Transcript Gravite ve Yükseklik

Gravite ve Yükseklik
Kamil Teke
Hacettepe Üniversitesi
Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisligi Bölümü
Yer’in gravite alanındaki degişimlere neden olan kitle
hareketleri
•
•
•
•
•
•
•
•
Katı Yer, okyanus ve atmosfer gel-gitleri
Okyanus akıntıları ve okyanus tabanı basıncı değişimleri
Yeraltı sularının kitle dağılımındaki değişimler (hidrolojik devir)
Jeoidin içindeki kitle dağılımı değişimi: konveksiyon akımları
Tektonik plaka hareketleri ve depremler
Post-glacial rebound
Global deniz seviyesi yükselmesi (1.8 mm/yıl) (Douglas, 1991)
Bölgesel deformasyonlar
•
•
Jeoidin belirlenmesi (basit örnek)
Topoğrafya ve serbest hava indirgemesi
(basit örnek)
Jeoidin belirlenmesi (basit örnek)
g P  g to p o  AT  F
g  g P   Q





 N
g 

In verse  S to kes
S to kes
 ( ,  ) W G S 84  C ( ,  )  N ( ,  ) W G S 84   E G M 2008
C ( ,  ) 
n m ax
n
  CC
n0 m 0
nm

cos m   C S nm sin m  P nm (cos  )
Bernhard Hofmann-Wellenhof ve Helmut Moritz (2006) Physical Geodesy, Second Edition, Springer, Wien, NewYork, ISBN-10
3-211-33544-7.
Pavlis, N.K., S.A. Holmes, S.C. Kenyon, and J.K. Factor, An Earth Gravitational Model to Degree 2160: EGM2008, presented at
the 2008 General Assembly of the European Geosciences Union, Vienna, Austria, April 13-18, 2008.
Gravite indirgemeleri (basit örnek)
B ouguer indirgem esi: A B  2  G  H  0.1119 H ( m gal ) eger   2.67 g cm
3
S pherical shell approxim ation: ASS  4  G  H  0.2238 H ( m gal ) eger   2.67 g cm
S erbest hava indirgem esi: F  

g
H
H


h
H
3
0.3086 H ( m gal )
  2  J 0  2  (serbest hava gravite gradyan ı)
2
h
O lgunlaştırılm ış Bouguer indirgem esi: g B  g  AB  At  F
Bouguer anom alisi:  g B  g B  
Franz Barthelmas (2009). Definition of functionals of the geopotential and
their calculation from spherical harmonic models. Scientific Technical
Report STR09/02. Deutsches Geoforschunszentrum, Potsdam.
Arazi düzeltmesi (basit örnek)
AT  A B  At
AT 
 A
g B  g  AT  F
Örnegin: EGM2008  DEM: SRTM 3’’(Dijital yükseklik/arazi modelleri)
IDEMS DEM ürünleri : SRTM, ACE, ACE2, ASTER, GLOBE, GTOPO30,
Topografya (topography/terrain) modelleri yüzey küresel harmonik fonksiyonlarina
dönüstürülebilir (Sneeuw, 1994).
n m ax
H ( ,  )  R 
n
  HC
n0 m 0
nm

cos m   H S nm sin m  P nm (cos  )
•
•
Gök cisimlerinin Yer’in dış gravite alanı
içeresinde oluşturduğu gel-git
potansiyellerinin hesabı
Gel-git jeoid çeşitleri
Ay’ın ve Güneş’in Yer’in dış gravite alanında oluşturdukarı
bozucu (gel-git) gravite potansiyelleri
V20 2.derece, 0. mertebe
küresel harmonik fonksiyonu:
Zonal gel-git potansiyeli (1 ay
boyunca). Uzun periyotlu gegitlerdir.
V21, 2.derece, 1. mertebe
küresel harmonik
fonksiyonu:
Tesseral gel-git potansiyeli
(1 gün boyunca). Günlük
periyoda sahip gel-gitlerdir.
V22, 2.derece, 2. mertebe
küresel harmonik fonksiyonu:
Sektoral gel-git potansiyeli (1
gün boyunca). 12 saat
periyoda sahip gel-gitlerdir.
Petit G., and Luzum B. (2010). IERS Conventions 2010, IERS Technical Note ; 36, Frankfurt am Main: Verlag des
Bundesamts für Kartographie und Geodäsie, ISBN 3-89888-989-6.
Gök cisimlerinin (Ay’ın, Güneş’in ve güneş sistemi gezegenlerinin) Yer’in
dış gravite alanı içerisindeki gel-git gravite potansiyelleri
V20+V21+V22: Toplam gel-git
potansiyeli
n m ax
V ( A)  G M

n2
V 20  G M
V 21 
V 22 
1
R
2
r
3
GM
3
1
12
GM
P2 0 (co s  ) P2 0 (co s p )
R
2
r
3
P2 1 (co s  ) P2 1 (co s p ) co s(    )
R
2
r
3
P2 2 (co s  ) P2 2 (co s p ) co s 2 (    )
R
r
n
n 1
Pn (co s  )
Gel-git tanımlarına göre jeoid çeşitleri (IERS Konvansiyonları)
• Ölçülen jeoid (instantaneous geoid) (t epogu):
• Ortalama (mean) jeoid (oşinografi) (≈mean ocean surface):
W = W0 = Vgeo + Vcentrifugal + Vtidalpermanent + Vdeformationpermanent
• Sıfır gel-git (zero-tide) jeoidi (Jeodezi):
W = W0 = Vgeopotential + Vcentrifugal + Vdeformationpermanent
• Gel-git bağımsız (tide-free) jeoid (Jeodezi)
(Tide-free crust : örnegin, ITRF2008, VTRF2008, ...)
W = W0 = Vgeo + Vcentrifugal
Petit G., and Luzum B. (2010). IERS Conventions 2010, IERS Technical Note ; 36, Frankfurt am Main: Verlag des
Bundesamts für Kartographie und Geodäsie, ISBN 3-89888-989-6.
Nominal love numbers
W = W0 = Vgeo + Vcentrifugal +
Vtidalpermanent + Vtidalperiodic +
Vdeformationpermanent + Vdeformationperiodic
•
Gravite potansiyeli alanı bileşenlerinin hesabı
• Bruns (T -> N)
• Stokes (∆g -> N) – yüzey integrali
• Pizetti (∆g -> T) – yüzey integrali
• Venning Meinesz (∆g -> (ƺ, ƞ) ) – yüzey integrali
Stokes formüllerinden jeoid ondülasyonunun hesabı
Stokes formülü –Stokes integrali (Stokes, 1849)
Determine the geoid from gravity data

N p ( ,  ) 
2
R
4  0
2
 
 ' 0
 ' 
 g ( ',  ')  S ( )  co s  ' d  ' d  '

2
 ,  : p hesap noktasının küresel cografi koo rdinatları
 ',  ' : kaynak noktan ın (yüzey elem anı) küresel cografi koordinatları
 : küresel uzaklık
S (  ): S tokes fonksiyonu
S (  )=
1
sin

 6 sin

 1  5 cos   3 cos  ln(sin
2
2
1
  cos [cos  cos  ' sin  sin  ' cos(  '   )]

2
 sin
2

2
)
Bruns formülünden jeoid ondülasyonunun hesabı
N 1 ( ,  ) 
W (0,  ,  )  U (0,  )

 (0,  )
N i 1 (  ,  )  N i (  ,  ) 
T (0,  ,  )
 (0,  )
Bruns formülü
(iteratif yaklaşım)
W ( N i ,  , )  U ( N i , )
 (0,  )
Gravite anomalilerinden (∆g) çekül sapması bileşenlerinin (ƺ, ƞ) hesabı
Venning Meinesz, 1928

 ( ,  ) 
1
4  0
2
2
 
 ' 0
 ' 
 g ( ',  ') 

dS ( )
d
 cos   cos  ' d  ' d  '
2

 ( ,  ) 
1
4  0
2
2
 
 ' 0
 ' 
 g ( ',  ') 

2
dS ( )
d
 sin   cos  ' d  ' d  '
Gravite anomalilerinden (∆g) bozucu potansiyel (T) hesabı
Pizetti, 1911

T p (r , ,  ) 
2
R
2
 
4
 ' 0
 ' 
 g ( R ,  ',  ')  S ( r , )  d  ' d  '

2
 ,  : p hesap noktasının küresel cografi koo rdinatları
 ',  ' : kaynak noktan ın (yüzey elem ani) küresel cografi koordinatları
 : küresel uzaklık
S (r,  ): S tokes fonksiyonu
S (r,  )=
2R
l
l

R
r
3
Rl
r
2

R
2
r
2
r  R c os   l 

cos   5  3 ln

2r


r  R  2 R r cos 
2
2
1
  cos [cos  cos  ' sin  sin  ' cos(  '   )]
•
Uydu gravite misyonlarına genel bakış
• GRACE
• GOCE
GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment )
uydu gravite misyonu
•
•
•
•
•
•
17 Mart 2002
Yükseklik : 300-500 km
Aralarindaki mesafe ~200 km
89°-kutupsal
Bilinmeyenler: Yerin gravite anomalileri
Ölçüler: iki uydunun arasındaki uzunluk
değişimleri
• German Space Agency's Challenging Minisatellite Payload (CHAMP) uydu
gravite misyonundan elde edilen deneyimler üzerine geliştirilmiş bir sistemdir.
• US Space Agency, NASA ve German Space Agency, DLR ortak projesidir.
• Her iki uydunun ağırlık merkezine yerleştirilmis ivme ölcerler uydulardaki
gravitasyonel olmayan ivmelenmeleri (örnegin, atmosfer sürüklenmesi) ölçer.
Böylece sadece gravitasyonel degisimlerin sonucu olusan ivmelenmeler
modellenebilir.
• Yer’in her ay, aylık ortalama global gravite alanı.
http://www.csr.utexas.edu/grace/
Ayan T. ve Akyılmaz O. (2006) Yeryuvarı gravite alanının Grace uydu verilerinden bulanık
çıkarım verileri ile modellenmesi. Harita Dergisi, 135, 10-25.
Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation (GOCE)
uydu gravite misyonu
•
•
•
Mart 2009.
Gradiometer iceren ilk uydu .
GRF ve ARF
Satellite to satellite tracking (SST) : GPSGOCE
• Satelite gravity gradiometer (SGG)
• SGG: gravite gradyanlari 10-6 x g (1 mgal),
jeoidi 1-2 cm duyarlikla belirliyor. Yarim
dalga boyu 100 km olan global gravite
alani.
• 3 ortagonal eksenin uclarinda (50 cm) 6
adet ivme ölcer iceren bir gradyometreye
sahip.
• İvmeölcerlerin prezisyonu : 10-12 ms-2 /Hz1/2
• SST: 1-2 cm dogrulukta GPS konum bilgisi ile
uzun dalga boylu gravite alani.
• Yildiz sensörleri ile gravimetre ölcülerinin
kombinasyonlarindan inersiyal uzaya göre
http://www.esa.int/SPECIALS/GOCE/; Rummel vd., 2004;
dönüklükler.
Karslıoglu M.O. (2006) Uydu gradyometresi ve GOCE uydusu. Harita Dergisi, 135, 26-41.
GOCE – Konum ve zaman referans sistemleri, ürünlerden örnekler
ARF -> GRF -> LORF -> EFRF -> IRF
GPST = TAI – 19s = UTC + 15
TAI-UTC=34s (1 temmuz 2012)
L2 Products
• GRF gravite gradyanlari
• LORF gravite gradyanlari
• Hassas yörüngeler
• GOCE gravite alani modeli
- V, ∆g, N, (ƺ,ƞ)
• Zamana bagli gravite
degisimlerinden
kaynaklanan gravite
gradyanlari düzeltmeleri.
...
Ext. Data: ERP (IERS), GPS orbit, clock, ground GPS station data (IGS), SLR data (ILRS), Atmosphere
(ECMWF), planetary ephemeris (JPL421-NASA), tide models, DTM, external info. of gravity field
http://www.esa.int/SPECIALS/GOCE/; Rummel vd., 2004;
Karslıoglu M.O. (2006) Uydu gradyometresi ve GOCE uydusu. Harita Dergisi, 135, 26-41.
•
Global Gravite Modellerinin Küresel
Harmonik Fonksiyonlara açılımları
( G M , a , C nm , S nm )  V ( r ,  ,  )
V
V
V
V
(G M
REF
,a
REF
, C nm , S nm )  U ( r ,  ,  )
(G M
REF
,a
REF
, C nm , S nm )  T ( r ,  ,  )
(G M
REF
,a
REF
(G M
REF
,a
REF
(G M
REF
,a
REF
U
U
T
T
,C
T
nm
,S
T
nm
,C
T
nm
,S
T
nm
,
,C
T
nm
,S
T
nm
N N
,
,
)   ( r ,  ,  ),  ( r ,  ,  )
 
,
T

)  N (r , ,  )
T
r

2

T )  g (r , ,  )
Kartezyen koordinatlar için Gradyan ve Laplace operatörleri,
Laplace kısmi diferansiyel denklemi
G radyan ( N abla ) operatörü:  
2









x

Laplace operatörü:      
 V

x

 V
g  V  
 y
 V

 z


i
y

2
x
2

2
y
 V 0
2
Hobson, 1931; Freeden, 1985; Bronshtein vd., 2004
j
2


z

k
(vektör)
2
z
2
(skaler)
Yerin dış gravite potansiyel alanı (Küresel Harmonik Fonk.)
yüzey küresel harmonik fonksiyonu
n
GOCE
GOCE

Y n ( ,  )   C nm cos m   S nm sin m   P nm (cos  )


m0
V (r , ,  ) 
GM
r
 C nm 


 S nm 
n m ax
n
a
  r  Yn ( ,  )

n0 
küresel harmonik fonksiyon
V=W-Z
 C nm 


2(2 n  1)( n  m ) !  S nm 
Pnm (cos  ) 
(n  m )!
2(2 n  1)( n  m ) !
(n  m )!
 Pnm (cos  )
 : jeosantrik enlem (  =90°-  )
 ' : jeodezik (elipsoidal) enlem (  ' =90°-  ' )
 : indirgenm is enlem (  =90°-  )
GOCE Level 2 product data handbook. Issue: 4.3. Doc. Nr: GOMA-HPF-GS-0110; Torge 2001
Normal gravite potansiyel alanı için küresel harmonik
fonksiyon Stokes katsayılarının hesabı
( a , f , GM ,  )  U ,  0 ,  h , ...
G M  REF
U (r , ) 

 C0

r 
C
REF
2k
n

REF
a
 
  r  C n P n (cos  ) 

n2(2) 

8

m e '  
2 
 (  1)
1  k  1 

3
3
q
(2 k  3)(2 k  1) 4 k  1 
0 

3e
k
n  2 k ( k  1, 2, 3, 4)
2k
 1; C 2
REF
REF
;C0
REF
; C4
REF
; C6
REF
; C8
 C GnmO C E ( s )   G M G O C E   a G O C E  n  C GnmO C E 




 GOCE ( s )   

REF  
REF  
GOCE
G
M
a

 


 S nm
 
 S nm 

GOCE Level 2 product data
handbook. Issue: 4.3. Doc.
Nr: GO-MA-HPF-GS-0110.
T  V  Z  (U  Z )
Cn0  Cn0
T
GOCE ( S )
 Cn
REF
; C 00  C 00
T
GOCE ( S )
n  0, 2, 4, 6, 8 hariç  C nm  C n 0
T
GOCE ( S )
1
; S nm  S n 0
T
GOCE (S )
Bozucu gravite potansiyeli, gravite anomalisi, jeoid yüksekligi, çekül
sapması bileşenlerinin küresel harmonik fonksiyonlara açılımı
T
T
Bozucu gravite potansiyellerinin küresel harmonik fonksiyona açılımı C nm
; S nm
T (r , ,  ) 
GM
r
n m ax
n
a
  r  Yn ( ,  )

n0 
T
T
; S nm
Gravite anomalilerinin küresel harmonik fonksiyona açılımı C nm
g  g P   Q
g (r , ,  ) 
GM
r
2
n
n m ax
a
(
n

1)

  Y n ( ,  ) 
r 
n0

T
r

Jeoid yüksekliklerinin küresel harmonik fonksiyona açılımı
n m ax
n
a
N (r , ,  ) 

  Y n ( ,  ) 
r n 0  r 
GM
N 
2
T
a
T
T
C nm ; S nm
T

T
T
Çekül sapması bileşenlerinin (ƺ, ƞ) küresel harmonik fonskiyona açılımı C nm
; S nm
  (r , ,  )

a 
a sin      ( r ,  ,  )
GOCE Level 2 product data handbook. Issue: 4.3. Doc. Nr: GO-MA-HPF-GS-0110.
 
1 N
;  
1
N
Yer’in gravite alanı küresel harmoniklerinin bazı özellikleri
n
(R /r) : potansiyel ondulasyonlarının genliklerinin küçülm e ve büyüm e ölçeği
V
V
V
V
V
C 10 , C 11 , S 11 : Jeoid ve norm al elipsoid orjinleri arasındaki kayıklıklar
C 21 , S 21 : Jeoidin dönm e kutbunun koordinatları (inersi yal tensör)
G ravite alan ının en küçük tem sil edilebilirlik çözünürlüğü
en kısa yarım dalga boyu  a m in ( n m ax ) 
R
n m ax


1
(1) veya a m in ( n m ax )  4 arcsin 
 (2)
 n m ax  1 
maksimum
derece
Stokes
katsayısı sayısı
çözünürlük
nmax
Cnm, Snm
[derece]
[km]
[derece]
[km]
75
5776
2.4
266.667
3.016
335.073
180
32761
1.0
111.111
1.266
140.690
360
130321
0.5
55.556
0.635
70.540
eşitlik (1)
eşitlik (2)
NGPS/Nivelman - Nglobal_gravity_model
Maksimum d/o : 360
Karesel ortalama hata (RMS) : cm
GRACE
GRACE
GRACE
GRACE
GOCE +
GRACE
GRACE
GGM03C
EIGEN-GLO4C
EIGEN-5C
EIGEN-51C
EIGEN-6C
EGM2008
till d/o 360
Europe
(1234)
33.3
33.6
30.2
28.8
27.5
26.9
Germany
(675)
18.8
17.8
15.2
14.8
15.4
14.2
Canada
(1930)
27.8
25.3
25.1
24.4
22.9
22.9
USA
(6169)
34.5
33.9
33.9
33.3
31.6
31.8
Australia
(201)
25.8
24.4
24.3
23.3
23.6
23.6
Bölge (nivelman
noktasi sayisi)
GRACE science team meeting program, 8-10 August 2011, Austin, Texas.
http://www.csr.utexas.edu/grace/publications
http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/
•
•
Yükseklik kavramı ve yükseklik çeşitleri
Düşey datum ve düşey kontrol ağları
(örnekler)
Yükseklik çesitleri ve nivelman ile bulunan yükseklik farkına
getirilen düzeltmeler
P
C  W 0  W p    dW 
 gdn
P0
 H AB   n AB  D C AB
dyn
H
dyn

C

45
0
B
D C AB 

g 0
A
0
gi   0
B

dn
0
A
 ni
 H AB   n AB  O C AB
*
H 
*
C
B
g
O C AB 

A
g i 
0
0
gA 0
 ni 
0
HA 
*
gB   0
0
*
HB
 H AB   n AB  N C AB
N
H
N

C

B
N C AB 

A
gi  
0
0
 ni 

A
 0
0
H
N
A


B
 0
0
N
HB
Bernhard Hofmann-Wellenhof ve Helmut Moritz (2006) Physical Geodesy, Second Edition, Springer, Wien, NewYork, ISBN10 3-211-33544-7.
Jeoid yüksekliği, yükseklik anomalisi, telluroid, kojeoid
H H
*
N
 N 
W ( h  N (  ,  ),  ,  )  U ( h  0,  )  U 0 jeoid ve elipsoid
W ( h ,  ,  )  U ( h   ,  ) topografya ve telluroid
 W ( hT ,  ,  )   U ( hT   ,  )   g ( hT ,  ,  ) Molodensky vd. 1962
Franz Barthelmas (2009). Definition of functionals of the geopotential and their calculation from spherical harmonic
models. Scientific Technical Report STR09/02. Deutsches Geoforschunszentrum, Potsdam.
Jeoid ve ortalama deniz seviyesi (MSL) ilişkisi
http://www.geod.nrcan.gc.ca/hm/msl_e.php
-1.8 m < mean SST (ODT) < + 1.2 m
(global ölcekte) (LeGrand et al. 2003)
Gravity for the Re-definition of
American Vertical Datum-GRAV-D
NGVD 1929; NAVD 1988
Amaç: Düşey datum sağlamak amaçlı gravite ölçülerine dayanan ülke ölçeğinde 2 cm
doğruluğunda hibrid yerel (gravimetrik) jeoid modeli oluşturmak.
Proje süresi : 10 yıl. 2021 yılında tamamlanması planlanıyor.
National Geodetic Survey (NGS-USA) GRAV-D projesi (Gravity for the Re-definition of
American Vertical Datum-GRAV-D)
• Uçaktan gravite ölçülerinin gerçekleştirilmesi (en iyi dogrulugu ~2 mgal )
• Yersel gravite ölçülerinin gerçekleştirilmesi
• Uydu altimetre ölçülerinden gravite anomalileri (dalga boyu: ~20 km ve gravite anomalisi
belirleme duyarligi ~5 mgal ) ve ortalama deniz yüzeyi modelleri
• Ulusal düşey kontrol ağı mareograf istasyonlarından belirlenen ortalama deniz seviyesi
Ulusal gravimetrik jeoid modeli
• Jeoid yüzeyinin yüksekliklerini, referans veya global elipsoid yüzeylerinden hesaplayan
modeller
• Gravimetrik jeoid modelleri
• Hibrid jeoid modelleri
• Gravimetrik çekül sapması modelleri
• Hibrid çekül sapması modelleri
http://www.ngs.noaa.gov/GRAV-D/
Hasan Yıldız (2012) Yükseklik Modernizasyonu Yaklasimi: Türkiye icin bir inceleme. Harita dergisi. 147, 1-12.
Kanada nivelman ağı ve
Kanada düşey datumu 1928 (CGVD28) modernizasyonu
NRCan/GSD
Nivelman-tabanlı düşey datumdan
Jeoid-tabanlı düşey datuma geçiş.
Avantajlar
• Mutlak (global) duyarlıkta iyileşme.
• GNSS, global uydu misyonlari ile tam uyum.
• Sürdürülebilirlik maliyeti az.
• Daglık arazilerde ortometrik yüksekliklerin elde
edilmesi.
Dez-avantajlar
• Sadece nivelman noktalarında değil tüm yüzey
noktalarında ortometrik yüksekliklerin hızlı ve az • GNSS teknolojilerine bağımlılık.
• Bağıl (ülke içi) düşey konum
maliyetle belirlenebilmesi.
doğruluğunun nisbeten düşük olması.
• Nivelman noktalarından çıkış almaya gerek
• Jeoid modellerinde girdi verilerin
kalmaması.
• Gelecek Uluslararası yükseklik standardlarIna uyum. duyarlıkları (örnegin: Stokes
integralinden önce gravite
• Yeni geliştirilen global jeoid modelleri ve uydu
anomalilerine getirilen topografya
gravite misyonları.
• Digital arazi/yükseklik modellerinin sürekli
indirgemesi)
iyileştirilmesi (ETOPO2, SRTM vd.).
Veronneau and Heroux (2007) Canadian Height Modernization: Rational, Status and Plans. Canadian
Geodetic Reference System Committe. GeoCongres, Quebec, Canada, 2-5 October 2007.
Avusturalya, Danimarka, Kanada, Finlandiya, Norveç, Isveç
nivelman ağı ve düşey datumu
• Avusturalya 1966-1968 yılları arasında 30 mareograf istasyonundan belirlediği
ortalama deniz seviyesini düşey datum olarak kullanmaktadır (Australian height
datum (AHD), 1971). Avusturalyanın düşey datumunda ve nivelman ağında
problemler var.
• Danimarka 1888-1900 yılları arasında 10 mareograf istasyonundan belirlediği
ortalama deniz seviyesini düşey datum olarak kullanmakta.
• Kuzey ülkeleri post-glacial rebound ve Avusturalya haricindeki tüm ülkeler tektonik
hareket problemleri ile karşılaşmış.
• Danimarka, Finlandiya ve Isveç nivelman noktalarındaki yükselme hızlarını
belirlemişler fakat bilimsel çalışmalar haricinde uygulacılarca pek dikkate alınmamış.
• Mareograf istasyonlarında deniz topografyasının (SST) izlenmesi ihmal edilmiş.
• Hepsinde ortalama deniz seviyesi (MSL) sıfır jeopotansiyel yüzey olarak düşünülmüş.
• Nivelman noktalarının bir kısmı tahrip olmuş.
• Uygulayıcılardan yükseklik datumunun yenilenmesine ilişkin bir talep gelmemiş.
• Tayvan, Kuoshio okyanus akıntısının neden olduğu büyük deniz topografyası (SST)
değişimlerine rağmen tek mareograf istasyonundan elde ettiği ortalama deniz
seviyesini (MSL) sıfır jeopotansiyel yüzey kabul etmis.
http://www.geod.nrcan.gc.ca/hm/docs_e.php: Height Reference System Modernization Documents
Teşekkür ederim
Ekler
Küresel kutupsal ve elipsoidal koordinat sistemleri
Yer’in gravite jeopotansiyelinin modellenmesinde
x  r sin  co s 
y  r sin  sin 
z  r co s 
  90   
;  : coğrafi enlem
Normal elipsoidin gravite potansiyelinin
modellenmesinde
x
u  E sin  cos 
y
u  E sin  sin 
2
2
2
2
z  u cos 
E 
a  b ( lineer eksentrisite )
2
2
u : noktadan gecen norm al elipsoidin
küçük yarı ekseni
  90   
1
;   tan (
b
a
tan  ) ( indiregnem iş enlem )
Gravitenin algılanması
•
•
•
•
Yunan filozof Aristotle (384-322 BC): Gravitasyon doğal bir olgudur. Maddelerin düşmesine
ve yükselmesine (gazlar için) neden olur. Ağır maddeler hızlı düşer(!)
Rönesans dönemi sonrası (15 yüzyil sonrası Avrupası)
Aristotle’den 2000 yıl sonra Galileo Galilei (1564-1642): Gözlem ve ölçülerin bilimsel analizi
ile tüm maddelerin aynı ivemelenme ile yere düştüklerini buldu (fizikçiler icin devasa bir
gelişmedir).
Johannes Kepler (1571-1630): Gezegenlerin yörünge hareketlerini modelleyerek yörüngeler
kanunu, alanlar kanunu ve periyotlar kanunu yani gezegensel hareket yasalarını buldu.
Issac Newton (1642-1727): Tek bir yasa (gravitasyon yasası) bularak tüm evrenin dinamiğini
açıklamayı başardı (Philosophiae Naturalis principia mathematica, 1687).
F G
m1 m 2
l
•
•
•
•
•
2
n

g G
m
l
2
n

V 
Gm
l
Pierre Bouguer 1735-1743 yılları arasında Peru’da ilk gravite (mutlak gravite) ölçüsünü
pendulum aleti ile yaptı.
Lagrangre (1736-1813), Gauss (1777-1855) ve Green (1793-1841): Gravitasyonel ivmelenme
ve gravite potansiyeli alanlarını geliştirdi.
Albert Einstein (1879-1955): Genel relativistik teorisi ile gravite alanlarının bir hıza sahip
oldugunu ve bu hızında evrenin eşik hızı olan ışık hızına eşit olduğunu buldu. Işıgın uzayda
gravite egrileri boyunca yol aldığını buldu.
Friedrich Robert Helmert (1843-1917): EKK (Carl Friedrich Gauss, jeodezide EKK), koordinat
dönüsümleri ve bir cok jeodezik problemlere iliskin model geliştirdi.
Stokes, 1849; Pizetti, 1911; Venning Meinesz, 1928; Kellog, 1953; Modelensky, 1962;
Heiskanen ve Moritz, 1967; Günter, 1967; Hotine, 1969; Pick vd., 1973; Vanicek ve
Krakiwsky, 1982; Moritz, 1989; Jekeli, 1988; Hofmann Wellenhof ve Moritz, 2005; ...
Gravite potansiyeli
V 
GM
(N okta kitle potansiyeli)
l
S ürekli yo ğunluk dağılım ına sahip kitle pota nsiyeli
V ( x, y, z )  G   
W = V + Z= G   
V (r , ,  ) 
GM
r

l
 ( x ', y ', z ')
( x  x ')  ( y  y ') ( z  z ')
2
dv 
1
2
 (x  y )
2
2
2
dx ' dy ' dz '
2
(Y er'in gravite potansiyeli)
2
(r  R )
(S abit yo ğunluk dağılım ına sahip küre potans iyeli)
Dirichlet (birinci) sınır değer problemi
V erilen: s küre yüzeyinde, V s ( R ,  ',  ')  kaynak
Aranan: s küre yüzeyi d ışında, V ( r ,  ,  )  hedef
1
  cos [cos  cos  ' sin  sin  ' cos(  '   )]
Y n ( ,  ) 
2n  1
4
n m ax
2
Kaynak ile hedef arasındaki
küresel uzaklık

 
V s ( R ,  ',  ') P n (cos  ) sin  ' d  ' d  '
 ' 0  ' 0
R
V (r , ,  )    
n0  r 
n 1
Y n ( ,  )
V s ( R ,  ',  ')

r
V (r , ,  )
R
V s ( R ,  ',  ')
V s ( R ,  ',  ')
V s ( R ,  ',  ')
Neumann (ikinci) sınır değer problemi
V erilen: s küre yüzeyinde,
Vs
(n yüzey norm ali do ğrultusu )  kaynak
n
A ranan: s küre yüzeyi d ışında, V ( r ,  ,  )  hedef
1
  cos [cos  cos  ' sin  sin  ' cos(  '   )]
Y n ( ,  ) 
2n  1
4
2

 
 ' 0  ' 0
n m ax
R
V (r , ,  )   R   
n0  r 
Vs
n
n 1
Kaynak ile hedef arasindaki
küresel uzaklik
P n (cos  ) sin  ' d  ' d  '
Vs
Y n ( ,  )
n
n 1

r
V (r , ,  )
R
Vs
n
Vs
Vs
n
n
n
Robin (üçüncü) sınır değer problemi
V erilen: s küre yüzeyinde, hV s  k
Vs
n
(n yüzey norm ali do ğrultusu )  kaynak
A ranan: s küre yüzeyi d ışında, V ( r ,  ,  )  hedef
Kaynak ile hedef arasındaki
küresel uzaklık
1
  cos [cos  cos  ' sin  sin  ' cos(  '   )]
Y n ( ,  ) 
2n  1
4
n m ax
2

Vs 

hV

k
 P n (cos  ) sin  ' d  ' d  '
   s
n 
 ' 0  ' 0
R
V (r , ,  )    
n0  r 
n 1
Y n ( ,  )
hV s  k
Vs
n
h  ( k / R )( n  1)
2

R  Jeoid ondülasyonları hesaplanırken
k   1 
Vs
hV s  k
n
h

r
V (r , ,  )
R
N
T
g
hV s  k
 ,
hV s  k
Vs
n
n
Vs
n
Poincare ve Prey gravite indirgemesi
P
gQ  g P 
g
 H
dH
Q
g
H

h
g
H
  2 gJ  4  G   2 
  2  J 0  2


h
2
 4  G    0.3086  0.2238   0.0848 gal km
g Q  g P  0.0848( H
•
•
•
2
P
1
HQ )
W=WQ üzerindeki tüm kitleleri kaldır. P noktasında ölçülen g’den çıkar.
P noktasından Q noktasına g’ ye serbest hava indirgemesi yap.
Kaldırdığın kitleleri yerine koy.
gP P noktasında ölçülen gravite
1- Bouguer plakasını kaldır....................................................... – 0.1119(HP – HQ)
2- P den Q ya serbest hava indirgemesi yap............................ + 0.3086 (HP – HQ)
3- Bouguer plakasını ekle......................................................... – 0.1119(HP – HQ)
Q daki gravite ............... g = gP + 0.0848 gal km-1 x (HP – HQ) km
Bernhard Hofmann-Wellenhof ve Helmut Moritz (2006) Physical Geodesy, Second Edition, Springer, Wien, NewYork, ISBN-10
3-211-33544-7.
Normal elipsoidin dış gravite potansiyel alanı
N o rm al elip so id p aram etreleri: a , f , G M , 
u : noktadan geçen norm al elipsoidin küçük yarı ekseni
 : noktanın indirgenm iş enlem i
U (u ,  )  V (u ,  ) 
1
 (x  y )
2
2
2
2
U (u ,  ) 
GM
E
tan
1
E
u

1
 a
2
q
2
2
q0
2
1 
u 
u 
1 E
q    1  3 2  tan
3 
2 
E 
u
E
2
1 
b 
b
1 E
q 0    1  3 2  tan
3 
2 
E 
b
E
(sin  
2
1
3
)
1
2
 ( u  E ) cos 
2
2
2
2
Herhangi bir enlem ve yükseklikteki noktanın normal gravitesi
(a, f , G M ,  )
a  p sin   b  e cos 
2
 
2
2
2
2
 e :   0  : ekvatordaki norm al gravite
 p :    90  : kutuplardaki norm al gravite
a  e cos   b  p sin 
2
 
indirgenmiş enlemden (β) normal gravite hesabı
a sin   b cos 
2
2
cografi enlemden (ϕ) normal gravite hesabı
a cos   b sin 
2

2
2
2
2
3

 h   1  (1  f  m  2 f sin  ) h  2 h 
a
a


f 
2
2
ab
a
 a b
2
m 
2
GM
h : noktanın sferoid yüzeyinden yüksekliği
Bozucu gravite, gravite anomalisi
 W (h,  , )   U (h, )   g (h,  , )
 W ( h  N ,  ,  )   U ( h  0,  )   g ( h  N ,  ,  )
Molodensky vd. 1962
 W ( hT ,  ,  )   U ( hT   ,  )   g ( hT ,  ,  )
Yer’in gravite alanı küresel harmoniklerinin bazı özellikleri
( n m ax  1) : harm onik katsayıların sayısı
2
n
(R /r) : potansiyel ondulasyonlarının genliklerinin
küçülm e (dow nw ard continuation) ve büyüm e (altitude) ölçeği
V
V
V
V
V
C 10 , C 11 , S 11 : Jeoid ve norm al elipsoid orjinleri aras ındaki kayıklıklar
C 21 , S 21 : Jeoidin ortalam a dönm e kutbunun koord inatları (inersiyal tensör)
G ravite alan ının en küçük tem sil edilebilirlik çözünürlü ğü
en kısa yarım dalga boyu  a m in ( n m ax ) 
R
n m ax


1
(1) veya a m in ( n m ax )  4 arcsin 
 (2)
 n m ax  1 
maksimum
derece
Stokes
katsayısı sayısı
çözünürlük
nmax
Cnm, Snm
[derece]
[km]
[derece]
[km]
75
5776
2.4
266.667
3.016
335.073
180
32761
1.0
111.111
1.266
140.690
360
130321
0.5
55.556
0.635
70.540
eşitlik (1)
eşitlik (2)
Ölçüler
• Global Gravite Ölçüleri
– GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment)
– GOCE (Gravity and Ocean Explorer)
– Uydu altimetresi (Inverse Stokes)
• Bölgesel gravite ölçüleri
– Uçaktan gravite ölçüleri
– Denizden gravite ölçüleri
– Yersel gravite ölçüleri
• Mutlak (1-2 mm)
• Bağıl
Astrojeodezik çekül sapması bileşenleri (ƺ, ƞ)
   
  (    ) cos 
jeoid norm ali n , astronom ik koordinatlar  , 
elipsoid norm ali n ' , elipsoidal koordinat lar  , 
Bernhard Hofmann-Wellenhof ve Helmut Moritz (2006)
Physical Geodesy, Second Edition, Springer, Wien, NewYork,
ISBN-10 3-211-33544-7.
Çekül sapması bileşenlerinin (ƺ, ƞ) küresel harmonik fonskiyona açılımı
 
1 N
a 
;
 
n m ax
a sin   
a
 (r , ,  ) 

 
a  r   0 n0  r 
GM
N
1
n
n

 C nm cos m   S nm sin m  
T
 Pnm (cos  )

m0
n m ax
a
 (r , ,  )  
 
a  r   0 sin  n  0  r 
GM
T
n
n
 mC
T
nm
sin m   m S nm cos m  Pnm  cos 
T
m0

 2 n ( n  1) Pn ,1 (cos  )
 Pn , m (cos  ) 
2

2 n ( n  1) Pn ,0 (cos  )  ( n  1)( n  2) Pn ,2 (cos  )


 ( n  m )( n  m  1) Pn , m 1 (cos  )  ( n  m )( n  m  1) Pn , m  1 (cos  )
GOCE Level 2 product data handbook. Issue: 4.3. Doc. Nr: GO-MA-HPF-GS-0110.
( m  0) 

( m  1) 

( m  1) 


Dru A. Smith (1997) The impact of the permanent tide on GEOID96, G96SSS and NAVD88.
Presented at the spring meeting of the American Geophysical Union, Baltimore, Maryland, 27
May 1997.
Dru A. Smith (1997) The impact of the permanent tide on GEOID96, G96SSS and NAVD88.
Presented at the spring meeting of the American Geophysical Union, Baltimore, Maryland, 27
May 1997.
Dru A. Smith (1997) The impact of the permanent tide on GEOID96, G96SSS and NAVD88.
Presented at the spring meeting of the American Geophysical Union, Baltimore, Maryland, 27
May 1997.
Yükseklik anomalisi ve Telluroid (Hirvonen, 1960, 1961)
Her P topografya noktasındaki gerçek gravite potansiyeline (Wp) eşit olan normal gravite
potansiyeline (UQ) sahip bir Q noktası vardır. Q noktalarının oluşturduğu yüzeye Telluroid
denir.
Ellipsoid height = normal height + height anomaly
h H
N

 hH
N
W (h,  , )  U (h   , )
Yerin dış gravite potansiyel alanı (Küresel Harmonik Fonk.)
n
Y n ( ,  ) 
  C
m0
nm
cos m   S nm sin m   P nm (cos  ) yüzey küresel harmonik

fonksiyon
n
n m ax

GM 
a
V (r , ,  ) 
1     Y n ( ,  )  küresel harmonik fonksiyon : V = W - Z
r 
n2  r 

V : Jeo id (sın ır yü zey) d ışın d a b ir n o k tan ın jeo p o tan siyeli
r : Y er'in m erk ezin d en rad yal u zak lık
( ,  ) : K ü resel k u tu p sal k o o rd in atlar
 : H esap n o k tasın ın Y er m erk ezli k o -en lem i
G : N ew to n g ravitasyo n sab iti
M : Y er'in atm o ferid e k ap sayan k itlesi
8
3
G M : ö rn eg in : 3 9 8 6 0 0 4 .4 1 5 × 1 0 m s
-2
(E G M 2 0 0 8 )
a : Y er elip so id in in ek vato ral yarıçap ı (ö rn eğ in :6 3 7 8 1 3 6 .3 m : E G M 2 0 0 8 )
P n m : n o rm alleştirilm iş L eg en d re F o n k sio n u
n , m : d alg a n u m araları (d erece, m erteb e)
Torge 2001; Hofmann-Wellenhof ve
Moritz, 2005; Pavlis vd., 2008
GRACE uydularindaki ölcü aletleri
KBR (K-band ranging system): Iki uydu arasindaki mesafeyi 10-6 metre (sac kili genisligi) duyarlikta
belirleyen uzunluk ölcme sistemi. Iyonosfer gecikmesinin modellenmesi icin iki farkli frekans (K-band : 24 ve
Ka-band: 32 GHz) kullanir.
USO (Ultra Stable Oscillator): KBR uzunluk ölceri icin frekans duyarligi cok yüksek oscilatör (dalga üreteci).
ACC (SuperSTAR Accelorometers): Uyduya etkiyen gravitasyonel olmayan ivmelenmeleri duyarli olarak
ölcer.
(SCA) Star Camera Assembly: Yildizlarin konumlarina göre iki uydunun birbirlerine olan dönüklüklerini
ölcer.
(MTA) Center of Mass Trim Assembly: uydunun agirlik merkezi ile ivmelenme merkezi arasindaki ofsetleri
ölcer.
(GPS) Black-Jack GPS Receiver and Instrument Processing Unit: Uydularin hassas konumlarini GPS
uydularina olan mesafelerin ölcümü sonucu belirler.
GSA (Globalstar Silicon Solar Cell Arrays): Uydunun enerjisini saglayan ve dis kisimini saran paneller.
http://www.csr.utexas.edu/grace/