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Indexes à Arbres et Indexes à Hachage
Sections sélectionnées des Chapitres 10 & 11
Database Management Systems 3ed, R. Ramakrishnan and J. Gehrke
1
Introduction

Rappel des 3 alternatives d’entrées des données k*:
 un enregistrement de données avec une valeur de clé k
 une paire <k, rid>
 une paire <k, liste de rids>




Le choix dépend de la technique d’index utilisée pour
localiser les entres des données k*.
Les indexes à arbres supportent à la fois la recherche des
plages de valeurs (‘’range search’’) ainsi que les recherches
d’egalités (‘’equality search’’).
ISAM: structure statique; B+ tree: dynamique, s’ajuste
gracieusement aux insertions et effacements.
Indexes à Hachage : meilleurs pour les recherches
d’égalité; ne peuvent supporter les recherches des
valeurs des plages.
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2
Intuition Derrière les Indexes à Arbres

``Trouvez tous les étudiants avec un gpa > 3.0’’



Si les données sont stockées dans un fichier trié, faire la
recherche binaire pour trouver le premier de ces étudiants,
et de là faire un scannage pour trouver les autres.
Le coût de la recherche binaire peut être prohibitif ! Il est en
effet proportionnel au # de pages puisées.
Solution: Créer un fichier d’indexes
Page 1
Page 2
Fichier d’indexes
kN
k1 k2
Page 3
Page N
Fichier de données
*Une recherche binaire est faisable sur de petits fichiers d’indexes!
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3
ISAM
Entrée d’index
P
0

K
1
P
1
K 2
P
2
K m
Pm
Le fichier d’indexes peut être très large. On peut
cependant appliquer l’idée de fichier d’indexes de
manière répétée!
Pages
internes
Pages
feuilles
Page de
débordement
Pages primaires
* Les pages feuilles contiennent les entrées des données.
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4
ISAM (Suite)
Création du fichier: les feuilles (pages de données) Pages de
données
sont allouées séquentiellement et triées selon la clé
de recherche; ensuite les pages de débordement
Pages des
sont crées.
indexes
 Entrées d’indexes: <valeur de la clé, page id>;
orientent la recherche vers les entrées de données
Pages de
se trouvant dans les pages feuilles.
débordement
 Recherche: Commence à la racine; compare des
clés pour aller vers la feuille appropriée. Coût 
log F N ; F = # entrées/pg index, N = # feuilles
 Insertion: Trouver la feuille à la quelle appartient
l’entrée de donnée et l’y mettre.
 Effacement: Trouver et enlever l’entrée de la
feuille; désaffecter une page de débordement vide.
* Structure statique: les changements n’affectent que les feuilles.

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5
Exemple d’un Arbre ISAM

Chaque nœud peut contenir 2 entrées; il n’y a
pas besoin de pointeurs liant les pages entre
elles (Pourquoi ???)
Racine
40
10*
15*
20
33
20*
27*
51
33*
37*
40*
46*
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51*
63
55*
63*
97*
6
Après l’Insertion de 23*, 48*, 41*, 42* ...
Racine
40
Pages de l’index
20
33
20*
27*
51
63
Feuilles
primaires
10*
Pages de
15*
23*
33*
37*
40*
46*
48*
41*
51*
55*
63*
97*
débordement
42*
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7
... Ensuite Effacement de 42*, 51*, 97*
Racine
40
10*
15*
20
33
20*
27*
23*
51
33*
37*
40*
46*
48*
41*
63
55*
63*
* Notez que 51* apparaît au niveau de la page de l’index,
mais pas dans la feuille!
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8
Arbre B+: L’Index le plus Usuel



Insertion/effacement avec coût log F N; Garde la hauteur
balancée. (F = ‘’fanout’’, N = # feuilles)
Taux d’occupation minimum de 50%(sauf pour la racine).
Chaque nœud contient d <= m <= 2d entrées. Le
paramètre d est appelé l’ordre de l’arbre.
Supporte efficacement les recherches des plages de valeurs
et les recherches d’égalités.
Entrées de l’index
(orientent la recherche)
Entrées de données
("Sequence set")
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Exemple d’Arbre B+
La recherche commence à la racine et les
comparaisons des clés l’orientent vers une page
(similaire à la méthode ISAM).
 Recherchez 5*, 15*, …, toutes entrées de données
>= 24* ...

Racine
13
2*
3*
5*
7*
14* 16*
17
24
19* 20* 22*
30
24* 27* 29*
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33* 34* 38* 39*
10
Arbre B+ en Pratique

Ordre typique: 100. Remplissage typique: 67%.


Capacités typiques:



Sortance (‘’fanout’’) moyenne = 133
Hauteur 4: 1334 = 312,900,700 enreg.’s
Hauteur 3: 1333 = 2,352,637 enreg.’s
Les niveaux supérieurs de l’arbre peuvent souvent
tenir en mémoire principale (‘’buffer pool’’):



Niveau 1 =
1 page = 8 Kbytes
Niveau 2 =
133 pages = 1 Mbyte
Niveau 3 = 17,689 pages = 133 MBytes
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11
Insertion d’une Entrée de Données


Trouver la feuille appropriée L.
Mettre l’entrée de données dans L.


Si L a assez d’espace, fin!
Sinon, on doit partager L (en L et un nouveau nœud L2)
• Redistribuer les entrées de manière égale, copier la clé du milieu
vers le haut.
• Insérer l’entrée d’index pointant vers L2 dans le parent de L.

Ceci peut arriver de manière récursive


Pour partager nœud d’index, redistribuer les entrées de manière
égale, mais pousser la clé du milieu vers le haut. (Contrastez
ceci avec le partage des feuilles !!)
Les partages font croître l’arbre; le partage de la racine
augmente sa hauteur.

Croissance de l’arbre: devient plus large ou d’ un niveau plus élevé
à la racine.
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Insertion de 8* dans l’Exemple

Veuillez noter la
différence entre
copier vers le haut
et pousser vers le
haut. (Pourquoi
fait-on cette
différence????)
Entrée à insérer dans le nœud parent.
(Notez que 5 est copié vers le haut et
continue d’apparaître dans la feuille.)
5
2*
3*
5*
7*
Entrée à insérer dans le nœud parent.
(17 est poussé vers le haut et
n’apparaît qu’une fois dans l’index.
17
5
13
24
8*
30
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13
Exemple d’Arbre B+ Après l’Insertion de 8*
Racine
17
5
2*
3*
24
13
5*
7* 8*
14* 16*
19* 20* 22*
30
24* 27* 29*
33* 34* 38* 39*
v La racine a été partagée; d’où augmentation de la hauteur.
v En fait, nous pouvons redistribuer ici au lieu de partager;
cependant cela n’est pas usuel dans la pratique.
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Effacement d’une Entrée de Donnée


Commencer à la racine, trouver la feuille L à laquelle
l’entrée appartient.
Enlever l’entrée.


Si L est au moins à moitié vide, fin!
Sinon L a seulement d-1 entrées,
• Essayer de redistribuer, empruntant des cousins .
• Sinon, fusionner L et un cousin.


Si une fusion a lieu, on doit effacer l’entrée (d’indexe)
pointant (vers L ou le cousin) à partir du parent de L.
La fusion peut se répercuter jusqu’à la racine,
décroissant ainsi la hauteur de l’arbre.
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Notre Arbre Après l’Insertion de 8*,
Suivie de l’Effacement de 19* et 20* ...
Racine
17
5
2*
3*
27
13
5*
7* 8*
14* 16*
22* 24*
30
27* 29*
33* 34* 38* 39*
Effacer 19* est facile.
 Effacer 20* est fait via une redistribution.
Noter comment la clé du milieu est copiée vers
le haut après la redistribution.

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... Et Ensuite Après l’Effacement de 24*
On doit fusionner.
 A droite, on fait un
`échange’ d’entrée
d’index.
 Ci bas, on `tire une
entrée vers le bas’.

30
22*
27*
29*
33*
34*
38*
39*
Racine
5
2*
3*
5*
7*
8*
13
14* 16*
17
30
22* 27* 29*
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33* 34* 38* 39*
17
Exemple de Redistribution Interne

A l’opposé du cas précédant, ici on peut
redistribuer une entrée de l’enfant gauche de la
racine vers l’enfant droit.
Racine
22
5
2* 3*
5* 7* 8*
13
14* 16*
17
30
20
17* 18*
20* 21*
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22* 27* 29*
33* 34* 38* 39*
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Après la Redistribution
Intuitivement, les entrées sont redistribuées en
`poussant l’entrée partageante vers ’ le noeud parent.
 Il suffit de redistribuer l’entrée d’index avec clé
20; on a aussi redistribué 17 pour illustration.

Root
17
5
2* 3*
5* 7* 8*
13
14* 16*
20
17* 18*
20* 21*
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22
30
22* 27* 29*
33* 34* 38* 39*
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Chargement en Vrac d’un Arbre B+



Si l’on a une large collection d’enreg.’s et que l’on veut
créer un indexe à arbre B+ avec une clé donnée, le faire
enregistrement par enregistrement est très inefficace.
Solution: ‘’Bulk Loading’’ (chargement en vrac).
Initialisation:
 Trier toutes les entrées de données et les diviser en page;
 créer une page racine vide; et
 insérer un pointeur de la racine vers la 1ère page des données.
Pages d’entrées de données triées;
non encore mises dans l’arbre B+
Racine
3* 4*
6* 9*
10* 11*
12* 13* 20* 22* 23* 31* 35* 36*
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38* 41* 44*
20
Chargement en Vrac (Suite)

Les entrées d’index
pour les feuilles sont
toujours créées dans
la page d’index la
plus à droite située
juste au dessus du 3*
niveau des feuilles.
Si cette dernière est
pleine, elle est
partagée. (Ce
processus peut se
répéter
récursivement
Racine 10
20
Pages de données
6
4*
3* 4*
6* 9*
12
23
20
10
6* 9*
à mettre sur l’arbre
10* 11* 12* 13* 20*22* 23* 31* 35* 36* 38*41* 44*
Racine
6
35
12
35
23
38
10* 11* 12* 13* 20*22* 23* 31* 35* 36* 38*41* 44*
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Hachage Statique
Pages primaires en nombre fixe et affectées
séquentiellement; jamais désaffectées; pages de
débordement si nécessaire.
 h(k) mod M = bucket où mettre l’entrée des
données dont la clé est k. (M = # de buckets)

h(key) mod N
key
0
2
h
N-1
Pages (bucket)
primaires
Pages de débordement
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Hachage Statique (Suite)
Les buckets contiennent les entrées des données.
 La fonction de hachage utilise le champ de la clé de
recherche de l’enregistrement r. Les valeurs des clés
doivent être distribuées sur une plage allant de 0 à
M-1.



Les fonctions de hachage ont été abondamment
étudiées.
Défaut: possible développement de longues
chaînes de débordement qui peuvent entraver la
performance.

Hachage extensible et haching linéaire: Techniques
dynamiques pour résoudre ce problème.
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Hachage Extensible

Situation: un bucket (page primaire) se remplit.
Pourrait-on réorganiser le fichier en doublant le # de
buckets?



Lire et écrire toutes les pages est très coûteux!
Solution: Utiliser un répertoire de pointeurs vers les
buckets; doubler le # de buckets en doublant la taille du
répertoire, tout en ne partageant que les buckets en
débordement!
Le répertoire est bien plus petit que le fichier lui-même,
d’où doubler le répertoire est moins coûteux. Plus besoin
de pages de débordement!
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PROFONDEUR LOCALE
Exemple


PROFONDEUR GLOBALE
Le répertoire est de taille 4.
Pour trouver un bucket
pour r, prendre un # de bits
à la fin de h(r) équivalent à
la `profondeur globale’; p.ex.
 Si h(r) = 5 (= binaire 101),
r est dans le bucket vers
le quel pointe 01.
2
00
2
4* 12* 32* 16*
Bucket A
2
1*
5* 21* 13*
Bucket B
01
10
2
11
10*
REPERTOIRE
Bucket C
2
15* 7* 19*
Bucket D
PAGES DE DONNEES
Insertion: Si le bucket est plein, le partager (affecter une n’lle page,
et redistribuer).
 Si nécessaire, doubler le répertoire. (En fait, partager un bucket
n’entraîne pas nécessairement le doublement du répertoire;
un doublement n’est nécessaire que si la profondeur globale ne
correspond plus a la profondeur locale.)

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Insertion de h(r)=20 (Cause un Doublement)
PROFONDEUR LOCALE
2
32*16*
PROFONDEUR GLOBALE
2
00
Bucket A
PROFONDEUR LOCALE
32* 16* Bucket A
PROFONDEUR GLOBALE
2
3
1* 5* 21*13* Bucket B
01
000
2
1* 5* 21* 13* Bucket B
001
10
2
11
10*
Bucket C
15* 7* 19*
Bucket D
2
011
10*
Bucket C
101
2
110
15* 7* 19*
Bucket D
111
2
4* 12* 20*
010
100
2
REPERTOIRE
3
Bucket A2
(`image'
de Bucket A)
3
DIRECTORY
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4* 12* 20*
Bucket A2
(`image'
de Bucket A)
26
Insertion de h(r)=20 (Suite)

20 = binaire 10100. Derniers 2 bits (00) indiquent
que r appartient au bucket A qui est déjà plein! On
divise A en A et A2. mais on a besoin des 3 derniers
bits pour décider.



Profondeur Globale du répertoire: Max # de bits nécessaires
pour décider du bucket auquel une entrée appartient.
Profondeur Locale d’un bucket: # de bits utilisés pour
déterminer si une entrée appartient à ce bucket.
Quand double-t-on le répertoire?

Avant insertion p.l. du bucket = p.g.. L’insertion entraîne
p.l. > p.g.; le répertoire est doublé par copie (‘’copying
over’’) et réarrangement des pointeurs.
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27
Résumé


Index en arbre: ISAM, arbres B+
ISAM est une structure statique



Arbres B+ est une structure dynamique.





Seules les feuilles sont modifiées; pages de débordement
nécessaires
Défaut: chaînes de débordements
Insertion et effacement laissent l’arbre balancé
coût de log F N
Pas de chaînes de débordement
‘’Bulk loading’’ des arbres B+
Index à hachage: Hachage statique vs. extensible
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