Transcript Funciones de conversión entre valores de sumatoria y

Funciones de conversión
interoperacional y constantes asociadas
 Elaborado por Jaime Erwin Blanco Niño
Grafica de x! reflejada en Σx
25
y = 0.0241x + 4.9952
R² = 0.6751
Σx = x¡
20
15
Σx = x¡
10
Linear (Σx = x¡)
5
0
0
200
400
600
800
x!
1
Resumen
 Las funciones de conversión operacional entre funciones de
sumatoria y factorial se generan por el producto funcional
de interconversion reciproca dada la proporcionalidad de
las cantidades comparadas. Aqui se estudian constantes
numéricas asociadas a la recta de su caída o pendiente, los
números áureos y ecuaciones cuadráticas áureas. Algunas
de estas funciones son semiexponenciales o
semilogaritmicas. Las funciones de conversión de
sumatoria a factorial pueden ser amplificadoras y las de
factorial a sumatoria reductoras.
2
Abstract
 Operational Conversion functions between
summation and factorial functions are generated by
the reciprocal interconversion of functional product
given the proportionality of the quantities compared.
Here we study numerical constants associated with the
line of fall or slope, and quadratic equations Golden
Numbers aureus. Some of these functions are
semiexponenciales or semi-logarithmic. The
conversion functions for factorial sum may be
amplifying and reducing summation of factorial.
3
Estudio de la función k-funcional entre dos funciones asociadas a x
Y entre funciones de producto: potencial de 2, factorial y cuadrado de x,
con estudio de valores de pendiente en recta de linealizacion, ecuacion
cuadratica de numeros aureos y raices, contantes varias relacionadas a
la conversion y/0 linealizacion asociada.
4
Convertibilidad interfuncional
Grafica de Σx reflejada en x!
800
700
600
y = 28.052x - 99.56
R² = 0.6751
500
400
X! 300
200
100
x!
Linear (x!)
0
0
5
10
15
20
25
-100
-200
Σx
5
Imagen de la función sumatoria a
partir de valores del factorial de x
Grafica de la función factorial reflejada en la función
sumatoria Σx
25
y = 0.0241x + 4.9952
R² = 0.6751
Valores de sumatoria Σx
20
15
Σx = x¡
10
Linear (Σx = x¡)
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Valores de factorial x!
6
Introducción
 Concebir relaciones entre funciones de adición y
multiplicación y procurar un expresión o
interpretación de las mismas a nivel grafico es un
desafío poco corriente pero quizá hoy disponible
gracias a los alcances de los nuevos sistemas de
comunicación y graficación en Excel
particularmente.
 Aquí se pretende demostrar que es posible
interpretar algunas relaciones entre funciones de
tipo aditivo o sumatorio y funciones
multiplicativas de tipo factorial por ejemplo.
7
Noción de función sumatoria o
“aditiva”
 Básicamente se podría definir la función
sumatoria como el resultado de sumarle los
números de sucesión natural a un guarismo
determinado según su magnitud…así por ejemplo
la función sumatoria o aditiva de 3 seria 1 + 2
+3…en forma análoga a como se procede
calculando el producto numérico con los
factoriales según el valor del numero calculado …
8
Tabla de la función
sumatoria
x
¡
1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
La función sumatoria o aditiva va creciendo porque a cada numero le suma los
anteriores según el orden natural, a semejanza de como opera la función factorial
en cada numero. Es creciente y continua en este rango.
9
Grafica de la
función
sumatoria o
“aditiva”
Funcion sumatoria Σx = x¡
16
y = 3.5x - 3.5
R² = 0.9722
14
12
10
Σx 8
¡
Linear (¡)
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
eje x
La función sumatoria de x aparece como una cuerda y es creciente o
continua en su rango…su recta tangente asociada le curta en dos puntos y
tiene una pendiente de 3,5 , es decir 7/2.
10
Interpretación de esta función
 Σx =x¡ Es una función de sumatoria Σx o aditiva en x
que crece con el valor de x de manera casi
exponencial…la pendiente asociada de la recta
tangente a la cuerda vale m= 3,5 por lo que la curva
asemeja en proporcionalidad bastante una recta. Pero
los cálculos de esta función siguen la forma:
 Σm =m ¡= ….( m-2 ) + (m – 1 )- m según el numero
de sumandos que alcance a cubrir el numero calculado
en cuestión.(Donde m=x)
11
Relación de la sumatoria con el
potencial de 2.
 Siendo m= 7/2 se tiene que la función es casi lineal aunque







hablando estrictamente no lo es. Un calculo aproximado de esta
función sumatoria seria para ∑x = 1
x¡ = 2ⁿ ̄¹ ( 6 – n )
( siendo n = - 2 )
Para ∑x=3 se tendría la formula : x¡ = 2ⁿ ( 6 – n ) - 2ⁿ o
X¡ = 2ⁿ ( 5 – n )
( siendo n = - 1 )
Para ∑x=6 y ∑x=10 se tendría la ecuación:
X¡ = 2ⁿ ( 6 – n )
( siendo n un valor N entre [ 0 , 1 ] )
Para x¡ = 15 y x¡ = 21 o subsiguientes se usaría el algoritmo:
X¡= 2ⁿ ( 6 – n ) - 3ⁿ̄ ̄ ² ( para n ≥ 2 estando n=N entre [ 2,3] ) y así
sucesivamente se agregan sumandos en cada calculo de función
sumatoria…verbigracia sumando s = 5 para n=4 . Así asumiendo que
hay sumandos potenciales aquí se deduce que ∑x =x¡ =2ⁿ ( 6 – n )⁺₋s.
12
Tabla de relación sumatoria a
potencial de 2
x¡
1
3
6
10
15
21
2ˣ
2
4
8
16
32
64
13
Grafica de función potencial reflejo
de sumatoria con pendiente m= 3.
Funcion potencial 2ˣ imagen de sumatoria
70
60
y = 3.0069x - 7.0645
R² = 0.9296
Función potencial 2ˣ
50
40
2ˣ
30
Linear (2ˣ)
20
10
0
0
-10
5
10
15
20
25
sumatoria de x
14
Función factorial ( x! )
x
x!
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
15
Datos de la función factorial
 Los valores de x reflejados en la función factorial nos
llevaran a una función creciente quizá de tipo
exponencial o potencial que mostrara continuidad y
incremento paulatino según el aumento de los valores
de x.Una analogía podría establecerse con lo que
sucede en la progresión geométrica respecto de la
aritmética si se compara esta función con la sumatoria.
 Así aunque esta es una función especial poco abordada
en los textos es útil para describir el comportamiento
numérico y aumentar la comprensión del cosmos.
16
Grafica de la función factorial
funcion factorial x!
140
120
100
factorial
80
y = 19.086x - 22.048
R² = 0.5761
60
x!
40
Linear (x!)
20
0
0
1
2
3
4
5
6
-20
-40
x
17
Interpretación de la pendiente
asociada a la recta que corta la
curva en 2 puntos
 La grafica muestra una función creciente que empieza
siendo constante y al curvarse genera una concavidad
en ángulo ,pero la función tiende de manera continua
hacia sus mayorantes cada vez mas…no obstante
presenta una gran punta de arco o giba en ángulo…la
pendiente de la recta promedio asociada a ella tiene un
valor de 19,086 que concuerda justamente con πe√5.
 Es decir m = πe√5
18
Tabla de valores de potencial de 2
reflejada desde factorial de x.
x!
1
1
2
6
24
120
720
2ˣ
1
2
4
8
16
32
64
19
Grafica de potencial imagen de
factorial de x.Forma
semilogaritmica
Función potencial 2ˣ imagen de factorial de x
70
F 60
u
n
50
c
i
ó 40
n
30
p
o
t 20
e
n
c 10
i
a
0
l
0
2ˣ
100
200
300
400
500
600
700
800
factorial de x
20
Pendiente de la relación factorial
aplica a potencial, m= 0,0813.
Función potencial 2ˣ imagen de factorial de x
70
y = 0.0813x + 7.9887
R² = 0.8889
F
u 60
n
c
50
i
ó
n 40
2ˣ
p
30
o
t
e 20
n
c
i 10
a
l 0
Linear (2ˣ)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
factorial de x
21
Pendiente de la recta asociada a la
curva en esta función factorial
aplica a potencial
 La pendiente de la recta de linealizacion asociada a la
curva vale 0.0813 y al multiplicarla por π genera como
resultado 0.25541148273685 que es aproximadamente ¼
 Con un delta ∆ = 0.00541148273685005. Es decir mπ =¼ ,
de donde m= 1/ 4π.
22
Tabla de valores de potencial
reflejada o aplicada en factorial
2ˣ
1
2
4
8
16
32
64
x!
1
1
2
6
24
120
720
23
Función factorial de forma semipotencial
Funcion factorial x! de forma potencial
800
700
y = 10.931x - 73.454
R² = 0.8889
Valores de factorial de x
600
500
400
x!
300
Linear (x!)
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
-100
-200
valores de potencial 2ˣ
24
La pendiente de esta función =4e
 L a grafica tiene una forma semi exponencial o semi
potencial y es función factorial o gamma con una recta
asociada de pendiente m= 10.931 que equivale a 4e
pues m/e = 4.02129017144504
25
Tabla de datos de función
conversora para a(x) desde x=0
x
0
1
2
3
4
5
6
valor de f(x)=a(x)
1
0.5
0.5
0.75
1.5
3.75
11.25
26
Tabla de datos de función
conversora amplificados por 100
x
0
100
200
300
400
500
600
valor de f(x)
100
50
50
75
150
375
1125
27
Grafica de función conversora a(x)
Funcion de conversion a(x)
1200
Función de conversión a(x)
1000
800
y = 1.3661x - 134.82
R² = 0.568
600
valor de f(x)
Linear (valor de f(x))
400
200
0
0
-200
100
200
300
400
500
600
700
valores de x
28
Examen de la pendiente de
linealización en esta función:
 La pendiente m= 1.3661 dividida en π genera el numero:
 m/π = 0.434843135515677, valor muy similar a log e que
solo difiere de este en ∆ = 0.000548653612425287,es
decir m/ π – log e = 0.000548653612425287, pues
 z= log e =0.434294481903252.Esto es m=πz,que equivale
a m = π log e. Pero a su vez
 π – e = 0.423310825130748, existiendo escasa diferencia
entre m/π - (π – e ) = 0.0115323103849292 y entre :
 Log e – (π - e )= 0.0109836567725048. Así e – π +m/π = 0
equivale a e – π + log e = 0. Si se examina m= π ( π – e ) +
π ( 11 / 1000) aproximadamente, de donde se infiere que:
29
El valor de la pendiente de lineal
asociada a función de conversión
a(x) en función cuadrática de π
 π² - e π + (11/1000 ) π – m = 0 de lo cual se deduce que:
 π² - ( e - 11/1000 ) π – m = 0 que generaría Las raíces:
 π₁ = [ ( e - 11/1000 ) + √ (( e - 11/1000 ) ² + 4 m ) ] / 2
π₂ = [ ( e - 11/1000 ) - √ ( ( e - 11/1000 ) ² + 4 m )] / 2,
En donde si obviamos el decimal de la fracción 11 milesimales
tendríamos una expresión como :
π₁ = [ e + √ ( e ² + 4 m ) ] / 2
π₂ = [ e - √ ( e ² + 4 m )] / 2, donde m es la pendiente de
linealización de una función de conversión para función
potencial que aplica en factorial . Y donde m estaría en la
ecuación cuadrática: π² - e π - m = 0 , esto es m= π² - e π .
30
Ecuación cuadrática para π con 10
a la contante z y la pendiente m de
la función conversora de a(x) a x!
 Y dado que z = log e se tiene : 10ᶻ = e, pero como log e
= π – e aproximadamente entonces : z = (π – e ), es decir:
 π² - e π - m = 0 se transforma en : π² - 10ᶻ π - m = 0
(ecuación cuadrática para π con potencia de 10 en
coeficiente de variable) con soluciones :
 π₁ = [10ᶻ + √ (10²ᶻ + 4 m )] / 2
 π₂ = [10ᶻ - √ (10²ᶻ + 4 m )] / 2 , pero log z = -w y log w = z, donde z y w son los únicos números inversos que
cumplen con las formulas z = 10 ̄ᵂ y w = 10 ̄ᶻ…entonces
31
Valor de π desde potencia de 10ᶻ.
 z = 1 / 10 ᵂ y
en consecuencia z 10 ᵂ = 1 es decir
 10 ᵂ = z ¹̄ de donde w = log ( 1 / z )….a su turno
 w= |log z |= 0.362215688699463 similar a
 1/e =0.367879441171442
pues hay solo una
diferencia ínfima de
∆ = 0.00566375247197931
 w = 10 ̄ᶻ , lo que significa que w = 1/ 10 ᶻ , es decir
 W 10 ᶻ = 1, de donde 10 ᶻ = 1/w que sugiere que
z= log w ¹̄ = log (1/w) entonces 10 ᶻ = 10ᶦᵒᶢ ¹∕ ᵂ = 1/w = w ¹̄
De donde π²- 10ᶻ π - m = 0 se convierte en π² -w ̄¹π -m = 0
32
Valor de π desde w y m
 Que genera las soluciones :
 π₁ = [w ̄¹ + √ ( w ²̄ + 4 m )] / 2
 π₂ = [w ¹̄ - √ (w ̄² + 4 m )] / 2 , donde siendo e = 10 ᶻ = w ¹̄





= 1/ 0.367879441171442 la ecuación de e bien podría
transformarse en:
( 10 ) ⁽ ̄ᵂ ⁾
e = 10
, (siendo loge + logw =0 )
π = [w ¹̄ ± √ (w ̄² + 4m) ]/ 2…si se reemplaza e = w ¹̄ ,
10 ⁽̄ᵂ⁾
2 [ 10 ⁽̄ᵂ⁾ ]
π = [10
± √ ( 10
+
4m ) ] / 2
33
Progresión de adición y producto
factorial- teorema sumatorio
 Existe una manera de convertir una cantidad aditiva en otra







factorial mediante la constante de conversión apropiada.
Teorema 1:
De manera general se tendría para n₁>o ,o, n₁ positivo o natural :
Σx = n ₀+ 2 ( n₁ – 1 ) para n₁< 3 ; 0¡ = 1 v Σ0 = 1; 1¡ = 1 v Σ1=1;
Así n₀ = 1, n₁= 1, n₂=3, n₃= 6, n₄= 10, n₅= 15, etc.
En donde para n₁>3 se debe añadir un sumando de potencia de 3ᵐ
así:
Σx = x¡ = n₀ + 2 ( n₁ - 1 ) + 3ᵐ ( aquí m=0 y m=1 hasta n₅ = 15 )…En
general:
Σx = x¡ = n₀ + 2 ( n₁ - 1 ) + [ (n-1) (n-2) (n-3) ] ⁽ ⁿ¯⁴ ⁾⁽ⁿ¯⁵⁾ 3ᵐ y así
sucesivamente en cadena según el grado de complejidad en n o
enésimo.(Formula general hasta n₅)
34
Deducción de la función conversión por despeje de la
formula x!=fv ∑x (donde fv será la función de
conversión o función variante )
• Mas utilizando la formula recursiva dada en la anterior
diapositiva para la función sumatoria, se tiene que los
valores del conjunto sumatoria ya están definidos asi { 1, 3,
6, 10., 15 y 21 } en principio y por tanto la función
conversión saldrá de los números resultantes de la división
entre el factorial y el valor sumatorio, es decir serán los
números { 1, 0,66, 1, 2,4 , 8 , 34,285714 ( numero
periódico )….}
• Asi obtendremos una grafica al comparar los valores del
factorial con la sumatoria y variaciones de pendiente según
el eje en que quede cada función en cada caso así:
35
Tabla de la relación de funciones
sumatoria y factorial
Σx = x¡
0
1
3
6
10
15
21
x!
1
1
2
6
24
120
720
36
Proporcionalidad interfuncional
Grafica de Σx reflejada en x!
800
700
600
y = 28.052x - 99.56
R² = 0.6751
500
400
X! 300
200
100
x!
Linear (x!)
0
0
5
10
15
20
25
-100
-200
Σx
37
Proporcionalidad interfuncional
Grafica de Σx reflejada en x!
800
700
600
y = 28.052x - 99.56
R² = 0.6751
500
400
X! 300
200
100
x!
Linear (x!)
0
0
5
10
15
20
25
-100
-200
Σx
38
Interpretación de la
proporcionalidad o relación
interfuncional y su recta asociada
 La pendiente de la recta tangente asociada es 28,052 pero
existe patrón de función antes que de proporcionalidad
lineal estricta , además se observa una curva con bastante
vejiga lo que muestra una gran fluctuación de la función y
un patrón irregular antes y después del valor de 2 en que la
coordinación de progresividad de los valores de ambas
funciones se altera ya que si bien factorial es mayorante
respecto de sumatoria antes del valor de 2 no lo es, sino que
se muestra como minorante mientras sumatoria parecería
mayorante..este punto de inflexión hace verificar que la
proporcionalidad varia y no se mantiene constante y que
por tanto quizá las funciones asociadas de conversión
tendrán esta fluctuación de manera inmanente a su
comportamiento numérico . Y ello marcara el cambio
decisivo en las relaciones de proporcionalidad
interfuncional .
39
Influjo probable de la función de
conversión en la relación
interfuncional
 .Así pues verificamos mas bien una inversión de la
proporcionalidad en las relaciones entre funciones
especiales que procederían del producto de otras dos
funciones , una de las cuales actuaria como constante
k- funcional de convertibilidad para generar la otra
función de mayorante relativo o minorante relativo
según el caso..en esto lo mas interesante será observar
el patrón de la función asociada de conversión y su
variación o inflexión en valores para generar los
mayorantes o minorantes funcionales relativos de
orden especial, como parte de estas funciones
procedentes del producto de funciones…
40
Valor de la pendiente de la recta
asociada a la relación
interfuncional
 El valor de la pendiente de la recta asociada a la curva de
relación interfuncional que es m= 28.052 parece estar
relacionado con el duplo del producto de 3 constantes a
saber: m= 2 e ϕπ = 28.052 pero en realidad es algo mas del
duplo, es 2.03016733312156, que es aproximadamente la raíz
sexta de 70, entonces:
 m=( ⁶√ 70) πϕe , donde ϕ = 1,61803398874989 ( numero
áureo el cual elevado a la 3 y disminuido en 1 configura una
constante k que a su vez elevada a la 6 y aumentada en 1
genera el numero e así: ϕᶟ - π = k = 1,09447532390996, de
donde k⁶ + 1 = e; además dado que k= ⁶√(e -1) se tiene ϕᶟ
=π+k = π + ⁶√( e – 1 ), es decir : ϕ =ᶟ√ [π + ⁶√( e – 1 )] , lo cual
41
La pendiente de la recta en la
curva factorial en términos de e y π
 Generaría la expresión:
 m = ( ⁶√ 70) πe ᶟ√ [π + ⁶√( e – 1 )] aproximadamente
donde ϕ ya no aparecería pues cantidades como π y e
estarían por dentro y por fuera del radical en el calculo
de la pendiente. No obstante el relacionar un numero
de oro como ϕ presente en la naturaleza y aquí en
nuestro mundo ideal de rectas y curvas funcionales
resulta un punto mas a favor de la presencia de ϕ en
nuestro mundo aparte de que:
 ϕ² = ϕ + 1 y consecuentemente: ϕ² - ϕ – 1 = 0, que
configura las raíces cuadráticas :
42
Valores hallados del numero áureo
 ϕ = [1 + √ 1 + 4 ]/ 2, de donde: ϕ₁ = [1 + √5 ]/2 y ϕ₂= [ 1 - √5]/2, es decir ϕ₁
= 1.61803398874989 y
 ϕ₂= -0.618033988749895, que es igual a –(ϕ – 1 ) , esto es: ϕ₂ = –(ϕ – 1 ) ,
de donde se genera ϕ₂ + (ϕ – 1 )= 0 lo que equivale a sostener que: ϕ = 1 ϕ₂ , lo que configura que la suma de estas raíces da 1, siendo una de ellas
el numero áureo descrito y evidenciado en los cálculos de los datos de esta
curva, así: ϕ + ϕ₂ = 1 , donde ϕ = ϕ₁ que como números de reflexión mutua
no son mas que el numero dorado y una de las raíces cuadráticas de la
función cuadrática descrita previamente arriba mientras que la segunda
raíz difiere del numero áureo pero mantiene cierta simetría aurea con el 1
al ser el sustraendo de la unidad que configura el minuendo áureo, es decir
al ser un cierto minorante negativo respecto del mayorante áureo..aquí la
suma de este mayorante y minorante configuran la unidad por cuanto uno
de los dos números es negativo…es como si el segundo numero fuera el
numero antiaureo u opuesto funcional que existe como raíz cuadrática en
la función del nombre y que igual anula el valor total al aplicarse como
valor variable en la función cuadrática asociada a números áureos así.
43
El áureo negativo , inverso de un
anti-áureo”
 El numero - 1.61803398874989 que es – ϕ₁ surge del




inverso de ϕ₂, es decir – ϕ = 1/ ϕ₂, que equivale a :
-ϕ₁ ϕ₂ = 1 , que a su vez seria: - ϕ ϕ₂ = 1 de donde se
obtiene: 1 + ϕ₁ ϕ₂ = 0 que también se expresaría:
1 + ϕ ϕ₂ = 0. Por otra parte dado que ϕ + ϕ₂ -1 = 0 se
tiene que : 1 + ϕ ϕ₂ = ϕ + ϕ₂ - 1 de lo cual se infiere que:
1 + ϕ ϕ₂ - ϕ = ϕ₂ - 1, y, ϕ (ϕ₂ - 1) - (ϕ₂ - 1) + 1 = 0, por lo
cual: (ϕ – 1 ) (ϕ₂ - 1) + 1 = 0,asi: (ϕ₁ – 1 ) (ϕ₂ - 1) + 1 = 0.Y
entonces: ϕ ϕ₂ - ϕ - ϕ₂ + 1 +1 = 0, es decir:
ϕ₁ ϕ₂ - Σ ϕ + 2= 0 que equivale a ϕ₁ ϕ₂ - (ϕ₁+ ϕ₂ ) + 2= 0
44
Numero áureo, relaciones
especiales





ϕ ϕ₂ - (ϕ + ϕ₂ ) + 2= 0 de lo que puede deducirse que:
∑ ϕ - ϕ ϕ₂ = 2.Y factorizando ϕ + ϕ₂ - ϕ ϕ₂ = 2 puede
suponerse que: ϕ ( 1 - ϕ₂ ) = (2 - ϕ₂) y concluirse que:
ϕ =( 2 - ϕ₂ ) / ( 1 - ϕ₂ ) mientras que : ϕ₂ ( 1 - ϕ ) = (2 – ϕ)
Que equivale a : ϕ₂ = ( 2 – ϕ ) /(1 - ϕ )…en todo esto se
observaría que aunque no hay sino un solo numero áureo
en realidad este se define indirectamente también a
partir de la resta de 1 menos ϕ₂ ,la segunda raíz aurea así:
ϕ = 1 - ϕ₂ , es decir ϕ = 1 - ( 2 – ϕ ) /(1 - ϕ ), que equivale
a : ( 2 – ϕ ) /(1 - ϕ ) + ϕ – 1 = 0 que generaría una nueva
ecuación cuadrática aurea de la forma:- ϕ² + ϕ + 1 = 0.
45
Soluciones cuadráticas áureas
 Que configura las raíces cuadráticas:
 ϕ = [-1 + √ 1 + 4 ]/ - 2 con raíces análogas a las de la
anterior ecuación de este tipo ϕ₁ y ϕ₂.Donde
 ϕ₁ = [-1 √ 5 ]/ - 2
 ϕ₁ = 1.61803398874989 y en que ϕ₂= = [-1 + √ 5 ]/ - 2
 ϕ₂= -0.618033988749895
46
La presencia del numero áureo
 En una segunda instancia tenemos que :
 ϕᶟ - π = k , y k⁶ + 1 = e, con lo cual se tiene que:
 (ϕᶟ - π )⁶ + 1 = e , lo cual supondría que podemos despejar
el numero áureo en termino de otros numero y viceversa o
igualar a cero así: (ϕᶟ - π )⁶ - e + 1 = 0 (ecuación para 3
algunas constantes clásicas).Si se despeja la constante π por
ejemplo el calculo podría introducirse en ecuaciones en
que no figura el numero áureo…en este caso: ϕᶟ -π = ⁶√ (e –
1) de lo cual:
 π = ϕᶟ - ⁶√ (e – 1) y al mismo tiempo e = (ϕᶟ - π )⁶ + 1.
 Nótese que ϕ = (1 + √ 5 ) / 2 = 1 – [ (1 - √ 5 )/2 ] (numero
áureo ) y que esta proporción cabe en estas regularidades.
47
Tabla de datos para la imagen de
factorial en sumatoria
x!
1
1
2
6
24
120
720
Σx = x¡
0
1
3
6
10
15
21
48
Imagen de la función sumatoria a
partir de valores del factorial de x
Grafica de la función factorial reflejada en la función
sumatoria Σx
25
y = 0.0241x + 4.9952
R² = 0.6751
Valores de sumatoria Σx
20
15
Σx = x¡
10
Linear (Σx = x¡)
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Valores de factorial x!
49
Variación de la pendiente de la
recta promedio de esta
proporcionalidad interfunciones
 La pendiente de la recta tangente a la curva de
proporcionalidad corta en 2 puntos la función y vale
0,0241…no obstante como la relación no es lineal sino
funcional nos hallamos ante una función sumatoria que
procede del producto de 2 funciones una la factorial y otra
quizá la de conversión inversa por cuanto estamos
reduciendo de una función de mayor magnitud a otra de
menor valor, es decir la función factorial es ordinariamente
mayorante respecto de la sumatoria…exceptuando el valor
2! = 2 que altera la coordinación de proporcionalidad
ordinaria por cuanto ∑2 = 2¡ = 3 por lo cual observamos una
fluctuación de concavidad o protuberancia en la curva que
difiere el patrón general antes y después del valor de 2.
50
Interpretación del valor de la
pendiente asociada a la recta
tangente a la curva de relación
 Sea m= 0,0241 la pendiente tenemos que 1/mπ²e = π/2
 Así esta pendiente que podría ser por ejemplo m =α se
describiría por la ecuación:

α = 2 / πᶟ e pero πᶟ =31
aproximadamente, así que α = 2/ 31 e.
 Esta pendiente no es segura sin embargo porque la
relación de nuevo oscila entre mayorante y minorante de
la imagen de factorial antes y después de los valores
funcionales para x= 2.Asi las cosas hay de nuevo
fluctuación aun al examinar la conversión operacional
inversa de función de multiplicación factorial a sumatoria.
51
Posible influjo de la funciones de
conversión en las fluctuaciones de
relación interfuncional:
 Inferencia:
 De todo lo anterior se infiere que la función
conversión será una función que actué generando
cierta proporcionalidad a la manera de una constante
entre las dos operaciones de adición y producto que
generan las funciones sumatoria y factorial..Esta
función llamada aquí k- funcional en realidad es muy
semejante a las otras funciones descritas aquí aunque
con variamientos en la pendiente asociada que
alteraran la proporcionalidad generando un cambio
en la misma o fluctuación a partir de cada posible caso
así:
52
La función de conversión o “kfuncional”- Tabla de datos
x
1
2
3
4
5
k-funcional
1
0,66
1
2,4
8
53
Función de conversión
interfuncional de operaciones
Funcion de conversion o "k-funcional"
9
Imagen en la función de conversión
8
7
6
y = 1.574x - 2.11
R² = 0.6505
5
k-funcional
4
Linear (k-funcional)
3
2
1
0
0
-1
1
2
3
4
5
6
valores de x
54
Interpretación de la función de
conversión k₁
 La función de conversión tiene una leve caída por
debajo de su ecuador o punto de equilibrio en 1 y
vuelve a ascender sutilmente hasta 1, lo que
probablemente le infiere parte de la variación
funcional a las proporciones entre la función
sumatoria y factorial..de ahí la forma de arco que
adquiere la cuerda con gran vejiga de esta función
de conversión interfuncional…cuya recta tangente
le corta en 2 puntos y tiene una pendiente de 1,
574, numero que estaría asociado con la mitad de
π y con la división e/√3, es decir que:
55
La pendiente de la tangente a la
curva de conversión k₁
 e /√ 3 = π / 2 de donde se obtiene que π = 2 e / √ 3 . Se verán
simetría de esta cuerda o arco y decaimiento y ascenso
alrededor de determinado limite numérico por lo cual la
pendiente de la recta asociada a la curva de conversión no
puede tomarse como estática sino como un valor relativo o
promedio sobre la caída de dicha línea promedio. Y resulta
bastante curioso que un numero tan clásico como π pudiera
asociarse con esta función al ser la pendiente de la recta
tangente a la curva, cuerda o arco inclinado de
aproximadamente π / 2 o al ser e /√ 3 pues en realidad la
ecuación de la recta solo se cumple en la recta tangente pues
las funciones serian de mayor complejidad de calculo.
56
Tabla de datos de k-funcional con
x=6
x
1
2
3
4
5
6
k-funcional
1
0,66
1
2,4
8
34
57
Función k-funcional hasta x=6
Funcion conversora k-funcional
40
35
V
a
l
o
r
e
s
30
f 25
u
n 20
c
i 15
o
n 10
d
a
e
5
l
k
y = 5.4234x - 11.092
R² = 0.5891
k-funcional
Linear (k-funcional)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
-5
-10
Valores de x
58
La pendiente de la función
conversora
 El valor de m= 5.4234 en la recta asociada a la función
conversora k-funcional supone que m= 2 e pues se
trataría de una ínfima diferencia el resultado real de la
división de m/e que nos daría 1.9951573612492 y al
restarle 2 a este resultado el margen de la diferencia
seria de tan solo ∆ = -0.00484263875079982.
 Por otra parte se tiene que m= π√ 3 pues m/π =
1.726321836712917 que es una valor muy aproximado a
 √ 3 = 1.73205080756888 y al restar de esta razón la raíz
de 3 se obtiene un diferencial ínfimo de tan solo ∆ = 0.00572897083970747
59
Analogías de m con constantes y
relaciones básicas entre constantes
 El valor de 2e = 5.43656365691809 indica que hay una
diferencia con la pendiente grafica 5.4234 de
aproximadamente ∆ = 0.0131636569180902, un valor
realmente insignificante que marca que la pendiente
grafica se acerca mas por defecto a su limite en 2e.
 A su vez π√3 = 5.44139809270265 y al restarle m=5.4234
se genera una diferencia ínfima de:
 ∆ = 0.0179980927026522,donde m se acerca menos
por defecto a su limite en π√3
 Con todo se tiene que π√3 > 2e solo ligeramente pues
∆ = 0.004834435784562 (… difieren en 4 milésimas )
60
Relación entre constantes clásicas
asociadas a la función conversión
 Dado que π√3 = 2e en líneas generales se tiene que
 π = 2e / √3 y a su vez e = π √3 / 2 ( aproximadamente ),
donde π = m / √3 ( constante π definida por la
pendiente de una recta asociada a la función de
conversión dividida entre la raíz de 3 ) o donde e = m / 2
 ( constante e definida por la mitad de la pendiente de la
tangente promedio asociada a la función de conversión ).
 Si revisamos ϕ ᶟ = 4.23606797749975 = 2 + √ 5 , de
donde ϕ = ᶟ√ ( 2 + √ 5 ) = ( 1 + √ 5 )/2 y así:
 ϕ ᶟ = ( 2 + √ 5 ) = [ ( 1 + √ 5 )/2] ᶟ
61
Presencia del numero áureo en
pendiente de función conversora
 Si dividimos m =5.4234 ente ϕ se obtiene:
 m/ϕ = 3.35184553458619 que dividido en e seria igual a
 1.23307506215656 el cual incrementado en 1 -igual





aproximadamente a √ 5 – pues 2 ( 2.23307506215656 ) es igual a
4.98662423322553 , es decir 5 aproximadamente, así:
m/ϕe + 1= √ 5 ①de donde se tiene que m = ϕe (√ 5 – 1) ②
aproximadamente ( aparece el numero áureo en la pendiente de la
función de conversión ). Además :
ϕ= ( 1 + √ 5 ) / 2 pero despejando √ 5 en ① se tiene:
ϕ= [ 1 + (m/ϕe + 1)]/2 de donde 2 ϕ -2 = m / ϕe y
así: m = 2 ϕe (ϕ – 1) ③ ( el numero áureo en otra relación aquí)
Igualando ② y ③ se tiene : ϕe (√ 5 – 1) = 2 ϕe (ϕ – 1) de lo cual
62
ϕ aparece en la función
conversora








(√ 5 – 1) = 2 (ϕ – 1) y despejando ϕ se deduce que :
ϕ = 1 + ( √ 5 – 1 ) / 2 , de donde se infiere que:
ϕ–1= (√5–1)/2
y dado que |ϕ₂ | = ϕ – 1 se tiene que : 2 |ϕ₂ | = ( √ 5 – 1 ) pero
como (√ 5 – 1) = m/ ϕe entonces se infiere que:
2 |ϕ₂ | =m/ ϕe de donde se llega a la deducción de que
m = 2 ϕ |ϕ₂|e ( aparece el producto de raíces áureas de una
ecuación cuadrática aurea o el producto de números áureos por el
duplo de e en la pendiente m).
De donde ϕ = m/2 |ϕ₂|e que equivale a suponer que:
ϕ = m/ 2 ϕ | ϕ₂²|e ( definición del numero áureo desde la
pendiente lineal asociada a la función de conversión k₁. El producto
áureo es igual a 1 de la forma ϕ |ϕ₂| = 1 ).
63
Φ aparece en la función conversora
 ϕ = 1 + ( √ 5 – 1 ) / 2 y dado que |ϕ₂ | = ϕ – 1 se tiene que :
m = 2 ϕ |ϕ₂ |e ( aparece el producto de raíces áureas de una
ecuación cuadrática aurea o el producto de números áureos
por el duplo de e en la pendiente m).De donde ϕ = m/ 2 ϕ |
ϕ₂|e ( definición del numero áureo desde la pendiente lineal
asociada a la función de conversión k₁. El producto áureo es
igual a 1.Naturalmente que la diferencia de los áureos genera
un numero de interés así: ϕ - ϕ₂ = √ 5 es decir : ( ϕ - ϕ₂ )²= 5
que genera la ecuación cuadrática : ϕ ²-2 ϕ ϕ₂ + ( ϕ₂²- 5 )= 0
 Dado que ϕ₂²= 0.381966011250108
 ( ϕ₂²- 5)= -4.61803398874989 ( valor de C = ( ϕ₂²- 5 ) ) y así:
 ϕ ²-2 ϕ ϕ₂ -4.61803398874989 = 0 pero √ 22 = 4.69041575982343
64
Redefiniendo la ecuación cuadrática
con 3 –áureos-diferentes
 Que es un valor mucho mayor al valor de C en esta ecuación cuadrática, cuyo
cuadrado real es alrededor de 21.32.Cuando dividimos este numero C , decimal
entre ϕ obtenemos | ϕ₃ | es decir: C = ϕ | ϕ₃ | de donde podemos reescribir la
ecuación cuadrática asi:
 ϕ ²-2 ϕ ϕ₂ - C = 0 ϕ ²-2 ϕ ϕ₂ - ϕ | ϕ₃ | = 0
esto es :
ϕ ²- ( 2 ϕ₂ + | ϕ₃ |) ϕ + 0 = 0 es decir:
ϕ ² = ( 2 ϕ₂ + | ϕ₃ |) ϕ donde ϕ = ( 2 ϕ₂ + | ϕ₃ |) que significa que la suma del
duplo de una raíz aurea –negativa- y del valor absoluto de otra raíz aurea ambas de
ecuaciones diferentes de orden cuadrático y áureo generan el numero dorado, de
oro o de la proporción divina. Y que la mitad de | ϕ₃ | es casi la raíz de 2, es decir |




ϕ₃ | = 2√ 2 pues [| ϕ₃ |/2]²= 2.03644453162573 es decir hay un diferencial de solo
36/1000 entre 2 y esta cantidad decimal, o delta de 3 centesimales en principio
3/100.Es decir podríamos escribir | ϕ₃ | = 2 √( 2 + 3/100 ) Donde ϕ₃ difiere poco:
- 2.85410196624969 +2.8540 8096004702 = - 0.000021006202670204
Es decir ϕ - 2 ϕ₂ - | ϕ₃ | = 0, y como ϕ= ϕ₁ , ϕ₁ - 2 ϕ₂ - | ϕ₃ | = 0, o lo que es
Igual ϕ - 2 ϕ₂ + ϕ₃ = 0 , usando la raíz reflexiva ϕ= ϕ₁ seria ϕ₁ - 2 ϕ₂ + ϕ₃ = 0.
ϕ = 2 ϕ₂ - ϕ₃ pues ϕ₃ es un numero negativo .
ϕ= ϕ₁ el áureo es reflexivo con su raíz
65
Calculo del valor de la tercera raíz
de solución cuadrática aurea
asociada a estas funciones










ϕ= ( 2 ϕ₂ +̄ √1.52786404500043 + 18.4721359549996 )/2
ϕ =( 2 ϕ₂ +̄ √ 20 ) / 2 y como √ 20 = 2 √5 se tiene :
ϕ = 2 (ϕ₂ +̄ √5 ) / 2 y simplificando por 2 se obtiene:
ϕ = ϕ₂ +̄ √5 en donde ϕ₁ = ϕ₂ + √ 5 = 1.61803398874989
Que es el numero áureo o numero dorado y ϕ₃= ϕ₂- √ 5 =
- 2.85410196624969 es una solución cuadrática de un tercer numero
cuadrático de solución aurea el cual tiene un inverso negativo semejante a
-2(π – e)² = -0.35838410934575 que es en realidad :
1/-2.85410196624969 = -0.350372906022698 que genera un delta o
diferencia de solo ∆ =0.00801120332305205 que hace suponer con
bastante aproximación que: -2(π – e)² = 1/ ϕ₃, es decir que
ϕ₃ = 1/ -2(π – e)² que genera: ϕ₃ + 1/ 2(π – e)² = 0 .Dado que loge= e-π se
puede escribir -2 (-loge)² = 1/ ϕ₃, esto es: ϕ₃ = -1/2(loge)²
De lo cual se infiere que: ϕ₃ + 1/2(loge)² = 0, a partir de lo cual puede
66
El valor de e relacionado con ϕ₃
deducirse que :
1/2(log e)²= - ϕ₃, de lo cual se sigue que: -1/2ϕ₃ =(log e)² y de aquí se deduce
que:
√ -1/2ϕ₃ = log e y elevando 10 al factor con el radical se consigue:
√ -1/2ϕ₃
e = 10
puesto que ϕ₃ es un numero negativo . Es decir que dará
positiva la raíz. Si se usa valor absoluto de ϕ₃ también puede escribirse:
√ 1 /2| ϕ₃ |
e= 10
es decir que esta raíz cuadrática aurea se
encontraría asociada en la naturaleza o en el numero e quizá como sucede
posiblemente con el numero áureo o proporción divina ϕ pues después de
todo esta raíz hace parte de una ecuación con logaritmo de la forma:
 : ϕ₃ + 1/2(loge)² = 0 o lo que es igual | ϕ₃ | - 1/2(loge)² = 0 puesto que
 | ϕ₃ | = 1/2(loge)² ( donde ϕ₃ es raíz de ecuación cuadrática con raíces
“aureas”diferentes entre si y diferentes a ϕ₃ ).
67
Valor adicional para la función de
conversión
x
1
2
3
4
5
6
k-funcional
1
0,66
1
2,4
8
34.28571428
68
Función de conversión k-funcional
k-funcional
40
35
k
.
30
25
y = 5.4234x - 11.092
R² = 0.5891
f
20
u
n
15
c
i
10
o
n 5
a
l
0
k-funcional
Linear (k-funcional)
0
1
2
3
4
5
6
7
-5
-10
Valores de x
69
Datos para la función
conversora,vista 2
Columna1
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Columna2
k-funcional
0.1
0.066
0.1
0.24
0.80
3.428
70
Grafica de la función conversora
interoperacional con valores de
escala divididos por 10.
Columna2= Funcion conversora interoperacional
funcional
k₁
4000
3500
3000
Valores de x
2500
2000
y = 367.29x - 979.43
R² = 0.375
1500
Columna2
Linear (Columna2)
1000
500
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-500
-1000
Axis Title
71
Interpretación de la pendiente de
la recta asociada a la función
conversora k₁ semi-exponencial
 La pendiente es de solo m= 367.29 equivaldría
aproximadamente a m = 43 π e que resulta un valor
bastante exacto a juzgar por los 9 milésimos de diferencia
que guardaría el guarismo 43 con el numero real de
división obtenido a partir de nuestra calculadora científica
del navegador de Google m/πe = 43.0095352411342 y
por cuanto esta grafica tiende a ser la mas real y exacta
para descripción de la función conversora k₁ en lo que
tiene que ver con su recta asociada graficada por Excel
72
Líneas de cuadricula muestran el
corte de la tangente en la curva
Columna 2= Funcion de conversion interoperacional k₁
funcional
4000
3500
3000
2500
2000
y = 367.29x - 979.43
R² = 0.375
K-funcional 1500
Columna2
Linear (Columna2)
1000
500
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-500
-1000
Valores de x
73
La imagen de los datos de
conversión en x mostraría otra
función
k-funcional
1
0,66
1
2,4
8
x
1
2
3
4
5
74
Valores funcionales de factores de
conversión contra la variable x
valores de conversión contra x
6
y = 0.4133x + 1.9204
R² = 0.6505
5
valores de x
4
3
x
Linear (x)
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
valores de k de conversión
75
Interpretación de la pendiente en
la segunda disposición de k₁
 La pendiente aquí no corresponde con el inverso de la
mitad de pi sino que es un valor muy diferente…el cual
al parecer interactúa con pi y con e en una relación
particular cuya ecuación teórica-no demostradaseria:
 x⁶ π⁵= √ 1/log e = 1,525252, de donde :
 π = [ (√ 1/ loge )/ x⁶ ] ¹⁄ ⁵ pues la pendiente m= x es
igual a :

x = ⁶√ [(√ 1/log e )/ π⁵] , lo que significaría que
este tipo de curvas están asociadas a constantes
esenciales de la matemática y que si bien el patrón no
76
La constante kₑ y x= ⁶√ kₑ/ π⁵
 es lineal, un promedio estimado relaciona ampliamente los
valores lineales con los de curvas o constantes de curvas como los
valores de pi y de e. En nuestro caso hemos encontrado un
numero bastante curioso por su periodicidad decimal en 52 tres
veces luego de el 1 y de la coma y porque luego se suceden otros
decimales de aproximación en cada calculo así: 1,525252166113448
en un caso y 1,52525267439167 en otro para dos cálculos bastante
análogos que generarían una constante similar a la de e que
repite periodo en 1828 dos veces antes de seguirse por otros
decimales como aquí: e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352
66249 77572 47093 69995...
 Así nuestra constante será en principio aquí
kₑ=1,525252……mientras se resuelve un poco la ambigüedad en números
decimales.
 Y kₑ=x⁶ π⁵= √ 1/log e = 1,525252
77
Valores amplificados de k₁ contra x
k-funcional
10
6
10
24
80
343
x
10
20
30
40
50
60
78
Valores de la función conversora k₁
en otra disposición
Imagen de k-funcional en x
conversion en otra disposicion
70
y = 0.1086x + 26.441
R² = 0.5896
60
v
a
50
l
o
r 40
e
s 30
x
Linear (x)
d
20
e
x 10
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
valores de k-funcional
79
Forma exponencial de esta
disposición a escala múltiplo de 10
Imagen de k-funcional en x
disposición inversa de datos
70
v 60
a
l
50
o
r
e 40
s
30
d
e
x
20
x 10
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Valores de k- funcional
80
Constantes en conversión en
función semi-logarítmica o de
“distribución”
 La pendiente en esta disposición varia ligeramente
quizá por los datos amplificados y la variación de
escala de graficación..se observa la forma exponencial
que asume la curva de conversión. Aquí mientras los
valores de k funcional decaen y aumentan ,los valores
de x siempre se están incrementando. Esta oscilación
hace que la curva no sea de un incremento hacia la
derecha de su origen sino también un poco hacia su
izquierda formando una gran vejiga. La pendiente vale
m= 0.1086. Si se multiplica m por las constantes πe ϕ
se obtiene: m πe ϕ = 1.50058921267137 es decir 3/2
aproximadamente de lo cual se infiere que m= 3/2 πe ϕ
81
Función conversión k₂-funcional de
reducción de producto x! a adición
x
10
20
30
40
50
60
k2
10
15
10
4
1
0
82
Grafica de la función de conversión
k₂
Funcion de conversion k2
16
14
12
10
Función de conversión
8
reductora k₂
k2
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Valores en x amplificados por 10
83
Grafica de la función de conversión
reductora k2 con pendiente
asociada
Funcion de conversion de producto a adicion k₂ funcional
16
imagen de conversión k₂ funcional
14
12
10
8
k2
6
Linear (k2)
4
2
0
0
-2
10
20
30
40
y = -0.28x + 16.467
R² = 0.7825
50
60
70
valores en x amplificados por 10
84
La pendiente de la función
reductora y la constante kᵪ
 El valor de m=-0.28 en la pendiente podría estar
asociado con funciones trascendentes o esféricas
 como en la siguiente formula:
 ( 2 – e )+ log e = -0.283987346555793 ;
 además ln k = -k , cuan k = 0.567 aproximadamente
pues ln o.567 = -0.567395975254385 y la mitad del
numero – k seria -0.56/2 = -0.28, es decir que la
pendiente m en este caso seria m= -kᵪ/2, siendo k una
constante de logaritmo natural de la forma e ̄ᵏ = k,
pero –k = 2m, entonces e ²ᵐ = k, y, 2m = ln kᵪ, o m= ½ ln kᵪ
85
Disposición de k2 contra x- Tabla
de datos
k2
10
15
10
4
1
0
x
10
20
30
40
50
60
86
Grafica de la imagen en x de la
función de conversión reductora
Funcion conversion reductora contra eje x
70
60
Valores de x
50
40
x
30
Linear (x)
20
y = -2.7947x + 53.631
R² = 0.7825
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Valores reductores de k2
87
Interpretación de esta disposición
de k2
 L a función fluctúa nuevamente en torno a un punto de inflexión casi
estéreo espacial doblemente bidimensional en apariencia…decrece
continuamente en cuanto factor de conversión…pero a medida que x
decae k₂ parece aumentar hasta cierto limite hasta cuando retrocede
para disminuir en el punto x = 20.
 La fluctuación es alta y hay hasta 3 puntos de corte con la recta
promedio o lineal asociada a la curva cuya pendiente se aproxima por
escasos milesimales a –e. la curva pareciera decaer constantemente
haciendo una s estéreo espacial que semeja una serpiente y con una
concavidad corta y pronunciada en comparación con la otra alargada y
poco protuberante. En la recta tangente m = -e aproximadamente…lo
que configura una ecuación de la forma: y = -e x + 53.694
aproximadamente. Aquí e=-m y por tanto ln e = ln (–m), es decir
 1= ln( –m ), o, e = -m , y consecuentemente e+m=0
aproximadamente.
88
Apéndice de datos de salto técnico
graficados por Excel hasta x=6
 Los detalles del salto técnico muestran un ascenso
inusitado en la curva que semeja la otra función
cambiada a escala decimal pero subsisten mínimas
diferencias de graficación por el punto de corte de
recta con la función entre x=2 y x=3 a la manera en que
una pelota de tenis rebotase antes o después de la
mitad de dicho intervalo según las dos graficas: la del
salto técnico o la de escala decimal para la función
conversora k₁ funcional.
89
Datos para la función
conversora,vista 2
Columna1
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Columna2
k-funcional
0.1
0.066
0.1
0.24
0.80
3.428
90
Grafica de la función conversora
interoperacional con valores de
escala divididos por 10.
Columna2= Funcion conversora interoperacional
funcional
k₁
4000
3500
3000
Valores de x
2500
2000
y = 367.29x - 979.43
R² = 0.375
1500
Columna2
Linear (Columna2)
1000
500
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-500
-1000
Axis Title
91
Las funciones factorial negativas de
-x
 Cuando los valores de x son negativos los valores de la
función de adición o sumatoria son todos negativos
mientras que los de factorial se alternan unos
negativos y otros positivos, así que sesto altera la
percepción de algunas relaciones en estas funciones y
en las funciones de conversión asociadas a ellas así:
92
Datos de la función sumatoria de -x
valor -x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
valor ∑-x
-1
-3
-6
-10
-15
-21
93
Grafica de la función sumatoria en
-x
y =∑-x
5
-7
-6
-5
-4
-3
y = 4x + 4.6667
R² = 0.9677
-2
-1
0
0
∑-x
-5
-10
valor ∑-x
Linear (valor ∑-x)
-15
-20
-x
-25
94
Tabla de datos para factorial de -x
valor -x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
valor - x!
-1
2
-6
24
-120
720
95
Grafica de la función factorial de -x
y= - x!
800
700
600
500
Axis Title
400
valor - x!
300
Linear (valor - x!)
200
100
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
y = -93.4x - 223.73
R² = 0.3251
Axis Title
-1
0
-100
-200
96
Presencia de cuadrados y
constantes en la pendiente
factorial negativa
 La pendiente de esta factorial negativa dividida entre
(2 e π² ϕ²) genera el numero -0.664886282211 muy
similar a -2/3 = -0.666666666666667..Así pues puede
aducirse que m/ (2 e π² ϕ²) = -2/3 es decir
 m= -4/3 (e π² ϕ²) aproximadamente pues habría un
diferencial de - 93.6500997728604 - (- 93.4)= 0.250099772860381 es decir aproximadamente -1/4 valor
este que restado a la razón anterior generaría m real así:
m = -4/3 (e π² ϕ²) + ¼
97
Valores de factorial ampliados en x
valor -x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
valor - x!
-1
2
-6
24
-120
720
-5040
98
Grafica de factorial negativa para
un rango mayor
valor - x!
2000
y = 492.68x + 1339.1
R² = 0.2937
1000
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Axis Title
-1000
-2000
valor - x!
Linear (valor - x!)
-3000
-4000
-5000
Axis Title
-6000
99
Pendiente de lineal asociada a
factorial negativa
 La pendiente m aquí seria m= 492.68 = ( 7π )²
aproximadamente.
100
Relación entre sumatoria y factorial
valor ∑-x
-1
-3
-6
-10
-15
-21
x!
-1
2
-6
24
-120
720
101
Función sumatoria negativa
reflejada en factorial negativo
Funcion - x!= k∑-x
800
700
600
500
factorial
400
y = -26.791x - 146.89
R² = 0.4423
x!
300
Linear (x!)
200
100
0
-25
-20
-15
-10
-5
0
-100
sumatoria
-200
102
La pendiente con aproximaciones a
constantes aparece en f (π² )
 La pendiente equivale a π²e pues al dividir m/ π e







=3.13721707273607 que es casi π con un delta de tan solo: ∆=
0.00437558085372247 es decir 4/1000 lo que equivale a suponer
que m= π e (π - 4/1000 ) aproximadamente.
Haciendo la expresión anterior m = π e (π - ∆ ) se tiene la
ecuación cuadrática: e π² - e ∆ π – m = 0, de donde:
π = [e ∆ ± √ ((e ∆ )² + 4 e m )]/ 2e
pero |log 1/e|= log e = z =0.434294481903252 donde ∆ = z/100 ya
que 100 ∆- z = 0.00326360346899507 y
z - |log 1/e|= 3.33066907387547*10^(-16), z = |log w|
Siendo ∆ = z /100, se tiene:
π = [e z/100± √ ((e z/100 )² + 4 e m )]/ 2e aproximadamente.
π = [e |log w| /100± √ ((e |log w| /100 )² + 4 e m )]/ 2e
f (π² ) es una función cuadrática de π
103
Datos de relación x! = k ∑-x
x!
-1
2
-6
24
-120
720
valor ∑-x
-1
-3
-6
-10
-15
-21
104
Grafica de función factorial
negativa reflejada en sumatoria de
–x.
∑-x = k x!
0
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
-5
∑-x
-10
valor ∑-x
Linear (valor ∑-x)
-15
y = -0.0165x - 7.6302
R² = 0.4423
-20
-25
x!
105
La pendiente de la recta lineal
asociada a este tipo de función
reductora de factorial a sumatoria
 La pendiente m= - 0.0165 parece aproximarse bastante
al calculo m= - 1 / ( π³ e ϕ )√ ln 7 . De nuevo se observan
algunas constantes entre ellas la constante aurea
presente en la pendiente de la función lineal asociada a la
función de conversión reductora.
106
Valores de k₃ funcional
 En este caso hemos dividido cada valor de la imagen
entre su variable funcional coordinada en el rango
negativo así: -1/-1 = 1 , -2/3 = -0.666, -6/-6= 1, 24/-10= 2.4, -120/-15 = 8, 720/ -21 = - 34.2857142857143…Estos
valores de constantes serán la imagen reflejada de
nuestra variable –x para calcular la función de
conversión asociada a las funciones factorial y
sumatoria en el rango negativo del actual estudio
según la siguiente tabla de datos:
107
Tabla de datos para k₃
-x
k₃
-1
1
-2
-0.666666666666667
-3
1
-4
-2.4
-5
8
-6
-34.2857142857143
108
Valores amplificados por 100 para
evitar la limitante de la corrección
circular en Excel
valor de -x
función k₃
-100
-200
-300
-400
-500
100
-66
100
-240
800
109
Función conversora k₃
funcion de conversion k₃
1000
800
funcion de conversion k₃
600
-600
400
funcion k₃
y = -1.226x - 229
R² = 0.2403
Linear (funcion k₃)
200
0
-500
-400
-300
-200
-100
0
-200
variable x
-400
110
Interpretación de la pendiente
 La pendiente de la función lineal asociada a la curva de
conversión amplificadora en factoriales negativos tiene
una caída equivalente al siguiente calculo
aproximadamente: m= 2 π³ e ² ϕ² 10 ̄³ . El resultado de
la división de m entre todas las constantes es 2.04397983907945 que es bastante aproximado a 2.
111
Datos de la función conversora k4
 Los valores de la constante reductora provendrán de
las divisiones : -1/-1 = 1 , -3/ 2 = -1.5, -6/-6= 1 , -10/ 24=
-0.416666666666667 , -15/-12o= 0.125 , -21/ 720 =
-0.0291666666666667 .
 Las imágenes de la división de sumatoria de –x entre
factorial de –x se verán reflejadas a partir de variables
de x asociadas en cada caso.
112
Datos de parámetros de x y k₄
amplificados hasta 10⁵
x
-100000
-200000
-300000
-400000
-500000
-600000
k₄
100000
-150000
100000
-41600
12500
-2916
113
Función conversora k₄ de
reducción en factoriales negativos
Funcion conversora k₄
150000
Función de conversión k₄
100000
-700000
y = 0.0482x + 19865
R² = 0.0092
50000
0
-600000
-500000
-400000
-300000
-200000
-100000
0
-50000
k₄
Linear (k₄)
-100000
-150000
Valores de -x
-200000
114
El valor de la pendiente asociada
en k₄
 La pendiente de 0.0482 multiplicada por πeϕ es igual a
0.666007366949905 que es aproximadamente igual a
 2/3 = 0.666666666666667 pues el margen de
diferencia es ínfimo siendo de:
 ∆ = 0.000659299716762041, es decir m= 2/ 3 πeϕ
aproximadamente.
115
Definición matemática de las
funciones de conversión
 En resumen:
 K₁ = x!/∑x
 K₂ = ∑x/x!
 K₃ = - x!/∑-x
 k₄ = ∑-x/- x!
 F(x) = k g (x ) pero k es una función conversora , entonces
 X! = ( X!/ ∑x ) ∑x Por ejemplo donde cada razón de
funciones definidas como k sub n representa una función
conversora ( amplificadora o reductora interfuncional ).
116
Tabla de datos para x¡ y x²
x¡
1
3
6
10
15
21
x²
1
4
9
16
25
36
117
Grafica de relación sumatoria al
cuadrado de x
Funcion x¡ en x²
40
y = 1.7581x - 1.2419
R² = 0.9994
35
30
x²
25
20
x²
Linear (x²)
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
x¡
118
El valor de la pendiente lineal
 Cuando se tiene una pendiente lineal de proporcionalidad como:
m= 1.7581 se calcula su producto por e y se divide por π así:
 m e / π = 1.52120653743987 que es un numero bastante parecido a
x⁶π⁵ = 1.5252 52 , con un diferencial delta de: 0.00404546256013028
 m =( x⁶π⁵ )π / e
m = x⁶π⁶ / e donde x = m = 0.4133 para el lineal de k₁ reflejado en x.
Y donde x = ⁶√ [(√ 1/log e )/ π⁵] .
Entonces m = [(√ 1/log e )/ π⁵] π⁵ )π / e pero como π⁵ se eliminan
se tiene m= π (√ 1/log e ) / e . Y dado que
x= ⁶√ kₑ/ π⁵ , esto es :
x⁶= kₑ/ π⁵ se tiene m= ( kₑ/ π⁵ ) π⁶ / e = kₑπ /e, es decir : m = kₑπ/e
Esto es : m = 1.52 π/e
119
Proporción entre x! y x²
x!
1
2
6
24
120
728
x²
1
4
9
16
25
36
120
Grafica de proporción entre x! y x²
imagen de x! en x²
40
y = 0.0392x + 9.4108
R² = 0.7138
35
30
25
²
20
x
x²
Linear (x²)
15
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
x!
121
Valor de la pendiente de
proporcionalidad lineal
 La pendiente m= 0.0392 se multiplica por π y da
0.12315043202072 y si se multiplica por ϕ genera:
 0.199261584738758 e decir aproximadamente 0.2 es
decir 2/10 ..es decir mπϕ = 2/10 de donde se obtiene:
 m = 2/ 10 πϕ
122
Datos de x² aplica en factorial de x
x²
0
1
4
9
16
25
36
x!
1
1
2
6
24
120
720
123
Grafica de x² aplica en x!
funcion factorial x! imagen de x²
800
700
600
v
a
l
o
r
e
s
f
a
c
t
o
r
i
a
d l
e
y = 16.488x - 89.488
R² = 0.6997
500
400
x!
300
Linear (x!)
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-100
-200
x²
124
Pendiente de la recta asociada a la
función factorial imagen de x².
 La pendiente m= 16.488 se derivaría del siguiente calculo
m = 6e pues m/e = 6.06559622603474 aproximadamente.
Si se escribe 6/100 la diferencia decimal entonces m= 6e +
6/100 de donde
 m= 6 ( e + 1/100 ) aproximadamente.
 Se observa que los valores de factorial reflejados desde x
son minorantes con relación a x² hasta la imagen de x=3 pero
de ahí en adelante son en todo momento mayorantes con
respecto a x², por ello la necesidad de graficar la función y
enlizarla de esta manera ante esta variación, fluctuación u
oscilación análoga a la que experimenta el factorial con el
potencial de 2ˣ, para evidenciar la necesidad de f-conversión .
125
Tabla de datos para la función
conversora de x² a factorial.
valor de x
1
2
3
4
5
6
valor de k
1
0.5
o.66
1.5
4.8
20
126
Tabla de datos de función
conversora de productos x² a x!
ampliada por 100
valor de x
valor de k
100
200
300
400
500
600
100
50
66
150
480
2000
127
Amplificación de datos de función
conversora de productos
 Para evitar el error de circularidad se hace preciso
ampliar por 100 los datos pues de otra manera no se
hubieran podido graficar. Al hacerlo se arroja una
pendiente de m= 3.1069 que es equivalente a πᶟ/10.
 Así m= πᶟ/10 aproximadamente. De esto se infiere que
 π = ᶟ√ (10 m ) es decir π = ( 10 m ) ⅓ ( cuando m es la
pendiente de la recta de linealización una función
conversora de cuadrado de x a factorial ).
128
Grafica de la función conversora k
Funcion conversora f(x)=k=y/g(x)
2500
función conversora k
2000
1500
y = 3.1069x - 613.07
R² = 0.5785
valor de k
1000
Linear (valor de k)
500
0
0
-500
100
200
300
400
500
600
700
valor de x
129
El producto de funciones genera
una nueva función: y = f(x) g(x),
donde f(x) = “k” = y/g(x)
 En esta grafica se observan descensos hasta x=2 y luego
ascensos inexorables a partir de x=2 en la función. Esto se
debe a que los valores de la función cuadrado de x eran
mayorantes con respecto a factorial hasta la imagen de
x=3 pero luego eran minorantes respecto de factorial y
esta variación comparativa hace que la función
conversora también tenga una vejiga al decrecer antes de
la imagen de x=3 y crecer luego después de la imagen
x=3.De aquí que y= f(x) g(x).(Un producto de funciones
genera una función donde f(x) =k es función conversora).
130
Tabla de datos de potencial de 2
aplica en cuadrado de w ( w=x )
2ᵂ
1
2
4
8
16
32
64
ᴡ²
0
1
4
9
16
25
36
131
Funcion w² imagen de 2ᵂ
Funcion w² imagen de 2ᵂ
60
y = 0.3834x + 5.2781
R² = 0.906
funcion cuadrado de w
50
40
30
ᴡ²
Linear (ᴡ²)
20
10
0
0
20
40
60
80
100
120
140
valores de potencial de 2
132
Comportamiento de funcion y
grafica de 2ᵂ aplica en w².
 La función cuadrado de w tenia minorantes desde la
imagen de x=o hasta x= 2 en que se iguala con la
función factorial, luego de x=2 ( en que hay imagen de
inflexión en ambas funciones), la función w² es
mayorante respecto a potencial en la imagen de
potencial de 2ᵂ hasta x= 4, valor en que se igualan las
pendientes al ,mismo tiempo. Para la imagen de x>4 el
comportamiento de la función cuadrado de w
es minorante respecto de potencial.
133
Tabla de f conversora hacia
cuadrado de w desde potencial 2ᵂ
x
0
100
200
300
400
500
600
700
800
f2
0
50
100
112
100
78
56
38
50
134
Función conversora a w² desde
potencial de 2ᵂ
Funcion conversora w² a 2ᵂ,f2
120
valores de f conversora a 2ᵂ
100
80
y = 0.007x + 62.089
R² = 0.0029
60
f2
Linear (f2)
40
20
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
valores de x
M = 7/1000 muestra fluctuaciones ,ayorantes y
minorantes alternados.
135
Tabla de datos para w² aplica en
potencial de 2ᵂ.
ᴡ²
0
1
4
9
16
25
36
49
2ᵂ
1
2
4
8
16
32
64
128
136
Función potencial de 2ᵂ imagen de
w²
Funcion potencial 2 ᵂ imagen de w²
140
120
y = 2.3628x - 9.4733
R² = 0.906
Valores de potencial de 2ᵂ
100
80
2ᵂ
60
Linear (2 ᵂ)
40
20
0
0
-20
10
20
30
40
50
60
valores de w²
137
Interpretacion de esta relacion
 La función potencial varia siendo mayorante,
minorante, mayorante respecto del cuadrado de w.
 La pendiente vale 2.3628.
138
Tabla de datos de f conversora de
cuadrado de w a potencial 2ᵂ
valor de x
10
20
30
40
50
60
70
valor de f
20
10
8
10
12
17
26
139
Grafica de f conversora de w² a 2ᵂ
Funcion conversora de w² a 2ᵂ
30
valor de conversion f
25
20
y = 0.1286x + 9.5714
R² = 0.1798
15
valor de f
Linear (valor de f)
10
5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
valor de x
140
Tabla de datos de potencial contra
inversa de x=h.
2ʰ
200
400
800
1600
3200
6400
1/h
100
50
33
25
20
16
141
Grafica de 2ʰ aplica en 1/h
Funcion 1/h imagen de 2ʰ
120
100
Valores de 1/h
80
60
1/h
Linear (1/h)
40
20
y = -0.0085x + 58.547
R² = 0.4124
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
valores de 2ʰ
142
Tabla de datos para f-conversora
x
1
2
3
4
5
6
fc= 1/h2ʰ
500
125
41
15
6
2
143
Grafica para la función conversora
fc= 1/h2ʰ
600
500
400
fc = 1/h2ʰ
300
fc= 1/h2ʰ
200
Linear (fc= 1/h2ʰ)
100
0
0
1
2
3
4
-100
-200
5
6
y = -82.086x + 402.13
R² = 0.6257
7
x
144
Tabla de datos para potencial de 2ʰ
imagen de 1/h.
1/h
100
50
33
25
20
16
2ʰ
200
400
800
1600
3200
6400
145
Grafica de funcion potencial 2ʰ
imagen de 1/h
Funcion 2ʰ imagen de 1/h
7000
6000
5000
valores de 2ʰ
4000
3000
2ʰ
Linear (2 ʰ)
2000
1000
0
0
20
40
60
-1000
-2000
80
100
y = -48.43x + 4069.5
R² = 0.4124
120
valores de 1/h
146
Tabla para funcion conversora
Fc=h2ʰ
x
1
2
3
4
5
6
Fc= h2ʰ
2
8
24
67
160
400
147
Grafica para función conversora
Fc=h2ʰ
Fc= h2ʰ
500
valore de funcion conversora Fc
400
300
y = 71.114x - 138.73
R² = 0.7506
Fc= h2ʰ
200
Linear (Fc= h2ʰ)
100
0
0
-100
1
2
3
4
5
6
7
x
148
El correo de las inquietudes
 Fin: gracias, cualquier inquietud remitirla a
[email protected] /mi portal en www.fisica.ru
 Dirección: calle 33 9 A- 20 Sabana – Los Patios, Norte
de Santander
 Elaborado por : Jaime Erwin Blanco Niño, Lic.
Español- Ingles, docente colegio José Aquilino Duran ,
Cúcuta…ex. estudiante de ingeniería eléctrica 4
semestre Universidad de Pamplona , núcleo Villa del
Rosario
149