1) n
124
∫
b
dt
(t + 1) n .
2
∫ (t
Για n = 1 έχουµε I1 =
2
b
dt = bτοξεφ t + c .
+ 1)
1
t2 +1− t2
b
b
I
dt
dt
=
=
n
Για n≠1 έχουµε
(t 2 + 1) n
(t 2 + 1) n
∫
=b
∫
1
t2
dt
-b
dt
(t 2 + 1)n-1
(t 2 + 1)n-1
= I n-1 -
+
∫
∫
b
bt(t + 1)1-n
td(t 2 + 1)1-n = I n-1 2(1 - n)
2(1 - n)
∫

b
1
b 
bt(t + 1)1-n
,
dt
=
1+
I

 n-1
2(1 - n) (t 2 + 1)1-n
2(1 - n) 
2(1 - n)

∫

b 
bt(t + 1)1-n
.
I
=
1+
I
 n-1
οπότε, n 
2(1 - n) 
2(1 - n)

Παραδείγµατα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα
1.
∫
x 4 + 3x 2 + 1
dx .
x 2 ( x 2 + 1) 2
x 4 + 3 x 2 + 1 A B Γx + ∆
Ex + Ζ
Λύση x 2 ( x 2 + 1) 2 = x + x 2 + ( x 2 + 1) + ( x 2 + 1) 2 .
Από την τελευταία µετά την απαλοιφή των παρονοµαστών και την αναγωγή οµοίων
όρων καταλήγουµε στη µορφή
x 4 + 3 x 2 + 1 = ( A + E ) x 5 + ( B + Ζ ) x 4 + (2 A + Γ + E ) x 3 + (2 B + ∆ + Ζ) x 2 + Ax + B ,
οπότε εξισώνοντας τους συντελεστές των οµοιοβάθµιων όρων έχουµε και λύνοντας
το σύστηµα έχουµε:
Α = Ε = Ζ = Γ = 0, Β = ∆ = 1.
Το ολοκλήρωµα λοιπόν παίρνει τη µορφή
∫
x 4 + 3x 2 + 1
dx =
x 2 ( x 2 + 1) 2
Αλλά:
∫
1
∫x
2
dx +
∫ (x
2
1
1
1
dx.
dx − +
2
2
x
( x + 1) 2
+ 1)
∫
1
1
x2
dx
=
dx
−
dx
( x 2 + 1) 2
( x 2 + 1)
( x 2 + 1) 2
∫
∫
125
= Arc tan x +
Τελικά:
2.
∫
−
1
1
dx
2
2 ( x + 1)
−
1
Arc tan x + c.
2
x
= Arc tan x +
2( x + 1)
2
x
2( x + 1)
2
∫
1
x
x 4 + 3x 2 + 1
1
− Arc tan x + c.
dx = − + Arc tan x +
2
2
2
2
2( x + 1) 2
x ( x + 1)
x
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα
∫
4 x 2 − 3x + 5
dx.
x3 − 3x + 2
Λύση Προφανώς, από το σχήµα Horner έχουµε:
x 3 − 3 x + 2 = ( x − 1)( x 2 + x − 2) = ( x − 1) 2 ( x + 2),
άρα
4 x 2 − 3x + 5
A
B
Γ
=
+
+
.
3
2
x − 3 x + 2 x − 1 ( x − 1)
( x + 2)
Mε απαλοιφή των παρονοµαστών και αναγωγή οµοίων όρων καταλήγουµε στη
µορφή
4 x 2 − 3x + 5
1
2
3
=
+
+
.
3
2
x − 3 x + 2 x − 1 ( x − 1)
( x + 2)
Το ολοκλήρωµα λοιπόν παίρνει τη µορφή
∫
3.
Λύση
4 x 2 − 3x + 5
2
+ c.
dx = ln | x − 1| +3ln | x + 2 | −
3
x − 3x + 2
( x − 1) 2
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα
∫
1
dx =
x + 2 x + 10
2
∫
∫x
2
1
dx.
+ 2 x + 10
1
dx
( x + 1) 2 + 9 .
Θέτω x + 1 = 3y, dx = 3dy, άρα:
1
∫ ( x + 1)
2
+9
dx =
1
1
1
 x +1
dy = Arc tan 
 + c.
2
3 y +1
3
 3 
∫
126
§8.4. Oλοκληρώµατα άρρητων συναρτήσεων.
Ι. Ολοκληρώµατα της µορφής
∫ R( x
r1
, x r2 ,..., x rk )dx
όπου ri ρητοί και R µια ρητή συνάρτηση k-µεταβλητών. Εστω ότι ri = pi/qi µε pi,qi∈Z
qi>0 και έστω
n = Ε.Κ.Π.{q1,q2,...,qk}.
Mε αντικατάσταση x = tn παίρνουµε
∫ R( x
r1
∫
∫
, x r2 ,..., x rk )dx = R (t nr1 , t nr2 ,..., t nrk ) nt n−1dt = R1 (t ) dt ,
όπου R1(t) είναι µια ρητή συνάρτηση του t.
Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα
∫
dx
3
x2 + 2 x
.
Λύση Στην περίπτωση αυτή είναι q1 = 2 και q2 = 3, άρα Ε.Κ.Π. = 6, οπότε θέτω x =
t6, dx = 6t5dt, oπότε:
∫
t 5 dt
t 2 dt
=6 4
=6
t + 2t 3
t+2
x2 + 2 x
dx
3
∫
∫
∫
= 6 (t − 2) dt + 24
dt
∫ t + 2 = 3t
2
− 12t + 24 ln | t + 2 | + c.
ΙΙ. Ολοκληρώµατα της µορφής:
∫ R ( x,
n
ax + b
) dx
cx + d
όπου R είναι µια ρητή συνάρτηση µιας µεταβλητής ορισµένη καταλλήλως. Με την
αντικατάσταση
n
ax + b
=t ,
cx + d
το ολοκλήρωµα ανάγεται σε ολοκλήρωµα ρητής συνάρτησης του t.
Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα
127
∫
1 − x dx
.
1+ x x
1− x
1− t2
4t
=t ⇔ x=
, dx = −
,
2
1+ x
1+ t
(1 + t 2 ) 2 οπότε
Λύση Θέτουµε
∫
1 − x dx
t2
=4 2
dt.
1+ x x
(t − 1)(t 2 + 1)
∫
t2
A
B
Ct + D
Αλλά: (t 2 − 1)(t 2 + 1) = t − 1 + t + 1 + t 2 + 1 ,
οπότε µετά από πράξεις βρίσκουµε Α = 1/4, Β = -1/4, C = 0, D = 1/2 και το
ολοκλήρωµα γίνεται
t2
1
1
1
4 2
dt =
dt −
dt + 2 2 dt
2
(t − 1)(t + 1)
(t − 1)
(t + 1)
t +1
∫
∫
∫
∫
 t −1 
= ln 
 + 2 Arc tan t.
 t +1
ΙΙΙ Ολοκληρώµατα της µορφής
∫ R ( x,
n1
n
ax + b ,..., k ax + b ) dx
όπου R είναι µια ρητή συνάρτηση. Eστω
n = Ε.Κ.Π.{n1,n2,...,nk}.
Τότε για κάθε 1 ≤ i ≤ n υπάρχει mi∈Ν έτσι ώστε ni mi = n. Κάνοντας την
αντικατάσταση n ax + b = t έχουµε:
ni
ax + b =
(
n
ax + b
)
mi
= t mi , x =
1 n
n
(t − b), dx = t n-1dt,
a
a
και η εύρεση του ολοκληρώµατος ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρώµατος ρητής
συνάρτησης.
Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα
( x + 2 − 1) dx
.
x+2
∫ ( x + 2) +
128
Λύση Θέτουµε
x + 2 = t ⇔ x + 2 = t2,
dx = 2tdt , οπότε
( x + 2 − 1) dx
2t (t − 1) dt
(t − 1) dt
1
=
=2
= 2 dt − 4
dt = 2t − 4 ln | t + 1| + c.
2
t +t
t +1
x+2
t +1
∫ ( x + 2) +
∫
∫
∫
∫
ΙV Ολοκληρώµατα της µορφής
∫ R ( x,
ax 2 +bx + c ) dx
όπου R είναι ρητή συνάρτηση του t. H εύρεση τέτοιων ολοκληρωµάτων ανάγεται
στον υπολογισµό ολοκληρωµάτων ρητών συναρτήσεων όταν χρησιµοποιήσουµε τους
παρακάτω µετασχηµατισµούς του Εuler:
(a)
αν a>0 θέτουµε
ax 2 +bx + c = t ± a x.
(b)
αν c>0 θέτουµε
ax 2 +bx + c = tx ± c .
(c)
αν b2-4ac>0 και x0 είναι µια οποιαδήποτε ρίζα του τριωνύµου θέτουµε
ax 2 +bx + c = t ( x − x0 )
Με τους παραπάνω µετασχηµατισµούς έχουµε x = ρητή συνάρτηση του t, dx = ρητή
ax 2 +bx + c = ρητή συνάρτηση του t, άρα η εύρεση του
συνάρτηση του t και
ολοκληρώµατος ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρώµατος ρητής συνάρτησης.
V Ολοκληρώµατα της µορφής
I=
∫
p( x)
ax +bx + c
2
∫ (x − ρ)
dx, J =
p( x)
k
ax 2 +bx + c
dx ,
όπου p(x) είναι πολυώνυµο βαθµού n. Εστω
I = ( A0 x n−1 + ... + AN −1 ) ax 2 + bx + c
∫
A
ax +bx + c
2
dx.
Παραγωγίζοντας την παραπάνω παίρνουµε
p( x)
ax +bx + c
2
= (( n − 1) A0 x n−2 + ... + AN −2 ) ax 2 +bx + c
+ ( A0 x n−1 + ... + AN −1 )
2ax + b
ax +bx + c
2
129
+
A
ax +bx + c
2
.
Εξισώνοντας τους συντελεστές των οµοιοβάθµιων δυνάµεων του x παίρνουµε ένα
σύστηµα από το οποίο υπολογίζουµε τους συντελεστές Α,Αi. To ολοκλήρωµα J µε
1
το µετασχηµατισµό x − ρ = t ανάγεται σε ολοκλήρωµα της µορφής Ι.
VII Ολοκληρώµατα της µορφής
∫
∫
1. R ( x, a 2 − x 2 ) dx,
∫
2. R ( x, a 2 + x 2 ) dx 3. R ( x, x 2 − a 2 ) dx
1η µέθοδος Τα παραπάνω ολοκληρώµατα µπορούν µε χρήση των
µετασχηµατισµών Euler να αναχθούν σε ολοκληρώµατα ρητών συναρτήσεων.
2η µέθοδος Για τις µορφές 1, 2, 3 έχουµε αντίστοιχα τις αντικαταστάσεις
1. x = asint ή x = acost.
2 x = a tant ή x = a sinht.
a
a
3 x = sin t ή x = cos t ή x = acο sht. .
VIII. ∆ιωνυµικά ολοκληρώµατα
Εχουν τη µορφή
∫x
m
p
( a + bx n ) dx, m,n,p ∈ Q .
Υπολογίζονται µόνον όταν ένας από τους τρεις αριθµούς
p,
m +1 m +1
,
+p
n
n
είναι ακέραιος.
(α) όταν ο p είναι ακέραιος κάνουµε την αντικατάσταση x = tr, όπου r =
Ε.ΚΠ{m,n}.
(β) όταν ο (m+1)/n είναι ακέραιος κάνουµε την αντικατάσταση ts = α + b xn, όπου
s o παρονοµαστής του p.
(γ) όταν ο p+(m+1)/n είναι ακέραιος κάνουµε την αντικατάσταση ts = α + bx-n,
όπου s o παρονοµαστής του p.
IX. Ολοκληρώµατα τριγωνοµετρικών συναρτήσεων
Ι. Μορφή:
∫ R(sin x, cos x)dx ,
όπου R είναι µια ρητή συνάρτηση των συναρτήσεων sinx και cosx.
130
Γνωστές µορφές:
∫ tan xdx = − ln | cos x | +c,
∫ cot xdx = ln | sin x | +c,
 x
1
x
1
π
∫ sin xdx = ln tan  2  + c, ∫ cos xdx = ln tan  2 + 4  + c,
∫ sin
2
xdx =
x 1
− sin(2 x ) + c.
2 4
2
x
t = tan   , -π < x < π , οπότε x = 2 tan −1 t , και dx =
dt. Με
1+ t2
2
χρήση των γνωστών τύπων της τριγωνοµετρίας:
Θέτουµε
sin x =
2 tan( x / 2)
,
1 + tan( x / 2) 2
cos x =
1 − tan 2 ( x / 2)
,
1 + tan 2 ( x / 2) 2
2t
1− t2
=
=
x
x
sin
,
cos
,
έχουµε:
1+ t2
1 + t 2 άρα η εύρεση του ολοκληρώµατος ανάγεται
στην εύρεση ολοκληρώµατος ρητής συνάρτησης.
ΙΙ. Ολοκληρώµατα της µορφής
∫ sin λ x sin µ xdx, ∫ cos λ x cos µ xdx, ∫ sin λ x cos µ xdx.
Χρησιµοποιούµε τους γνωστούς τύπους της τριγωνοµετρίας:
1
(cos(( µ − λ ) x ) − cos(( µ + λ ) x ))
2
1
cos λ x cos µ x = (cos(( µ + λ ) x) + cos(( µ − λ ) x ))
2
sin λ x sin µ x =
sin λ x cos µ x =
1
(sin(( µ + λ ) x ) + sin(( µ + λ ) x)) .
2
ΙΙI. Ολοκληρώµατα της µορφής
∫ sin
m
x cos n xdx, m,n ∈ Z .
(α) Εστω m+n = περιττός. Τότε ένας από τους m,n είναι περιττός. Εστω m = 2k+1
και cosx = t, τότε παίρνουµε:
131
∫
∫
I m ,n = sin m x cos n xdx = (1 − cos 2 x ) k cos n x sin xdx
∫
∫
= − (1 − cos 2 x) k cos n xd cos x = − (1 − t 2 ) k t n dt ,
δηλαδή αρκεί να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα της πολυωνυµικής συνάρτησης.
(β) Εστω m+n = άρτιος. Τότε οι m,n είναι άρτιοι ή περιττοί. Αν οι m,n είναι
περιττοί έχουµε την προηγούµενη περίπτωση. Εστω m = 2k και n = 2l
τότε:
k
l
 1 − cos(2 x)   1 + cos(2 x) 
sin m x cos n x = 
 
 ,
2
2

 

και ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος ανάγεται σε ολοκλήρωµα της µορφής
∫ sin
p
x cos q xdx, 0 ≤ p + q ≤
1
(m + n) .
2
Με αντικατάσταση x = 2t αναγόµαστε στην παραπάνω περίπτωση.
X.
Ολοκληρώµατα της µορφής
∫
1. R (tan hx)dx,
∫
2. R (sinh x, cos hx )dx,
∫
3. R (sin hx, cosh x, tan hx )dx.
1η µέθοδος Με αντικατάσταση του tanh(x/2) = t, έχουµε:
sin hx =
2t
1− t2
2t
2
=
x
,
cosh
, tanhx =
, dx =
dt
2
2
2
1+ t
1+ t
1+ t
1− t2
και η εύρεση των παραπάνω ανάγεται στην εύρεση ολοκληρωµάτων ρητών
συναρτήσεων.
2η µέθοδος Με αντικατάσταση του ex = t, έχουµε:
t2 −1
t2 +1
dt
t2 −1
sin hx =
, coshx =
, tanhx = 2
, dx = .
t
2t
2t
t +1
και η εύρεση των παραπάνω ανάγεται στην εύρεση ολοκληρωµάτων ρητών
συναρτήσεων.
132
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα
∫
(Arctanx)1/3
dx,
1+ x2
∫x
dx
dx,
+ a2
∫ tanxdx,
∫x
2
dx
∫ sinx ,
∫
∫ x lnxdx,
∫
2x
∫
133
a − x2
2
,
dx
∫e
a 2 − x 2 dx,
x4
dx,
x4 − 1
dx
∫
∫ sin x cos x ,
∫ Arcsinxdx,
sin3xdx,
( x + 1)3
dx,
x2 − x
dx
,
− a2
∫ xArctanxdx,
2
∫e
2
dx.
∫ xcosxdx,
∫
∫
x
dx
x2 + a
, a > 0.
3x 2 + 3x + 1
dx.
x3 + 2 x 2 + 2 x + 1
Κεφάλαιο 9
Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος
§ 9.1 Εµβαδόν χωρίου
Στο 70 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και
φραγµένο διάστηµα [α,β] (α<β) τέτοια ώστε για κάθε x∈[α,β], f(x) ≥ 0, τότε η f είναι
ολοκληρώσιµη στο [α,β] και
E=
∫
β
f ( x )dx ,
a
όπου Ε είναι το εµβαδόν του χωρίου κάτω από το γράφηµα της f, δηλαδή του χωρίου
Χ(α,f,β) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τον άξονα
Χ′ΟΧ και τις ευθείες x-α = 0, x-β = 0.
Παρατηρήσεις
1. Αν η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α,β] (α < β) και αν για κάθε x∈[α,β],
ισχύει f(x) ≤ 0, τότε
E=−
∫
β
a
f ( x )dx
είναι το εµβαδόν του χωρίου Χ(α,f,β). Γενικότερα αν η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο
στο [α,β] (α < β), τότε
E=
∫
β
a
| f ( x) |dx
είναι το εµβαδόν του χωρίου Χ(α,f,β).
2. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] (α<β) και αν έχει πεπερασµένου πλήθους ρίζες στο
[α,β], τότε
E=
∫
β
a
| f ( x) |dx
είναι το εµβαδόν του χωρίου Χ(α,f,β).
3. Ας θεωρήσουµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις f,g συνεχείς στο [α,β], τέτοιες ώστε
f(x) ≥ g(x) ≥ 0 για κάθε x∈[α,β].
Ας παραστήσουµε µε Χ(α,f,g,β) το χωρίο που περικλείεται από τις καµπύλες c1,c2 των
f και g αντίστοιχα και τις ευθείες x-α = 0, x-β = 0, τότε το εµβαδόν Ε του χωρίου
Χ(α,f,g,β) ισούται προφανώς µε
Ε = Ε1-Ε2
134
όπου Ε1 (αντ. Ε2) είναι το εµβαδόν του χωρίου Χ(α,f,β) (αντ. το εµβαδόν του χωρίου
Χ(α,g,β)). Τελικά
E=
β
∫
a
( f ( x) − g ( x ))dx .
Γενικότερα αν f(x) ≥ g(x) για κάθε x∈[α,β], τότε
E=
β
∫
a
( f ( x) − g ( x ))dx .
Πράγµατι, αν m = min{g(x): x∈[a,b]}, για τις συναρτήσεις f1(x) = f(x)-m ≥ 0 και g1(x)
= g(x)-m ≥ 0 έχουµε
E = E1 − E2 =
∫
β
a
( f1 ( x ) − g1 ( x))dx =
∫
β
a
( f ( x ) − g ( x )) dx.
4. Αν η f-g διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [α,β] (α < β), τότε
E=
∫
β
a
| f ( x) − g ( x ) |dx
είναι το εµβαδόν του χωρίου Χ(α,f,g,β).
5. Αν η f-g είναι συνεχής στο [α,β] (α < β) και αν έχει πεπερασµένου πλήθους ρίζες
στο [α,β], τότε
E=
∫
β
a
| f ( x) − g ( x ) |dx
είναι το εµβαδόν του χωρίου Χ(α,f,g,β).
§ 9.2 Μήκος καµπύλης
Εστω f πραγµατική συνάρτηση η οποία είναι φραγµένη στο [α,β]. Αν
∆ = {x0, x1,…,xn}
είναι µια διαµέριση του [α,β] και P0,P1,…,Pn είναι αντιστοίχως τα σηµεία της
καµπύλης c της f µε τετµηµένες x0, x1,…,xn, συµβολίζουµε το µήκος της πολυγωνικής
γραµµής P0P1…Pn µε R(f,∆), δηλαδή
R( f , ∆) =
n
∑| P
P |
k −1 k
k =1
όπου | Pk −1 Pk | είναι το µήκος του ευθυγράµου τµήµατος Pk −1 Pk . Είναι προφανές ότι
όταν το πλάτος της διαίρεσης τείνει στο µηδέν, τότε η πολυγωνική γραµµή τείνει να
συµπέσει µε το µήκος της καµπύλης c.
135
Oρισµός 9.1 Μια καµπύλη c καλείται ευθυγραµµίσιµη, εάν
∀ε > 0 ∃ δ > 0: αν |∆| < δ ⇒ | R(f,∆) – S | < ε.
Ο µοναδικός αριθµός S καλείται µήκος της καµπύλης c.
Θεώρηµα 9.1 Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β], τότε η καµπύλη c
της f είναι ευθυγραµµίσιµη στο [α,β] και µάλιστα το µήκος της καµπύλης δίνεται από
τον τύπο:
S=
∫
β
1 + [ f ′( x )]2 dx.
a
2
2
Aπόδειξη Είναι γνωστό ότι | Pk −1 Pk |= ( xk − xk −1 ) + ( f ( xk ) − f ( xk −1 ))
= ( xk − xk −1 ) 2 + ( f ′(ξ k )( xk − xk −1 )) 2 ,
όπου ξk∈(xk-1,xk). Aρα το άθροισµα
R( f , ∆) =
n
∑| P
P | =
k −1 k
k =1
n
∑
( xk − xk −1 ) 2 (1 + [ f ′(ξ k )]2 )
k =1
=
n
∑
(1 + [ f ′(ξ k )]2 )( xk − xk −1 )
k =1
είναι το άθροισµα Riemann της συνάρτησης h(x) = 1 + [ f′(x) ]2, το οποίο είναι
γνωστό ότι όταν το πλάτος της διαµέρισης τείνει στο µηδέν, τότε
R( f , ∆) −
∫
β
a
1 + [ f ′( x)]2 dx < ε .
§ 9.3 Oγκος στερεών από περιστροφή και εµβαδόν επιφανειών από
περιστροφή
Ας θεωρήσουµε µια συνάρτηση f η οποία είναι φραγµένη και µη αρνητική στο
κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,β]. Αν το χωρίο Χ(α,f,β) περιστραφεί κατά 3600
µοίρες γύρω από τον άξονα Χ′ΟΧ, τότε σχηµατίζεται ένα στερεό που καλείται στερεό
από περιστροφή του χωρίου Χ(α,f,β) µε άξονα περιστροφής τον Χ′ΟΧ.
Κατά την περιστροφή του χωρίου Χ(α,f,β), η καµπύλη c της συνάρτησης f στο [α,β]
σχηµατίζει µια επιφάνεια που καλείται επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c
της συνάρτησης f στο [α,β] µε άξονα περιστροφής τον Χ′ΟΧ.
Εστω f πραγµατική συνάρτηση η οποία είναι φραγµένη και µη αρνητική στο [α,β].
Θεωρούµε επίσης το στερεό από περιστροφή του χωρίου Χ(α,f,β). Αν
136
∆ = {x0, x1,…,xn},
είναι µια διαµέριση του [α,β] και αν f(x0),f(x1),…,f(xn) είναι αντιστοίχως τα σηµεία της
καµπύλης c της f µε τετµηµένες x0, x1,…,xn, σχηµατίζουµε n κυλίνδρους που έχουν
όγκο αθροιζόµενοι
V ( f , ∆) =
n
∑π[ f (x
k −1
k =1
)]2 ( xk − xk −1 ) .
Προφανώς όταν το πλάτος της διαίρεσης τείνει στο µηδέν τότε ο αριθµός V ( f , ∆ )
τείνει να συµπέσει µε τον όγκο του στερεού εκ περιστροφής.
Oρισµός 9.2 Θα λέµε ότι το στερεό από περιστροφή ενός χωρίου που περικλείεται
από την καµπύλη c της συνάρτησης f στο [α,β] και τις ευθείες x-α=0 και x-β=0 έχει
«όγκο» όταν
∀ε > 0 ∃ δ > 0: αν |∆| < δ ⇒ |V(f,∆) - V| < ε.
Ο µοναδικός αριθµός S καλείται όγκος του στερεού εκ περιστροφής.
Θεώρηµα 9.3 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και µη αρνητική στο κλειστό και
φραγµένο διάστηµα [α,β], τότε το στερεό εκ περιστροφής του χωρίου Χ(α,f,β) µε
άξονα περιστροφής τον Χ′ΟΧ έχει όγκο που δίνεται από τον τύπο:
V =π
β
∫
a
[ f ( x )]2 dx.
Aπόδειξη Προφανώς το άθροισµα
V ( f , ∆) =
n
∑π[ f (x
k −1
)]2 ( xk − xk −1 )
k =1
είναι το άθροισµα Riemann της συνάρτησης h(x) = π f2(x), το οποίο όταν το πλάτος
της διαµέρισης τείνει στο µηδέν, τότε
V ( f , ∆) −
β
∫
a
[ f ( x )]2 dx < ε .
Παρατηρήσεις
1. Το παραπάνω Θεώρηµα ισχύει ακόµη και αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και µη
θετική στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,β].
2. Επίσης αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και έχει πεπερασµένο πλήθος ριζών στο
κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,β], τότε το στερεό εκ περιστροφής του χωρίου
Χ(α,f,β) µε άξονα περιστροφής τον Χ′ΟΧ έχει όγκο που δίνεται από τον τύπο:
V =π
∫
β
a
[ f ( x )]2 dx.
137
3. Αν η f-g διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [α,β] (α < β), τότε
V =π
∫
β
([ f ( x)]2 − [ g ( x)]2 ) dx,
a
είναι ο όγκος του στερεού εκ περιστροφής του χωρίου Χ(α,f,g,β).
4. Αν η f-g είναι συνεχής στο [α,β] (α<β) και αν έχει πεπερασµένου πλήθους ρίζες
στο [α,β], τότε
∫
V =π
β
a
[ f ( x )]2 − [ g ( x )]2 dx,
είναι ο όγκος του στερεού εκ περιστροφής του χωρίου Χ(α,f,g,β).
Ας θεωρήσουµε τώρα την επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c της f στο [α,β]
όπου η f είναι φραγµένη και µη αρνητική µε άξονα περιστροφής Χ′ΟΧ. Αν
∆ = {x0, x1,…,xn}
είναι µια διαµέριση του [α,β] και P0,P1,…,Pn είναι αντιστοίχως τα σηµεία της
καµπύλης c της f µε τετµηµένες x0, x1, …, xn, παρατηρούµε ότι από την περιστροφή
των ευθυγράµµων τµηµάτων P0P1, P1P2,...,Pn-1Pn σχηµατίζονται n κόλουρες κωνικές
επιφάνειες. Το άθροισµα των εµβαδών των n κόλουρων κωνικών επιφανειών
συµβολίζουµε µε Ε(f,∆) και είναι γνωστό ότι
E ( f , ∆) = π
n
∑ ( f (x
k −1
) + f ( xk )) | Pk −1 Pk |
k =1
όπου | Pk −1 Pk | είναι το µήκος του ευθυγράµου τµήµατος Pk −1 Pk . Είναι προφανές ότι
όταν το πλάτος της διαίρεσης τείνει στο µηδέν, τότε το παραπάνω άθροισµα τείνει να
συµπέσει µε το εµβαδόν της επιφάνειας από περιστροφή.
Ορισµός 9.3 Θα λέµε ότι η επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c µιας
συνάρτησης f στο [α,β] µε άξονα περιστροφής Χ′ΟΧ έχει «εµβαδόν», όταν
∀ε > 0 ∃ δ > 0: αν |∆| < δ ⇒ |Ε(f,∆) - Ε| < ε.
Ο µοναδικός αριθµός Ε καλείται εµβαδόν της επιφάνειας από περιστροφή.
Θεώρηµα 9.3 Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β], τότε αν f(x) ≥ 0 για
κάθε x∈[α,β] τότε η επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c της f στο [α,β] έχει
εµβαδόν το οποίο δίνεται από τον τύπο:
E = 2π
∫
β
a
f ( x ) 1 + [ f ′( x )]2 dx.
Παρατηρήσεις 1. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β], τότε αν f(x) ≤ 0
για κάθε x∈[α,β], η επιφάνεια από περιστροφή της καµπύλης c της f στο [α,β] έχει
εµβαδόν το οποίο δίνεται από τον τύπο:
138
∫
E = −2π
β
a
f ( x ) 1 + [ f ′( x )]2 dx.
2. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] και υπάρχουν το πολύ
πεπερασµένου πλήθους ρίζες της f(x) στο [α,β], τότε η επιφάνεια από περιστροφή της
καµπύλης c της f στο [α,β] έχει εµβαδόν το οποίο δίνεται από τον τύπο:
E = 2π
∫
β
a
| f ( x ) | 1 + [ f ′( x)]2 dx.
Καµπύλες συναρτήσεων σε πολικές συντεταγµένες.
Αν ΟΑ είναι µία σταθερή ηµιευθεία ενός επιπέδου τότε σε κάθε διατεταγµένο ζεύγος
(ρ,θ) πραγµατικών αριθµών µπορούµε να αντιστοιχίσουµε ένα σηµείο Ρ του
επιπέδου, έτσι ώστε ο µη αρνητικός αριθµός |ρ| να παριστάνει την απόσταση του
σηµείου Ρ από την αρχή Ο της ηµιευθείας και ο αριθµός θ να είναι η γωνία σε ακτίνια
κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί η ηµιευθεία ΟΑ ώστε να συµπέσει µε την
ηµιευθεία ΟΡ µε φορά περιστροφής αντίθετη των δεικτών του ρολογιού όταν θ > 0.
Το σηµείο Ο λέγεται πόλος, η ηµιευθεία ΟΑ λέγεται πολικός άξονας και το ζεύγος
(ρ,θ) καλείται πολικές συντεταγµένες του σηµείου Ρ. Ο αριθµός |ρ| καλείται πολική
απόσταση και η γωνία θ καλείται όρισµα του Ρ.
Σηµείωση Σε ένα σύστηµα πολικών συντεταγµένων κάθε σηµείο του επιπέδου
µπορεί να οριστεί από άπειρα ζεύγη πολικών συντεταγµένων της µορφής (ρ, θ+2κπ).
Αν τώρα εφοδιάσουµε ένα επίπεδο µε ένα καρτεσιανό και µε ένα πολικό σύστηµα
συντεταγµένων ταυτόχρονα, έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να είναι ο πόλος και ο
θετικός ηµιάξονας ΟΧ να είναι ο πολικός άξονας, τότε οι καρτεσιανές συντεταγµένες
(x,y) και οι πολικές συντεταγµένες (ρ,θ) συνδέονται µε τις σχέσεις:
x = ρcosθ, y = ρsinθ.
Ας θεωρήσουµε µία πραγµατική συνάρτηση f: E → R µε τύπο ρ = f(θ). Το σύνολο
των σηµείων του επιπέδου που παριστάνουν τα διατεταγµένα ζεύγη
{(ρ,θ): θ∈Ε και ρ=f(θ)}
καλείται γραφική παράσταση σε πολικές συντεταγµένες της συνάρτησης ρ = f(θ).
Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) είναι συνεχής σ’ ένα διάστηµα Ι ⊂ Ε, τότε η γραφική
παράσταση του περιορισµού της f στο Ι λέγεται καµπύλη σε πολικές συντεταγµένες
της ρ = f(θ) στο Ι.
Θεώρηµα 9.4 Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) είναι συνεχής στο [θ1,θ2], τότε το εµβαδόν
του χωρίου µεταξύ της πολικής καµπύλης και των ηµιευθειών θ = θ1, θ = θ2, δίνεται
από τον τύπο:
1 θ2 2
E=
ρ (θ )dθ .
2 θ1
∫
139
Θεώρηµα 9.5 Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) έχει συνεχή παράγωγο στο [θ1,θ2], τότε το
µήκος της πολικής καµπύλης µεταξύ των ηµιευθειών θ = θ1, θ = θ2, δίνεται από τον
τύπο:
S=
∫
θ2
θ1
ρ 2 (θ ) + ( ρ ′(θ ) ) dθ .
2
Θεώρηµα 9.6 Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) είναι συνεχής στο [θ1,θ2], και D το χωρίο
µεταξύ της πολικής καµπύλης και των ηµιευθειών θ = θ1, θ = θ2, τότε ο όγκος του
στερεού από περιστροφή του άξονα Χ′ΟΧ, δίνεται από τον τύπο:
2π θ 2 3
V=
ρ (θ )ηµθ dθ .
3 θ1
∫
Θεώρηµα 9.7 Αν η συνάρτηση ρ = f(θ) είναι συνεχής στο [θ1,θ2], και D το χωρίο
µεταξύ της πολικής καµπύλης και των ηµιευθειών θ = θ1, θ = θ2, τότε το εµβαδόν
από περιστροφή της πολικής καµπύλης γύρω από τον άξονα Χ′ΟΧ, δίνεται από τον
τύπο:
E = 2π
∫
θ2
θ1
| ρ (θ )ηµθ | ρ 2 (θ ) + ( ρ ′(θ ) ) dθ .
2
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να υπολογισθεί το εµβαδόν των ακολούθων χωρίων που περικλείονται από
τις καµπύλες:
(i) y = x3 , y = 2 x ,
(ii) y = ln( x + 1), y = 0, x = 0, x ∈ [0,1]
(iv) y =| x |, y = x 2 .
(iii) ( y − 1) 2 = x − 1, 2(y − 1)2 = x
2. Να υπολογισθεί το εµβαδόν του χωρίου µεταξύ της y = ex, της εφαπτοµένης
αυτής στο σηµείο Μ(2,1) και της ευθείας x = 0.
3. Να υπολογισθεί ο όγκος των ακολούθων χωρίων εκ περιστροφής του άξονα
x’x που περικλείονται από τις καµπύλες:
(i) y = xe x , y = 0, x = 1 ,
(iii) y = x , y = x 2
(ii) y = ln( x), y = 0, x = e
(iv) x 2 − y 2 = 4, y = 0, x = 6.
4. Να υπολογισθεί το µήκος των καµπύλων:
(i) y =
e x + e− x
, x ∈ [− ln 2, ln 2] ,
2
(ii) x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 .
5. Να υπολογισθεί το εµβαδόν των επιφανειών εκ περιστροφής του άξονα x’x
που περικλείονται από τις καµπύλες:
140
(i) y = εφ x, x ∈ [0, π / 4] ,
(iii) y = x3 , x ∈ [0,1]
(ii) y =| x − 1|, x ∈ [0, 2]
(iv) y = ηµ x, x ∈ [0, π / 2].
141
KΕΦΑΛΑΙΟ 10
ΜΗ ΓΝΗΣΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
142