Optimasi Non-Linier

Metode Numeris

Pendahuluan (1)

  Pembahasan optimasi non-linier sebelumnya (analitis):   Pertama-tama mencari titik-titik nilai optimal Kemudian, mencari nilai optimal dari fungsi tujuan berdasarkan titik-titik optimal yang telah ditemukan Pada metode numeris langkah hitungan yang dilakukan justru kebalikan dari metode analitis,    Pada metode ini letak titik optimum ditentukan dengan menyelidiki nilai fungsinya, Titik yang mempunyai nilai fungsi terbesar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi pada titik-titik yang lain itulah titik optimumnya, Jadi letak titik optimum dihitung terakhir.

Pendahuluan (2)

 Dalam bab ini akan dibahas metode numeris dalam optimasi satu variabel–tanpa kendala, yang secara garis besar dibagi sebagai berikut: 1.

Teknik eliminasi 2.

a.

b.

c.

d.

Pencarian bebas a) b) Dengan langkah tetap Dengan percepatan langkah Pencarian lengkap Pencarian dikotomi Pencarian Fibonacci e.

Pencarian Emas Teknik pendekatan Newton (kuadratik)

Pendahuluan (3)

  Metode numeris yang akan dibahas disini hanya berlaku untuk suatu fungsi unimodal.



Fungsi unimodal yaitu suatu fungsi yang hanya

mempunyai satu puncak (maximum) atau satu lembah (minimum).

Jika ternyata fungsi tujuan yang akan dioptimasikan bersifat multimodal (berpuncak banyak) pada interval yang menjadi perhatian,  maka interval tersebut harus dibagi menjadi interval-interval yang lebih kecil sedemikian rupa sehingga pada interval-interval kecil tersebut fungsi tujuan bersifat unimodal.

Teknik Eliminasi (pencarian bebas) (1)

Dengan langkah tetap  Pendekatan paling dasar dari permasalahan optimasi adalah penggunaan langkah tetap berangkat dari titik tebakan pertama dan bergerak kearah yang dikehendaki.

 Diandaikan permasalahan yang dihadapi adalah

minimisasi

maka teknik ini dapat dijabarkan sebagai berikut: suatu fungsi tujuan, 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Mulai dengan tebakan titik pertama, misalkan x

1 .

Hitung f Hitung f

2

Jika f 2

1

< f 1

= f(x 1 ).

Pilih sebuah ukuran langkah misalkan s, hitung x

2 = f(x 2 ).

.

= x 1 + s.

, maka pencarian dapat diteruskan kearah ini sepanjang titik-titik x 3 , x 4 , … dengan melakukan tes pada setiap dua titik yang terakhir. Cara ini ditempuh terus sampai dicapai suatu keadaan dimana x i = x 1 + (i – 1)s memperlihatkan kenaikan pada nilai fungsinya Pencarian dihentikan pada x i , dan x i optimum.

atau x i–1 dapat dianggap sebagai titik Jika f 2 titik-titik x –2 , x –3 , … dengan x –j Jika f 2 > f 1 , pencarian harus dilakukan kearah yang berlawanan yaitu sepanjang = x 1 – (j – 1)s

.

= f 1 , maka titik optimum terletak diantara titik-titik x 1 dan x 2 .

Jika ternyata f 2 dan f –2 mempunyai nilai lebih besar dari f 1 , maka titik optimum terletak diantara titik-titik x –2 dan x 2 .

Teknik Eliminasi (pencarian bebas) (2)

 Contoh: Cari maximum dari fungsi berikut ini menggunakan metode pencarian bebas dengan x 1 = -1 dan s = 0,4 !!!

f

(

x

)    

x x

2  3 untuk

x

 2 untuk

x

 2

Teknik Eliminasi (pencarian bebas) (3)

Dengan Percepatan Langkah (1)     Walaupun pencarian dengan langkah tetap sangat sederhana dan mudah, tetapi sangat tidak efisien.

Salah satu cara untuk mempercepat proses pencarian titik optimum tersebut adalah dengan memperbesar langkah pencarian sampai titik optimum terkurung.

Salah satunya adalah dengan mengurangi besar langkah pada saat titik optimum sudah terkurung dalam (x

i–1 , x i ).

Dengan mulai lagi hitungan dari titik x cukup kecil sesuai dengan kebutuhan.

i atau x i-1 prosedur di atas dapat diulangi lagi dengan langkah pencarian diperkecil sampai dicapai pengurungan titik optimum dalam suatu interval yang

Teknik Eliminasi (pencarian bebas) (4)

Dengan Percepatan Langkah (2)  Prosedur pencarian titik optimum dengan teknik ini dijelaskan dalam bagan alir dalam Gambar berikut:

Teknik Eliminasi (pencarian bebas) (5)

 Contoh: Carilah nilai maksimum dari f = x(1,5 – x) dengan nilai awal x 1 =0,0 dan langkah awal = 0,05

Pencarian Lengkap (1)

   Teknik ini dapat digunakan jika telah diketahui bahwa interval dimana terdapat titik optimum telah tertentu.

Misal x

s dan x f

berurutan menunjukkan titik-titik awal dan akhir dari interval yang menjadi perhatian kita.

Misal suatu fungsi didefinisikan dalam interval (x

s , x f

) dan dievaluasi pada delapan titik-titik hitungan x

1 dan x 8 .

Andaikan nilai fungsi yang ditinjau berbentuk kurva seperti disajikan dalam Gambar disamping  maka titik optimum akan terletak diantara titik x

5 dan x 7

. Jadi interval (x

5 , x 7 ) dianggap sebagai interval pencarian yang baru.

Pencarian Lengkap (2)

 Secara umum, jika fungsi tujuan dievaluasi pada n titik berjarak sama didalam interval pencarian mula-mula L

0 = (x f – x s ), dan

jika ternyata bahwa titik optimum berada pada titik x

j , maka

interval terakhir adalah

L n



x j

 1 

x j

 1 

n

2  1

L

0  Cari maximum dari fungsi f = x(1.5–x) dalam interval (0.0, 1.0) dengan n = 9.

Pencarian Dikotomi (1)

  Pada prinsipnya adalah merupakan teknik pencarian bertahap dimana pencarian yang berikutnya dipengaruhi secara langsung oleh pencarian sebelumnya.

Pada pencarian dikotomi, dua penyelidikan dilakukan pada daerah didekat titik tengah (x

m ) dari interval pencarian (x s , x f ).

 Berdasarkan nilai relatif dari fungsi tujuan pada dua titik di sebelah kiri (x

1 ) dan kanan (x 2 ) yang berjarak δ 0

/2 dari titik tengah, maka penentuan interval pencarian berikutnya dilakukan.

Pencarian Dikotomi (2)

  Interval pencarian yang baru mempunyai lebar interval sebesar (L

0 /2 + δ 0 /2).

Interval-interval yang baru dicari dengan cara yang sama seperti di atas sehingga didapat hubungan antara lebar interval pencarian dengan jumlah pencarian interval yang telah dilaksanakan yang disajikan di bawah ini.

Jumlah Pencarian (i) 0 2 4 6 1 2 Lebar Interval (L i ) 1 2

L

0

L

0 1 2  4

L

0 (

L

0  0  2 )  0  1  2   1 2 0  1 2  0   0 1 2  0

n L

0

n

2 2   1  1 2 2

n

 0

Pencarian Dikotomi (3)

 Contoh: Cari maximum dari fungsi f = x(1.5–x) dalam interval (0.0, 1.0) dengan n = 6 dan

δ 0 = 0.001.

Pencarian Fibonacci (1)

  Pencarian Fibonacci dapat dipakai untuk mencari maximum dari sebuah fungsi satu variabel, bahkan untuk fungsi yang tidak kontinu.

Teknik ini, seperti teknik eliminasi yang lainnya mempunyai ciri khas sebagai berikut: 1) Interval permulaan dimana terletak titik optimum harus diketahui terlebih dahulu.

2) 3) 4) Fungsi tujuan yang dioptimasikan harus fungsi unimodal pada interval pencarian.

Letak yang tepat dari titik optimum tidak dapat ditentukan. Hanya interval pencariannya saja yang dapat diketahui. Interval pencarian dapat diperkecil sesuai dengan ketelitian yang dikehendaki.

Jumlah nilai fungsi tujuan yang harus dievaluasi dalam pencarian atau jumlah subinterval pencarian harus ditentukan sebelumnya.

Pencarian Fibonacci (2)

 Pada teknik Fibonacci ini digunakan sebuah deret yang dinamakan deret Fibonacci (F

n ) yang mempunyai ciri sebagai berikut: F

0

F n

 

F

1  1

F n

 1 

F n

 2 ,

n

 2 , 3 , 4 ,  yang menghasilkan deret: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Pencarian Fibonacci (3)

 Dimisalkan interval pencarian mula mula adalah L

0

= b – a, sedangkan n

adalah jumlah pencarian yang harus

dilaksanakan. Didefinisikan:

L

* 

F n

 2

F n L

0  dan dicari dua titik x

1 dan x 2 yang diletakkan masing-masing pada jarak L * pada kedua tepi interval. Sehingga x x

1 

a



L

* 2 

b



L

* 

a



F n

 2

F n L

0  

Pencarian Fibonacci (4)

  Dengan menggunakan sifat fungsi unimodal, maka dapat ditentukan interval yang mana yang mengandung titik optimum. Pada Gambar di atas, interval yang mengandung titik optimum menjadi (x

1

, b). Besarnya interval ini adalah

L



L

0 

L

* 

L

0 

F n

 2

F n

   1 

F n

 2

F n

 

L

0 

F n

 1

F n L

0 Langkah selanjutnya adalah mengulangi prosedur di atas dengan nilai n yang baru yang dihitung sebagai n = n – 1. Demikian prosedur ini diulang sampai dengan n = 1.

Pencarian Emas (1)

   Teknik eliminasi dengan pencarian memakai Rasio Emas sangat serupa dengan teknik Fibonacci.

Dalam teknik ini rasio penyempitan interval mengikuti Rasio Emas.

 Rasio Emas sendiri merupakan penemuan orangYunani kuno. Rasio ini dianggap memberikan bentuk bangunan yang paling menyenangkan.

Rasio Emas didefinisikan sebagai:  

d



b



d d b

pers.

A  dengan d dan b secara berturut-turut merupakan sisi pendek dan sisi panjang dari suatu persegi panjang

Pencarian Emas (2)

  Jika suatu garis dibagi dengan Rasio Emas menjadi dua bagian tidak sama besar,  maka nilai perbandingan antara bagian yang besar dibanding panjang keseluruhan sama dengan perbandingan bagian yang kecil dibanding bagian yang besar.

Dari persamaan A diperoleh:  2    1    1 ( 1  5 )  1 .

6180339 2 Rasio ini menghasilkan suatu algoritma eliminasi interval yang sangat efisien.

Pencarian Emas (3)

 Pada Gambar disamping nilai L

*

 

L

*

dicari dengan rumus:

 dan 

L

0 2 

L

0 ( 1 .

6180339 ) 2  0 .

382

L

0

L



L

0 

L

* Interval (a, b) dibagi menurut geometri Rasio Emas sehingga didapat:

L

*    1   

L

0 2  1 2  

L

0 

L

0   0 .

618

L

0 pers.1

pers.2

Pencarian Emas (4)

 Dari aturan di atas diperoleh:

L



L

0 

L

*       2 2  1   

L

0 

L

0 

L

1 

L

0  2

L

*      2 1   

L

0      2   2 2   

L

0      2    3   

L

0  

L

0 3   Nilai L1 di atas adalah

istimewa karena merupakan L/

γ 2 Ini berarti bahwa L

1 otomatis merupakan L

nilai L

* sebagai jarak antara x * bagi iterasi selanjutnya. Sehingga

untuk iterasi selanjutnya

dapat dihitung 1 dan x 2 .

Pencarian Emas (5)

Algoritma Rasio Emas untuk permasalahan maximisasi f(x):  Langkah 1: Misalkan a (1) dan b (1) pencarian mula-mula. Hitung adalah titik tepi interval

x

1 ( 1 ) 

a

( 1 ) 

b

( 1 ) 

a

( 1 )

( 1 , 6180339 )

2

x

2 ( 1 ) 

b

( 1 )

Set k



2



(

x

1 ( 1 ) 

a

( 1 )

)

Pencarian Emas (6)

 (1) Langkah 2: Jika

a

(

k

) 

f

(

x

1 (

k

 1 )

a

(

k

 1 ) )  dan

b f

(

k

(

x

2 (

k

 1 ) ), maka ) 

x

2 (

k

 1 )

x

1 (

k

) 

a

(

k

)  (

x

2 (

k

 1 ) 

x

1 (

k

 1 ) ) dan

x

2 (

k

) 

x

1 (

k

 1 ) (2) Jika

a x

1 ( (

k

)

k

)  

f

(

x

1 (

k

 1 )

x

1 (

k

)   1 ) dan

b f

(

x

2 (

k

 1 ) ), maka (

k

)

x

2 (

k

 1 ) dan

x

2 (

k

) 

b

(

k

 1 ) 

b

(

k

)  (

x

2 (

k

 1 ) 

x

1 (

k

 1 ) )

Pencarian Emas (7)

 1) 2) Langkah 3: Berhenti jika (b

(k) -a (k) ) < ε

cukup kecil sesuai dengan ketelitian yang dikehendaki, titik optimum x

*

diambil sama dengan titik-titik a

(k) , b (k) , x 1

(k)

, x 2

(k)

, yang memberikan nilai f

maximum.

Jika (b (k) -a (k) ) ≥ ε, set k = k + 1 dan lakukan langkah 2.

 Contoh: Cari maximum dari fungsi f = 720 – 12/x – 108x dalam interval (0.0,1.0) dengan ε = 0.01.

    X1=1/2(Lo)-d/2=1/2(1-0)-0.001/2=0.5-0.0005=0.4995

X2=1/2(Lo)+d/2=0.5+0.0005=0.5005

 F(x1)=   F(x2)= Jika f(x1)

X3=x1+{1/2(L1)-d/2}=1/2(1-0.4995) 0.001/2=x1+0.24975= X4=x1+{1/2(L1)+d/2}=1/2(1 0.4995)+0.001/2=x1+0.25025=  F(x3)=  F(x4)=   Jika f(x3)