Transcript 貪婪演算法
演算法設計報告
貪婪演算法
資工四乙
96360750
程建銘
1
Greedy algorithm
又稱(貪婪演算法)，是一種在每一步選擇中都
採取在當前狀態下最好或最優（即最有利）的
選擇，從而希望導致結果是最好或最優的演算
法。比如在旅行推銷員問題中，如果旅行員每
次都選擇最近的城市，那這就是一種貪婪演算
法。
貪婪法可以解決一些最優化問題，如：求圖中
的最小生成樹、求哈夫曼編碼..對於其他問題，
貪婪法一般不能得到我們所要求的答案。一旦
一個問題可以通過貪婪法來解決，那麼貪婪法
一般是解決這個問題的最好辦法。由於貪婪法
的高效性以及其所求得的答案比較接近最優結
果，貪婪法也可以用作輔助演算法或者直接解
決一些要求結果不特別精確的問題
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Minimum Spanning Tree（ MST ）
無向圖(undirected graph)是指該圖的邊線不具方
向性，在圖中以沒有箭頭的實線來表示；其中邊
線是指介於兩個頂點之間的線。
路徑(path)唯一連串頂點所組成的序列。
連通(connected)指在無向圖中兩兩頂點間都存在
一條路徑。
簡單循環(simple cycle)就是指一條至少包含三個
頂點，並且是由其中某一頂點出發、經過不同的
中點、回到該頂點的路徑。
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非環狀(acycliic)是指無向圖中找不到任何
的simple cycle
樹(tree)唯一無向連通非環狀圖
(acyclic,connected, undirected)
有根樹(rooted tree)為以某個頂點為根的
樹，因此有根樹通常也被直接稱為樹
4
Prim演算法
5
Prim演算法
是圖論中的一種演算法，可在加權連通
圖裡搜索最小生成樹。意即由此演算法
搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包
括了連通圖裡的所有頂點，且所有邊的
權值之和亦為最小。
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Prim演算法用於解決最小生成樹
問題
輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為V，邊集合為E；
初始化：Vnew = {x}，其中x為集合V中的任一節點（起始
點），Enew = {}；
重複下列操作，直到Vnew = V：
在集合E中選取權值最小的邊（u, v），其中u為集
合Vnew中的元素，而v則不是（如果存在有多條滿足
前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中
之一）；
將v加入集合Vnew中，將（u, v）加入集合Enew中；
輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小生成樹。
7
7
時間複雜度
通過鄰接矩陣圖表示的簡易實現中，找
到所有最小權邊共需O（V2）的運行時
間。使用簡單的二叉堆與鄰接表來表示
的話，prim演算法的運行時間則可縮減
為O(E log V)，其中E為連通圖的邊數，
V為頂點數。
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此為原始的加權連通圖。每條邊一
側的數字代表其權值
頂點D被任意選為起始點。頂點A、
B、E和F通過單條邊與D相連。A是
距離D最近的頂點，因此將A及對應
邊AD以高亮表示。 C, G(不可選) A,
B, E, F(可選) D(已選)
下一個頂點為距離D或A最近的頂點。
B距D為9，距A為7，E為15，F為6。
因此，F距D或A最近，因此將頂點
F與相應邊DF以高亮表示。 C, G
(不可選) B, E, F (可選) A, D (已選)
9
演算法繼續重複上面的步驟。距離
A為7的頂點B被高亮表示。 C(不可
選) B, E, G(可選) A, D, F(已選)
在當前情況下，可以在C、E與G間
進行選擇。C距B為8，E距B為7，G
距F為11。E最近，因此將頂點E與
相應邊BE高亮表示。無(不可選) C,
E, G (可選) A, D, F, B (已選)
可供選擇的頂點只有C和G。C距E
為5，G據E為9，故選取C，並與邊
EC一同高亮表示。 無(不可選) C, G
(可選)A, D, F, B, E (已選)
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頂點G是唯一剩下的頂點，它距F為
11，距E為9，E最近，故高亮表示G
及相應邊EG。 無(不可選) G (不可
選) A, D, F, B, E, C (已選)
現在，所有頂點均已被選取，圖中
綠色部分即為連通圖的最小生成樹。
在此例中，最小生成樹的權值之和
為39。
無 (不可選)無(不可選) A, D, F, B, E, C,
G (已選)
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Kruskal 演算法
Kruskal演算法是每次選取最小權重值的邊，不用從
某頂點出發，然後檢查是否形成迴路，會形成迴路
的邊不能取用，因為是由小到大取邊以形成生成樹，
所以可建構最小成本生成樹（MST）。一個有n個頂
點的相連圖形，其Kruskal的演算步驟如下：
◦ 1.邊的權重值先由小到大排序。
◦ 2.從所有未走訪的邊中取出最小權重值的邊，記
錄此邊已走訪，檢查是否形成迴路。
(1)形成迴路，此邊不能加入MST中，回到步驟2。
(2)未形成迴路，此邊加入MST中，如果邊數已達
（n-1）條則到步驟3，否則回到步驟2。
◦ 3.Kruskal可以找出MST，結束。
Kruskal 演算法
輸入：圖形G=(V,E),|V|=n， W( ei )為 ei 上的加權值
*/
輸出：T、T是圖形G的最小成本生成樹
Kruskal()
{
while((T的邊數<=n-1)&&(E邊的個數不為0))
{
從E中選出最小權重值的邊ei
從E中刪除ei
if (ei加入T中不會形成迴路)
加入ei到T中
}
if(T的邊數<(n-1))
輸出 “G無最小成本擴張樹”;
else
輸出 T;
}
13
13
Kruskal 時間複雜度
假設有一個n個頂點e條邊的相連圖形作
Kruskal演算法，必須先對邊進行排序，所
需時間O(e log e)，所建立的E如果是陣列，
則演算法虛擬碼的第4行的時間是O(e)，如
果用堆積來存放邊，則第4、5行每次取出最
小邊和刪除的最平均時間是O(log e)，最差
情況要對所有的邊皆處理，則其時間為O(e
log e)，所以Kruskal演算法的時間複雜度
為O(e log e) 或者是O(n2 log n)，因為
e=O(n2)。
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(1)建立邊由小到大的排序
5
1
2
2
13
20
3
15
8
0
10
5
4
1
3
4
(4)取出(0,2)建立邊
(3,4)
1
(0,1)
2
(0,2)
3
(4,5)
4
(1,2)
5
(2,4)
8
(0,4)
10
(1,3)
13
(2,5)
15
(0,3)
20
0
1
0
3
4
(6)取出(1,2)形成迴路
不建立邊
2
1
0
3
4
(3)取出(0,1)建立邊
2
1
1
3
(5)取出(4,5)建立邊
2
1
0
5
5
4
3
(7)取出(2,4),建立邊,已
達6條邊,結束。
2
1
0
3
(2)取出(3,4)建立邊
5
4
4
3
邊
權重值
MST邊
(3,4)
(0,1)
(0,2)
1
2
3
要
要
要
(4,5)
(1,2)
(2,4)
(0,4)
(1,3)
(2,5)
(0,3)
4
5
8
10
13
15
20
要
不要
要
4
權重值總和
=1+2+3+4+8=18
不檢查
不檢查
不檢查
不檢查
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Prim演算法 VS
Kruskal演算法
Kruskal演算法有一個特色。如果原圖並非連通，找出來的
邊仍然具有「權重最小」且能「連結圖上各點」
的性質。但 Prim's Algorithm 則無法處理不連通的圖。
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Gabow's Algorithm
用途:
在無向圖上，求出一棵最大（小）生成樹，再
求出權重最接近最小（大）生成樹的另一棵生
成樹。
當圖上每條邊的權重都不一樣時，才保證能求
出權重次小（大）的生成樹。一般情況下，有
可能求出另一棵最小（大）生成樹。
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演算法
最小生成樹改了一條邊，就能變成次小生成樹，因此
可以試著窮舉此條邊。
1.先求出一棵最小生成樹。
2. 求出樹上任兩點ij之間，權重最大的邊，記為E(i,j)。
3. 窮舉每一條不在最小生成樹上的邊pq： 甲、把邊
pq添加到最小生成樹上，勢必形成環。 乙、
然後移除邊E(p,q)，勢必又形成樹，此樹權重已
然盡量少。 丙、記下此樹。
4. 剛剛得到的E-(V-1)棵樹之中，權重最小者便是次小生
成樹。
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時間複雜度
為下述三項總和
一、建立一棵最小生成樹，看是用哪種演算法；
二、建立 E(i,j) 的時間，等同於求樹上所有兩
點之間的距離，為 O(V^2) ；
三、窮舉邊 pq 與增減一條邊的時間，共 O(E) 。
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霍夫曼編碼
霍夫曼編碼(Huffman Coding)是一種編碼方式，是一種用於無
損數據壓縮的權編碼)演算法
在電腦資料處理中，霍夫曼編碼使用變長編碼表對源符號（如文
件中的一個字母）進行編碼，其中變長編碼表是通過一種評估來
源符號出現機率的方法得到的，出現機率高的字母使用較短的編
碼，反之出現機率低的則使用較長的編碼，這便使編碼之後的字
元串的平均長度、期望值降低，從而達到無損壓縮數據的目的。
霍夫曼樹又稱最優二叉樹，是一種帶權路徑長度最短的二叉樹。
所謂樹的帶權路徑長度，就是樹中所有的葉結點的權值乘上其到
根結點的路徑長度（若根結點爲0 層，葉結點到根結點的路徑長
度爲葉結點的層數）。樹的路徑長度是從樹根到每一結點的路徑
長度之和，記爲WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)，N個
權值Wi(i=1,2,...n)構成一棵有N個葉結點的二叉樹，相應的葉結點
的路徑 長度爲Li(i=1,2,...n)。可以證明霍夫曼樹的WPL是最小的。
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演算法
一、對給定的n個權值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}構
成n棵二叉樹的初始集合{T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其
中每棵二叉樹Ti中只有一個權值為Wi的根結點，
它的左右子樹均為空。（為方便在計算機上實現
算 法，一般還要求以Ti的權值Wi的升序排列。）
二、在F中選取兩棵根結點權值最小的樹作為新構
造的二叉樹的左右子樹，新二叉樹的根結點的權
值為其左右子樹的根結點的權值之和。
三、從F中刪除這兩棵樹，並把這棵新的二叉樹同
樣以升序排列加入到集合F中。
四、重複二和三兩步，直到集合F中只有一棵二叉
樹為止。
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用C語言實現上述算法，可用靜態的二叉樹或動態的二叉樹。若用動態的二叉
樹可用以下數據結構： struct tree{
float weight; /*權值*/
union{
char leaf; /*葉結點信息字符*/
struct tree *left; /*樹的左結點*/
};
struct tree *right; /*樹的右結點*/
};
struct forest{ /*F集合，以鏈表形式表示*/
struct tree *ti; /* F中的樹*/
struct forest *next; /* 下一個結點*/
};
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如圖:
這個句子「this is an example of a huffman
tree」中得到的字母頻率來建構霍夫曼樹。
句中字母的編碼和頻率如下。編碼此句子句
子需要135 bit（不包括保存樹所用的空間）
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END
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