Transcript Δυϊκότητα - Corelab - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Δυϊκότητα
Δηµήτρης Φωτάκης
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
και Μηχανικών Υπολογιστών
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Πιστοποίηση Άνω Φράγµατος
o Έχει το ΓΠ εφικτή λύση µε κόστος ≤ 26;
o Ναι, [1.75, 0, 2.75].
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
2
Πιστοποίηση Κάτω Φράγµατος;
o Έχει το ΓΠ εφικτή λύση µε κόστος < 26;
o Έχουν όλες οι εφικτές λύσεις κόστος ≥ 26;
o Αν όλες οι εφικτές λύσεις έχουν κόστος ≥ 26,
πως θα το πιστοποιήσουµε;
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
3
Υπολογισµός Κάτω Φράγµατος
o Γραµµικός συνδυασµός περιορισµών:
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
4
Υπολογισµός Κάτω Φράγµατος
o Βέλτιστος γραµµικός συνδυασµός περιορισµών:
o Πρωτεύον (primal) και δυϊκό (dual) ΓΠ.
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
5
Υπολογισµός Κάτω Φράγµατος
o Δυϊκό λύση y = [2, 1] ωφέλειας 26
(κάτω φράγµα στο πρωτεύον).
o Πρωτεύον λύση x = [1.75, 0, 2.75] κόστους 26 !
o Ισότητα δεν είναι τυχαία !
Θεώρηµα Δυϊκότητας στο ΓΠ.
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
6
Άλλο Παράδειγµα
o Πρωτεύον λύση [0, 1, 3, 0, 2, 0, 0] κόστους 2.
o Δυϊκό λύση [-1, 0, 0, 1] ωφέλειας 2.
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
7
Δυϊκότητα
o Πρωτεύον:
o Δυϊκό :
o Δυϊκό του δυϊκού :
o … είναι το πρωτεύον!
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
8
Ασθενής Δυϊκότητα
o Πρωτεύον:
o Δυϊκό :
o Ασθενής Δυϊκότητα : αν x και y εφικτές λύσεις
για το πρωτεύον και δυϊκό,
o Αν πρωτεύον και δυϊκό εφικτά,
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
9
Ισχυρή Δυϊκότητα
o Πρωτεύον:
o Δυϊκό :
o Ισχυρή Δυϊκότητα : αν πρωτεύον βέλτιστη λύση,
δυϊκό βέλτιστη λύση και
o
εφικτή και βέλτιστη λύση για δυϊκό.
o Βέλτιστη για δυϊκό εύκολα από ταµπλό Simplex.
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
10
Συνέπειες
o Αν πρωτεύον και δυϊκό επιλύσιµα,
βέλτιστες λύσεις µε ίδια τιµή.
o Αν πρωτεύον µη-φραγµένο,
δυϊκό µη-επιλύσιµο.
+¥
κόστος
εφικτών
λύσεων για
πρωτεύον
o Αν δυϊκό µη-φραγµένο,
πρωτεύον µη-επιλύσιµο.
o Πρωτεύον και δυϊκό µη-επιλύσιµα.
ωφέλεια
εφικτών
λύσεων για
δυϊκό
τιµή
βέλτιστης
λύσης
- ¥
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
11
Συνέπειες
+¥
Βέλτιστη Μη-φραγµ Μη-επιλυσ
κόστος
εφικτών
λύσεων για
πρωτεύον
Βέλτιστη
Μη-φραγµ
Μη-επιλυσ
ωφέλεια
εφικτών
λύσεων για
δυϊκό
τιµή
βέλτιστης
λύσης
- ¥
Αλγοριθµική Θεωρία Παιγνίων
Δυϊκότητα
12