Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011

Une phase méconnue des pratiques algorithmiques (IX

e

-XV

e

siècles)

Ahmed DJEBBAR Université des Sciences et des Technologies de Lille

Les algorithmes de la tradition arabe (IX e -XV e s.) Un ensemble d’instructions pour : - Calculer une solution exacte ou appro chée d’un problème - Réaliser une construction - Etablir un résultat

Origine du mot algorithme

Algorithme Algoritmus Algorismus Alchorismus Al-Khwarizmi يمزراوخلا

Les sources de l’algorithmique arabe

•

Pratiques locales (arabes, persanes, égyptiennes, mésopotamienne)

•

Tradition indienne

•

Tradition chinoise (?)

•

Tradition grecque (?)

SAVOIR-FAIRE



SAVOIR SAVANT * Deux traditions : - algorithmique - hypothético-déductive * Deux types de pratiques : - orales et instrumentales (mental & digital) - écrites : # Takht # Papier

LES NUMERATIONS

OPERATIONS DU CALCUL

• • • • • • • •

Multiplication Division Addition Soustraction Procédés d’approximation des fractions Racine carrée exacte et approchée Racine cubique exacte et approchée Racine n ième

Procédures arithmétiques

• • • •

Test de primalité Test pour déterminer les carrés et les cubes parfaits Détermination des nombres parfaits Détermination des nombres amiables

Procédures trigonométriques

•

Calcul de

p •

Calcul de sin(1°), à partir de sin(3°)

•

Résolution de « l’équation de Kepler »

Formules du calcul mental

15n = 10n + (10n)/2 14n = 15n – n 16n = 15n + n 25n = (100n)/4 10 m /10 n = 10 m-n

Formules du calcul mental (suite) ab = [(a+b)/2] 2 – [(a-b)/2] 2

Algorithmes pour le takht

•

Produit avec translation et effaçage (debout ou couché)

•

Produit avec semi-translation (n 2 )

•

Produit sans translation - Technique du tableau

ALGORITHMES POUR LE CALCUL APPROCHE

Approximation d’une fraction

Méthode d’Abû l-Wafâ (m. 997)

Test pour les carrés et les cubes parfaits

Racine carrée approchée

Racine cubique approchée

Racine p ième

a



n p



r a

1

p



n

 (

n r

 1 )

p



n p

(

n

 1 )

p



n p



k k



p

  1  0

a k p n k

PROCEDES D’INTERPOLATION

Al-Kashi, sin1°

CARRES MAGIQUES

• • • •

Algorithmes de résolution de problèmes Algorithmes mentaux Déterminer un ou plusieurs nombres pensés Rechercher une ou deux bagues cachées Déterminer le doigt qui porte la bague Déterminer le nom du mois pensé ou le signe du zodiaque

Procédé de l’inverse

2(2(2x-1)-1) = 1 1

 

1/2 1 + 1/2 = 3/2



3/2 + 1 = 7/4



(7/4)/2 = 7/8 = le capital

P(x) = b; P(x 1 ) = b 1 ; P(x 2 ) = b 2 [x 1 (b – b 2 ) – x 2 (b – b 1 )]/(b 1 –b 2 ) = x

L’algorithme algébrique

Un bien et dix racines égalent trente neuf dirhams

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Tu divises les racines par deux : ce sera cinq dans ce problème; Tu le multiplies par lui-même : ce sera vingt cinq; Tu l’ajoutes à trente neuf : cela donnera vingt cinq; Tu prends alors sa racine carrée : ce sera huit; Tu en retrancheras la moitié des racines qui est cinq : il restera trois.

C’est la racine du bien que tu cherches; Le bien est neuf.

Problème babylonien (1750 av. J. C.) Enoncé:

J'ai additionné la surface et , mon carré : 0; 45

.

Problème d'Ibn ô Abd



n (X e siècle) Enoncé:

Si on te dit: nous avons additionné ses côtés et sa surface, il en ait résulté cent quarante. Combien chacun de ses côtés

?

Résolution :

* tu poses 1, l'unité, * tu fractionnes 1 en deux : 0; 30, * tu multiplies 0; 30 et 0; 30: 0; 15, * tu ajoutes 0; 15 à 0; 45: 1, * 1 est le carré de 1, * 0; 30 que tu as multiplié, de 1 tu le soustrais: 0; 30, * 0; 30 est le carré.

Résolution:

* tu additionnes le nombre des côtés, et c'est quatre, * tu prends alors sa moitié, et c'est deux, * tu le multiplies par lui-même, et c'est quatre, * tu l'ajoutes à cent quarante, et c'est cent quarante quatre, * tu prends la racine, et c'est douze, * tu ôtes de ce qui reste la moitié de quatre, * c'est alors chacun de ses côtés.

Solutions exactes ou approchées d’équations trigonométriques ou algébriques du 3 e degré Habash al-Hâsib (IX e s.) Al-Khayyâm Sharaf ad-Dîn at-Tûsî (procédé de Ruffini Hörner)

Algorithmes et optimisation

•

Produit par translation :

Pour un nombre à n chiffres, il y a n 2 produits et n(n-1) translations.

•

Produit par semi-translation :

Pour un nombre à n chiffres, il y a n(n+1)/2 produits et n(n-1)/2 translations.

Approximation de

p • • •

Al-Kashi : ar-Risala al-muhitiyya [L’épître sur le cercle] Méthode des polygones avec moyenne arithmétique.

Utilisation d’un polygone dont le nombre de côté est 3.2

28 = 805.306.368

Valeur approchée de

p

: 2

p  6, 2.831.853.071.795.865

Optimisation de l’approximation de

p •

Choix préalable de la marge d’erreur :

•

= 1/12 de millimètre

•

« La circonférence d’un cercle doit être

exprimée en fonction du diamètre avec une précision telle que l’erreur sur la longueur de la circonférence d’un cercle, dont le diamètre est égal à 600.000 fois le diamètre de la Terre, ne dépasse pas l’épaisseur d’un crin de

cheval ».

JUSTIFICATION DES ALGORITHMES

Preuve de Qusta Ibn Luqa

Justification du procédé d’extraction de la racine

n



a

2 

r

 (

a



x

) 2 

a

2  2

ax



x

2

n



a

2  2

ax



x



n



a

2 2

a n



a



x



a



n



a

2 2

a



a



r

2

a n



a



r a



x

'

n

 (

a



r

2

a

) 2  2 (

a



r

2

a

)

x

'

x

'  [

n

 (

a



r

2

a

) 2 ].

2 (

a

1 

r

2

a

)

n



a



r

2

a



x

' 

a



r

2

a

 2 (

r

( 2

a

) 2

a



r

2

a

)  2 (

r

( 2

a

) 2

a



r

2

a

)

Algorithmes de la racine cubique

F I N