Transcript Capítulo 3 Programación Lineal Entera

Capítulo 3
Programación Lineal Entera
Objetivos del capítulo





Programación lineal entera, programación lineal mixta, modelos
binarios.
Representaciones gráficas.
Aproximación
Solución:
- Solución usando el computador para de modelos enteros
- Falta de análisis de sensibilidad.
El uso de Variables Binarias.
- Presupuestos de Capital / restricciones para realizar el
objetivo.
3.1 Introducción
Muchas veces, algunas o todas las variables de decisión
deben restringirse a valores enteros.
Por ejemplo:
– El número de aeronaves que se compró este año.
– El número de máquinas que necesita para
producción.
– El número de viajes que ha realizado un agente de
ventas.
– El número de policía que se asignó a la vigilancia
nocturna.

Variables enteras son requeridas cuando el modelo
represente una única decisión (no una operación en
proceso).

Los modelos de Programación Lineal Entera (PLE)
son mucho más difíciles de resolver que los modelos
de Programación Lineal (PL).

Los algoritmos que resuelven los modelos lineales
enteros no entregan resultados de análisis de
sensibilidad.

Los modelos de PLE pueden clasificarse como sigue:
– Solo de enteros, es decir, todas las variables
se restringen a enteros.
– De variables mixtas - algunas variables son
enteras, pero no todas.
– De binarios- todas las variables son 0 ó 1.
3.2 Las complejidades de PLE

Si un modelo de enteros se resuelve como un modelo
lineal simple, se puede obtener la solución óptima no
entera.

Aproximar a valores enteros puede provocar:
– Soluciones no-factibles
– Soluciones factibles pero no óptimas
– Soluciones óptimas.

¿ Por qué no enumerar todos los puntos enteros
factibles y seleccionar el mejor?
– Enumerar todas las soluciones enteras es poco práctico, a
causa del gran número de puntos factibles.

¿Siempre se utiliza aproximación? Si, particularmente
si
– Los valores de las variables de decisión positivas son
relativamente grandes, y los valores de los coeficientes de la
función objetivo son relativamente pequeños.

El siguiente ejemplo ilustra algunas de
las complicaciones que aparecen
cuando se utilizan restricciones enteras
sobre las variables de decisión.
 Restaurante Boxcar_Burguer



El Boxcar_Burger es una nueva cadena de
comida rápida.
El local planifica su expansión en el centro y
áreas suburbanas.
La gerencia desea determinar cuántos
restaurantes abrir en cada área a fin de
aumentar al máximo la ganancia semanal
neta.

Requerimientos y restricciones:
– No más de 19 gerentes pueden ser asignados.
– Por lo menos deben abrirse dos restaurantes en el
centro.
– La inversión total no puede exceder a $2.7
Millones.
Suburbano
Inversión por la ubicación
200,000
Ganancia diaria
1,200
Horas de operación
24 horas
Número de gerentes necesarios
3
Centro
600,000
2,000
12 horas
1
 Solución

Variables de Decisión
– X1 = Número de restaurantes abiertos en lugares
suburbanos.
– X2 = Número de restaurantes abiertos en el
centro .

El modelo matemático se formula a
continuación:
Ganancia semanal neta
Max 1200X1 + 2000X2
ST :
La inversión total no puede exceder $2.7 dólares
2X1 +
6X2  2.7
Por lo menos dos restaurantes en el centro
X2  2
No más de 19 gerentes se pueden asignar
3X1 +
X2  19
X1, X2 enteros
no son
enteros
mayores
que 0negativos

Restricciones
La inversión total no puede exceder $2.7 millones
3.3 Sensibilidad de un PLE

En los problemas de programación lineal entera no es
posible realizar el análisis de sensibilidad. Cualquier
cambios en los coeficientes de la función objetivo o
en los coeficientes del lado derecho implicará resolver
el problema nuevamente.
3.4 Programación lineal mixta

Incluye algunas variables que están restringidas a
valores enteros.

El problema de inversión de Shelly Mednick ilustra
esta situación.
 Problema de inversión de Shelley
Medrick



Shelley Mednick ha decidido realizar una inversión.
Ella invertirá en:
-TCS, una compañía de abastecimiento y
comunicaciones y/o
- MFI, un fondo mutuo.
Shelley es una inversionista precavida. Ella tiene
límites sobre el nivel de inversión, y definió una meta
para la ganancia anual.








Datos:
TCS vende actualmente cada acción a $55.
TCS proyecta vender cada acción a $68 dentro de un
año.
MFI espera obtener 9% de utilidad anual.
Restricciones:
La utilidad esperada debe ser de por lo menos $250.
La cantidad máxima invertida en TCS no debe
sobrepasar un 40% de la inversión total.
La cantidad máxima invertida en TCS no debe
sobrepasar $750.
 Solución


Variables de decisión
– X1 = Número de acciones a comprar en TCS.
– X2 = Cantidad de dinero que invertirá en MFI.
El modelo matemático:
Minimizar
Minimize
55X1 +
X2
ST
Utilidad anual esperada
13X1 + 0.09X2  250
No más de 40% en
33X1 - 0.40X2  0
No más
de $750
TCS.
55X1
 750
en TCS.
X1, X2  0
X1 integer.
Entero
MFI
Solución óptima de PL
Inversión total=$1682.99
1009.79
12.24
TCS
Solución óptima de programación mixta
Inversión total=$1704.44
1044.44
Solución óptima de PL
12
 Problema de requerimiento de
personal
Sunset Beach necesita salvavidas
 La playa de Sunset beach contrata salvavidas por los 7 días de
la semana.
 Las regulaciones requieren que los empleados urbanos trabajen
cinco días.
 Las condiciones de seguridad ordenan en promedio 1
salvavidas por 8000 personas
 La ciudad desea emplear la mínima cantidad de salvavidas
posibles.
 Solución
Resumen del Problema
 Asignar salvavidas para 5 días consecutivos.
 Minimizar el número total de salvavidas.
 Satisfacer los requerimientos mínimos de salvavidas
para cada día (ver el siguiente modelo lineal).
Datos
 Para cada día, el mínimo de salvavidas requeridos
son:
Dom. Lun. Mar. Mier. Jue. Vie. Sab.
8
6
5
4
6
7
9
Variables de Decisión:
 Xi = el número de salvavidas que trabajará el día i
para i=1, 2, …,7 (i=1 es Domingo)
La Función Objetivo:
 Minimizar el número total de salvavidas necesarios.
Para asegurar que los salvavidas sean los suficientes por cada día,
pregunte que trabajadores estarán de turno. Por ejemplo:
¿quién trabajará el domingo?
X3
X4
X5
X6
X1
mar. mie. jue. vie. dom.
Repita este procedimiento por cada día de la semana, y
construya las restricciones del caso.
• El modelo matemático
Minimizar X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
ST
X1
+ X4 + X5 + X6 + X7  8
X1 + X2
(Domingo)
+ X5 + X6 + X7  6
(Lunes)
+ X6 + X7  5
(Martes)
X1 + X2 + X3
X1 + X2 + X3 + X4
X1 + X2 + X3 + X4 + X5
X2 + X3 + X4 + X5 + X6
+ X7  4
(Miércoles )
6
(Jueves)
7
(Viernes)
X3 + X4 + X5 + X6 + X7  9
(Sábado)
Todas las variables
enteras son
mayores
0
Todas las variables
enteros que
no negativos
Asignación de salvavidas
para Sunset Beach
salvavidas
día
domingo
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
sábado
presentes
requeridos
Para cambios
9
8
6
5
6
7
9
8
6
5
4
6
7
9
1
0
1
1
3
2
2
total de salvavidas
Nota: existe una solución óptima alternativa
10
3.5 Programación lineal entera
binaria



Las variables binarias toman solamente los valores 0
y 1.
Cualquier situación puede ser modelada por un
“si/no”, “bueno/malo” ,etc., contenido dentro de la
categoría binaria.
Por ejemplo
1 IfSiaunnew
nuevo
plan care
de salud
health
planseisadopta
adopted
X  0 If it is not
 si no se adopta
1
X  0

Si
compra elconstraint
edificio must hold
If aseparticular
If itnoissenot
si
compra
Condominio Salem City
 El condomionio Salem City debe elegir un proyecto
de distribución de fondos de manera tal que la
mayoría de la población se vea beneficiada.

Los datos relevantes y concernientes al condominio
en la ciudad son:
* Estimar el costo de cada proyecto
* Estimar el número de trabajadores permanentes que
empleará el proyecto.
* Encuesta de los 9 proyectos más importantes para la ciudad.

Distribución de fondos
Salem City debe escoger su proyecto de fondos de manera tal
que la mayoría de la población se vea beneficiada, para ello
realiza una encuesta sobre los 9 proyectos más urgentes.
Resultados de la Encuesta
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
Proyecto
Costo (1000) Trabajos Puntos
Contratar siete nuevos policias
$
400,00
7
4176
Modernizar los cuarteles de policia
$
350,00
0
1774
Comprar dos nuevas patrullas
$
50,00
1
2513
Entregar bonif. a los of. de policia
$
100,00
0
1928
Comprar nuevos eq. para bomberos $
500,00
2
3607
Contratar un comandante de bomberos$
90,00
1
962
Invertir en programas deportivos
$
220,00
8
2829
Restaurar la escuela de música
$
150,00
3
1708
Comprar nuevos comp. para la esc. $
140,00
2
3003

Variables de decisión
* Xj, conjunto de variables binarias que indican si el proyecto j
es seleccionado (Xj = 1) o no (Xj = 0).

Función Objetivo
* Maximizar la cantidad el puntaje para la obtención de fondos
del proyecto.

Restricciones
- Vea el modelo matemático

El modelo matemático
L
Max 4176X1+ 1774X2 + 2513X3 + 1928X4 + 3607X5 + 962X6 + 2829X7 + 1708X8 + 3003X9
ST
La mayor cantidad de fondos a destinar no puede superar los $900.000
400X1+ 350X2 + 50X3 + 100X4 + 500X5 + 90X6 + 220X7 + 50X8 + 140X9  900
El número de nuevos trabajos debe ser por lo menos 10
7X1+
X3 +
2X5 + X6 + 8X7 + 3X8 + 2X9  10
El número de nuevos policías debe ser a lo más 3.
X1+
X2 + X3 +
X4

3
Debe comprarse una patrulla o un carro de bomberos
X3 +
X5
= 1
se debe restaurar la sala de música o invertir en programas deportivos
X7 Deben invertirse en programas deportivos o
restaurar la sala de música antes de
X7 comprar nuevos computadores
X8
= 0
X9 
X8 -
CONTINUA
0
X9  0
*Tres de las siguientes 5 restricciones deben ser satisfechas
Por lo menos $250.000 deben guardarse (no usar más de $650.000)
400X1+ 350X2 + 50X3 + 100X4 + 500X5 + 90X6 + 220X7 + 50X8 + 140X9  650
Se requieren al menos 3 policias y debe comprarse el equipo de bomberos
X1+
X2 + X3 +
X4 +
X5 + X6
 3
Se deben contratar siete nuevos policias
X1
Al menos 15 nuevos trabajos se deben crear (no 10)
7X1+
X3 +
2X5 + X6 +
Tres proyectos de educación se deben financiar.
= 1
8X7 + 3X8 +
X7 +
X8 +
2X9  15
X9 = 3
La condición que al menos 3 de las 5 restricciones deben cumplirse puede ser
representado por una variable binaria
Yi = 1 si la restricción es considerada
0 si no es considerada
CONTINUA
400X1+ 350X2 + 50X3 + 100X4 + 500X5 + 90X6 + 220X7 + 50X8 + 140X9  650 + MY1
X1+
X1
X1
7X1+
X2 +
X3 +
X4 +
X5 +
X6
LAS RESTRICCIONES CONDICIONADAS
SON MODIFICADAS COMO SIGUE:
Este conjunto de restricciones
X3 +
2X5 + X6 +original
8X7 + 3X8 +
se agrega
al modelo
X7 +
X7 +
X8 +
X8 +

3 - MY2


1 - MY3
1 + MY3
2X9  15 - MY4
X9  3 - MY5
X9  3 + MY5
Y1+ Y2 + Y3 + Y4 + Y5  2
Las siguientes restricciones se agregan para asegurar que a
lo más 2 de los objetivos se realizaran
3.6 Incluyendo Cargos Fijos

El modelo de programación lineal no incluye un costo
fijo dentro de sus consideraciones. Se asume que
este costo no puede ser calculado, lo cual no siempre
es verdadero.

En un problema de cargo fijo se tiene:
Costo Total = CX + F si X>0
0
si X = 0
donde :
C es una variable de costo, y F es el costo fijo
Electrónica GLOBE, INC

Electrónica GLOBE fabrica dos tipo de control remoto
G50 y G90.

GLOBE tiene 4 fabricas y 3 centros de distribución.

Cada planta opera bajo sus propias condiciones, por
lo cual tienen diferentes costos fijos de operación,
costos de producción, tasa de producción y horas de
producción disponibles.

Ultimamente la demanda ha disminuido por lo cual la
gerencia esta pensando en cerrar una o más de las
plantas.

La gerencia desea:
* Desarrollar una óptima política de distribución
* Determinar que planta cerrar (si es que existe alguna)

Datos
Costos de producción, tiempo, disponibilidad
Planta
Philadelphia
St. Louis
New Orleans
Denver
Costo fijo Costo de prod. por 100
por mes
G50
G90
40
1000
1400
35
1200
1200
20
800
1000
30
1300
1500
Tiempo de prod (hr/100)
G50
G90
6
6
7
8
9
7
5
9
Proyección de la demanda mensual
G50
G90
Demanda
Cincinnati Kansas City San Franc.
2000
5000
3000
6000
5000
7000
Hr disponib.
por mes
640
960
480
640
* Costo de transporte por 100 unidades
Cincinnati
Philadelphia
$200
Kansas
City
300
St.Louis
New Orleans
Denver
100
200
300
100
200
100
San
Francisco
500
400
300
100
* Al menos el 70% de la demanda en cada centro de distribución
se debe satisfacer
* Precio de venta unitario
- G50 = $22 ;
G90= $28

Variables de decisión
Xi = cientos de G50 producidos en la planta i
Zi = cientos de G90 producidos en la planta i
Xij = cientos de G50 transportados desde la planta i hasta
la distribuidora j
Zij= cientos de G90 transportados desde la planta i hasta
la distribuidora j
Identificación de lugares
Planta
Ubicación
Philadelphia
St.Louis
New Orleans
Denver
i
1
2
3
4
Distribuidora
Ubicación
Cincinnati
Kansas City
San Francisco
j
1
2
3
GLOBE Electrónica
Modelo Nº 1 :
Todas las plantas operativas

Función Objetivo
* La gerencia desea maximizar la ganancia neta
* La ganancia bruta por 100 u = 22(100) - (costo de prod. por 100)
* La ganancia neta por 100 unidades producidas en la planta i y
transportadas a la distribuidora j =
Ganancia Bruta - Costo de transporte por 100 u
* Max 1200X1+1000X2+1400X3+ 900X4
+1400Z1+1600Z2+1800Z3+1300Z4
- 200X11 - 300X12 - 500X13
Ganancia Bruta
- 100X21 - 100X22 - 400X23
- 200X31 - 200X32 - 300X33
- 300X41 - 100X42 - 100X43
- 200Z11 - 300Z12 - 500Z13
- 100Z21 - 100Z22 - 400Z23
Costo de Transporte
- 200Z31 - 200Z32 - 300Z33
- 300Z41 - 100Z42 - 100Z43

Restricciones
Se debe asegurar que la cantidad transportada desde una
planta es igual a la cantidad producida por esta.
Para
Para
G90 exceder
Las horas
deG50
producción para cada planta no
puede
X11 + X12 +de
X13horas
= X1 de producción tota
Z11
+ Z12 + Z13 = Z1
de la cantidad
l
X21 + X22 + X23 = X2
X31 + X32 + X33 = X3
X41 + X42 + X43 = X4
Z21 + Z22 + Z23 = Z2
Z31 + Z32 + Z33 = Z3
Z41 + Z42 + Z43 = Z4
6X1 + 6Z1 640
7X2 + 8Z2  960
La cantidad recibida por una distribuidora no puede exceder la
 480
demanda o ser menor9X3
que+el7Z3
70%
de esta.
Para G90
Para G50 5X4 + 9Z4  640
X11 + X21 + X31 + X41 < 20
Z11 + Z21 +Z31 + Z41 < 50
X11 + X21 + X31 + X41 > 14
Z11 + Z21 + Z31 + Z41 > 35
Todas las variables enteras mayores
que 0
Z12 + Z22 + Z32 + Z42 < 60
X12 + X22 + X32 + X42 < 30
X12 + X22 + X32 + X42 > 21
Z12 + Z22 + Z32 + Z42 > 42
X13 + X23 + X33 + X43 < 50
X13 + X23 + X33 + X43 > 35
Z13 + Z23 + Z33 + Z43 < 70
Z13 + Z23 + Z33 + Z43 > 49
Calculo de la solución óptima mediante WINQSB
Resumen

El valor óptimo de la función objetivo es $356.571.

Note que el costo fijo de operación de las plantas no
se considera en la función objetivo porque todas las
plantas se encuentran en operación

Restando el costo fijo de $125.000 resulta una
ganancia neta mensual de $231.571.
GLOBE Electrónica
Modelo Nº 2 :
El número de plantas operativas en
cada ciudad es una variable de decisión

Variables de decisión
Xi = cientos de G50 producidos en la planta i
Zi = cientos de G90 producidos en la planta i
Xij = cientos de G50 transportados desde la planta i hasta
la distribuidora j
Zij= cientos de G90 transportados desde la planta i hasta
la distribuidora j
Yi = Una variable binaria (0-1) que describe el
número de plantas operando en la ciudad i

Función Objetivo
* La gerencia desea maximizar la ganancia neta
* La ganancia bruta por 100 u = 22(100) - (costo de prod. por
100)
* La ganancia neta por 100 unidades producidas en la planta i
y transportadas a la distribuidora j =
Ganancia Bruta - Costo de transporte de i a j - Costo fijo condicionado

Función Objetivo
Max 1200X1+1000X2+1400X3+ 900X4
+1400Z1+1600Z2+1800Z3+1300Z4
- 200X11 - 300X12 - 500X13
- 100X21 - 100X22 - 400X23
- 200X31 - 200X32 - 300X33
- 300X41 - 100X42 - 100X43
- 200Z11 - 300Z12 - 500Z13
- 100Z21 - 100Z22 - 400Z23
- 200Z31 - 200Z32 - 300Z33
- 300Z41 - 100Z42 - 100Z43
- 40000Y1 - 35000Y2 - 20000Y3 - 30000Y4

Restricciones
Se debe asegurar que la cantidad transportada desde una
planta es igual a la cantidad producida por esta.
Para G50
X11 + X12 + X13 = X1
X21 + X22 + X23 = X2
X31 + X32 + X33 = X3
X41 +horas
X42 + X43
X4
Las
de=producción
Para G90
Z11 + Z12 + Z13 = Z1
Z21 + Z22 + Z23 = Z2
Z31 + Z32 + Z33 = Z3
+ Z42no
+ Z43
= Z4
cada Z41
planta
puede
para
exceder de la cantidad de horas de producción total
La cantidad recibida por una distribuidora no puede exceder la
6X1 + 6Z1 - 640Y1 0
demanda o ser menor que el 70% de esta.
Para G50 7X2 + 8Z2 - 960Y2  0 Para G90
Z11 + Z21
X11 + X21 + X31 + X419X3
< 20+ 7Z3 - 480Y3
0 +Z31 + Z41 < 50
Z11 
+ Z21 + Z31 + Z41 > 35
X11 + X21 + X31 + X41 > 14
5X4 + 9Z4 - 640Y4 0
X12 + X22 + X32 + X42 < 30
Z12 + Z22 + Z32 + Z42 < 60
X12 + X22 + X32 + X42 > 21
Z12 + Z22 + Z32 + Z42 > 42
Xij,< X50i, Zij, Zi
X13 + X23 +Todos
X33 + X43
X13 + X23 + X33 + X43 > 35
> 0, y YZ13
0,1.+ Z33 + Z43 < 70
+ Z23
i son
Z13 + Z23 + Z33 + Z43 > 49
Calculo de la solución óptima mediante WINQSB
Resumen

La planta de Philadelphia debe ser cerrada.

El esquema de producción mensual debe realizarse
de acuerdo a los resultados obtenidos de la solución.

La ganancia neta mensual será de $266.115, $34.544
más que cuando todas las plantas se encontraban en
operación.