Modélisation des séries de taux de pluie haute résolution par des processus multiplicatifs intégrés

Louis de Montera LATMOS (Laboratoire Atmosphères Milieux et Observations Spatiales) 10 12 avenue de l’Europe, 78140 Vélizy-Villacoublay [email protected]

1

I/a Turbulences et cycle de l’eau

La pluie est fortement liée aux turbulences: Turbulences

Soleil

Énergie répartie uniformément

Vapeur d’eau

Énergie Localisée

Nuages

Énergie Localisée +

Pluie

Énergie Localisée ++ Modèle phénoménologique (Richardson 1922) : L’énergie injectée à grande échelle est transférée aux échelles plus petites par une hiérarchie de tourbillons de plus en plus petits, jusqu’à l’échelle de dissipation.

Éruption du Mont Saint Helens (Mai1980)

=> Modélisation de l’intensité de la pluie par des cascades multiplicatives

2

I/a Cascades multiplicatives : formalisation

La méthode de construction est indépendante de l'échelle.

  2 0 -2 0 1.05

1 0.95

0 1.5

1 0.5

0 4 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 1000 1000 1000 1000 1000 1000   1 2000 3000   2 2000 2000 2000 2000   4   8 ...

3000 3000 3000   16 2000 3000 3000 10 5 0 0 10 5 0 0 10 5 0 0 20 10 0 0 20 10 0 0 40 20 0 0 1000 1000 1000 1000 1000 1000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 Cascade multiplicative: 1/ Distribuer une quantité Φ uniformément 2/ Découper en sous-intervalles 3/ Multiplier par un poids

w n/n+1

aléatoire 4/ Répéter 2 et 3 avec des résolutions λ de + en + fine

=> Propriétés d'invariance d'échelle

3

I/a Cascades multiplicatives: invariance d'échelle des moments

Loi d’invariance d’échelle des moments (multifractale): Fonction d'échelle des moments Moment d'ordre

q (pas nécessairement entier)

 

q

  Cascade à la résolution λ Résolution 3 4 5

Log

(  

q

) q=3 2 1 0 -1 0 2 4 6 8 logarithme de la résolution 10 10 h.

10 mn 10 s.

12

Log

Vérification expérimentale et estimation de K(q) q=2 q=0 4

I/a Cascades multiplicatives: Multifractales Universelles

On suppose un processus continu: une échelles (Schertzer & Lovejoy, 1987, 1997) .

infinité de ‘pas multiplicatifs’ entre deux

w

  

w n n

 1 

ln(

w

)

  

w

 1  i.i.d.

=> Il existe un attracteur universel

Distributions de Lévy (Gaussienne en noir) 5

I/a Cascades multiplicatives: Flux Intégré Fractionnairement (FIF)

Multifractales Universelles:

K

(

q

)

 

C

1 

1



q

 

q

 • •

α,

0->2, degré de multifractalité

C 1

,0->1, normalisation, codimension fractale moyenne De plus, comme en turbulence, la cascade est

intégrée

:

R



I H

(



 ) 

t H

•

H

: dépendance à long-terme, lissage

Loi de Kolmogorov (1941):

 1 / 3 

x

1 / 3

En turbulence, seuls les gradients ont un sens.

20 15 25 Cascade continue Φ λ (H=0) 10 5 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 temps, intervalles de 10s.

1600 1800 2000 Intégration fractionnaire (H=0.5) Taux de pluie

R

(FIF) 6 3 2 5 4 1 0 11 10 9 8 7 0.5

1 1.5

2 temps, en s.

temps,s.

2.5

3 3.5

x 10 4 6

I/b Données haute résolution: le spectropluviomètre bi-faisceau (DBS)

Le Dual-Beam Spectropluviometer (DBS) permet de mesurer le

de chute

et le

temps d’arrivée

des gouttes de pluie.

diamètre

, la

vitesse

•Grande Surface de collecte (100cm 2 ) •Restitution précise de la vitesse de chute •Peu sensible aux fausses détections dues aux turbulences 7

I/b Données haute résolution: les séries de taux de pluie

3 bases des données expérimentales (résolution≈30s): Expérience SIRTA DEVEX AMMA Lieu Paris, France Iowa, USA Djougou, Benin Durée 3 mois 4 mois 2 mois Période de mesure Du 01/04/2000 au 30/06/2000 Du 01/04/2002 au 31/07/2002 Du 15/07/2006 au 15/09/2006 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 50 100 Temps, mn.

150 200 250 8

I/b Données haute résolution: analyse

Paramètres proposés dans la littérature (séries complètes, résolution=1h) :

α

≈0.4,

C 1

≈0.55,

H

≈0 Analyse évènement par évènement (pas de données à zéro, résolution=30s) : Experiment SIRTA DEVEX AMMA All data α 1.740 ±0.090

1.683 ±0.075

1.687 ±0.082

α=1.703

±0.084

C

1 0.131 ±0.051

0.130 ±0.024

0.127 ±0.022

C 1

=0.129

±0.034

H

0.421 ±0.130

0.537 ±0.105

0.645 ±0.107

H=0.534

±0.144

=> Les paramètres obtenus à basse et haute résolution sont différents

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I/c L'intermittence: un effet sous estimé?

Deux lois d’échelle différentes à basse et haute résolution?

• Pas de justification précise pour

H

=0 • La turbulence est une cascade intégrée, or si cascade pure stationnaire...

H

=0, le taux de pluie est une • Un processus peut-il être intégré ou non-intégré selon la résolution?

=> Hypothèse difficilement soutenable

Un artefact à basse résolution dû à l’intermittence ‘

on-off

’?

• Les valeurs à 0 représentent 95% des données.

• Le modèle FIF n'est pas fait pour générer des périodes sans pluie.

• L'analyse multifractale a-t-elle un sens sur une période sans pluie?

=> Hypothèse plus vraisemblable

10

I/c L'intermittence: effet sur les paramètres

Présence d’intermittence:

=> Cassure des relations d'invariance d'échelle des moments

8 6 4 2 0 0 1 Time, s.

x 10 4 2 4 2 0 -2 0 5 Resolution octave 10 8 6 4 2 0 0 2 Time, s.

4 x 10 5 6 15 10 5 0 -5 0 5 10 Resolution octave 15 0 10 5 0 10 5 0 10 5 0 10 1 2 3 4 5 6 7 8 5 1 1 2 3 2 4 1 À une résolution suffisamment faible, le changement de résolution correspond à la dégénérescence d'une fonction créneau:

=> On montre que α→0, C1→1 et H→0

11

I/d Modèle de séries de taux de pluie: FIF 'à seuil'

Est-il possible de reproduire artificiellement la loi d’échelle à basse résolution?

1/ Simulation d'un FIF avec les résolution paramètres à haute 2/ Introduction de l'intermittence à l'aide d'un seuil α≈1.75, C1≈0.15,H≈0.6 (Gagnon et al. 2006) 40 20 0 0.6

0.8

1 Time, mn 1.2

1.4

1.6

x 10 4 15 10 5 0 0.6

0.8

1 Time, mn 1.2

1.4

1.6

x 10 4 Simulation série temporelle de taux de pluie Simulation d’image radar 2D 12

I/d Dimension fractale: les poussières de Cantor (1882)

Facteur de changement d’échelle = 3 Résolution à l’échelle n: 3 n Nb segments noirs à l’échelle n: 2 n Définition de la dimension et de la codimension fractale:  

D F

 2

n

soit 

D

 

C F F

 log 2 / log  1 

D F

3

I/d Modèle de séries de taux de pluie: validation

On choisit le seuil afin de reproduire précisément l'intermittence de la pluie.

5

Scaling des moments, données AMMA

‘Box-counting’ 0

Df=0.82

-5 5 5 10

Simulation FIF à seuil

1  1

D f

15 0 Lavergnat & Golé (1998) -5 0 5 10 log (résolution)

=> Le modèle reproduit la cassure et les paramètres basse et haute résolution

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I/e Conclusions



L'intermittence peut biaiser l'analyse multifractale.



L'analyse évènement par évènement donne des nouveaux paramètres α=1.7, C 1 =0.13, H=0.53.



Un FIF synthétique et un simple seuil permettent de simuler des séries de taux de pluie.

Simulateur de série de taux de pluie valable à des échelles temporelles très fines.

• Lien avec les turbulences • Validation expérimentale • Un seul processus pour générer le support et le taux de pluie L. de Montera, L.

Barthès, C. Mallet and P. Golé : The effect of rain-no rain intermittency on the estimation of the Universal Multifractal model parameters,

J. of Hydrometeorology

(in press).

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