Calcolo Integrale 1D - cm
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Transcript Calcolo Integrale 1D - cm
Revisione
feb. 2016
Esercizi di
Calcolo Integrale 1D
Claudio Magno
www.cm-physmath.net
CM_Portable MATH Notebook Series™
Esercizi di Calcolo Integrale 1D –
Adrien-Marie Legendre (1752-1833)
(l’unico ritratto verosimile (1820) dell’eminente matematico francese,
da un acquerello del caricaturista Julien-Léopold Boilly, rinvenuto nel 2008)
II
Esercizi di Calcolo Integrale 1D –
III
Apologia dell’integrazione
L’integrazione manuale appare sempre più confinata tra le pratiche di nicchia (erudite?), forse, un po’ …
datate. Spesso, viene sollevata la questione circa l’utilità di conoscere tecniche complicate di integrazione
quando, per i computer, esistono programmi e pacchetti applicativi specifici, sia numerici che simbolici.
Infatti, oltre a gloriose Tables cartacee e a on-line web-integrators, routines efficientissime in Maximafr-sfwr, in
Mathematica™, in SciLab™, in Maple™, e simili, danno fulmineamente, in rappresentazione simbolica, i
risultati corretti nella generalità dei casi utili. OK! Ma come li si può ottenere manualmente, passo-passo?
Avverto un ché di più che estetico nell’integrazione, di imprevedibile, che la meccanicità della derivazione
non è in grado di offrire. Ragioni didattiche ovvie impongono la classificazione per tipi di integrali ma,
quando ci si trova ‘in mare aperto’, tentando di inviluppare qualcosa che sembra assente, o non facilmente
estrapolabile, dalle Integral Tables sotto mano in quel momento, l’operazione può trasformarsi in un fatto di
creatività, in un tarlo assillante legato, chissà, ad aspetti di … maniacalità profonda. E questo mi sembra
particolarmente vero quando la funzione integranda del modello lascia balenare, in modo sottilmente
deterministico e sfuggente, informazioni genetiche inattese! L’illusione (sempre latente) della ricostruibilità
formale di una interezza da un suo costituente primordiale (infinitesimo) è in grado di suscitare attrazioni
sottili e, per qualcuno, irresistibili; credo abbia a che vedere con quel ‘drive’ interno – per chi ce l’ha – dello
smontaggio\riassemblaggio di un meccanismo non-ovvio, della ‘lente dell’entomologo’ inquisitivo e sistematico,
dell’indagatore intellettualmente indipendente del che-cosa-c’è-sotto e come-va-a-finire.
La mia modesta opinione è che l’integrazione consapevole comporta un’attenzione specifica nell’applicazione
dell’algoritmo rispetto non soltanto alla richiesta (ovvia) di correttezza del risultato quanto, piuttosto, alla
consistenza del modello integrale utilizzato in un certo problema (roba complicata …).
Da miei appunti (ingialliti …) ho estratto quegli integrali in R che mi sono serviti di più o che mi sono
parsi più istruttivi (molti altri si trovano dispersi nei miei documenti on-line (†)). Li propongo, con un
minimo di classificazione per tipo, a chi voglia fare un passo avanti in questo calcolo artigianale, insieme con
tecniche risolutive che ho imparato da altri, primi tra tutti, Emilio Montaldi, Royce Zia e Bob Gilmore.
Il prerequisito è: una conoscenza operativa (onesta) dell’integrazione elementare. L’approccio è sintetico: ogni
volta che si riesce a individuare la struttura di certi integrali-base in forma parametrica, il calcolo di integrali
più complicati all’apparenza viene ricondotto – dettagliatamente – alla rappresentazione di quelli base; il
resto del lavoro si conclude con operazioni algebriche semplici. A un artificio di calcolo brillante ma troppo
‘ad-hoc’ per un integrale indefinito I (x ) , è preferita, laddove possibile, la determinazione di un’espressione
risolvente iterativa α-parametrica per tutta la famiglia integrale { I α (x )} , alla quale, I (x ) appartenga.
L’intenzione e il (pio) proposito sono quelli di un consolidamento e di un aggiornamento costante di questo
‘quaderno di esercizi’ senza pretese. Al solito, comunque, chi vivrà, vedrà …
Segnalazioni di errori e correzioni saranno – sempre – più che benvenute!
Alcuni miei riferimenti abituali e consolidati, insieme con una ‘cassetta di attrezzi informatici’ (free!), sono
disponibili nella BIBLIOGRAFIA conclusiva.
Allora, have happy integrals! ai tenaci, ai creativi, ai curiosi irriducibili e alle personalità pudicamente …
maniacali! E, comunque, a coloro che vorranno fare di più e meglio di quanto trovano qui.
CM
( †)
web:
http://www.cm-physmath.net
mail:
[email protected]
Esercizi di Calcolo Integrale 1D –
IV
INDICE
Metodi di Riduzione (MR)
p. 1
____________________
Integrazioni Algebriche (IA)
p. 15
Integrazioni Goniometriche (IG)
p. 46
Integrazioni Esponenziali e Iperboliche (IEH)
p. 61
Integrazioni Logaritmiche (IL)
p. 65
Integrazioni Speciali (IS)
p. 71
Integrazioni Ellittiche (IE)
p. 81
____________________
BIBLIOGRAFIA - MATH FREEWARE download links
p. 105
Metodi di Riduzione –
1
Metodi di Riduzione
Il calcolo di un integrale richiede spesso una trasformazione preventiva ad-hoc del differenziale integrando o manovre
che ne sfruttino simmetrie e\o lo scompongano in termini più semplici. A tale scopo, metodi utili da ricordare sono:
MR-1
Integrazione per-parti
Se D f ≡ d f /dx e g sono funzioni integrabili in un insieme compatto Κ , allora, vale l’identità
∫Κ
dove, G (x ) ≡
∫ g (x )dx
f (x ) g (x ) dx = ( f (x ) G (x ))
− ∫ ( D f (x )) G (x ) dx ,
Κ
Κ
è l’espressione indefinita di una funzione primitiva qualsiasi di g in Κ .
■
MR-2
Normalizzazione all’intervallo [0, 1] di qualsiasi integrale definito
Sia f ∈ C ([ α , β ]) . La trasformazione lineare
t := ( β − α ) u + α ≡ t (u )
riduce l’integrazione definita di f da α a β a un’integrazione definita da 0 a 1 , i.e.,
β
∫α
dove, φ (u ) ≡ ( β − α ) f (t )
t = ( β − α )u + α
∫
f (t )dt ≡
1
0
φ (u )du ,
(1)
. Generalizzando, con β ≡ x , si ottiene la rappresentazione
à-la Lagrange-Picard della funzione primitiva F originata in x ≡ α (i.e., F (α ) = 0 ):
F (x ) ≡
x
∫α
f (t )dt ≡ (x − α ) ∫
1
u =0
f (t )
t = ( x − α )u + α
du .
(1.1)
■
MR-3
Riduzione di potenze intere non-negative di polinomi di 2º grado
La riduzione di un polinomio di 2º grado, nota come il completamento del quadrato (binomiale),
2
b
∆
1
1
ax + bx + c = a x +
−
≡
((2ax + b)2 − ∆ ) ≡
(u 2 − ∆) ,
2
2
a
4
a
4
a
4
a
2
(1)
dove, a ≠ 0 , u := 2ax + b e ∆ ≡ b 2 − 4ac , è estendibile prontamente alla potenza polinomiale
intera (ax 2 + bx + c )n , i.e., con n ∈ Z + , mediante espansione binomiale finita. Infatti, introdotta,
definitivamente, l’espressione sintetica Χ ≡ Χ (x ) := ax 2 + bx + c , risulta
Χ
n
1
1
= 2n n (u 2 − ∆) n = 2n n
2 a
2 a
n!
= 2n n
2 a
n
∑
k =0
∑ k (− ∆)
n
n
n −k
u 2k
k =0
(− ∆ )n − k
n!
(2ax + b)2k ≡ 2n n
k !(n − k )!
2 a
n
∑
k =0
2k
(− ∆ )n − k d Χ
.
k !(n − k )! dx
(2)
■
Metodi di Riduzione –
2
MR-4
Scomposizioni additive razionali di forme razionali
Per ‘forma razionale’, si intende, qui, un’espressione algebrica del tipo N (x ) / D (x ) , dove N (x ) e
D (x ) sono polinomi primi tra loro, con coefficienti ∈ R ( N (x ) può ridursi a una costante).
I.
Se deg N (x ) ≥ deg D (x ) ,
allora, o nella forma generale o, quando sia appropriato, nella forma di Ruffini, è applicabile
l’algoritmo di divisione polinomiale,
N (x )
R (x )
,
= Q (x ) +
D (x )
D (x )
(1)
dove, Q (x ) e R (x ) indicano, rispettivamente, il polinomio-quoziente e il polinomio-resto tali
che valgono le condizioni simultanee
deg N (x ) = deg Q (x ) + deg D (x ),
deg R (x ) < deg D (x ) ≤ deg N (x ).
(1.1)
La forma di Ruffini dell’algoritmo di divisione polinomiale è applicabile, com’è noto, quando
deg D (x ) = 1 . In tal caso, deg R (x ) = 0 , i.e., R (x ) ≡ R 0 , una costante;
II.
se deg N (x ) < deg D (x ) ,
l’Eq. fondamentale (5) dà, formalmente: Q (x ) ≡ 0 ⇔ N (x ) ≡ R (x ) .
Qui, la nozione di fattorizzazione massimale polinomiale in R , specificamente, di D (x ) , è essenziale.
Sia deg D (x ) = n , i.e., in rappresentazione additiva, omogenea vs. la somma degli indici (pedici + esponenti),
D (x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + a 2 x n − 2 + ⋯ + a k x n − k + ⋯ + a n − 2 x 2 + a n − 1 x + a n .
Allora, vale la rappresentazione fattorizzata massimale associata
m
m
m
D (x ) = a 0 (x − x 1 ) 1 (x − x 2 ) 2 … (x − x h ) h ⋅ ↵
µ
µ
↳ ⋅ (x 2 + p 1x + q 1 ) 1 (x 2 + p 2x + q 2 ) 2 … (x 2 + p k x + q k )
µk
,
dove,
x 1 ∈ R è una radice di D (x ) , di multiplicità m 1 ( ≥ 1) ,
x 2 ∈ R è una radice di D (x ) , di multiplicità m 2 ( ≥ 1) ,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ,
x h ∈ R è una radice di D (x ) , di multiplicità m h ( ≥ 1) ,
il fattore quadratico (x 2 + p 1x + q 1 ) , irriducibile in R (i.e., ∆ 1 = p 12 − 4 q 1 < 0 ), è di multiplicità µ 1 ( ≥ 1) ,
il fattore quadratico (x 2 + p 2x + q 2 ) , irriducibile in R (i.e., ∆ 2 = p 22 − 4 q 2 < 0 ), è di multiplicità µ 2 ( ≥ 1) ,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ,
il fattore quadratico (x 2 + p k x + q k ) , irriducibile in R (i.e., ∆ k = p k2 − 4 q k < 0 ), è di multiplicità µ k ( ≥ 1) ,
così che m 1 + m 1 + … + m h + 2 ( µ 1 + µ 2 + … + µ k ) = n .
II.1
Si costruisce, pertanto, la scomposizione seguente in somma di frazioni:
α 1m 1
α 11
α 12
N (x )
=
+
+
…
+
+
m
D (x ) x − x 1 (x − x 1 )2
(x − x 1 ) 1 ↲
↳
+
α 21
x −x2
+
α 22
(x − x 2 )
2
+…+
α 2m
2
m2
(x − x 2 )
+ ⋯⋯⋯⋯ +
↲
Metodi di Riduzione –
↳
↳
+
+
x − xh
+
α h2
(x − x h )
β 11x + γ 11
x 2 + p 1x + q 1
β 21x + γ 21
+
+…+
2
α hm
mh
(x − x h )
β 12x + γ 12
(x 2 + p 1x + q 1 )2
2
+
h
β 22x + γ 22
+
+… +
2
2
+…+
↲
β 1µ x + γ 1µ
1
1
(x + p 1x + q 1 )
2
β 2µ x + γ 2µ
µ1
+
↲
+
µ
x + p 2x + q 2 (x + p 2x + q 2 )
(x + p 2x + q 2 ) 2 ↲
↳ + …………………………………………………… + ↲
βkµkx + γ k µk
β k 1x + γ k 1
β k 2x + γ k 2
+ 2
+ 2
+
…
+
.
µ
↳ x + p x +q
(x + p k x + q k )2
(x 2 + p k x + q k ) k
k
k
↳
+
α h1
3
2
2
2
(2)
I valori dei parametri α r s , β i j e γ i j sono calcolabili in due passi:
• si determina un’unica frazione parametrica con gli addendi nel membro destro dell’Eq. (2).
Tale frazione ha, necessariamente, la forma
P (x ; α r s , β i j , γ i j )
D (x )/a 0
,
• si scrive l’uguaglianza
N (x ) = a 0 P(x ; α r s , β i j , γ i j )
e se ne costruisce il sistema di h + 2k equazioni lineari vs. le h + 2k incognite α r s , β i j e
γ i j uguagliando, secondo il Principio di Identità dei Polinomi, i coefficienti raccolti delle
potenze identiche di x presenti in N (x ) e in a 0 P(x ; α r s , β i j , γ i j ) .
□
Il caso delle radici semplici di D ( x )
Sia ξ ∈ C una radice semplice di D (x ) . Allora, oltre all’annullamento evidente D (ξ ) = 0 ,
risulta D (x ) ≡ (x − ξ ) Qξ (x ) . Il fattore Qξ (x ) indica il polinomio-quoziente della divisione
esatta D (x )/(x − ξ ) . Poiché ξ è una radice semplice di D (x ) , segue che Qξ (ξ ) ≠ 0 .
Inoltre, la funzione-polinomio D : x ֏ D (x ) è intera in senso complesso, i.e., è analitica in
tutto C . Pertanto, considerata la frazione
(x − ξ ) N (x )
N (x )
≡
D (x )
Qξ (x )
(si ricordi che, qui, deg N (x ) < deg D (x ) ) e tenendo conto della rappresentazione in somma
di fratti nel 2º membro dell’Eq. (2), ∃ ! il limite (uniforme), per x → ξ ,
(x − ξ ) N (x )
x −ξ
x −ξ
≡ lim
⋅ N (x ) ≡ lim
⋅ N (x )
x →ξ
x →ξ
D (x )
D (x ) − 0
x → ξ D (x ) − D (ξ )
N (ξ )
N (ξ )
.
=
= αξ ≡
d D (x )/dx x = ξ
Q ξ (ξ )
lim
(3)
L’uguaglianza (3) si rivela molto conveniente per la determinazione della costante incognita
Metodi di Riduzione –
4
α ξ ; la sua applicabilità, però, richiede che x ξ ( ∈ C ) sia una radice semplice di D (x ) .
II.2
Equivalente alla (2), vale la scomposizione, detta DI HERMITE (CHARLES, 1822-1901),
N (x )
d
= Α (x ) +
D (x )
dx
H (x )
G (x ) ,
(4)
nella quale,
α1
•
Α (x ) :=
•
G (x ) := (x − x 1 )
x − x1
+
α2
x −x2
m1−1
+…+
deg G(x ) =
∑
h
j =1
x − xh
m2−1
(x − x 2 )
↳ ⋅ (x
•
αh
2
+
β 1x + γ 1
x 2 + p 1x + q 1
mh −1
… (x − x h )
+ p 1x + q 1 )
µ1−1
+
β 2x + γ 2
x 2 + p 2x + q 2
+… +
β kx + γ k
x 2 + pkx + q k
;
⋅↵
(x 2 + p 2x + q 2 )
µ2−1
… (x 2 + p k x + q k )
µk −1
;
(m j − 1) + 2 ∑ r = 1 ( µ r − 1) ,
k
con (m j − 1) ∧ ( µ r − 1) ∈ Z 0+ , ∀ j ∧ r ;
•
H (x ) è un polinomio di grado n − h − 2 k − 1 ≡ deg G (x ) − 1 a coefficienti incogniti. Quindi,
ricordando che n = deg D (x ) , i coefficienti η j di H (x ) non-nulli sono, al più, n − h − 2 k .
Eseguita la derivazione nell’Eq. (4), si eliminano i denominatori e si uguagliano i coefficienti
delle potenze identiche di x presenti nei due i membri (Principio di Identità dei Polinomi). La
soluzione del sistema lineare corrispondente, i.e., il vettore dei valori trovati delle incognite
α r , β s , γ s e η j , consente di esplicitare la scomposizione (4).
■
Metodi di Riduzione –
5
MR-5
L’integrazione del Differenziale Binomio in termini finiti
Con l’espressione Differenziale Binomio si intende, convenzionalmente, la forma differenziale
x α (p + qx β )ν dx ,
(1)
dove, { p, q } ⊂ R mentre α , β e ν sono esponenti, la cui natura, è vincolante circa l’integrabilità
dell’elemento (1) in termini finiti, i.e., mediante un numero finito di funzioni elementari e, quindi,
senza il ricorso a funzioni trascendenti superiori (e.g., Γ , Β , J ν , etc.) o all’espansione in serie.
La forma estesa del differenziale-binomio,
x α (px κ + qx λ ) dx ,
(1.1)
è riconducibile alla forma fondamentale (1) riscrivendola (con qualche cautela algebrica …) come
x σ + κν (p + qx λ − κ )ν dx
e, quindi, definendo α := σ + κν e β := λ − κ .
Le condizioni di esistenza in R della parte finita x α (p + qx β )ν sono sempre sottintese (†).
Come osservazione iniziale, nella funzione razionale Φ di potenze distinte x
ρ1
ρ2
ρ1
,x
ρ2
, …, x
ρk
ρk
Φ ≡ Φ (x , x , …, x ) ,
si abbia l’insieme { ρ 1 , ρ 2 , … , ρ k } ⊂ Q e ciascun esponente (razionale) ρ j ≡ m j /n j sia ridotto
ai minimi termini. Senza perdita di generalità, si assuma, d’ora in avanti, n j > 0 .
Definiti µ := µ {n 1 , n 2 , … , n k } – il minimo comune multiplo dei denominatori n j – e x := u µ , da
cui, segue che dx = µ u µ − 1du , l’integrale
∫ Φ (x
ρ1
ρ
, x 2 , …, x
ρk
) dx
si trasforma in quello di una funzione razionale, Ψ , facilmente integrabile vs. la variabile u ,
∫ Φ (x
ρ1
ρ
, x 2 , …, x
ρk
) dx ֏ ∫ Ψ (u )du .
(2)
Ritornando alla forma differenziale (1),
I.
se ν ∈ Z ∧ {α , β } ≡ {m α /n α , m β /n β } ⊂ Q ,
definito µ := µ {n α , n β } , mediante la definizione
x := u µ ,
(3)
la forma differenziale (8) si riscrive, vs. u ,
µ u (α + 1) µ − 1 (p + qu β µ )ν du ≡ Ψ (u ) du
(3.1)
e la sua parte finita Ψ (u ) è razionale vs. u perché {ν , α µ , β µ } ⊂ Z ;
____________________
(†)
I risultati sintetizzati in MR-5 provengono dai contributi del matematico russo CHEBYSHEV (PAFNUTY LVOVICH,
1821-1894) alla rappresentazione integrale della Funzione Beta di Euler (e.g., v., dell’autore: La FUNZIONE
GAMMA: proprietà e applicazioni in R , CAP. 2, EQ. (34)).
Metodi di Riduzione –
II.
6
se (α + 1)/β ∈ Z ∧ ν ≡ mν /nν ∈ Q ,
definiti µ := nν ( > 0 ) e
u µ := p + qx β ,
(4)
si ricavano
x = ((u µ − p )/q )1 /β ,
µ
((u µ − p )/q )1 /β − 1u µ − 1du
βq
dx =
e, quindi, la forma differenziale (1) diventa, vs. u ,
µ
((u µ − p)/q )
βq
α +1
−1
β
u µ (ν + 1) − 1du ≡ Ψ (u )du .
(4.1)
La parte finita Ψ (u ) è razionale vs. u perché {(α + 1)/β , µν } ⊂ Z ;
III.
se (α + 1)/β + ν ∈ Z ∧ ν ≡ mν /n ν ∈ Q ,
definiti µ := nν ( > 0 ) e
u µ := px − β + q ≡ (p + qx β )/x β ,
(5)
si determinano
x = ( p /(u µ − q ))1 /β ,
dx = −
µ
( p /(u µ − q ))1 /β + 1 u µ − 1du .
βp
Quindi, la forma differenziale (1) si ri-esprime, vs. u , come
−
µ
(p /(u µ − q ))
βp
α +1
+ν + 1
β
u µ (ν + 1) − 1du ≡ Ψ (u )du
(5.1)
e la sua parte finita Ψ (u ) è razionale vs. u perché {(α + 1)/β + ν , µν } ⊂ Z .
IV.
se α ∨ β ∨ ν ∉ Q ,
i.e., se almeno uno dei tre esponenti è irrazionale, allora, l’integrabilità in termini finiti della
forma differenziale (1) è ancora possibile sse si verifica almeno uno dei tre casi seguenti:
a.
ν ∈ Z +:
qui, poiché ( p + qx β )ν è una potenza intera positiva di un binomio, l’integrazione risulta
immediata dopo l’espansione binomiale;
b.
(α + 1)/β ∈ Z + :
si può ricorrere alla sostituzione
u := p + qx β ,
dalla quale, si ricavano
x = ((u − p )/q )1 /β ,
dx =
1
((u − p )/q )1 /β − 1du .
βq
(6)
Metodi di Riduzione –
7
Pertanto, la forma differenziale (1) diventa, vs. u ,
1
((u − p )/q )
βq
α +1
−1
β
u ν du ≡ Ψ (u ) du .
(6.1)
La parte finita Ψ (u ) è razionale vs. u , essendo sufficiente che (α + 1)/β ∈ Z + ;
c.
− ((α + 1)/β + ν ) ∈ Z + :
si può ricorrere alla sostituzione
u := px − β + q ≡ (p + qx β )/x β ,
(7)
dalla quale, di calcolano
x = ( p /(u − q ))1 /β ,
dx = −
1
( p /(u − q ))1 /β + 1du .
βp
Quindi, la forma differenziale (1) si ri-esprime, vs. u , come
1
−
( p /(u − q ))
βp
α +1
+ν + 1
β
u ν du ≡ Ψ (u ) du .
(7.1)
La parte finita Ψ (u ) è razionale vs. u , essendo sufficiente che − ((α + 1)/β + ν ) ∈ Z + .
In sintesi, il problema generale dell’integrabilità in termini finiti del Differenziale Binomio poggia
sul Teorema di Chebyshev seguente:
Teorema
Condizione necessaria e sufficiente affinché la forma differenziale (1) (Differenziale Binomio) sia
integrabile in termini finiti è che, se ∃ la terna numerica ⊂ Q
{ν , (α + 1)/β , (α + 1)/β + ν } ,
(8.1)
almeno un elemento di questa ∈ Z ,
oppure, che, se ∃ la terna numerica ⊂ R
{ν , (α + 1)/β , − ((α + 1)/β + ν )} ,
(8.2)
almeno un elemento di questa ∈ Z + . ▲
■
MR-6
Riduzioni razionali in
R
del radicale
X ≡
a x 2 +bx +c
Nel polinomio quadratico Χ ≡ ax 2 + bx + c , con {a , b , c } ∈ {R \{ 0 }} × R 2 (v. Eq. (2)),
a.
sia a > 0 .
Allora, introdotta la nuova variabile u mediante la definizione
ax 2 + bx + c := u − a x ,
si ha, elevandone al quadrato i membri e risolvendo vs. x ,
(1)
Metodi di Riduzione –
u2 −c
x =
.
2 a u +b
8
(2)
Sostituendo l’espressione (2) di x nella definizione (1), si ottiene la forma razionale
Χ
֏
a u 2 + bu + c a
.
2 a u +b
(3)
Inoltre, differenziando l’Eq. (2), risulta
2 ( a u 2 + bu + c a )
dx =
du ;
(2 a u + b) 2
b.
(4)
sia c > 0 .
Procedendo in modo analogo al caso a., si introduce la nuova variabile u dalla definizione
ax 2 + bx + c := ux − c ,
(5)
Elevandone al quadrato i membri, si arriva all’equazione quadratica
x ((u 2 − a ) x + 2 c u − b) = 0 .
Scartata la radice x = 0 perché falsifica l’Eq. (5), rimane la sola radice ammissibile
x =
b −2 cu
.
u2 −a
(6)
Sostituendo l’espressione (6) di x nella definizione (5), si ottiene la forma razionale
Χ
֏
c u 2 − bu + a c
;
a −u2
(7)
Dall’Eq. (6), si calcola l’espressione del differenziale dx :
dx =
c.
2 ( c u 2 − bu + a c )
du ;
(u 2 − a )2
(8)
si supponga che Χ , abbia radici distinte in R , x 1 ≠ x 2 , i.e., che sia ∆ ≡ b 2 − 4 ac > 0 .
Scelta indifferentemente l’una o l’altra radice, e.g., x 2 , si esegue la RQT (trasformazione
quadratico-radicale) nella nuova variabile u := u (x ) , generata a partire dalla definizione
a (x − x 1 ) (x − x 2 ) := (x − x 2 ) u .
(9)
Elevando al quadrato i termini dell’Eq. (9), dividendo per x − x 2 ≠ 0 le espressioni ottenute e
risolvendo vs. x , risulta
x =
x 2 u 2 − ax 1
u2 −a
.
(10)
Poi, sostituendo l’espressione (10) di x nel prodotto (x − x 2 ) u , Eq. (9), si determina la forma
razionale in R del radicale
Χ (con ∆ > 0 ):
Metodi di Riduzione –
Χ
֏
κu
−
,
2 (u 2 − a )
9
(11)
dove è κ := 2a (x 1 − x 2 ) .
Infine, il differenziale dell’espressione (10) è dato da
dx =
κu
du .
(u − a )2
2
(12)
Osservazione
Le trasformazioni razionalizzanti (1) e (5) sono applicabili indipendentemente dal segno di ∆ .
■
MR-7
Integrazione definita di una funzione periodica in R
È definita ‘funzione P-periodica ( P ∈ R + ) in R ’ qualsiasi applicazione f tale che, ∀ x ∈ R ,
f : x ֏ f (x ) ≡ f (x ± P ) .
(1)
Proposizione
Se f è P-periodica in R , si deducono, ∀ {x 0 , x 1 , x 2 } , le uguaglianze
●
●
∫
∫
x2
x1
f (x ) dx =
P +x0
x0
∫
x2∓ P
f (x ) dx ;
x1∓ P
f (x ) dx =
∫
P
f (x ) dx . ▲
0
Dimostrazione
●
Eseguendo la traslazione x ֏ ξ ± P nell’uguaglianza (1), segue, dalla proprietà di invarianza
traslazionale dell’operatore integrale e dall’essere la variabile di integrazione muta, che
∫
●
x2
x1
f (x ) dx =
∫
=
∫
x2∓P
f (ξ ± P ) d (ξ ± P ) ≡
x1∓ P
x2∓ P
f (ξ ) d ξ ≡
x1∓ P
∫
x2∓ P
x1∓ P
∫
x2∓ P
x1∓ P
f (ξ ± P ) d ξ
f (x ) dx , q. e. d. ;
per l’additività dell’operatore integrale vs. l’intervallo di integrazione, si può scrivere
∫
P +x0
x0
f (x ) dx ≡
∫
0
f (x ) dx + ∫
x0
= −∫
x0
0
P
f (x ) dx + ∫
0
f (x ) dx + ∫
P
0
P +x0
P
f (x ) dx +
∫
f (x ) dx
x0
f (x + P ) dx , dall’Iden. (1) , q. e. d. .
0
In particolare, quando x 0 ≡ − P /2 , risulta che
∫
P /2
−P /2
f (x ) dx =
∫
P
0
f (x ) dx .
(1.1)
Inoltre, se f è pari ∨ dispari, allora, rispettivamente, si ha
∫
P /2
−P /2
f (x ) dx ≡
∫
P
0
f (x ) dx = 2 ∫
P /2
0
f (x ) dx ∨ 0 .
(1.2)
■
Metodi di Riduzione –
10
MR-8
Formule di riduzione di ( sin x ) N , (cos x ) N , ( sinh x ) N e (cosh x ) N
La potenza N-sima (N ∈ Z + ) dell’identità euleriana sin x ≡ ( − i /2) (e i x − e −i x ) si può scrivere
come espansione binomiale in N + 1 addendi:
( sin x )N ≡ (− i /2)N (e i x − e −i x )N
=
( − i )N
2N
≡
(− i ) N iN x N i (N − 2)x N i (N − 4 ) x
N
+ e
− … + (− 1)r e i (N − 2r ) x − …
0 e − 1 e
N
↲
2
2
r
N
∑
r =0
( − i )N
N
(− 1)r e i (N − r ) x e −ir x =
2N
r
N
∑ (− 1)
r
r =0
N i (N − 2r ) x
r e
N
↳
I.
N −i (N − 2) x
N
… + (− 1)N − 1
+ (− 1)N e −i N x .
e
N
−
1
N
(1)
Sia N ≡ 2 n (i.e., N pari, n = 1 , 2 , 3 , … ).
2n
2n
Allora, il numero di addendi nell’Eq. (1) è 2 n + 1 , dispari. Osservato che ≡
, tali
r 2n − r
addendi – tutti tranne l’ultimo – possono essere accoppiati nel modo simmetrico seguente:
(− 1)n 2n 2ni x
2n
( sin x ) = 2n (e
+ e − 2ni x ) − (e i (2n − 2) x + e −i (2n − 2) x ) +
↲
0
2
1
2n
2n
2n 2i x
2n
+ (e i (2n − 4 ) x + e −i (2n − 4 )x ) − … + ( − 1)n − 1
(e + e −2i x ) + (− 1)n .
↳ 2
n − 1
n
Poiché e i α + e −i α = 2 cos α , segue che
( sin x )2n =
(− 1)n
2 2n
↳
2n
2n
2n
2 0 cos (2nx ) − 2 1 cos (2 n − 2) x + 2 2 cos (2 n − 4) x − … ↲
2n
2n
… + (− 1)r 2 cos (2n − 2 r ) + … + (− 1)n , i.e.,
r
n
( sin x )2n =
1
2 2n
n −1
2n
2n
n
+
2
−
1
(
)
( − 1)r cos 2 (n − r ) x .
∑
n
r
r =0
(2)
Il fattore (−1)n iniziale è stato assorbito nell’identità (− 1)r ≡ (− 1)2n + r .
Se, nell’Eq. (2), si esegue la trasformazione x ֏ π /2 − x , dalla quale risulta
cos (2 (n − r ) (π /2 − x )) = cos (n − r ) π ⋅ cos (2 (n − r ) x ) + sin (n − r ) π ⋅ sin (2 (n − r ) x )
= ( − 1)n − r cos (2 (n − r ) x ) ,
si ottiene prontamente
(cos x )2n =
1
2 2n
n −1
2n
2n
2
+
∑
r cos 2 (n − r ) x .
n
r =0
(3)
Ancora nell’Eq. (1), se si effettua la trasformazione di variabile x ֏ i x , e si ricorre alle
Metodi di Riduzione –
11
identità sin iu ≡ i sinh u e cos iu ≡ cosh u , si ottiene
( sinh x )2n =
n −1
2n
n 2n
1
2
(
−
)
+
( − 1)r cosh 2 (n − r ) x .
n
∑
r
r =0
1
2 2n
(4)
Infine, combinando l’Eq. (3) con l’identità cos iu ≡ cosh u , risulta
(cosh x )2n =
II.
n −1
1 2n
2n
+
2
cosh 2 (n − r ) x .
∑
2n
r
2 n
r =0
(5)
Sia N ≡ 2 n − 1 (i.e., N dispari, n = 1 , 2 , 3 , … ).
Ora, poiché il numero N + 1 degli addendi della somma (1) è pari, gli addendi sono tutti
accoppiabili vs. i coefficienti binomiali anti-simmetrici, secondo la ri-disposizione
( sin x )2n − 1 =
(− i )2n − 1 2n − 1 i (2n − 1) x
2n − 1 i (2n − 3) x
− e − i ( 2n − 1 ) x ) −
− e − i ( 2n − 3 ) x ) + …
0 (e
(e
2n − 1
↲
1
2
2 n − 1 i ( 2 n − 2r − 1 ) x
… + ( − 1)r
(e
− e −i (2n − 2r − 1) x ) + …
↳
↲
r
2n − 1 3i x
− 3i x
n − 1 2n − 1
ix
−i x
… + (− 1)n − 2
(e − e ) + (− 1) n − 1 (e − e ) .
↳
n
−
2
Poiché e i α − e −i α = 2i sin α e (− i )2n − 1 ≡ − ( − 1)n /i , segue che
( sin x )2n − 1 = −
(− 1)n /i 2n − 1
2n − 1
2i
sin (2 n − 1) x −
sin (2 n − 3) x +… ↲
2n − 1
2
1
0
2n − 1
… + (− 1)r
sin (2 n − 2r − 1) x + … ↲
↳
r
2n − 1
2n − 1
… + (− 1)n − 2
sin 3x + (− 1)n − 1
sin x , i.e.,
↳
n −2
n −1
( sin x )
2n − 1
(− 1)n − 1
= 2 (n − 1)
2
n −1
∑ (− 1)
r =0
r
2n − 1
r sin (2 (n − r ) − 1) x .
(6)
La traslazione x ֏ π /2 − x nell’Eq. (6) fornisce la riduzione
sin ((2 (n − r ) − 1) (π /2 − x )) = sin ((2 (n − r ) − 1) π /2) ⋅ cos ((2 (n − r ) − 1) x ) −
↳
↲
cos ((2 (n − r ) − 1) π /2) ⋅ sin ((2 (n − r ) − 1) x )
1
(1 − ( − 1)2 (n − r ) − 1 ) i ( 2 (n − r ) − 1) − 1 cos (2 (n − r ) − 1) x
2
≡ (− 1)n − r − 1 cos (2 (n − r ) − 1) x ,
=
per l’identità sin (νπ /2) = (1 − (− 1)ν ) i ν − 1 /2 , nella quale, è ν ∈ Z (ν ≡ 2 (n − r ) − 1 ).
Così, dall’Eq. (6), si genera l’espansione associata
(cos x )
2n − 1
=
1
2
2 (n − 1)
n −1
∑
r =0
2n − 1
r
cos (2 (n − r ) − 1) x .
(7)
Metodi di Riduzione –
12
Ancora nell’Eq. (6), con la trasformazione di variabile x ֏ i x e servendosi delle identità
sin iu ≡ i sinh u e cos iu ≡ cosh u , si trova che
(sinh x )2n − 1 =
n −1
1
2
∑ (− 1)
r
2 (n − 1)
r =0
2n − 1
r sinh (2 (n − r ) − 1) x .
(8)
Infine, combinando l’Eq. (8) con l’identità cos iu ≡ cosh u , si ottiene
(cosh x )2n − 1 =
1
2
2 (n − 1)
n −1
∑
r =0
2n − 1
r
cosh (2 (n − r ) − 1) x .
(9)
■
MR-9
Razionalizzazioni parametriche di funzioni integrande goniometrico-circolari
Con una parametrizzazione appropriata del suo argomento, una funzione integranda f espressa in
forma goniometrico-circolare può ridursi a forma razionale integrabile, talvolta, più agevolmente.
a.
Sia f : x ֏ f (cos x , sin x ) .
Ridefinita x := 2 tan − 1 u , i.e., u ≡ tan (x /2) o, alternativamente, x := 2 cot − 1 v , i.e., v ≡ cot (x /2) , si ricavano,
soggette a condizioni di realtà specifiche (†), le espressioni
cos x ≡
1
1−u2
=
,
1+u2
sec x
tan x ≡
sin x ≡
1
2u
=
,
csc x
1+u2
dx =
1
v2 −1
= 2
,
sec x
v +1
tan x ≡
•
1
2u
=
,
cot x
1−u2
2
du ;
1+u2
(1.1)
o, rispettivamente,
cos x ≡
•
b.
1
2v
sin x ≡
= 2
,
csc x
v +1
1
2v
= 2
,
cot x
v −1
2
dx = − 2
dv ;
v +1
(1.2)
sia f : x ֏ f (( cos x )2 , ( sin x )2 , cos 2 x , sin 2 x , tan x , cot x ) .
Qui, definita x := tan − 1 u , i.e., u ≡ tan x o, alternativamente, x := cot − 1 v , i.e., v ≡ cot x , si determinano,
soggette a condizioni di realtà specifiche (†), le espressioni
(cos x )2 ≡
1
1
=
,
2
( sec x )
1+u2
( sin x )2 ≡
1
u2
=
,
2
(csc x )
1+u2
•
1
1
= ,
tan x
u
du
dx =
;
1+u2
(2.1)
1
1
= ,
cot x
v
dv
.
dx = −
1+v2
(2.2)
cot x ≡
o, rispettivamente,
(cos x )2 ≡
1
1
=
,
2
( sec x )
1+v2
( sin x )2 ≡
1
v2
=
,
(csc x )2 1 + v 2
•
____________________
(†)
Si veda, dell’autore: math-crumbs, P. 29, TABELLE 3 e 4.
tan x ≡
Metodi di Riduzione –
13
MR-10
Razionalizzazioni parametriche di funzioni integrande goniometrico-iperboliche
In modo del tutto analogo a MR-9, la parametrizzazione di una funzione integranda, f espressa in
forma goniometrico-iperbolica, può essere ridotta a forma razionale.
a.
Sia f : x ֏ f ( cosh x , sinh x ) .
Definita x := 2 tanh − 1 u , i.e., u := tanh (x /2) o, alternativamente, x := 2 coth − 1 v , i.e., v := coth (x /2) , si hanno,
soggette a condizioni di realtà specifiche (†), le espressioni
cosh x ≡
1
1+u2
=
,
sech x
1−u2
tanh x ≡
sinh x ≡
1
2u
=
,
1−u2
csch x
dx =
1
v2 +1
= 2
,
sech x
v −1
tanh x ≡
•
1
2u
=
,
coth x
1+u2
2
du
1−u2
(1.1)
( |u | < 1) ;
o, rispettivamente,
cosh x ≡
•
b.
1
2κ
sinh x ≡
= 2
,
csch x
v −1
1
2v
= 2
,
coth x
v +1
2
dx = − 2
dv ( |v | > 1) ;
v −1
(1.2)
sia f : x ֏ f (( cosh x )2 , ( sinh x )2 , cosh 2 x , sinh 2 x , tanh x , coth x ) .
Qui, definita x := tanh − 1 u , i.e., u ≡ tanh x , o alternativamente, x := coth − 1 v , i.e., v ≡ coth x , si ricavano,
soggette a condizioni di realtà specifiche (†), le espressioni
( cosh x )2 ≡
•
1
1
=
,
2
( sech x )
1−u2
1
u2
=
( sinh x ) ≡
,
2
( csch x )
1−u2
2
1
1
= ,
tanh x
u
1
dx =
du ( |u | < 1) ;
1−u2
(2.1)
1
1
= ,
coth x
v
1
dx = − 2
dv ( |v | > 1) ;
v −1
(2.2)
coth x ≡
o, rispettivamente,
( cosh x )2 ≡
v2
1
=
,
( sech x )2
v2 −1
( sinh x )2 ≡
1
1
= 2
,
( csch x )2
v −1
•
c.
tanh x ≡
sia f : x ֏ f (( cosh x )2 , sinh x ) ⋅ cosh x ≡ φ (x ) .
una razionalizzazione di φ (x ) si determina definendo u := sinh x
d.
( ⇒ du = cosh x dx );
sia f : x ֏ f ( cosh x , ( sinh x )2 ) ⋅ sinh x ≡ φ (x ) .
una razionalizzazione di φ (x ) è ottenibile definendo u := cosh x
( ⇒ du = sinh x dx ).
■
____________________
(†)
Si veda, e.g., dell’autore: La Goniometria Iperbolica: un modello strutturale, P. 22-25 e 27, EQ.I (49).
Metodi di Riduzione –
14
MR-11
Le identità goniometriche di Dirichlet-Euler
• Sia { n , M } ∈ Z 0+ × Z + . Sommando l’identità goniometrica (WERNER, J., 1468-1522)
cos nu ⋅ sin (u /2) ≡ (1/2) ( sin ((n + 1/2) u ) − sin ((n − 1/2) u ))
vs. l’indice n , da 1 a M , si ha
(∑
M
n =1
)
cos nu ⋅ sin (u /2) =
= (1/2) (( sin (3u /2) − sin (u /2)) + ( sin (5u /2) − sin (3u /2) ) +
↳
↲
+ ( sin (7u /2) − sin (5u /2) ) + … + ( sin (M + 1/2)u − sin (M − 1/2)u ))
= (1/2) ( sin (M + 1/2)u − sin (u /2))
≡ cos ((M + 1) u /2) sin (Mu /2) ,
(1)
avendo applicato, nell’ultimo passaggio, la formula di prostaferesi della differenza tra seni.
Dividendo i membri estremi dell’Eq. (1) per sin (u /2) ≠ 0 (i.e., u ≠ 2 k π ), risulta:
M
∑ cos nu
=
n =1
cos ((M + 1) u /2) ⋅ sin (Mu /2)
.
sin (u /2)
(2)
• In modo analogo, iniziando dall’identità goniometrica di Werner
sin nu ⋅ sin (u /2) ≡ (1/2) (cos ((n − 1/2) u ) − cos ((n + 1/2) u )) ,
si arriva, dalla formula di prostaferesi della differenza tra coseni, quando sia u ≠ 2 k π , a
M
∑ sin nu
n =1
=
sin ((M + 1) u /2) ⋅ sin (Mu /2)
.
sin (u /2)
(3)
Le identità (2) e (3), attribuite a DIRICHLET (J. P. G. L., 1805-1859) ma note, molto probabilmente,
anche a EULER (L., 1707-1783), si rivelano molto utili nel contesto delle Serie di Fourier.
■■■
Integrazioni Algebriche –
15
Integrazioni Algebriche
IA-1
Integrale della potenza intera positiva del polinomio quadratico
La determinazione di una formula iterativa di riduzione dell’integrale polinomiale indefinito,
I n (x ) :=
∫Χ
n
dx ≡
∫ (ax
2
+ bx + c ) n dx ,
con a ≠ 0 ∧ n ∈ Z + , è di interesse computazionale, soprattutto, per la possibilità di ricondurre
certe integrazioni più complesse al suo modello risolvente.
Con l’Eq. (2) della trasformazione MR-3, il calcolo di I (x ) è immediato. Da dx = du /(2a ) , segue
I n (x ) =
≡
n!
2n + 1 n + 1
2
a
n!
2n + 1 n + 1
a
2
n
∑
k =0
n
∑
k =0
( − ∆ )n − k
n!
u 2k du = 2n + 1 n + 1
∫
k !(n − k )!
2
a
n
∑
k =0
(− ∆ )n − k
u 2k + 1 + C
k !(n − k )!(2 k + 1)
(4ac − b 2 )n − k
(2ax + b)2k + 1 + C .
k !(n − k )!(2 k + 1)
■
IA-2
Calcolare
a.
⌠ dx
,
I (x ) :=
2
⌡ p + qx
con pq ≠ 0 .
Sia pq ( ≡ − ∆ / 4) > 0 .
Posto x := (p /q )1 / 2u , da cui, si ha dx = (p /q )1 / 2du , segue che
I (x ) ֏ I (u ) =
1
sgn ( p )
⌠ du
(p /q )1 / 2
=
tan − 1 u + C .
2
1/ 2
p
( pq )
⌡ 1+u
Pertanto,
I (x ) =
b.
sgn (p )
tan −1 ((q /p )1 / 2 x ) + C ;
1/ 2
(pq )
sia pq ( ≡ − ∆ / 4) < 0 .
Posto x := ( − p /q )1 / 2 u , da cui, si ha dx = ( − p /q )1 / 2 du , segue che
1 ⌠ du
1 ⌠ du
2 u +1 − 2 u −1
⌡
⌡
sgn (p )
tanh −1 u + C , se |u | < 1 ,
1/2
(
−
pq
)
sgn (p )
u +1
=
ln
+C ≡
1/ 2
2 (− pq )
u −1
sgn (p ) coth −1 u + C , se |x | > 1 .
( − pq )1 / 2
I (x ) ֏ I (u ) =
1
sgn ( p)
⌠ du
( − p /q )1/ 2
≡
2
p
(− pq )1 / 2
⌡ 1−u
In definitiva, risulta
sgn (p )
(− q /p )1 / 2 x + 1
I (x ) =
+C
ln
2 (− pq )1 / 2
(− q /p)1 / 2 x − 1
Integrazioni Algebriche –
16
sgn ( p )
−1
1/2
1/2
(− pq )1 / 2 tanh (( − q /p ) x ) + C , se |x | < ( − p /q ) ,
≡
sgn ( p ) coth −1 ((− q /p )1 / 2 x ) + C , se |x | > (− p /q )1 / 2 .
(− pq )1 / 2
■
IA-3
dx
⌠
, con pq ≠ 0 ∧ n ∈ Z + \{1} .
I n (x ) :=
2 n
⌡ ( p + qx )
Calcolare
Integrando per-parti, si ha
I n (x ) =
x
x
⌠ − n (p + qx 2 )n − 1 2qx
⌠ (p + qx 2 ) − p
−
⋅
≡
+
2
x
dx
n
dx
2 n +1
(p + qx 2 )n ⌡
(p + qx 2 )2n
(p + qx 2 )n
⌡ (p + qx )
x
dx
dx
⌠
⌠
+ 2n
− 2n p
2 n
2 n
2 n +1
( p + qx )
⌡ ( p + qx )
⌡ ( p + qx )
x
≡
+ 2 nI n (x ) − 2 npI n + 1 (x ) .
( p + qx 2 )n
=
Risolvendo vs. I n + 1 (x ) e, quindi, eseguendo la traslazione di indice muto n ֏ n − 1 , si ricava
l’identità ricorsiva
I n (x ) =
x
2n − 3
+
I n − 1 (x ) .
2 n −1
2 p (n − 1) (p + qx )
2 p (n − 1)
Questa, definito l’indice m := n − 1 , va ri-applicata a I m (x ) ≡ I n − 1 (x ) , e così via, fino a ottenere
l’integrale IA-2.
■
IA-4
Calcolare
dx
,
I 0, 1 (x ) := ⌠
⌡ Χ
con a ≠ 0 .
Mediante la riduzione (1) di MR-3, u := 2ax + b , per la quale, dx = du /(2a ) , si ha che
⌠ du ,
I 0 , 1 (x ) ֏ I 0 , 1 (u ) = 2 2
⌡ u −∆
i.e., per ∆ ≠ 0 , ci si riconduce all’integrale IA-2.
a.
Sia ∆ < 0 . Allora,
I 0, 1 (x ) =
b.
2
2ax + b
tan −1
+C ;
1/2
1/ 2
(− ∆)
( − ∆)
sia ∆ > 0 . In questo caso,
I 0, 1 (x ) =
1
∆ 1/2
2ax + b − ∆ 1 / 2
ln
+C ;
2ax + b + ∆ 1 / 2
Integrazioni Algebriche –
c.
17
il caso ∆ = 0 è elementare, avendosi I 0, 1 (u ) = 2 ∫ u − 2 du . Segue immediatamente che
I 0 , 1 (x ) = −
2
+C .
2ax + b
■
IA-5
Calcolare
x
I 1, 1 (x ) := ⌠
dx ,
⌡ Χ
Dall’identità di uso frequente, x ≡
con a ≠ 0 .
1
((2ax + b ) − b) , si può riscrivere
2a
1 ⌠ 2 ax + b
b ⌠ dx
1 ⌠ dΧ
b
dx −
≡
−
I 0 , 1 (x )
Χ
2a ⌡
2a ⌡ Χ
2a ⌡ Χ
2a
1
b
=
ln | Χ | + C 1 −
I 0 , 1 (x ) .
2a
2a
I 1 , 1 (x ) =
In tal modo, il completamento del calcolo è ricondotto all’integrale IA-4.
■
IA-6
Calcolare
xm
I m , 1 (x ) := ⌠
dx ,
⌡ Χ
con a ≠ 0 ∧ m ∈ Z + \{1} .
Qui, la più conveniente tra le scomposizioni possibili di I m , 1 (x ) è
1
b ⌠ xm −1
c ⌠ xm − 2
⌠ m − 2 Χ − bx − c
m −2
I m , 1 (x ) ≡ x
⋅
dx = ∫ x dx −
dx −
dx
aΧ
a
a⌡ Χ
a⌡ Χ
⌡
1
b
c
=
x m − 1 + C 1 − I m − 1, 1 (x ) − I m − 2, 1 (x ) .
(m − 1) a
a
a
Iterandone l’applicazione ai termini integrali I m − 1, 1 (x ) e I m − 2, 1 (x ) , ci si riporta senza difficoltà ai
modelli indefiniti IA-5 e IA-4.
■
IA-7
Calcolare
dx
,
I 0, n (x ) := ⌠
⌡ Χn
con a ≠ 0 ∧ n ∈ Z + \{1} .
Dall’Eq. (2) della trasformazione MR-3, per la quale, dx = du /(2a ) , si scrive
du
⌠
,
I 0 , n (x ) ֏ I 0 , n (u ) = 2 2n − 1a n − 1
2
n
⌡ (u − ∆ )
i.e., per ∆ ≠ 0 , ci si riconduce all’integrale IA-3. Infine, facendo attenzione nel ripristino della
variabile di integrazione x originaria, risulta la rappresentazione ricorsiva
I 0 , n (x ) = −
2ax + b
(n − 1) ∆ ⋅ Χ
n −1
−
2a (2 n − 3)
I 0 , n − 1 (x ) .
(n − 1) ∆
Integrazioni Algebriche –
18
A questo punto, si prosegue con la riduzione di I 0, n − 1 (x ) , fino a raggiungere l’integrale IA-4.
• Quando è ∆ = 0 , segue che
I 0, n (u ) ≡ 2
2n − 1
a
n −1
∫u
− 2n
2 2n − 1a n − 1
du = −
+C
(2 n − 1) u 2n − 1
e, pertanto,
I 0, n (x ) = −
2 2n − 1a n − 1
+C .
(2 n − 1) (2ax + b) 2n − 1
■
IA-8
Calcolare
x
I 1, n (x ) := ⌠
dx ,
⌡ Χn
con a ≠ 0 ∧ n ∈ Z + \{1} .
Procedendo con la scomposizione identica a quella eseguita sull’integrale IA-5, risulta
1 ⌠ 2ax + b
b ⌠ dx
1 ⌠ dΧ
b
dx −
≡
−
I 0, n (x )
n
n
n
2a ⌡ Χ
2a ⌡ Χ
2a ⌡ Χ
2a
1
b
= −
−
I 0 , n (x ) ,
n −1
2a (n − 1) Χ
2a
I 1, n (x ) =
da cui, appunto, si vede che il completamento del calcolo è ricondotto all’integrale IA-5.
■
IA-9
Calcolare
xm
I m , n (x ) := ⌠
dx ,
⌡ Χn
con a ≠ 0 ∧ {m , n } ∈ Z + × (Z + \{1}) .
Poiché è n ≥ 2 , conviene eseguire la scomposizione seguente dell’espressione integranda:
((2ax + b ) − b )
⌠
I m , n (x ) = x m − 1 ⋅
dx
2a Χ n
⌡
=
1 ⌠ m −1 d Χ
b ⌠ xm −1
1 ⌠ m − 1 d (Χ − n + 1 ) b
x
⋅
−
dx
≡
⋅
−
I m − 1 , n (x ) ,
x
Χ n 2a ⌡ Χ n
2a ⌡
2a ⌡
−n + 1
2a
da cui, proseguendo con un’integrazione per-parti, risulta
I m , n (x ) = −
≡ −
≡ −
xm −1
m − 1 ⌠ xm − 2
b
+
n − 1 dx − I m − 1, n (x )
n −1
2a (n − 1) Χ
2a (n − 1) ⌡ Χ
2a
xm −1
m − 1 ⌠ x m − 2Χ
b
+
dx − I m − 1, n (x )
n −1
n
2a (n − 1) Χ
2a (n − 1) ⌡ Χ
2a
xm −1
+
2a (n − 1) Χ n − 1 ↲
m −1
b
+
(a I m , n (x ) + b I m − 1, n (x ) + c I m − 2, n (x )) −
I m − 1, n (x ) .
↳ 2a (n − 1)
2a
Infine, risolvendo vs. la variabile integrale I m , n (x ) , si ottiene la relazione iterativa
(1)
Integrazioni Algebriche –
xm −1
(m − n )b
(m − 1) c
+
I m , n (x ) = −
I m − 1, n (x ) +
I m − 2, n (x ) ,
n −1
(2n − m − 1)a Χ
(2 n − m − 1) a
(2 n − m − 1)a
19
(2)
la cui applicazione sistematica, mantenendo n fissato ≥ 2 , conduce a termini proporzionali agli
integrali IA-7 e IA-8 e, infine, IA-4.
Osservazione
L’identità integrale (2) fallisce per m ≡ 2 n − 1 ( = 3 , 5 , 7 , … ). In questo caso, la forma mono-parametrica risultante
è riconducibile, progressivamente, ai modelli precedenti, da IA-7 a IA-9, mediante la scomposizione
x 2n − 1
1 ⌠ x 2n − 3
b ⌠ x 2n − 2
c ⌠ x 2n − 3
⌠ 2n − 3 Χ − bx − c
I n (x ) ≡ ⌠
dx
≡
x
⋅
d
x
=
dx
−
dx
−
dx .
aΧ n
a ⌡ Χ n −1
a⌡ Χn
a⌡ Χn
⌡ Χn
⌡
(2.1)
■
IA-10
I (x ) :=
Calcolare
∫
Χ dx ,
con a ≠ 0 .
È evidente che la rappresentabilità di Χ – e, quindi, di I (x ) – in D ⊆ R dipende dalla
combinazione ammissibile di sgn (a ) con sgn (∆ ) ; si possono sfruttare, poi, le riduzioni in MR-6.
Alternativamente, se si inizia dalla riduzione (1) in MR-3, per la quale, dx = du /(2a ) , si ha,
a.
per a ∈ R + ∧ ∆ ≠ 0 ,
I (x ) ֏ I (u ) =
1
4a 3 /2
∫
u 2 − ∆ du ≡
1
4a 3/2
∫
u 2 ∓ | ∆ | du ,
secondo che sia, rispettivamente, ∆ ≷ 0 .
Dopo la trasformazione ulteriore u ֏ | ∆ |1 / 2 w , si prosegue integrando per-parti:
I (u )
֏
⌠
w
2
dw
w w ∓ 1 − w ⋅
w2 ∓1
⌡
⌠ (w 2 ∓ 1) ± 1
| ∆|
2
=
dw
w w ∓ 1 −
4a 3/2
w2 ∓1
⌡
⌠
|∆|
1
≡
w w 2 ∓ 1 − ∫ w 2 ∓ 1 dw ∓
dw
3/2
4a
⌡ w2 ∓1
cosh −1 w
| ∆|
2
≡
w w ∓ 1 ∓
− J (w ) + C ,
−1
4 a 3 / 2
sinh w
J (w ) ≡
|∆|
4a 3 /2
∫
w 2 ∓ 1 dw =
| ∆|
4a 3 /2
dove, l’ambiguità tra le rappresentazioni mediante le funzioni cosh −1 o sinh −1 dipende
dall’essere ∆ ≷ 0 , rispettivamente. Esplicitando l’ultima uguaglianza scritta vs. J (w ) , risulta
J (w ) =
| ∆|
8a 3 / 2
cosh −1 w
2
w
w
∓
1
∓
−1
sinh w
+C .
Quindi, ritornando alla variabile u di integrazione e mantenendo la sequenza ordinata
alto\basso delle attribuzioni di segno, ∓ | ∆ | ≡ − ∆ , si scrive
Integrazioni Algebriche –
I (u ) =
∆ cosh −1 (∆ −1/ 2 u )
1
2
∆
u
u
−
−
−1
−1 / 2
8a 3 / 2
∆ sinh (( − ∆) u )
20
+C ,
così da avere, infine,
∆
− 1 2ax + b
8a 3 / 2 cosh ∆ 1 / 2 + C
1
I (x ) =
(2ax + b) Χ −
4a
∆ sinh −1 2ax + b + C
(− ∆)1/ 2
8a 3 / 2
1
∆
≡
(2ax + b) Χ −
ln ( 2ax + b + 2 a Χ ) + C ;
4a
8a 3 /2
b.
per a ∈ R + ∧ ∆ = 0 ,
1
u2
(2ax + b)2
I (u ) =
|u |du = ± 3 / 2 + C ֏ ±
+ C ≡ I (x ) ,
4a 3 /2 ∫
8a
8a 3 / 2
secondo che sia, rispettivamente, x ≷ − b /(2a ) ;
c.
per a ∈ R − ∧ ∆ > 0 (necessariamente!),
I (x ) ֏ I (u ) =
1
4 |a |3 / 2
∫
∆ − u 2 du .
In modo del tutto analogo a come si è operato in precedenza, dopo la trasformazione ulteriore
u ֏ ∆ 1 / 2 w , si prosegue integrando per-parti:
I (u )
֏
J (w ) ≡ −
= −
≡ −
≡ −
∆
4|a |
3 /2
∆
4|a |3 / 2
∆
4|a |3 / 2
⌠
−w
2
dw
w 1 − w − w ⋅
4 |a |
1−w2
⌡
⌠ (1 − w 2 ) − 1
2
dw
w 1 − w −
1−w2
⌡
⌠
1
2
2
dw
w 1 − w − ∫ 1 − w dw +
⌡ 1−w2
∫
1 − w 2 dw = −
(
∆
3 /2
)
∆
w 1 − w 2 + sin −1 w − J (w ) + C ,
3/2
4 |a |
Risolvendo vs. J (w ) nell’ultima uguaglianza scritta, risulta
J (w ) ≡ −
(
)
∆
w 1 − w 2 + sin −1 w + C ,
8|a |3 / 2
da cui, ritornando alla variabile x con l’identità evidente w ≡ (2ax + b)/∆ 1 / 2 , si ottiene
I (x ) =
1
∆
2ax + b
(2ax + b ) Χ −
sin −1
+C .
3/2
4a
8|a |
∆ 1/ 2
■
Integrazioni Algebriche –
21
IA-11
Calcolare
⌠ dx ,
I (x ) :=
⌡ Χ
con a ≠ 0 .
Dalla riduzione (1) solita in MR-3, si distinguono i casi seguenti:
a.
per a ∈ R + ∧ ∆ ≠ 0 ,
I (x ) ֏ I (u ) =
1 ⌠
a 1/ 2
⌡
du
u −∆
2
≡
1 ⌠
a 1/2 ⌡
du
u 2 ∓ |∆|
,
dove, l’ambiguità di segno alto\basso corrisponde, ordinatamente, ai casi ∆ ≷ 0 .
La trasformazione ulteriore u ֏ | ∆ | 1 / 2 w , dalla quale, segue du ֏ | ∆ | 1 / 2 dw , restituisce
1 ⌠
I (u ) ֏ J (w ) = 1 / 2
a ⌡
a −1/ 2 cosh −1 w + C ' ,
= −1 / 2
−1
w 2 ∓ 1 a sinh w + C ' ,
dw
se ∆ > 0 ,
se ∆ < 0 ,
i.e., analogamente all’integrale IA-11, risulta, vs. sgn ( ∆ ) ,
1
− 1 2 ax + b
a 1 / 2 cosh ∆ 1 / 2 + C '
I (x ) =
1 sinh −1 2ax + b + C '
1/2
(− ∆ )1 / 2
a
b.
1
≡ 1 / 2 ln 2ax + b + 2 a Χ + C ;
a
(
)
per a ∈ R + ∧ ∆ = 0 ,
I (x ) ֏ I (u ) =
1 ⌠ du
1
1
= ± 1 / 2 ln |u | + C ≡ ± 1 / 2 ln | 2ax + b | + C ,
1/ 2
a ⌡ |u |
a
a
secondo che sia, rispettivamente, x ≷ − b /(2a ) ;
c.
per a ∈ R − ∧ ∆ > 0 (necessariamente!),
con la riduzione (1) in MR-3, per la quale, dx = du /(2a ) , risulta
I (x ) ֏ I (u ) = −
1 ⌠
(− a )1/ 2
⌡
du
∆ −u2
.
Poi, la trasformazione standard ulteriore, u ֏ ∆ 1 / 2 w , dà
I (u )
֏
J (w ) = −
1 ⌠
( − a )1 / 2
⌡
dw
1−w
2
=
1
1
cos −1 w + C ≡ −
sin −1 w + C
1/2
1/ 2
(−a )
(− a )
e, quindi, immediatamente,
I (x ) =
1
1
2 ax + b
2 ax + b
cos −1
sin − 1
+C 1 ≡ −
+C 2 .
1/2
1/2
1/2
(−a )
∆
(− a )
∆ 1/ 2
■
Integrazioni Algebriche –
22
IA-12
I n (x ) :=
Calcolare
∫Χ
n + 1/ 2
dx ≡
∫Χ
n
Χ dx ,
con a ≠ 0 ∧ n ∈ Z + .
Applicando la riduzione (1) in MR-3 all’elemento differenziale integrando, si ha
I n (x ) ֏ I n (u ) =
2
1
a n +1
2n + 1
∫ (u
2
− ∆ )n (u 2 − ∆ )/(4 a ) du .
L’integrazione per-parti di I n (u ) dà
I n (x ) =
=
2
(
1
u ⋅ (u 2 − ∆ )n (u 2 − ∆ )/(4 a ) −
n +1
↲
a
⌠
− u ⋅ n (u 2 − ∆)n − 1 ⋅ 2u (u 2 − ∆)/(4 a ) + (u 2 − ∆)n
↳
⌡
2n + 1
2 n + 1 u (u 2 − ∆)n
2 2n + 1a n + 1 2 n + 1
(u 2 − ∆)/(4 a ) − ∫ u 2 (u 2 − ∆)n − 1
(u 2 − ∆)/(4 a )
(u 2 − ∆)/(4 a ) du .
u /(4 a )
Ora, riscritto il fattore u 2 nella funzione integranda come u 2 ≡ (u 2 − ∆ ) + ∆ , si prosegue con
1
2n + 1
u (u 2 − ∆ )n (u 2 − ∆ )/(4 a ) − 2n + 1 n + 1 ∫ (u 2 − ∆ )n (u 2 − ∆ )/(4a ) du −
n +1
↲
2
a
2
a
(2 n + 1) ∆
− 2n + 1 n + 1 ∫ (u 2 − ∆ )n − 1 (u 2 − ∆ )/(4 a ) du
↳ 2
a
1
(2 n + 1) ∆
≡ 2n + 1 n + 1 u (u 2 − ∆ )n (u 2 − ∆ )/(4 a ) − (2 n + 1) I n (u ) −
I n − 1 (u ) .
2
a
4a
I n (x ) =
2n + 1
Esplicitando l’ultima uguaglianza scritta vs. I n (u ) , risulta
I n (u ) =
1
2
2 (n + 1 )
a
n +1
(n + 1)
u (u 2 − ∆ )n (u 2 − ∆ )/(4 a ) −
(2 n + 1) ∆
I n − 1 (u )
8 a (n + 1)
dalla quale, infine, ritornando alla variabile x di integrazione, si conclude che
I n (x ) =
1
(2ax + b) Χ
4a
n
Χ −
(2 n + 1) ∆
I n − 1 (u ) .
8 a (n + 1)
Il completamento del calcolo di I n (x ) si esegue per iterazione, incominciando dall’indice n − 1 , e
così via, fino a raggiungere l’integrale IA-11.
• In particolare, se ∆ = 0 (nel qual caso, in R , deve essere a ∈ R + ), dall’uguaglianza ridotta
I n (x ) ֏ I n (u ) =
2
1
a n + 3/2
2 (n + 1)
∫u
2n
|u |du ,
si trova prontamente
I (u ) = ±
u 2 (n + 1)
(2ax + b)2 (n + 1)
+
C
֏
±
+ C ≡ I (x ) ,
(2a 1 / 2 )2n + 3 (n + 1)
(2a 1/ 2 )2n + 3 (n + 1)
secondo che sia, rispettivamente, x ≷ − b /(2a ) .
■
Integrazioni Algebriche –
23
IA-13
Calcolare
dx
⌠ dx
,
≡
I n (x ) := ⌠
n + 1/2
⌡ Χ
⌡ Χn Χ
con a ≠ 0 ∧ n ∈ Z + .
Come per IA-13, applicando la riduzione (1) in MR-3 all’elemento differenziale integrando, si ha
⌠
du
I n (x ) ֏ I n (u ) = 2 2n − 1a n − 1
.
⌡ (u 2 − ∆)n (u 2 − ∆)/(4 a )
L’integrazione per-parti di I n (u ) dà
I n (u ) = 2 2n − 1a n − 1
u
(u − ∆)
2
n
(u 2 − ∆)/(4 a )
−
↲
u /(4 a )
2
n −1
(u 2 − ∆)/(4 a ) − (u 2 − ∆)n
⌠ − 2 n u (u − ∆)
2
(u − ∆)/(4 a )
− u⋅
du
2
2n + 1
↳
(u − ∆)
/(4 a )
⌡
2
⌠
u
u
= 2 2n − 1a n − 1
+ (2 n + 1)
du
2
n +1
(u 2 − ∆)n (u 2 − ∆)/(4 a )
(u 2 − ∆)/(4 a )
⌡ (u − ∆)
Ora, riscritto il numeratore nella funzione integranda come u 2 ≡ (u 2 − ∆ ) + ∆ , si prosegue con
I n (u ) = 2 2n − 1a n − 1
u
(u 2 − ∆)n (u 2 − ∆)/(4 a )
+
↲
⌠
du
+ 2 2n − 1a n − 1 (2 n + 1)
+
2
n
2
↳
↲
u
u
a
(
−
∆
)
(
−
∆
)/(
4
)
⌡
⌠
du
+ 2 2n − 1a n − 1 (2 n + 1) ∆
2
n +1
(u 2 − ∆)/(4 a )
⌡ (u − ∆)
u
(2 n + 1) ∆
≡ 2 2n − 1a n − 1
+ (2 n + 1) I n (u ) +
I n + 1 (u ) .
4a
(u 2 − ∆)n (u 2 − ∆)/(4 a )
↳
Risolvendo quest’ultima uguaglianza vs. I n + 1 (u ) ,
I n + 1 (u ) = −
2 2n + 1 a n u
(2 n + 1) ⋅ ∆ ⋅ (u − ∆)
n
2
(u − ∆)/(4 a )
2
−
8 an
I n (u ) ,
(2 n + 1) ∆
e deducendone la forma traslata di indice muto n ֏ n − 1 ,
I n (u ) = −
2 2n − 1 a n − 1 u
(2 n + 1) ⋅ ∆ ⋅ (u − ∆)
2
n −1
(u − ∆)/(4 a )
2
−
8a (n − 1)
I n − 1 (u ) ,
(2 n − 1) ∆
si ricava la u - rappresentazione ricorsiva cercata. La x - rappresentazione corrispondente si ottiene
facilmente, aiutandosi con la riduzione (1) in MR-3:
I n (x ) = −
2 (2ax + b)
8 a (n − 1)
−
I n − 1 (x ) .
n −1
(2 n − 1) ⋅ ∆ ⋅ Χ
Χ (2 n − 1) ⋅ ∆
Integrazioni Algebriche –
24
Iterando n − 1 volte questa identità sul termine integrale a destra, si arriva all’integrale IA-11.
• Nella circostanza particolare in cui si abbia ∆ = 0 , per la quale, la condizione di realtà impone
che sia a ∈ R + , dall’uguaglianza ridotta
I n (x ) ֏ I n (u ) = 2 2n a n − 1 / 2 ∫ u − 2n |u | −1 du ,
si trova elementarmente
I (u ) = ±
2 2n a n − 1 / 2
2 2n a n − 1 / 2
+
C
֏
∓
+ C ≡ I (x )
2 n (2ax + b)2n
− 2 nu 2n
secondo che sia, rispettivamente, x ≷ − b /(2a ) .
■
IA-14
Calcolare
dx
⌠
dx
⌠
I (x ) :=
,
≡
⌡ (p + qx ) Ξ
⌡ ( p + qx ) α x 2 + β x + κ
con q α ≠ 0 .
Posto, per brevità, µ := p /q , si riscrive, con identificazione ovvia della variabile-polinomio Ξ ,
I (x ) =
1⌠
dx
.
q ⌡ (x + µ ) Ξ
Dalla definizione x := 1/u − µ , segue l’elemento differenziale dx = − (1/u 2 ) du .
Pertanto,
1⌠
− (1/u 2 ) du
I (x ) ֏ I (u ) =
q ⌡ (1/u ) α /(1/u − µ )2 + β /(1/u − µ ) + κ
=
1⌠
q
⌡
1⌠
≡ ±
q⌡
(α p 2 /q 2 − β p /q + κ ) u 2 + ( β − 2 α p /q ) u + α
− sgn (u ) du
du
a u 2 + bu + α
,
secondo che sia u ≶ 0 (i.e., x ≶ − p /q ) ordinatamente. In tal modo, il calcolo di I (u ) viene
riportato all’integrale fondamentale IA-11, identificando, in modo evidente, i nuovi parametri, a e
b , in termini di quelli vecchi, α , β e κ :
a ≡ α p 2 /q 2 − β p /q + κ ,
b ≡ β − 2α p /q .
La ricostruzione finale I (u ) ֏ I (x ) è immediata (v., anche, Osservazione, in IA-34).
■
IA-15
Calcolare
⌠
I (x ) :=
⌡
Χ
x
dx ,
con a ≠ 0 .
Nel dominio D ⊆ R dove x ≠ 0 ∧ Χ ∈ R + , si può scrivere
ax dx ⌠ bdx ⌠ cdx
⌠ Χ
I (x ) ≡
dx = ⌠
+
+
⌡ Χ
⌡ Χ ⌡x Χ
⌡x Χ
25
Integrazioni Algebriche –
dx
⌠ (2ax + b) − b
⌠ dx
≡
+ c
dx + b⌠
⌡ Χ
2 Χ
⌡
⌡x Χ
d Χ b ⌠ dx
⌠ dx
=⌠
+
+ c
⌡ Χ 2⌡ Χ
⌡x Χ
b
dx
⌠ dx
= Χ +C1 + ⌠
+ c
.
2⌡ Χ
⌡x Χ
In tal modo, il calcolo di I (x ) è ricondotto a quelli di IA-11 e di IA-14 (con p ≡ 0 ∧ q ≡ 1 ).
■
IA-16
Riduzione per-parti dell’integrale generale di Differenziale Binomio
Prendendo come riferimento la rappresentazione (8) in MR5 del Differenziale Binomio, il primo
passo è quello di scomporne la parte finita dell’espressione integranda nel modo seguente:
( p + qx β ) − qx β
1
q
( p + qx β )ν = x α ( p + qx β )ν + 1 − x α + β ( p + qx β )ν
p
p
p
α
β ν +1
α +1
β −1
β ν
≡ (1/p) x (p + qx ) − (1/(p β )) x
⋅q β x
(p + qx ) ,
x α ( p + qx β )ν ≡ x α
con il vincolo ovvio p β ≠ 0 . Poi, si procede formalmente con l’integrazione per-parti:
I α , β , ν (x ) ≡
∫x
α
(p + qx β )ν dx
= (1/p) ∫ x α (p + qx β )ν + 1dx − (1/(p β ) ) ∫ x α + 1 ⋅q β x β − 1 (p + qx β )ν dx
=
1
p
∫x
α
(p + qx β )ν + 1dx −
1 ⌠ α +1 1
x d
( p + qx β )ν + 1
pβ ⌡
ν + 1
α + 1 ( p + qx β )ν + 1 α + 1
−
x α (p + qx β )ν + 1dx
x
∫
ν +1
ν +1
1
1
α +1
= I α , β , ν + 1 (x ) −
x α + 1 (p + qx β )ν + 1 +
I α , β ,ν + 1 (x )
p
p β (ν + 1)
p β (ν + 1)
1
α + 1 + β (ν + 1)
(1)
= −
x α + 1 (p + qx β )ν + 1 +
I α , β , ν + 1 (x ) .
p β (ν + 1)
p β (ν + 1)
=
1
p
α
β ν +1
∫ x (p + qx ) dx −
1
pβ
Quindi, si risolve vs. I α , β ,ν + 1 (x ) , determinando l’identità ricorsiva
I α , β ,ν + 1 (x ) =
1
α + 1 + β (ν + 1)
x α + 1 (p + qx β )ν + 1 +
p β (ν + 1)
I
(x ) .
α + 1 + β (ν + 1) α , β ,ν
(1.1)
L’identità (1.1) è valida avendo assunto ν + 1 ≠ 0 nell’Eq. (1). Da questo, si possono trarre alcune
conclusioni legate a sgn (ν + 1) , utili, soprattutto, quando ν ∈ Z \{ −1} :
a.
se ν + 1 < 0 ,
con la traslazione di indice muto ν ֏ ν − 1 , l’identità (1.1) può essere riscritta nella forma
decrescente vs. |ν | ,
1
x α +1
p βν
I α , β , −|ν | (x ) =
+
I
(x ) ,
β |ν |
α + 1 + βν (p + qx )
α + 1 + βν α , β , −|ν − 1 |
Integrazioni Algebriche –
26
i.e., esplicitamente,
xα
1
xα +1
p βν
xα
⌠
⌠
dx =
+
dx ;
β |ν |
β |ν − 1|
α + 1 + βν (p + qx β ) |ν | α + 1 + βν
⌡ (p + qx )
⌡ (p + qx )
b.
se ν + 1 > 0 ,
eseguita la traslazione di indice muto ν ֏ ν − 1 , l’identità (1) genera la forma esplicita,
decrescente vs. ν (si badi che potrebbe essere ν ∈ ( −1 , 0 ) ),
∫x
c.
α
( p + qx β )ν dx =
pβ ν
1
x α + 1( p + qx β )ν +
α + 1 + βν
α + 1 + βν
∫x
α
(p + qx β )ν − 1dx ;
se ν + 1 = 0 ,
come si è notato, questo caso non è compatibile con l’identità (1.1). D’altra parte,
⌠ xα
I α , β , −1 (x ) ≡
dx
β
⌡ p + qx
è calcolabile in termini finiti sse sono soddisfatte le condizioni di validità del Teorema di
Chebyshev:
• almeno un elemento della terna numerica
{ − 1, (α + 1)/β , (α + 1)/β − 1} ⊂ Q ,
– se questa ∃ – deve ∈ Z , oppure,
• almeno un elemento della terna numerica
{ − 1, (α + 1)/β , − ((α + 1)/β − 1)} ⊂ R ,
– se questa ∃ – deve ∈ Z + .
■
IA-17
Calcolare
⌠
I (x ) :=
⌡
x4
a2 − x2
dx .
In alternativa al metodo del Differenziale Binomio, si può eseguire la sostituzione x := a cos θ , con
a > 0 , senza perdita di generalità. Ne seguono θ = cos −1 (x /a ) e dx = − a sin θ dθ .
Si osserva, inoltre, che la condizione di realtà della funzione integranda richiede che sia a 2 > x 2 e,
quindi, è sufficiente riferire l’integrazione al sotto-intervallo principale aperto θ ∈ ( 0 , π ) , nel
quale, sin θ > 0 ∀ θ :
⌠ (a cos θ )4 (− a sin θ dθ )
I (x ) ֏ I (θ ) =
= − a 4 ∫ (cos θ )4 dθ .
2 1/ 2
⌡ a (1 − (cos θ ) )
Con due iterazioni dell’identità (4) in IG-3, nella quale, si assegni α = 4 , risulta
1
4
I (θ ) = − a 4 (cos θ )3 sin θ +
3
4
∫ (cos θ ) dθ
2
Integrazioni Algebriche –
1
3 1
1
= − a 4 (cos θ )3 sin θ + cos θ sin θ + ∫ d θ
4 2
2
4
3
3
1
= − a 4 (cos θ )3 sin θ + cos θ sin θ + θ + C ' ֏
8
8
4
3
x
3
3
֏
a 2 − x 2 − a 2x a 2 − x 2 − a 4 cos −1 (x /a ) + C 1 ≡ I (x )
4
8
8
3
x
3
3
≡ −
a 2 − x 2 − a 2x a 2 − x 2 − a 4 (π /2 − sin −1 (x /a )) + C 1
4
8
8
3
x
3
3
≡ −
a 2 − x 2 − a 2x a 2 − x 2 + a 4 sin −1 (x /a ) + C 2 ≡ I (x ) .
4
8
8
27
(1)
(2)
L’arbitrarietà delle costanti C 1 e C 2 implica l’equivalenza delle rappresentazioni (1) e (2) di I (x ) . Tale condizione
va ben oltre il semplice cambiamento formale generato da un’isometria (v. IG-15, Osservazione, più avanti).
■
IA-18
⌠ x 2 (x 2 − 1)
I (x ) :=
dx .
2 3
⌡ (1 + x )
Calcolare
Il polinomio (1 + x 2 )3 possiede le radici immaginarie ± i , entrambe triple. Pertanto, la funzione
integranda è scomponibile nella somma seguente (v. MR-4, II.1):
x4 − x2
αx + β γ x + δ
ηx + λ
≡
+
+
.
2 3
2
2 2
(1 + x )
1+x
(1 + x )
(1 + x 2 )3
(1)
Eliminando i denominatori e ordinando vs. x il polinomio parametrico che si ottiene nel membro
destro, si arriva all’uguaglianza
x 4 − x 2 = α x 5 + β x 4 + (2 α + γ ) x 3 + (2 β + δ ) x 2 + (α + γ + η ) x + β + δ + λ .
Questa, in forza del Principio di Identità dei Polinomi, implica la validità del sistema lineare nonsingolare
α = 0
β = 1
2α + γ = 0
, avente, come unico vettore-soluzione,
2β + δ = − 1
α + γ +η = 0
β +δ +λ = 0
Quindi, la scomposizione parametrica (1) è vera nella sola forma
x4 − x2
1
3
2
≡
−
+
.
2 3
2
2 2
(1 + x )
1+x
(1 + x )
(1 + x 2 )3
Ne segue che
dx
dx
⌠ dx
⌠
⌠
I (x ) =
− 3
+ 2
2
2 2
2 3
⌡ 1+x
⌡ (1 + x )
⌡ (1 + x )
α 0
β 1
γ 0
≡ .
δ −3
η 0
λ 2
28
Integrazioni Algebriche –
≡ tan − 1 x + C 1 − 3 I 2 (x ) + 2 I 3 (x ) .
Le determinazioni sia di I 2 (x ) che di I 3 (x ) si eseguono mediante IA-3 e, infine, IA-2. Il risultato
complessivo è
I (x ) = −
3x
x
1
+
+ tan −1 x + C .
2
2 2
4 (1 + x ) 2 (1 + x )
4
■
IA-19
Calcolare
⌠ ax + b
I (x ) := 3
dx .
2
⌡ (x + 1)
Volendo scomporre la funzione integranda con il metodo di Hermite (MR-4, II.2, Eq. (4)) e
tenendo conto che il binomio cubico x 3 + 1 possiede una radice ∈ R e due radici ∈ C coniugate,
risulta, con deg H (x ) = 6 − 1 − 2 ⋅ 1 − 1 ≡ deg (x 3 + 1)2 − 1 − 1 = 2 ,
η 0x 2 + η1x + η 2
=…
3
2 −1
(x + 1)
2η 0x + η 1 3η 0 x 4 + 3η 1 x 3 + 3η 2 x 2
α
βx + γ
=
+ 2
+
−
.
x +1 x −x +1
x3 + 1
(x 3 + 1)2
ax + b
d
α
βx + γ
≡
+ 2
+
3
2
(x + 1)
x + 1 x − x + 1 dx
(1)
(1.1)
Le equazioni lineari indipendenti per la determinazione dei coefficienti sono 8. Se non si dispone
di un CAS, si può tentare di ridurre analiticamente le lungaggini del metodo di Cramer o di quello
per eliminazioni successive di Gauss-Seidel.
Specificamente, poiché la differenza minore tra deg D (x ) ≡ 6 e i gradi dei numeratori degli
addendi fratti nella scomposizione (1.1) è 2, si moltiplica questa, prima per x ( ≡ x 1 ) e, poi, per
x 2 , prendendo il limite x → ± ∞ dopo ciascuna moltiplicazione. Questa manovra non influisce
sulle costanti incognite, lasciandone emergere più facilmente, anzi, valori e/o relazioni reciproche
da sfruttare convenientemente.
•
Così, moltiplicando i termini dell’Eq. (1) per x → ∞ , si ha, asintoticamente, 0 = α + β , i.e.,
α = −β ;
•
(2)
se, nell’Eq. (1.1), tra i valori convenienti di x che non siano radici di D (x ) ≡ (x 3 + 1)2 , si
sostituisce, e.g., x = 0 , risulta b = α + γ + η 1 , i.e., per l’uguaglianza (2),
η1 = b + β − γ .
(3)
Introducendo i risultati (3) e (2) nell’Eq. (1) e aggregando i primi tre addendi fratti, risulta
− β (x 2 − x + 1) + ( β x + γ ) (x + 1) + 2η 0x + b + β − γ
ax + b
≡
−
↲
(x 3 + 1)2
x3 + 1
↳
=
(2 β + γ + 2η 0 ) x + b
x3 + 1
−
−
3η 0 x 4 + 3 (b + β − γ ) x 3 + 3η 2 x 2
(x 3 + 1)2
3η 0 x 4 + 3 (b + β − γ ) x 3 + 3η 2 x 2
(x 3 + 1)2
.
(4)
Integrazioni Algebriche –
•
29
In modo analogo all’Eq. (2), la moltiplicazione completa dell’Eq. (4) per x 2 , seguita dalla
calcolo del limite per x → ± ∞ , lascia emergere la relazione 0 = (2 β + γ + 2η 0 ) − 3η 0 dal
regime asintotico, i.e., si ha
2β + γ = η0 .
(5)
Ora, utilizzando l’identità (5) nell’Eq. (4),
3η 0 x + b 3η 0 x 4 + 3 (b + β − γ ) x 3 + 3η 2 x 2
ax + b
≡
−
,
x3 + 1
(x 3 + 1)2
(x 3 + 1)2
ed eliminando i denominatori ≠ 0 , si ottiene
ax + b ≡ (3η 0 x + b ) (x 3 + 1) − 3η 0 x 4 − 3 (b + β − γ ) x 3 − 3η 2 x 2
= (3 γ − 3 β − 2 b ) x 3 − 3 η 2 x 2 + 3 η 0 x + b .
Dunque, per il Principio di Identità dei Polinomi, deve valere il sistema seguente di uguaglianze
lineari parametriche:
0 = 3 γ − 3 β − 2b
0 = − 3η
2
a = 3η
0
, ovvero,
β − γ = − 2b / 3
η = 0
.
2
η = a /3
0
Queste, combinate con le relazioni (2), (3) e (5), forniscono il (solo) vettore-soluzione
β − α (a − 2b)/ 9
≡
γ γ = (a + 4b)/ 9 .
η 1 η 1 b / 3
Ritornando alla scomposizione (1) di Hermite, si scrive
ax + b
2b − a
(a − 2b) x + a + 4 b d (a / 3) x 2 + (b /3) x
=
+
+
(x 3 + 1)2
dx
x3 + 1
9 (x + 1)
9 (x 2 − x + 1)
2b − a 1
x
a + 4b
d x (ax + b)
=
− 2
+
+
2
9 x + 1 x − x + 1 9 (x − x + 1) dx 3 (x 3 + 1)
2b − a 1
(2 x − 1) + 1
a + 4b
d x (ax + b)
−
+
+
2
2
9 x + 1 2 (x − x + 1) 9 (x − x + 1) dx 3 (x 3 + 1)
2b − a 1
2 x − 1 2b − a − 2 (a + 4b) d x (ax + b)
≡
−
−
+
9 x + 1 2 (x 2 − x + 1)
18 (x 2 − x + 1)
dx 3 (x 3 + 1)
=
≡
2b − a
9
2x − 1
a + 2b
d x (ax + b)
1
x + 1 − 2 (x 2 − x + 1) + 6 (x 2 − x + 1) + dx 3 (x 3 + 1) .
I primi due termini sono integrabili in modo elementare, generando un’unica funzione logaritmica
primitiva; per il terzo termine, si può ricorrere all’integrale IA-4-a; l’ultimo termine è integrabile a
vista, essendo un differenziale esatto. Il risultato è
I (x ) =
2b − a
|x + 1|
a + 2b
2 x − 1 x (ax + b)
ln
tan −1
+
+C .
+
3
9
3 3 (x + 1)
x2 − x + 1 3 3
■
Integrazioni Algebriche –
30
IA-20
⌠ dx
,
I (x ) :=
3
⌡ a + bx
Calcolare
con ab ≠ 0 .
Dal cambiamento di variabile u := κ x , nel quale, si è definito κ := (b /a )1 / 3 , seguono dx = du /κ
e la trasformazione
I (x ) ֏ I (u ) =
1 ⌠ du
1 ⌠
du
.
=
3
aκ ⌡ 1 + u
a κ ⌡ (u + 1) (u 2 − u + 1)
La scomposizione della funzione integranda in frazioni parziali,
1
α
βu + γ
=
+ 2
,
2
(u + 1) (u − u + 1) u + 1 u − u + 1
si ha, eliminando i denominatori e ordinando a sinistra vs. le potenze decrescenti di u ,
1 = (α + β ) u 2 − (α − β − γ ) u + α + γ .
Per il Principio di Identità dei Polinomi, deve risultare
α + β = 0
α − β − γ = 0 , da cui segue il vettore-soluzione
α + γ = 1
α 1/ 3
β = −1 / 3 .
γ 2/ 3
Pertanto,
I (u ) =
1
aκ
⌠ 1/ 3
⌠ − (1/3) u + 2/ 3
du +
du
2
⌡ u −u +1
⌡ u + 1
1 ⌠ (2u − 1) + 1 − 4
1
3 ln |u + 1| + C − 3 2 (u 2 − u + 1) du
⌡
1 1
1⌠
2u − 1
du
⌠
=
ln |u + 1| + C −
du +
2
2
aκ 3
3 ⌡ 2 (u − u + 1)
⌡ 2 (u − u + 1)
=
1
aκ
1 1
1
1
2u − 1 ɶ
ln |u + 1| − ln (u 2 − u + 1) +
tan −1
+C
aκ 3
6
3
3
1 1
(u + 1) 2
2u − 1
≡
ln
+ 3 tan −1
+C
2
3a κ 2 u − u + 1
3
=
1 (u + 1)3
2u − 1
+ 3 tan −1
ln 3
+C ֏
u +1
3
2
1/ 3
1 (b 1 / 3 x + a 1 / 3 )3
1
x − a 1/ 3
− 1 2b
≡
ln
+
3
tan
+ C ≡ I (x ) .
3 a 2 / 3 b 1 / 3 2
bx 3 + a
3 a 1 / 3
1
≡
3a κ
■
Integrazioni Algebriche –
31
IA-21
Calcolare
3
2
⌠ a 0x + a 1x + a 2x + a 3
I (x ) :=
dx .
x4 + 1
⌡
Per le proprietà distributiva della somma vs. la divisione nella funzione integranda e di linearità
dell’operatore integrale, si può avviare il calcolo scrivendo
2
⌠ a 1x + a 3
⌠ x3
⌠ x
I (x ) = a 0 4
dx + a 2 4
dx +
dx
4
⌡ x +1
⌡ x +1
⌡ x +1
a 0 ⌠ d (1 + x 4 ) a 2 ⌠ d (x 2 )
≡
+ 2 2
+ φ (x ) dx ,
4 ⌡ x4 + 1
2 ⌡ (x ) + 1 ∫
a0
a2
≡
ln (x 4 + 1) + tan −1 (x 2 ) + C 1 + ∫ φ (x ) dx .
4
2
La scomposizione massimale di φ (x ) in R ,
a 1x 2 + a 3
φ (x ) ≡
x4 + 1
β 1x + γ 1
=
x2 − 2 x + 1
+
β 2x + γ 2
x2 + 2 x + 1
,
(1)
richiede la determinazione di 4 equazioni lineari indipendenti, una per ogni costante parametrica
incognita. Comunque, qualche manovra appropriata è in grado di ridurre le lungaggini del metodo
risolutivo standard (MR4, II.1):
•
poiché, nell’Eq. (1), il membro sinistro è costituito da un’espressione pari vs. x , così deve
essere anche per il membro destro. Ciò avviene sse si assumono
β1 = − β2 ≡ β ∧ γ 1 = γ 2 ≡ γ
Quindi, l’Eq. (1) è ri-scrivibile nella forma
a 1x 2 + a 3
x +1
4
•
=
βx +γ
x − 2x +1
2
−
βx −γ
x + 2x +1
2
;
(2)
per x = 0 , dall’Eq. (2), si ha a 3 = 2 γ , i.e.,
γ = a 3 /2 ;
per x =
(3)
2 , utilizzando anche il risultato (3), l’Eq. (2) si riduce all’identità parametrica
(2a 1 + a 3 )/5 =
2 β + a 3 /2 − ( 2 β − a 3 /2)/5 ,
dalla quale, semplificando, si ricava
β = ( 2 / 4) (a 1 − a 3 ) .
(4)
Con i valori parametrici (4) e (3), la scomposizione (2) diventa
a 1x 2 + a 3
1 + x4
=
=
2 (a 1 − a 3 ) x + 2a 3
4 (x 2 − 2 x + 1)
−
2 (a 1 − a 3 ) x − 2a 3
4 (x 2 + 2 x + 1)
(a 1 − a 3 ) ((2 x − 2 ) + 2 ) + 2 2 a 3
4 2 (x 2 − 2 x + 1)
−
(a 1 − a 3 ) ((2 x + 2 ) − 2 ) − 2 2 a 3
4 2 (x 2 + 2 x + 1)
32
Integrazioni Algebriche –
=
1
2x − 2
1
+ 2 (a 1 + a 3 ) 2
−
(a 1 − a 3 ) 2
x − 2x +1
x − 2x +1 ↲
4 2
↳
2x + 2
1
+ 2 (a 1 + a 3 ) 2
.
x + 2x +1
x + 2x +1
− (a 1 − a 3 )
2
φ (x ) è, ora, pronta per l’integrazione: il 1º e il 3º termine fratto generano espressioni primitive
logaritmiche (v. IA-4, b.) mentre il 2º e il 4º generano primitive arcotangenti (v. IA-4, a.):
∫ φ (x )dx =
=
a1 − a 3
x2 − 2 x + 1 a1 + a 3
ln 2
tan −1 ( 2 x − 1) +
+
↲
4 2
2 2
x + 2x +1
a1 + a 3
+
tan −1 ( 2 x + 1) + C 2
↳
2 2
a1 −a3
x2 − 2 x + 1 a1 + a 3
2x
ln 2
tan −1
+C 2 .
+
2
−
x
1
x
+
x
+
4 2
2
1
2
2
La riduzione delle espressioni arcotangenti ha richiesto l’uso dell’identità goniometrica inversa
u ±v
tan − 1 u ± tan − 1 v = tan − 1
.
1 ∓ uv
Infine, in termini finiti, si ha la rappresentazione
I (x ) =
a0
4
ln (x 4 + 1) +
a1 − a 3
x2 − 2 x + 1 a2
a1 + a3
2x
2
−1
ln 2
tan −1
+C .
+ tan (x ) +
2
2
1
−
x
4 2
x
+
2
x
+
1
2
2
Riduzioni ulteriori in I (x ) fra i termini logaritmici e tra quelli arcotangente sono realizzabili sse
a 0 = (a 1 − a 3 )/ 2 ∨ a 2 = (a 1 + a 3 )/ 2 .
■
IA-22
Calcolare
I (x ) :=
∫
3
(1 − x 2 )3 dx ≡
∫ (1 − x
2/3 3/2
)
dx .
Rispetto ai simboli utilizzati in MR-5, Eq. (1), i parametri di differenziale binomio sono:
p = 1 , q = −1 , α = 0 , β = 2/ 3
e ν = 3 /2 .
Poiché è (α + 1)/β + ν = 3 ∈ Z ∧ ν ≡ 3 /2 ∈ Q , ci si trova nel caso III, per il quale, applicando
la trasformazione (5), l’Eq. (5.1) fornisce la forma razionale differenziale specifica
Ψ (u )du ≡ −
3u 4
du ,
(1 + u 2 )4
con u := (x − 2 / 3 − 1)1 / 2 . Quindi, il metodo di Hermite (MR-4, II.2, Eq. (4)), per il quale, risultano
deg D (u ) ≡ deg (1 + u 2 )4 = 8 ,
deg G (u ) ≡ deg (1 + u 2 )4 − 1 = 6 ,
deg H (u ) = deg G (u ) − 1 = 5 ,
(1)
33
Integrazioni Algebriche –
fissa la scomposizione formale seguente:
−
5
4
3
2
u4
β u + γ d η 0 u + η 1u + η 2u + η 3 u + η 4 u + η 5
≡
=
+
,
(1 + u 2 )4
1 + u 2 du
(1 + u 2 )3
Ψ (u )
3
(2)
dove, con la derivazione vs. u , si ottiene esplicitamente
6
5
4
3
2
u4
β u + γ η 0 x + 2η 1 u − (5η 0 − 3η 2 ) u − 4 (η 1 − η 3 ) u − (3η 2 − 5η 4 ) u − 2 (η 3 − 3η 5 ) u − η 4
.
=
−
(1 + u 2 ) 4
1+u2
(1 + u 2 ) 4
↳
•
Poiché l’espressione nel membro sinistro dell’Eq. (2.1) è pari vs. u , allora, deve essere tale
anche l’espressione nel membro destro. Questo implica la nullità della quaterna di valori
{ β , η 1 , η 3 , η 5 } , consentendo di ridurre l’Eq. (2.1) alla forma
−η 0 u 6 + (5η 0 − 3η 2 ) u 4 + (3η 2 − 5η 4 ) u 2 + η 4
u4
γ
=
+
;
(1 + u 2 )4
1+u2
(1 + u 2 )4
•
(2.1)
la moltiplicazione completa dell’Eq. (2.2) per u 2 , seguita dal limite per x
dal regime asintotico (cfr/c IA-19), la relazione 0 = γ − η 0 , i.e.,
→
(2.2)
± ∞ , fornisce,
γ = η0 .
(3)
Ne segue la rappresentazione
η0
−η 0 u 6 + (5η 0 − 3η 2 ) u 4 + (3η 2 − 5η 4 ) u 2 + η 4
u4
=
+
(1 + u 2 )4
1+u2
(1 + u 2 )4
=
•
•
(8η 0 − 3η 2 ) u 4 + (3η 0 + 3η 2 − 5η 4 ) u 2 + η 0 + η 4
(1 + u 2 )4
;
(4.1)
(4.2)
ora, si moltiplichi completamente l’Eq. (4.2) per u 4 e se ne calcoli, poi, il valore limite per
u → ± ∞ . Si trova, asintoticamente,
1 = 8η 0 − 3η 2 ;
(5)
0 = η0 +η4 ,
(6)
1 = 12η 0 − 4η 4 .
(7)
per u = 0 , l’Eq. (4.2) si riduce a
mentre, per u = 1 , la stessa (4.2) dà
Pertanto, il vettore-soluzione del sistema delle equazioni lineari (5), (6) e (7), è dato da
(η 0 , η 2 , η 4 ) ≡ ( 1/16 , − 1/6 , − 1/16 ) .
Così, per sostituzione diretta, la scomposizione II.2, Eq. (4), di Hermite assume la forma esplicita
u4
1
d (3 u 4 − 8 u 2 − 3) u
=
+
,
16 (1 + u 2 ) du 48 (1 + u 2 )3
(1 + u 2 )4
che è prontamente integrabile.
Per u ≠ 0 , risulta
Integrazioni Algebriche –
34
3
(3 u 4 − 8u 2 − 3) u
−1
+C ֏
I (u ) ≡ ∫ Ψ (u ) du = − tan u −
16
16 (1 + u 2 )3
֏ −
(1 − x 2 / 3 )1 / 2 1
3
tan −1
( 8|x |5 / 3 − 14|x | + 3|x |1/ 3 ) (1 − x 2 / 3 )1 / 2 + C ≡ I (x ) .
−
1/3
16
16
|
x
|
■
IA-23
⌠
I (x ) :=
⌡
Calcolare
a + bx
dx ,
p + qx
a + bx
, seguono:
p + qx
Dalla sostituzione u :=
x = −
con bq ≠ 0 .
a − pu 2
,
b − qu 2
dx = −
2 (aq − bp ) u
2κ u
du ≡ −
du ,
2 2
(b − qu )
(b − qu 2 )2
con la definizione sintetica κ := aq − bp . Quindi, vale la trasformazione integrale
−u 2
⌠
I (x ) ֏ I (u ) = 2κ
du
2 2
⌡ (b − qu )
2 κ ⌠ (b − qu 2 ) − b
κ
≡
du =
2 2
q ⌡ (b − qu )
q
du
⌠ 2du
⌠
b − qu 2 − 2b (b − qu 2 )2
⌡
⌡
κ ⌠ 2du
u
1 ⌠ du
− 2b
+
,
2
2
2
q ⌡ b − qu
2b (b − qx ) 2b ⌡ b − qu
κ ⌠ du
κu
=
−
+C1.
2
q ⌡ b − qu
q (b − qu 2 )
=
da IA-3, con n = 2 ,
Per quanto riguarda l’integrazione rimanente, è richiesto il risultato IA-2, tenendo conto del caso
ambivalente dovuto a sgn (b ( − q )) e sfruttando l’identità sgn ( − q )/q ≡ −1/ |q | :
a.
se bq < 0 , risulta
I (u ) =
κ sgn ( − q )
q ( − bq )
֏ −
b.
tan −1 (( − b /q )1 / 2 u ) −
1/2
κ
|q | ( − bq )
1/2
tan −1 −
κu
q (b − qu 2 )
b (a + bx ) p + qx
+
q ( p + qx )
q
+C ֏
a + bx
+ C = I (x ) ;
p + qx
se bq > 0 , si ottiene
I (u ) =
κ sgn (− q )
2q (bq )1 / 2
…֏
ln
κ
1/2
2 |q | (bq )
(b /q )1 / 2 u + 1
κu
−
+C ֏ …
1/ 2
(b /q ) u − 1 q (b − qu 2 )
ln
|b (a + bx )| − |q ( p + qx )|
|b (a + bx )| + |q ( p + qx )|
+
p + qx
q
a + bx
+ C ≡ I (x ) .
p + qx
■
Integrazioni Algebriche –
35
IA-24
Calcolare
⌠ a 2 − x2
I (x ) := 2
dx ,
2
⌡ b −x
con a ≠ b ∧ ab ≠ 0 .
Presa la coppia {a , b } ∈ R + , senza perdita di generalità riguardo al calcolo, e fissate le condizioni
di realtà |x | ≤ a per l’espressione integranda, una sostituzione risolvente possibile è x := a cos ϕ .
In tal modo, il segno di x è determinato da quello di cos ϕ nell’intervallo principale [ 0 , π ] di
monotonìa della funzione coseno. Quindi, nell’elemento differenziale, dx = − a sin ϕ d ϕ , è sempre
sin ϕ ≥ 0 . Si incomincia con lo scrivere
a sin ϕ
a2 ⌠
( sin ϕ )2
⌠
(− a sin ϕ ) dϕ = − 2
I (x ) ֏ I (ϕ ) = 2
dϕ .
2
b ⌡ 1 − (a 2 /b 2 ) (cos ϕ )2
⌡ b − (a cos ϕ )
La riduzione parametrica ulteriore vs. l’intervallo principale ( 0 , π ) della funzione cotangente, dà
I (ϕ ) = −
= −
a2 ⌠
dϕ
a2 ⌠
dϕ
≡
−
2
2
2
2
2
2
2
b ⌡ (csc ϕ ) − (a /b ) (cot ϕ )
b ⌡ 1 + (cot ϕ ) − (a 2 /b 2 ) (cot ϕ )2
a2 ⌠
dϕ
,
2
b ⌡ 1 + λ (cot ϕ )2
con λ := 1 − a 2 /b 2 .
Ora, posto u := cot ϕ , risultano ϕ = cot −1 u , d ϕ = − du /(1 + u 2 ) e la rappresentazione integrale
trasformata
I (ϕ )
֏
J (u ) =
a2 ⌠
du
.
2
b ⌡ (1 + λ u 2 ) (1 + u 2 )
(1)
____________________
•
Per brevità nei calcoli, l’espressione integranda nella rappresentazione (1) può essere scomposta in due fratti a
denominatori quadratici, come se (1 + λ u 2 ) sia irriducibile in R , eventualità corrispondente al solo caso λ > 0 .
L’operazione, algebricamente ammissibile data la natura formale dei simboli letterali, non esime dalla distinzione
finale dei due casi determinati da sgn ( λ ) . La lettrice\il lettore (paziente) vorrà verificare (e generalizzare) questo
asserto scrivendo, per λ < 0 ,
1 + λ u 2 ≡ 1 − | λ |u 2 = (1 − | λ | 1 / 2 u ) (1 + | λ | 1 / 2 u ) .
•
Il collegamento tra le variabili di integrazione ϕ e x si ottiene mediante l’identità goniometrica
u = cot ϕ = cot ( cos − 1 (x /a )) ≡
x /a
1 − x /a
2
2
=
x
a − x2
2
.
(2)
____________________
Pertanto, poiché la scomposizione formale
β 1x + γ 1 β 2x + γ 2
1
=
+
2
(1 + λ u ) (1 + u )
1 + λu2
1+u2
2
è valida ∀ λ ∈ R , si ha, eliminando i denominatori,
1 = ( β 1 x + γ 1 ) (1 + u 2 ) + ( β 2 x + γ 2 ) (1 + λ u 2 )
= ( β 1 + β 2 λ ) u 3 + (γ 1 + γ 2 λ ) u 2 + ( β 1 + β 2 ) u + γ 1 + γ 2 .
(3)
Integrazioni Algebriche –
36
In forza del Principio di Identità dei Polinomi, vale il sistema di equazioni parametriche lineari
indipendenti
β1 + β2λ = 0
γ 1 + γ 2λ = 0
, il cui (unico) vettore-soluzione è dato da
β1 + β2 = 0
γ +γ = 1
2
1
β1
0
0
β2 =
.
γ 1 λ /(λ − 1)
γ 2 − 1/(λ − 1)
Quindi, la scomposizione (3) possiede la forma esplicita
1
λ
1
.
=
−
2
2
(1 + λ u ) (1 + u )
(λ − 1) (1 + λ u ) (λ − 1) (1 + u 2 )
2
(4)
Si procede all’integrazione, tenendo conto dell’ambiguità di sgn (λ ) :
I.
sia λ ≡ 1 − a 2 /b 2 < 0 , i.e., sia a > b .
Allora, utilizzando il risultato generale IA-2, b. e l’identità (2) precedente, risulta
du
1 ⌠ du
λ ⌠
λ − 1 1 − | λ |u 2 − λ − 1 1 + u 2
⌡
⌡
|λ |
|λ |u + 1
a2
1
= 2
ln
−
tan −1u + C ֏ …
b 2 (λ − 1)
|λ | u − 1 λ − 1
J (u ) =
a2
b2
a 2 −b2
ln
2b
֏
II.
a 2 −b2 x −b a 2 − x 2
a −b x +b a − x
2
2
2
2
x
+ tan −1
2
2
a −x
+ C ≡ I (x ) ;
sia λ ≡ 1 − a 2 /b 2 > 0 , i.e., sia a < b .
Con l’integrale generale IA-2, a. e l’identità (2) precedente, si ottiene
1 ⌠ du
λ ⌠ du
λ − 1 1 + λu 2 − λ − 1 1 + u 2
⌡
⌡
2
a λ
1
= 2
tan −1 ( λ u ) −
tan −1 u + C ֏ …
λ −1
b λ −1
J (u ) =
a2
b2
֏
−
x
b2 −a 2
tan −1
b
b
b2 −a 2
a2 −x2
x
+ tan −1
2
2
a −x
+ C ≡ I (x ) .
■
IA-25
Calcolare
dx
⌠
I (x ) :=
,
⌡ (a + bx ) p + qx
con q ≠ 0 .
Sia x > − p /q ∧ x ≠ − a /b . Posto u := p + qx , si determinano gli elementi: x = (u 2 − p)/q , e
dx = (2/q ) u du . Quindi,
(2/q ) u du
du
⌠
⌠
⌠ du
,
I (x ) ֏ I (u ) =
= 2
≡ 2
2
2
2
⌡ (a + b (u − p )/q ) u
⌡ (aq − bp ) + bu
⌡ κ + bu
Integrazioni Algebriche –
37
dalla definizione ulteriore evidente κ := aq − bp .
a.
Se κ = 0 , l’integrazione è immediata:
I (u ) = −
2
2
+C ֏ −
+ C ≡ I (x ) .
bu
b p + qx
Questo caso corrisponde alla proporzionalità tra i quattro parametri originari, che si incontra
anche nello studio della funzione omografica. Infatti, da aq = bp , si ha, e.g., a /p = b /q , così
che i binomi lineari (a + bx ) e ( p + qx ) risultano proporzionali tra loro, di fattore a /p ≡ b /q ;
b.
se κ ≠ 0 , conviene ricorrere all’integrale IA-2. Pertanto,
b.1 κ b < 0 implica che
sgn (κ )
(−b /κ )1 / 2 u + 1
ln
+C ֏
I (u ) =
(− κb)1 / 2
(−b /κ )1 / 2 u − 1
b.2
( −b /κ )1 / 2 p + qx + 1
sgn (κ )
֏
ln
+ C ≡ I (x ) ;
(− κ b)1 / 2
(−b /κ )1 / 2 p + qx − 1
κ b > 0 fornisce, invece, come risultato,
I (u ) =
2 sgn (κ )
2 sgn (κ )
tan ((b /κ )1 / 2 u ) + C ֏
tan ((b /κ )1 / 2 p + qx ) + C ≡ I (x ) .
1/2
1/2
(κ b)
(κ b)
■
IA-26
Calcolare
⌠
I (x ) :=
⌡
x
dx ,
p + qx + r
con pq ≠ 0 .
Sia x ≥ − p /q ∧ x ≠ (r 2 − p )/q .
Definito u :=
p + qx , seguono x = (u 2 − p )/q , dx = (2/q ) u du e la trasformazione integrale
2 ⌠ u 3 − pu
⌠ (u 2 − p)/q
I (x ) ֏ I (u ) =
⋅ (2/q ) udu = 2
du
q ⌡ u +r
⌡ u +r
2 ⌠
r (r 2 − p)
= 2 u 2 − ru + (r 2 − p) −
du ,
q ⌡
u +r
da MR-4, Eq. (1),
2 u3 r 2
= 2
− u + (r 2 − p) u − r (r 2 − p) ln |u + r | + C ֏
q 3 2
2 1
r
3 /2
2
֏ 2 ( p + qx ) − ( p + qx ) + (r − p ) p + qx −
↲
q 3
2
↳
− r (r 2 − p) ln
p + qx + r
) + C ≡ I (x ) .
■
Integrazioni Algebriche –
38
IA-27
p + qx
dx ,
xn
⌠
I n (x ) :=
⌡
Calcolare
dove, n ∈ Z + \{1} ∧ pq ≠ 0 .
Con α ≡ − n , β ≡ 1 e ν ≡ 1/2 , I n (x ) è un integrale di Differenziale Binomio calcolabile in
termini finiti (v. MR-5, II., Eq. (12) e (12.1)). Lasciando questo procedimento come verifica utile,
verrà qui seguito, invece, il metodo di integrazione per-parti, prendendo 1/x n come il fattore finito
e
p + qx dx come fattore differenziale.
L’integrazione di
p + qx dx è elementare: come per gli integrali IA-25 e IA-26, la definizione
p + qx , con x ≥ − p /q , porta alla rappresentazione trasformata
u :=
I (u ) = (2/q ) ∫ u 2du = (2/(3q )) u 3 + C
e, quindi,
∫
p + qx dx = (2/(3q )) (p + qx )3 / 2 + C .
(1)
Ritornando a I n (x ) , si ha
I n (x ) =
2 (p + qx )3 / 2 2 n ⌠ (p + qx )3 / 2
+
dx
3q
xn
3q ⌡
xn +1
2 ( p + qx )3 / 2 2 n ⌠ (p + qx ) p + qx
≡
+
dx
3q
xn
3q ⌡
xn +1
p + qx
2n ⌠
dx +
n +1
x
3 ⌡
2 np
2n
+
I n + 1 (x ) +
I n (x ) .
3q
3
=
2 ( p + qx )3 / 2 2 np ⌠
+
xn
3q
3q ⌡
≡
2 (p + qx )3 / 2
3q
xn
p + qx
dx
xn
Risolvendo vs. I n + 1 (x ) , risulta
I n + 1 (x ) = −
(p + qx )3 / 2 (2 n − 3)q
I n (x )
−
npx n
2 np
e, con la traslazione di indice muto n ֏ n − 1 , si arriva alla rappresentazione ricorsiva
I n (x ) = −
( p + qx )3 / 2 (2 n − 5) q ⌠
−
(n − 1) px n 2 (n − 1) p ⌡
p + qx
dx .
xn −1
■
La riduzione formale del risultato ottenuto per IA-27, iterata n − 1 volte, porta all’integrale
IA-28
Calcolare
⌠
I (x ) :=
⌡
p + qx
dx ,
x
con pq ≠ 0 .
Sia x ≥ − p /q . Anche in questo caso, mediante la stessa trasformazione applicata alle variabili di
Integrazioni Algebriche –
integrazione in IA-26 e in IA-27, i.e., u :=
39
p + qx , si ottiene
⌠ u2
⌠ (u 2 − p) + p
⌠ du
I (x ) ֏ I (u ) = 2 2
du ≡ 2
du = 2 ∫ du − 2 p
.
2
2
⌡ p −u
⌡ u −p
⌡ u −p
Il risultato è immediato, ricorrendo alla forma generale ricavata per IA-2:
2 | p |tan −1 p + qx + C ,
I (u ) ֏ I (x ) = 2 p + qx +
p + qx − p
+C ,
p ln
p + qx + p
se p < 0 ,
se p > 0 .
■
IA-29
Calcolare
p + qx
⌠
I (x ) := 2
dx ,
2
3/2
⌡ ( p + q + 2 pqx )
con pq ≠ 0 .
Conviene riconfigurare l’espressione integranda nel modo seguente:
p + qx
1
2 p 2 + 2 pqx
≡
⋅
(p 2 + q 2 + 2 pqx )3 / 2
2 p (p 2 + q 2 + 2 pqx )3 / 2
1 (p 2 + q 2 + 2 pqx ) + p 2 − q 2
≡
⋅
2p
(p 2 + q 2 + 2 pqx )3 / 2
=
1
1
p2 −q2
+
2
2
1/ 2
2
2
3/2
2 p (p + q + 2 pqx )
( p + q + 2 pqx )
1
1
p2 −q2
≡
+
,
2 p (α + β x )1/ 2 (α + β x )3 / 2
con le definizioni sintetiche evidenti α := p 2 + q 2 e β := 2 pq .
Ora, si ponga u := (α + β x )1/ 2 , così che x = (u 2 − α )/β e dx = (2/β )udu . Pertanto,
I (x ) ֏ I (u ) =
1 ⌠
2p
⌡
1 p2 −q2 2
+
u du
u
u3 β
1
p2 −q2
1 u2 − p2 −q 2
=
⋅
+C ֏
u −
+C =
pβ
u
2 p 2q
u
1 (p 2 + q 2 + 2 pqx ) − p 2 + q 2
px + q
֏
⋅
+C = 2 2
+ C ≡ I (x ) .
2
2
2
1/ 2
2p q
(p + q + 2 pqx )
p (p + q 2 + 2 pqx )1 / 2
□
Un’applicazione critica definita di IA-29
L’integrazione simmetrica di I (x ) nell’intervallo ( −1 , 1) , che si incontra nel trattamento di certi modelli di carica
elettrica statica distribuita su un filo conduttore teso (simmetria cilindrica), dà un risultato interessante:
I (x )
1
−1
≡
px + q
2
2
p ( p + q 2 + 2 pqx )1 / 2
1
=
−1
1 p +q
p − q 2 /p 2
+
=
p 2 | p + q | | p − q | 0
se p < q ,
se p > q .
■
40
Integrazioni Algebriche –
IA-30
I m , n (x ):=
Calcolare
∫x
m −1
(x n − 1) − 1 dx ,
con {m, n } ⊂ Z
+
∧ m ≤ n.
In questo caso, la parte finita del differenziale binomio integrando appare già nella forma razionale
appropriata, del tipo MR-5, I, Eq. (3.1). Per maggior chiarezza, conviene riscrivere
⌠ xm −1
I m , n (x ):= n
dx .
⌡ x −1
Il polinomio-denominatore D (x ) ≡ x n − 1 possiede n radici in C , ordinabili nella n-pla {ξ r } ,
con r ∈ {1, 2, …, n } . Esse sono tutte semplici; la loro determinazione costituisce il problema ben
noto della ricerca delle radici n-sime di 1 in C .
Applicando la scomposizione stabilita in MR-4, Eq. (2), si scrive la somma
xm −1
=
xn − 1
n
αr
∑ x −ξ
r =1
,
(1)
r
il cui coefficiente generale α r è calcolabile mediante l’identità (3), lì, successiva:
αr =
a.
x m −1
d (x n − 1)/dx
=
x =ξr
ξ rm − 1
1
≡ ξ r− (n −m ) .
n −1
nξr
n
(1.1)
Sia n pari.
Le fattorizzazioni massimali di D (x ) , rispettivamente, in R e, poi, in C , sono
x n − 1 ≡ (x + 1)(x − 1)(x n − 2 + x n − 4 + x n − 6 + … + x 2 + 1) ,
≡ (x + 1) (x − 1) (x + e i 2π /n )(x + e i 4π /n ) … (x + e ik π /n ) … (x + e i (n − 2)π /n ) ⋅ ↵
−i 2π /n
↳ ⋅ (x + e
)(x + e −i 4π /n ) … (x + e −ik π /n ) … (x + e −i (n − 2)π /n ) ,
(2.1)
(2.2)
i.e., con k ∈ {2, 4, 6,…, n − 2} e tenendo presente l’identità euleriana e ±i ϕ ≡ cos ϕ ± i sin ϕ ,
necessaria nella riduzione formale.
Definite θ k := kπ /n e λ := n − m ≥ 0 , la fattorizzazione (2.2) porta alla scomposizione (1),
nella quale, ξ r ≡ e i r π /n ≡ e
iθ r
= cos θ r + i sin θ r , evidentemente.
Si scrive, dunque,
iθ λ
e −i θ k λ
xm −1
(− 1)λ
1
1
e k
=
+
+ ⋅
+
∑
x n − 1 n (x + 1) n (x − 1) n k = 2, 4 , 6, … , n − 2 x − e i θ k x − e −i θ k
=
(− 1)λ
1
2
+
+ ⋅
∑
n (x + 1) n (x − 1) n k = 2, 4, 6, … , n − 2
= …
cos (λθ k ) ⋅ (x − cos θ k ) + sin (λθ k ) ⋅ sin θ k
x 2 − 2 (cos θ k ) x + 1
Ora, procedendo con l’integrazione e ricordando anche l’integrale IA-4-a., risulta
I m , n (x ) =
1
(− 1)λ
ln |x − 1| +
ln |x + 1| +
↲
n
n
1
+
(cos (λθ k ) ⋅ ln (x 2 − 2 (cos θ k ) x + 1)) +
↳ n k = 2, 4∑
↲
, 6 , …, n − 2
.
41
Integrazioni Algebriche –
2
↳ n
+
b.
x − cos θ k
−1
sin (λθ k ) ⋅ tan
k = 2, 4 , 6 , … , n − 2
sin θ k
∑
+ C ;
sia n dispari.
Qui, le fattorizzazioni massimali di D (x ) , rispettivamente, in R e in C , sono
x n − 1 ≡ (x − 1)(x n − 1 + x n − 2 + x n − 3 + … + x + 1) ,
(3.1)
≡ (x − 1) (x + e i 2π /n ) (x + e i 4π /n ) … (x + e ik π /n ) … (x + e i (n − 2)π /n ) ⋅ ↵
−i 2π /n
↳ ⋅ (x + e
)(x + e −i 4π /n ) … (x + e −ik π /n ) … (x + e −i (n − 2)π /n ) ,
(3.2)
i.e., con k ∈ {2, 4, 6, …, n − 1} .
Mantenendo gli stessi simboli usati nel caso a., si determina la scomposizione massimale
iθ λ
e −i θ k λ
xm −1
1
1
e k
=
+
⋅
+
∑
x n − 1 n (x − 1) n k = 2, 4 , 6 , … , n − 1 x − e i θ k x − e −i θ k
=
1
2
+ ⋅
∑
n (x − 1) n k = 2, 4, 6, … , n − 1
= …
cos (λθ k ) ⋅ (x − cos θ k ) + sin (λθ k ) ⋅ sin θ k
x 2 − 2 (cos θ k ) x + 1
,
dalla quale, anche con l’aiuto dell’integrale IA-4-a., risulta
I m,n =
1
1
ln |x − 1| +
n
n
∑
(cos (λθ k ) ⋅ ln (x 2 − 2 (cos θ k ) x + 1)) +
k = 2, 4 , 6 , …, n − 1
2
↳ n
+
x − cos θ k
−1
sin (λθ k ) ⋅ tan
k = 2, 4 , 6 , … , n − 1
sin θ k
∑
↲
+ C .
■
IA-31
Calcolare
I m , n (x ):=
∫x
m −1
con {m, n } ⊂ Z
(x n + 1) −1 dx ,
+
∧ m ≤ n.
Il calcolo di I m , n (x ) , può essere condotto come per l’integrale IA-30, usando gli stessi simboli ma
facendo attenzione alle specificità che insorgono dalla parità\disparità di n .
a.
Sia n pari.
In questo caso, la fattorizzazione lineare di D (x ) è possibile solo in C . Si ha, in generale,
x n + 1 ≡ (x + e i π /n )(x + e i 3π /n )(x + e i 5π /n ) … (x + e ik π /n ) … (x + e i (n − 1)π /n ) ⋅
↳
↳
⋅ (x + e
− i π /n
… ⋅ (x + e
)(x + e
−i (n − 3)π /n
−i 3π /n
) (x + e
)(x + e
−i 5π /n
−i (n − 1)π /n
) … (x + e
−ik π /n
↲
) ⋅…
↲
),
i.e., per k ∈ {1, 3 , 5, … , n − 1} . Ne segue la scomposizione dell’espressione integranda
iθ λ
e −i θ k λ
xm −1
1
e k
=
⋅
+
∑
x n − 1 n k = 1, 3, 5, … , n − 1 x − e i θ k x − e −i θ k
= …
(2)
Integrazioni Algebriche –
42
cos (λθ k ) ⋅ (x − cos θ k ) + sin (λθ k ) ⋅ sin θ k
2
⋅
.
∑
n k = 1, 3, 5, … , n − 1
x 2 − 2 (cos θ k ) x + 1
=
e, quindi, anche mediante l’integrale IA-4-a., il risultato
I m, n =
1
n
∑
(cos (λθ k ) ⋅ ln (x 2 − 2 (cos θ k ) x + 1)) +
k = 1, 3 , 5 , …, n − 1
2
↳ n
+
b.
↲
x − cos θ k
−1
sin (λθ k ) ⋅ tan
k = 1, 3, 5, … , n − 1
sin θ k
∑
+ C ;
sia n dispari.
Le fattorizzazioni massimali di D (x ) , rispettivamente, in R e in C , sono
x n + 1 ≡ (x + 1)(x n − 1 − x n − 2 + x n − 3 − … + x 2 − x + 1) ,
≡ (x + 1)(x + e
↳
i π /n
⋅ (x + e
)(x + e
−i π /n
i 3π /n
) (x + e
)(x + e
−i 3π /n
i 5π /n
)(x + e
) … (x + e
−i 5π /n
(3.1)
ik π /n
) … (x + e
) … (x + e
−ik π /n
i (n − 2)π /n
) … (x + e
)⋅
↲
−i (n − 2)π /n
) , (3.2)
i.e., per k ∈ {1, 3 , 5 , … , n − 2} . Pertanto, la scomposizione dell’espressione integranda è
iθ λ
e −i θ k λ
xm −1
( − 1)λ
1
e k
=
+
⋅
+
∑
x n − 1 n (x + 1) n k = 1, 3, 5, … , n − 2 x − e i θ k x − e −i θ k
=
(− 1)λ
2
+ ⋅
∑
n (x + 1) n k = 1, 3, 5, … , n − 2
= …
cos (λθ k ) ⋅ (x − cos θ k ) + sin (λθ k ) ⋅ sin θ k
x 2 − 2 (cos θ k ) x + 1
,
Da questa e, anche, dall’integrale IA-4-a., si trova che
I m, n =
(− 1)λ
1
ln |x + 1| +
n
n
2
↳ n
+
∑
(cos (λθ k ) ⋅ ln (x 2 − 2 (cos θ k ) x + 1)) +
k = 1, 3 , 5, …, n − 2
x − cos θ k
−1
sin (λθ k ) ⋅ tan
k = 1, 3, 5, … , n − 2
sin θ k
∑
↲
+ C .
■
IA-32
Calcolare
dx
⌠
,
I − n (x ) :=
n +1
+ bx n
⌡ ax
dove, n ∈ Z + \{1} ∧ ab ≠ 0 .
Questo integrale indefinito si deduce da una famiglia numerabile evidente di differenziali binomî:
{x −n (ax + b)−1dx } . Si può avviare il calcolo con una scomposizione ad-hoc, scrivendo
(ax + b) − b
⌠ x −n
⌠
I −n (x ) ≡
dx = x −n − 1 ⋅
dx
a (ax + b)
⌡
⌡ ax + b
1
b ⌠ x −n − 1
x −n
b
−n − 1
= ∫x
dx −
dx ≡
+ C 1 − I −n − 1 (x ) .
a
a ⌡ ax + b
a (− n )
a
Quindi, esplicitando I −n − 1 (x ) dall’uguaglianza precedente,
43
Integrazioni Algebriche –
x −n
a
a ⌠ x −n
⌠ x −n − 1
I −n − 1 (x ) ≡
dx =
+ C1 −
dx
b (− n ) b
b ⌡ ax + b
⌡ ax + b
x −n
a
≡
+ C 2 − I −n (x ) ,
b (− n )
b
e con la traslazione successiva discendente n ֏ n − 1 dell’indice muto, si determina la ricorsività
ascendente x −n ֏ x −n + 1 e, quindi, la riduzione
I −n (x ) = −
x −n + 1
a
+ C 2 − I −n + 1 (x ) .
b (n − 1)
b
(1)
La corrispondente rappresentazione esplicita equivalente è
x −n + 1
a ⌠ x −n + 1
⌠ x −n
dx = −
+C 2 −
dx .
b (n − 1)
b ⌡ ax + b
⌡ ax + b
(1.1)
Osservazioni
• L’identità (1) fallisce per n = 1 . D’altra parte, questa circostanza conduce direttamente all’integrale IA-4, b.:
dx
1
2ax + b − |b |
1
ax
⌠ x −1
⌠
dx ≡
=
ln
+ C ≡ ln
+C .
2
|b |
2ax + b + |b |
b
ax + b
⌡ ax + bx
⌡ ax + b
(2)
• Certamente, il termine integrando finito in I − n (x ) è riducibile mediante la scomposizione fondamentale
MR4,
II.1, Eq. (2),
λ1 λ2 λ 3
λn
1
1
1 α
≡ n
=
+
+ 2 + 3 +…+ n .
x n (ax + b)
x a (x + b /a )
a x + b /a
x
x
x
x
(3)
Alla scomposizione (3), ci si riduce prontamente anche con l’Identità di Hermite, v. MR4, II.2, Eq. (4),
x
1
≡
a x
1
1
≡
n
x (ax + b ) a
α
+ b /a
α
+ b /a
+
+
λ1
x
λ1
x
+
−
n−2
+ η1xn − 3 + η 2xn − 4 + … + ηn − 3 x + ηn − 2
d η 0 x
dx
xn − 1
n −2
∑
k =0
(k + 1)η k
,
xk + 2
(3.1)
dove, necessariamente, risulta λ k + 2 ≡ − (k + 1)η k . L’esplicitazione delle identità (3) o (3.1), però, si rivela subito
onerosa per n ‘grande’, dovendo essere calcolati n + 1 valori parametrici dai sistemi risolventi corrispondenti di
altrettante equazioni lineari.
■
IA-33
Calcolare
n
⌠ x
I n (x ) :=
dx ,
⌡ Χ
con a ≠ 0 ∧ n ∈ Z + .
A questa famiglia integrale parametrica, appartiene l’integrale indefinito IA-17, che è stato risolto
per via goniometrica.
Nel dominio D ⊆ R , nel quale sia Χ ∈ R + , si può scrivere
(2ax + b) − b
1⌠
2ax + b
b ⌠ xn −1
⌠
I n (x ) ≡ x n − 1 ⋅
dx = x n − 1 ⋅
dx −
dx
a⌡
2a ⌡ Χ
2a Χ
2 Χ
⌡
Integrazioni Algebriche –
≡
1
a
∫x
n −1
⋅d Χ −
44
b
I n − 1 (x ) .
2a
Ora, si integra il primo termine per-parti, ottenendo
1 n −1
1
b
x
Χ − ∫ (n − 1) x n − 2 ⋅ Χ dx −
I n − 1 (x )
2a
a
a
1
n − 1 ⌠ n −2 Χ
b
≡ xn −1 Χ −
dx −
I n − 1 (x )
x ⋅
a
a ⌡
2a
Χ
=
n −1
n −2
b
1 n −1
n − 1 ⌠ xn
⌠ x
⌠x
≡ x
Χ −
dx + b
dx + c
dx −
I n − 1 (x )
a
a
a ⌡ Χ
⌡ Χ
⌡ Χ
2a
1
b
c
b
≡ x n − 1 Χ − (n − 1) I n (x ) − (n − 1) I n − 1 (x ) − (n − 1) I n − 2 (x ) −
I n − 1 (x ) .
a
a
a
2a
Risolvendo completamente vs. l’incognita I n (x ) , si trova
I n (x ) =
1 n −1
b
(n − 1) c
x
Χ − I n − 1 (x ) −
I n − 2 (x ) .
na
a
na
(1)
L’applicazione ripetuta del risultato (1) porta al calcolo conclusivo di IA-11.
■
IA-34
dx
,
I n (x ) := ⌠
n
⌡ x Χ
Calcolare
con a ≠ 0 ∧ n ∈ Z + \{1} .
Assumendo Χ ∈ R + , come per l’integrale IA-33, si inizia con la scomposizione seguente:
1 ⌠ 1 2ax + b
b ⌠
dx
⌠ (2ax + b) − b
I n (x ) ≡
dx = n + 1 ⋅
dx −
n +1
n +1
2a ⌡ x
a⌡ x
Χ
2 Χ
Χ
⌡ 2ax
1
1
b
≡ ⌠
I n + 1 (x ) .
n + 1 ⋅d Χ −
a⌡ x
2a
Si prosegue con un’integrazione per-parti evidente del primo termine,
I n (x ) =
=
≡
≡
Χ
ax
n +1
Χ
ax
n +1
Χ
ax
n +1
Χ
ax
n +1
b
I n + 1 (x )
2a
−
1
a
+
n +1 ⌠
Χ
b
dx −
I n + 1 (x )
n +2
a ⌡x
2a
Χ
+
n + 1 ⌠ dx
dx
dx b
⌠
a n
+ b n + 1
+ c⌠
I n + 1 (x )
n +2
−
a ⌡x Χ
⌡ x
⌡x
Χ
Χ 2a
∫ (− (n + 1) x
− (n + 2 )
Χ )dx −
b
c
b
+ (n + 1) I n (x ) + (n + 1) I n + 1 (x ) + (n + 1) I n + 2 (x ) −
I n + 1 (x ) .
a
a
2a
Risolvendo completamente vs. il termine incognito I n + 2 (x ) ed eseguendo, quindi, la traslazione di
indice muto n ֏ n − 2 , risulta
Integrazioni Algebriche –
I n (x ) = −
Χ
(n − 1) c x
n −1
−
45
(n − 2)b
(n − 2) a
I n − 1 (x ) −
I n − 2 (x ) ,
(n − 1) c
(n − 1) c
facilmente iterabile.
Osservazione
⌠ dx
Il calcolo di I 1 (x ) :=
si riconduce prontamente a quello della famiglia IA-14, nella quale, siano assegnati
⌡ x Χ
p ≡ 0 ∧ q ≡ 1 . Il procedimento risolvente rispettivo rimanda, a sua volta, all’integrale fondamentale IA-11, nella
⌠
du
forma ambigua I (u ) = ±
, secondo che sia u ≡ 1/x ≶ 0 , i.e., secondo che sia x ≶ 0 .
2
⌡ cu + bu + a
Stabilita tale corrispondenza simbolica ordinata alto\basso, si determinano i risultati seguenti:
a.
per c ∈ R + ∧ b 2 − 4ac ≡ ∆ ≠ 0 ,
I 1 (x ) = ±
1
c
1 /2
bx + 2c + 2 sgn (x ) c Χ
ln
+C ,
x
con Χ ≡ ax 2 + bx + c ;
b.
per c ∈ R + ∧ ∆ = 0 ,
I 1 (x ) = ±
c.
1
c
1 /2
ln
bx + 2c
+C ;
x
per c ∈ R − ∧ ∆ > 0 (necessariamente!),
I 1 (x ) = ±
1
1
bx + 2c
bx + 2c
cos − 1 1 / 2 + C 1 ≡ ∓
sin − 1 1 / 2 + C 2 .
1 /2
1 /2
( − c)
∆ x
( −c)
∆ x
■■■
Integrazioni Goniometriche –
46
Integrazioni Goniometriche
IG-1
Calcolare
I (x ) :=
∫ csc x d x .
dx
dx
d (x /2)
⌠
⌠
⌠ d (tan (x /2))
I (x ) ≡ ⌠
=
=
=
2
⌡ sin x
⌡ 2 sin (x /2) cos (x /2) ⌡ tan (x /2) (cos (x /2))
⌡ tan (x /2)
= ln |tan (x /2)| + C .
■
IG-2
Calcolare
I (x ) :=
∫ sec x d x .
dx
⌠ d (x + π / 2)
†
I (x ) ≡ ⌠
=
= ln | tan (x / 2 + π / 4) | + C ≡ gd − 1 x + C ( ),
⌡ cos x
⌡ 2 sin (x + π / 2)
ricorrendo all’integrale IG-1 e alla traslazione x ֏ x + π /2 .
■
IG-3
Calcolo e applicazioni della famiglia integrale bi-parametrica
I α , β (x ) :=
∫ (cos x )
α
( sin x ) β dx ,
con {α , β } ⊂ R ∧ α ≠ − β .
Deve essere, ovviamente, cos x ∧ sin x ∈ R + . Con un’integrazione per-parti evidente, si ha
d (( sin x )β + 1 )
⌠
I α , β (x ) = (cos x )α − 1
β +1
⌡
α −1
β +1
(cos x ) ( sin x )
α −1
=
+
(cos x )α − 2 ( sin x ) β + 2dx
∫
β +1
β +1
≡
(cos x )α − 1 ( sin x ) β + 1 α − 1
+
( cos x )α − 2 (1 − (cos x )2 ) ( sin x ) β dx
β +1
β +1 ∫
(cos x )α − 1 ( sin x )β + 1 α − 1
α −1
=
+
(cos x )α − 2 ( sin x )β dx −
(cos x )α ( sin x )β dx
∫
∫
β +1
β +1
β +1
≡
( cos x )α − 1 ( sin x ) β + 1 α − 1
α −1
+
I α − 2, β (x ) −
I (x ) .
β +1
β +1
β + 1 α, β
Risolvendo vs. I α , β (x ) nell’ultima uguaglianza scritta, risulta
(cos x )α − 1 ( sin x ) β + 1 α − 1
I α , β (x ) =
+
I
(x ) .
α +β
α + β α − 2, β
(1)
____________________
(†)
La rappresentazione integrale delle Funzioni di Gudermann diretta e inversa sono discusse, e.g., dall’autore, in:
La Goniometria Iperbolica: un modello strutturale, P.10, EQ. (24).
Integrazioni Goniometriche –
47
Alternativamente, si può integrare per-parti e procedere in modo analogo:
1
⌠
I α , β (x ) = ( sin x ) β − 1 −
d (cos x )α + 1
⌡
α +1
1
β −1
= −
(cos x )α + 1 ( sin x ) β − 1 +
(cos x )α + 2 ( sin x ) β − 2dx
∫
α +1
α +1
(cos x )α + 1 ( sin x ) β − 1 β − 1
≡ −
+
(cos x )α (1 − ( sin x )2 ) ( sin x ) β − 2dx
∫
α +1
α +1
= −
(cos x )α + 1 ( sin x )β − 1 β − 1
β −1
+
(cos x )α ( sin x ) β − 2dx −
(cos x )α ( sin x ) β dx
∫
α +1
α +1
α +1 ∫
≡ −
(cos x )α + 1 ( sin x )β − 1 β − 1
β −1
+
I α , β − 2 (x ) −
I (x ) .
α +1
α +1
α + 1 α, β
Risolvendo vs. I α , β (x ) nell’ultima uguaglianza scritta, si ottiene
I α , β (x ) = −
(cos x )α + 1 ( sin x )β − 1 β − 1
+
I
(x ) .
α+β
α + β α, β −2
(2)
Osservazione
Quando α = − β , con α ∧ β ≠ 1 , I α , β (x ) è riducibile all’uno o l’altro degli integrali, rispettivamente,
Τ − β , β (x ) ≡
∫ ( tan x )
Κ α , − α (x ) ≡
∫ ( cot x )
β
dx ,
α
(3.1)
dx ,
(3.2)
entrambi calcolabili per-parti, con lo stesso procedimento. Ad esempio, per l’integrale (3.2), si ha:
⌠
⌡
Κ α , − α (x ) ≡ ( cos x )α − 1
cos x
1
⌠
dx ≡ ( cos x )α − 1 d −
α
α −1
( sin x )
⌡
(α − 1) ( sin x ))
= −
( cot x )α − 1 ⌠
1
+
α −1
α −1
⌡ (α − 1) ( sin x )
= −
( cot x )α − 1
(tan x ) β + 1
− ∫ ( cot x )α − 2 dx ≡
− Τ β + 2, − (β + 2) (x ) .
α −1
β +1
( (α − 1) (cos x )
α −2
( − sin x ) d x
)
(3.3)
La convenienza di poter disporre di due rappresentazioni equivalenti di I α , β (x ) , con α ≠ − β , sta
nella arbitrarietà sia di lettura delle Eq. (1) e (2) in entrambi i sensi sia di assegnazione formale dei
parametri muti {α , β } ⊂ R .
Alla lettrice\al lettore … volonterosa\o, è lasciata la verifica (facile) dei risultati ricorsivi seguenti (ovviamente, sotto
condizioni specifiche in R circa i valori assegnabili ad α e a β ):
(cos x )α − 1 sin x
∫
(cos x )α dx =
∫
( sin x ) β d x = −
α
+
cos x ( sin x ) β − 1
β
α −1
(cos x )α − 2 dx ,
∫
α
+
(per α ∈ Z + , v. MR-8, I e II)
(4)
β −1
+
( sin x ) β − 2 dx , (per β ∈ Z , v. MR-8, I e II)
β ∫
(5)
dx
sin x
α −2 ⌠
dx
⌠
,
=
+
α
α −1
(α − 1) ( cos x )
α − 1 ⌡ (cos x )α − 2
⌡ ( cos x )
(6)
Integrazioni Goniometriche –
48
cos x
β −2 ⌠
dx
⌠ dx
,
= −
+
β
β −1
(β − 1) ( sin x )
β − 1 ⌡ ( sin x ) β − 2
⌡ ( sin x )
(7)
(cos x )α − 1
α − 1 ⌠ (cos x )α − 2
(α − β ) ( sin x ) β − 1 + α − β ( sin x ) β dx ,
⌠ (cos x )α
⌡
dx =
β
α +1
(cos x )
β − α − 2 ⌠ (cos x )α
⌡ ( sin x )
−
+
dx ,
β −2
(β − 1) ( sin x ) β − 1
β −1
⌡ ( sin x )
(8)
( sin x ) β − 1
β − 1 ⌠ ( sin x ) β − 2
−
+
(β − α ) (cos x )α − 1 β − α (cos x )α dx ,
⌠ ( sin x ) β
⌡
dx =
α
β +1
( sin x )
α − β − 2 ⌠ ( sin x ) β
⌡ (cos x )
+
dx ,
α −2
(α − 1) (cos x )α − 1
α −1
⌡ ( sin x )
(9)
dx
⌠
α
β
⌡ (cos x ) ( sin x )
1
α + β −2 ⌠
dx
(α − 1) (cos x )α − 1 ( sin x ) β − 1 + α − 1 (cos x )α − 2 ( sin x ) β ,
⌡
=
α + β −2 ⌠
1
dx
−
+
.
α
β
α
−1
−1
(β − 1) (cos x ) ( sin x )
β − 1 ⌡ (cos x ) ( sin x ) β − 2
(10)
■
IG-4
Calcolare
dx
⌠
,
I n (x ) :=
n
⌡ (1 + cos x )
con n ∈ Z + .
Ricorrendo alle trasformazioni (29) di MR-9, si scrive, mediante la riduzione MR-3, Eq. (4),
2/(1 + u 2 )
1
⌠
I n (x ) ֏ In (u ) =
du = n − 1 ∫ (1 + u 2 )n − 1du
2
2 n
2
⌡ (1 + (1 − u )/(1 + u ))
n −1
1 ⌠
1 n − 1 n − 1 u 2k + 1
n − 1 2k
= n −1 ∑
u
du
=
+C
∑
2 ⌡ k =0 k
2n − 1 k = 0 k 2k + 1
e, quindi,
I n (x ) =
(n − 1)! n − 1
(tan (x /2))2k + 1
+C .
∑
2 n − 1 k = 0 k !(n − 1 − k )!(2 k + 1)
Osservazione
È possibile determinare due rappresentazioni alternative di I n (x ) mediante le identità:
tan (x / 2) ≡
1 − cos x
≡
sin x
sin x
1 + cos x
.
■
IG-5
Calcolare
dx
⌠
,
I n (x ) :=
n
⌡ (1 − cos x )
Procedendo come con IG-4, si scrive
con n ∈ Z + .
Integrazioni Goniometriche –
49
2/(1 + u 2 )
1 ⌠ (1 + u 2 )n − 1
⌠
I n (x ) ֏ I n (u ) =
du = n − 1
du
2
2 n
2 ⌡
u 2n
⌡ (1 − (1 − u )/(1 + u ))
1 ⌠ − 2n n − 1 n − 1 2k
1 n − 1 n − 1
= n −1 u ∑
u du = n − 1 ∑
u 2 (k − n ) du
∫
k
2 ⌡
2 k =0 k
k =0
=
2 (k − n ) + 1
n − 1 u
+C ֏
∑
2 n − 1 k = 0 k 2 (k − n ) + 1
1
n −1
I n (x ) = −
(n − 1)! n − 1
(cot (x /2))2 (n − k ) − 1
+C .
∑
2 n − 1 k = 0 k !(n − 1 − k )!(2 (n − k ) − 1)
Osservazione
È possibile determinare due rappresentazioni alternative di I n (x ) mediante le identità:
cot (x / 2) ≡
1 + cos x
≡
sin x
sin x
1 − cos x
.
■
IG-6
Calcolare
dx
⌠
,
I n (x ) :=
n
⌡ (1 + sin x )
con n ∈ Z + .
Definita x := u + π /2 , seguono dx = du e sin x ֏ sin (u + π /2) ≡ cos u . Quindi,
du
⌠
.
I n (x ) ֏ In (u ) =
n
⌡ (1 + cos u )
In tal modo, il calcolo di In (u ) è ricondotto a quello dell’integrale IG-4. Il risultato è
I n (x ) =
(n − 1)! n − 1 (tan (x /2 − π / 4))2k + 1
+C .
∑
2 n − 1 k = 0 k !(n − 1 − k )!(2 k + 1)
■
IG-7
Calcolare
dx
⌠
,
I n (x ) :=
n
⌡ (1 − sin x )
con n ∈ Z + .
Con lo stesso cambiamento di variabile di integrazione usato in IG-4, i.e., riconducendo il calcolo
di IG-7 a quello dell’integrale IG-5, si trova prontamente
I n (x ) = −
(n − 1)! n − 1 (cot (x /2 − π / 4))2 (n − k ) − 1
+C .
∑
2 n − 1 k = 0 k !(n − 1 − k )!(2 (n − k ) − 1)
■
IG-8
Calcolare
dx
⌠
,
I (x ) :=
⌡ a + b cos x
con |a | ≠ |b | .
Mediante l’Eq. (29) delle trasformazioni MR-9, si fa emergere la struttura algebrica razionale
caratteristica dell’integrale IA-2,
Integrazioni Goniometriche –
50
du
⌠
.
I (x ) ֏ I (u ) =
2
⌡ (a − b ) u + a + b
Quindi,
a.
se b 2 − a 2 ≡ ∆ / 4 < 0 ,
I (x ) =
b.
2
2 1/2
2
tan (x /2)
1 (a − b )
tan
+C ;
2
2 1/2
(a − b )
a +b
se b 2 − a 2 ≡ ∆ / 4 > 0 ,
I (x ) =
1
(b 2 − a 2 )1 / 2 tan (x /2) + a + b
ln
+C .
(b 2 − a 2 )1 / 2
(b 2 − a 2 )1 / 2 tan (x /2) − a − b
■
IG-9
Calcolare
dx
⌠
,
I (x ) :=
⌡ a + b sin x
con |a | ≠ |b | .
Come per l’integrale IG-8 precedente, conviene utilizzare le trasformazioni MR-9, Eq. (29). Si ha
du
⌠
.
I (x ) ֏ I (u ) = 2
2
⌡ au + 2bu + a
Quindi, mediante l’integrale IA-4,
a.
se b 2 − a 2 ≡ ∆ / 4 < 0 , si trova
I (x ) =
b.
2
a tan (x /2) + b
tan 1
+C ,
2 1/2
(a − b )
(a 2 − b 2 )1 / 2
2
se b 2 − a 2 ≡ ∆ / 4 > 0 , risulta
I (x ) =
1
a tan (x /2) + b − (b 2 − a 2 )1 / 2
ln
+C .
(b 2 − a 2 )1 / 2
a tan (x /2) + b + (b 2 − a 2 )1 / 2
Osservazione
Si sarebbe potuto procedere anche con la trasformazione utilizzata con IG-6, i.e., x := u + π /2 , ( ⇒ dx ≡ du e
sin x ֏ sin (u + π /2) ≡ cos u ). Però, le espressioni per I (x ) risultano più pesanti delle due ottenute sopra.
■
IG-10
Calcolare
dx
⌠
.
I (x ) :=
⌡ p cos x + q sin x + r
Con la trasformazione MR-9 solita, Eq. (29), si riscrive
du
⌠
,
I (x ) ֏ I (u ) = 2
2
⌡ (r − p ) u + 2 qu + p + r
riconducendosi alla forma integrale IA-4. Pertanto,
Integrazioni Goniometriche –
I.
se p = r , si ha
du
1 ⌠ d (qu + p )
1
⌠
I (u ) = 2
≡
= ln |qu + p | + C
q ⌡ qu + p
q
⌡ 2 qu + 2 p
֏ (1/q ) ln |q tan (x / 2) + p | + C ≡ I (x ) ;
II.
51
֏
se p ≠ r , invece, vanno distinti i tre sotto-casi previsti dall’integrale IA-4:
a.
sia ∆ ≡ 4 (p 2 + q 2 − r 2 ) < 0 . Allora,
I (u ) =
֏
b.
2
2 (r − p) u + 2q
tan −1
1/ 2
1/ 2
+C ֏
(− ∆)
2 (− ∆)
2
(r − p) tan (x /2) + q
tan −1
1/2
+ C ≡ I (x ) ;
(− ∆)
(− ∆)1/ 2
sia ∆ ≡ 4 (p 2 + q 2 − r 2 ) = 0 . In questa circostanza,
I (u ) = −
4
2
+C ֏ −
+ C ≡ I (x ) .
2 (r − p ) u + 2q
(r − p ) tan (x /2) + q
L’eventualità dell’uguaglianza pitagorica r 2 ≡ p 2 + q 2 , suggerisce una riduzione alternativa
per I (x ) . Poiché ∃ ϕ ∈ R tale da poter porre, e.g., p := r sin ϕ ∧ q := r cos ϕ , segue che
dx
1 ⌠ d (x + ϕ )
1⌠
du
⌠
I (x ) ≡
=
֏
≡ I (u ) ,
r ⌡ 1 + sin (x + ϕ )
r ⌡ 1 + sin u
⌡ r ( sin ϕ cos x + cos ϕ sin x + 1)
con la definizione evidente u := x + ϕ .
Così, dall’integrale IG-6, con n = 1 , e dall’identità tan (α /2) ≡ (1 − cos α )/ sinα , risulta
1
1 tan (u /2) − 1
1 (1 − cos u )/ sin u − 1
tan (u /2 − π / 4) + C = ⋅
+C ≡ ⋅
+C
r
r tan (u /2) + 1
r (1 − cos u )/ sin u + 1
1 1 − cos u − sin u
= ⋅
+C ֏
r 1 − cos u + sin u
1 1 − cos (x + ϕ ) − sin (x + ϕ )
֏ ⋅
+C
r 1 − cos (x + ϕ ) + sin (x + ϕ )
1 1 − ((q /r ) cos x − (p /r ) sin x ) − ((q /r ) sin x + (p /r ) cos x )
⋅
+C
r 1 − ((q /r ) cos x − (p /r ) sin x ) + ((q /r ) sin x + (p /r ) cos x )
1 r − (q + p ) cos x − (q − p ) sin x
= ⋅
+ C ≡ I (x ) ;
r r + (q − p ) cos x − (q + p ) sin x
I (u ) =
c.
sia ∆ ≡ 4 (p 2 + q 2 − r 2 ) > 0 . Ne segue che
2 (r − p ) u − 2 ∆ 1/ 2
ln
+C ֏
∆ 1/ 2 2 (r − p ) u + 2 ∆ 1/ 2
(r − p ) tan (x /2) − ∆ 1/ 2
1
֏ 1 / 2 ln
+ C ≡ I (x ) .
1/ 2
∆
(r − p) tan (x /2) + ∆
I (u ) =
1
■
Integrazioni Goniometriche –
52
IG-11
Calcolare
dx
⌠
,
I n (x ) :=
n
⌡ (a + b cos x )
con |a | ≠ |b| ∧ n ∈ Z + \{1} .
Eseguita la scomposizione evidente
⌠ ( cos x )2
⌠ ( sin x )2
I n (x ) ≡
dx
+
dx ≡ I n , 1 (x ) + I n , 2 (x ) ,
n
n
⌡ (a + b cos x )
⌡ (a + b cos x )
si prosegue con una scomposizione formale opportuna dell’addendo I n , 1 (x ) :
1 ⌠ −a 2 + (a 2 − b 2 ( cos x ) 2 )
a2
1 ⌠ a − b cos x
dx
=
I (x ) − 2
dx
2
n
2 n
b ⌡
b
b ⌡ (a + b cos x )n − 1
(a + b cos x )
a2
1 ⌠ 2a − (a + b cos x )
a2
2a
1
= 2 I n (x ) − 2
dx
=
I (x ) − 2 I n − 1 (x ) + 2 I n − 2 (x ) .
2 n
n −1
b
b ⌡ (a + b cos x )
b
b
b
I n , 1 (x ) ≡ −
Riguardo a I n , 2 (x ) , si può eseguire l’integrazione per-parti
I n , 2 (x ) ≡
1⌠
b sin x
1
dx =
sin x ⋅
n
b⌡
(a + b cos x )
b
∫ sin x ⋅ ( − (a + b cos x )
−n
≡
1⌠
1
sin x ⋅d
n −1
b⌡
(n − 1) (a + b cos x )
=
sin x
cos x
1
⌠
−
dx
n −1
b (n − 1) (a + b cos x )
b (n − 1) ⌡ (a + b cos x )n − 1
d (a + b cos x ))
1
sin x
⌠ − a + (a + b cos x )
− 2
dx
n −1
b (n − 1) (a + b cos x )
b (n − 1) ⌡ (a + b cos x )n − 1
sin x
a
1
≡
+ 2
I n − 1 (x ) − 2
I n − 2 (x ) .
n −1
b (n − 1) (a + b cos x )
b (n − 1)
b (n − 1)
≡
Quindi, I n (x ) viene ricostruito additivamente,
I n (x ) = I n , 1 (x ) + I n , 2 (x )
a 2
2a
1
= 2 I n (x ) − 2 I n − 1 (x ) + 2 I n − 2 (x ) +
b
b
b
↲
sin x
a
1
+
+ 2
I n − 1 (x ) − 2
I n − 2 (x ) ,
n
−
1
↳
b (n − 1)
b (n − 1)
b (n − 1) (a + b cos x )
ed esplicitato vs. gli altri termini, fornendo l’identità iterativa cercata:
I n (x ) = −
b sin x
+
(n − 1) (a − b 2 ) (a + b cos x )n − 1 ↲
a (2 n − 3)
n −2
+
I n − 1 (x ) −
I n − 2 (x ) .
2
2
↳ (n − 1) (a − b )
(n − 1) (a 2 − b 2 )
2
□
Un’applicazione critica definita di IG-11
Sia |b| ≤ |a | . Allora, anche mediante l’integrale IA-4, risulta
Integrazioni Goniometriche –
I (x )
2π
0
53
2π
2π
(a 2 − b 2 )1 / 2 tan (x /2)
dx
2a
⌠
≡
=…=
tan − 1
2
2
2 3/2
(a − b )
a +b
⌡ 0 (a + b cos x )
.
0
La funzione primitiva è continua a tratti in [ 0 , 2π ] , essendo discontinua di 1º tipo per x = π . Infatti,
(a 2 − b 2 )1 / 2 tan (x /2)
π
.
lim ∓ tan − 1
= ±
x →π
a +b
2
Quindi, per l’additività dell’operatore integrale, segue che
π
2
2 1/2
(a 2 − b 2 )1 / 2 tan (x /2)
2a
tan (x /2)
− 1 (a − b )
≡ 2
+ tan −1
tan
2 3/2
(a − b )
a +b
a +b
0
2a
2a π
=
((π /2 − 0) + (0 − ( − π /2))) =
.
(a 2 − b 2 )3 / 2
(a 2 − b 2 )3 / 2
−
I (x )
2π
0
2π
π+
■
IG-12
Calcolare
dx
⌠
,
I n (x ) :=
n
⌡ (a + b sin x )
con |a | ≠ |b| ∧ n ∈ Z + \{1} .
Con la stessa trasformazione utilizzata con IG-6, i.e., x := u + π /2 , dalla quale, seguono dx = du
e sin x ֏ sin (u + π /2) ≡ cos u , si ottiene l’identità u - trasformata
du
⌠
I n (x ) ֏ I n (u ) ≡
n
⌡ (a + b cos u )
b sin u
= −
+
2
(n − 1) (a − b 2 ) (a + b cos u )n − 1 ↲
a (2 n − 3)
n −2
+
I n − 1 (u ) −
I n − 2 (u ) .
2
2
↳ (n − 1) (a − b )
(n − 1) (a 2 − b 2 )
Quindi, ritornando alla variabile x di integrazione, risulta, infine, l’identità iterativa
I n (x ) =
b cos x
+
(n − 1) (a − b 2 ) (a + b sin x )n − 1 ↲
a (2 n − 3)
n −2
+
I (x ) −
I n − 2 (x ) .
↳ (n − 1) (a 2 − b 2 ) n − 1
(n − 1) (a 2 − b 2 )
2
■
IG-13
Una famiglia di integrali, che si incontra, e.g., nel trattamento della potenza elettrodinamica radiata
da una sorgente a simmetria sferica, posizionata a distanza intermedia dall’osservatore (v. J. D.
JACKSON, Classical Electrodynamics, 3RD ED., JOHN WILEY), simile alla famiglia ISE-6, è
⌠ (cos x )2
I n (x ) :=
dx ,
n
⌡ (a + b sin x )
con n ∈ Z + \{1} ∧ a , b ≠ 0 .
L’opportunità del procedimento di riduzione per-parti è fin troppo evidente. Si scrive:
I n (x ) ≡
1⌠
cos x
1
⋅ (b cos x dx ) ≡
n
b ⌡ (a + b sin x )
b
∫ cos x ⋅ (a + b sin x )
−n
d (a + b sin x )
Integrazioni Goniometriche –
=
54
1⌠
1
cos x ⋅d −
n −1
b⌡
(n − 1) (a + b sin x )
cos x
1⌠
1
+ ( − sin x ) ⋅
dx
n −1
b (n − 1) (a + b sin x )
b⌡
(n − 1) (a + b sin x )n − 1
cos x
1
⌠ − a + (a + b sin x )
= −
− 2
dx
n −1
b (n − 1) (a + b sin x )
b (n − 1) ⌡ (a + b sin x )n − 1
= −
= −
cos x
a
dx
⌠
+ 2
−
n −1
b (n − 1) (a + b sin x )
b (n − 1) ⌡ (a + b sin x )n − 1 ↲
1
dx
⌠
.
− 2
↳ b (n − 1) ⌡ (a + b sin x )n − 2
(1)
Pertanto, si conclude che, se |a | ≠ |b | , la rappresentazione iterativa (1) è scomponibile in termini di
quella dell’integrale IG-12, concludendosi con l’uso dell’integrale IG-9; altrimenti, se |a | ≠ |b | , si
prosegue utilizzando completamente i risultati ottenuti per gli integrali IG-6 o IG-7.
■
IG-14
Calcolare
⌠
x
I (x ) := sin −1
dx .
x +1
⌡
Con un’integrazione per-parti, si ha:
I (x ) = x sin −1
⌠
x
1
1 x +1
1
dx − x ⋅
⋅ ⋅
⋅
dx . D
2
x +1
2
x
(
x
+
1
)
1
−
x
/(
x
+
1
)
⌡
Il dominio massimale D di integrazione in R è deducibile dalle disequazioni sintetiche
x /(x + 1) ≤ 1 , i.e., D = { x : x ∈ R + ∪ { 0 }} .
0 ≤
Quindi, si può procedere senza limitazioni alla semplificazione dell’addendo integrale precedente:
I (x ) = x sin −1
x
x
1⌠
x
dx −
dx ≡ x sin −1
dx + I (x ) .
x +1
2 ⌡ x +1
x +1
Per il calcolo di I (x ) , si ponga u :=
x , da cui, viene che dx = 2udu . Così,
⌠ u2
⌠ (u 2 + 1) − 1
I (x ) ֏ I (u ) = − 2
du = −
du = − u + tan −1u + C ֏
2
⌡ u +1
⌡ u +1
−1
֏ − x + tan
x +C .
Infine, si trova
I (x ) = − x + tan −1 x + x sin −1
x
+C .
x +1
■
Integrazioni Goniometriche –
55
IG-15
⌠
I (x ) :=
⌡
Calcolare
sec x
2 (cos x )2 + cos 2 x − sin 2 x
dx .
Per |x | ∈ [ 0 , π /2 − ε ] , mod 2 π , con ε = o + (1) , si può scrivere, in modo equivalente,
⌠
I (x ) =
⌡
⌠
dx
dx =
3 (cos x ) − 2 cos x sin x − ( sin x )
⌡ cos x |cos x | − (tan x )2 − 2 tan x + 3
sec x
2
2
⌠
dx
= ±
= I ± (x ) ,
2
⌡ (cos x ) − (tan x )2 − 2 tan x + 3
secondo che sia, rispettivamente, x ∈ [ 0, π /2 − ε ] ∨ [ π /2 + ε , π ] , mod 2 π . Quindi, è sufficiente
calcolare I + (x ) . Posto u := tan x , dalle identità parametriche (2.1) di MR-9, si ha
⌠
⌠
du /(1 + u 2 )
I + (x ) ֏ I + (u ) =
=
2
2
⌡
⌡ (1/(1 + u )) − u − 2 u + 3
du
− u − 2u + 3
2
.
Circa il radicando interno alla funzione integranda, si ha ∆ = 16 > 0 , pertanto, si può sfruttare il
risultato generale dato da IA-9-c., ottenendo
−u − 1
−1 − u − 1
+ C 1 ≡ − sin
+C 2 ֏
2
2
tan x + 1
− 1 tan x + 1
cos −1
+ C 1 ≡ sin
+ C 2 = I + (x ) ≡ − I − (x ) .
2
2
I + (u ) = cos −1
֏
(1)
I + (x ) è suscettibile di una rappresentazione alternativa equivalente, basata sulla trasformazione
classica RQT, descritta in MR-6:
− u 2 − 2u + 3 ≡
− (u − 1) (u + 3) := (u − 1) w ,
(2)
dove, w := w (u) . Elevando al quadrato e semplificando le espressioni contenute nel 2º e nel 3º
membro dell’uguaglianza (2), si ricavano le nuove espressioni parametriche
u =
w2 − 3
,
w2 +1
du =
8w
dw ,
(w + 1)2
2
le quali, sostituite nell’espressione di I + (u ) , danno
du
⌠
I + (u ) ≡
⌡ (u − 1) w
֏
8 w /(w 2 + 1)2dw
⌠
⌠ dw
J + (u ) =
= − 2 2
2
2
⌡ w +1
⌡ ((w − 3)/(w + 1) − 1)w
= − 2 tan −1 w + C ֏ − 2 tan −1
֏
− 2 tan −1
− u 2 − 2u + 3
+C ֏
u −1
− (tan x )2 − 2 tan x + 3
+ C = I + (x ) .
tan x − 1
Infine, determinato il dominio (principale) in R di I + , i.e., [ − tan −1 3 , π / 4 ) , si può semplificare
ulteriormente l’espressione ottenuta di tale funzione primitiva. Risulta
Integrazioni Goniometriche –
tan x + 3
+C .
1 − tan x
I + (x ) = 2 tan −1
56
(3)
Osservazione
Il confronto tra le espressioni (1) e (3) mostra come una rappresentazione integrale indefinita non sia, in generale,
unica. Quello che deve essere unico è, invece, a meno della (stessa) costante arbitraria C , il suo grafico e, quindi, il
suo valore definito in un dominio assegnato, indipendentemente dalla forma analitica che la rappresenta.
■
IG-16
Calcolare
dx
⌠
.
I (x ) :=
⌡ a + b tan x
Assumendo |x | ≤ π /2 − ε , mod 2 π , con ε = o + (1) , si può scrivere, in modo equivalente,
cos x
⌠
I (x ) ≡
dx .
⌡ a cos x + b sin x
Poi, definendo
a := r cos ϕ
, dalle quali, si deducono
b := r sin ϕ
ϕ = tan −1 (b /a )
,
2
2 1/2
r = (a + b )
vale anche la rappresentazione
I (x ) ≡
1⌠
cos x
1⌠
cos x
dx ≡
dx .
r ⌡ cos ϕ cos x + sin ϕ sin x
r ⌡ cos (x − ϕ )
(1)
Qui, si ponga u := x − ϕ , ottenendo x = u + ϕ ∧ dx = du . Ne viene la trasformazione
1 ⌠ cos (u + ϕ )
1 cos u cos ϕ − sin u sin ϕ
du = ⌠
du
r⌡
cos u
r⌡
cos u
1
1
=
cos ϕ ∫ du − sin ϕ ∫ tan u du = ((cos ϕ ) u − ( sin ϕ ) ln |cos u | ) + C
r
r
a
b
(x − ϕ ) + 2 ln |cos (x − ϕ ) | + C 1
r2
r
a
b
(x − ϕ ) + 2 ln |cos x cos ϕ + sin x sin ϕ | + C 1
2
r
r
a
b
(x − ϕ ) + 2 ln | (a /r ) cos x + (b /r ) sin x | + C 1
2
r
r
1
aϕ b
(ax + b ln |a cos x + b sin x | ) − 2 − 2 ln r + C 1
2
r
r
r
1
(ax + b ln |a cos x + b sin x | ) + C .
2
a +b2
I (x ) ֏ I (u ) =
(
֏ I (x ) =
=
=
=
=
)
Osservazione
−1
Si ottiene lo stesso risultato razionalizzando la funzione integranda con la trasformazione parametrica x := tan u (v.
MR9-b., Eq. (30.1)). La lettrice\il lettore è invitata\o a questa verifica istruttiva.
■
Integrazioni Goniometriche –
57
IG-17
⌠
I (x ) :=
⌡
Calcolare
tan x ⋅ sec x
8 − 3 ( sin x )2
dx .
Supponendo |x | ≤ π /2 − ε , mod 2 π , con ε = o + (1) , conviene riscrivere
⌠
⌠
sin x
− d (cos x )
I (x ) ≡
dx ≡
2
2
⌡ (cos x ) 8 − 3 (1 − (cos x ) )
⌡ (cos x )2 5 + 3 (cos x )2
֏
⌠
dw
−
≡ − ∫ w − 2 (5 + 3 w 2 )−1 / 2 dw ≡ I (w ) ,
2
2
⌡ w 5 + 3w
con il cambiamento evidente di variabile w := cos x .
Il differenziale binomio w −2 (5 + 3 w 2 )−1/ 2dw è integrabile in termini finiti (cfr/c MR-5, Eq.i (1) e
(5.1)), essendo (α + 1)/β + ν = − 1 ∈ Z .
Quindi, posto w := 5 1/ 2 (u 2 − 3)−1/ 2 , seguono dw = − 5 1/ 2 (u 2 − 3)− 3 / 2 udu , u = ± (3 + 5 w −2 )1/ 2 e il
differenziale razionalizzato
Ψ (u ) du ≡
1
du .
5
L’integrazione di Ψ (u) , elementare e immediata, dà
J (u ) ≡ ∫ Ψ (u ) du =
֏ ±
1
1
u + C = ± (3 + 5 w − 2 )1 / 2 + C ֏
5
5
1
(3 + 5 ( sec x )2 )1 / 2 + C ≡ I (x ) .
5
■
IG-18
⌠
I (x ) :=
⌡
Calcolare
dx
a + b (cot x )2
, con 0 ≤ |b | < a .
Si può scrivere, in modo equivalente,
⌠
I (x ) ≡
⌡
⌠
dx = ±
a ( sin x ) + b (cos x )
⌡
|sin x |
2
2
− d (cos x )
a (1 − (cos x )2 ) + b (cos x )2
,
dove, l’ambiguità del segno corrisponde, rispettivamente, ai casi x ∈ [ε , π − ε ] ∨ [π + ε , 2 π − ε ] ,
mod 2 π , con ε = o + (1) .
Proseguendo nella trasformazione, si scrive
⌠
I (x ) = ±
⌡
֏
−d (cos x )
a (1 − ((a − b)/a ) (cos x )2 )
I (u ) ≡ ±
avendo definito u :=
1 ⌠
a −b ⌡
− du
1−u2
(a − b )/a cos x .
֏
= ±
1
cos −1 u + C 1 ≡ ∓
a −b
1
sin −1 u + C 2 ,
a −b
58
Integrazioni Goniometriche –
Pertanto, risultano le rappresentazioni alternative equivalenti
1
−1
± a − b cos ( (a − b)/a cos x ) + C 1 ,
I (u ) ֏ I (x ) =
∓ 1 sin −1 ( (a − b)/a cos x ) + C .
2
a −b
(1)
Osservazione
Procedendo in modo del tutto analogo, si determinano le espressioni alternative equivalenti (pure, con 0 ≤ |b | < a )
⌠
I (x ) :=
⌡
±
dx
=
2
a + b (tan x )
∓
1
a −b
1
a −b
sin − 1 ( (a − b )/a sin x ) + C 1 ,
(2)
−1
cos ( (a − b )/a sin x ) + C 2 .
dove, ora, l’ambiguità del segno corrisponde, rispettivamente, ai casi x ∈ [ − π /2 + ε , π /2 − ε ] ∨ [π /2 + ε , 3 π /2 − ε ] ,
mod 2π , con ε = o + (1) .
■
Integrazioni Goniometriche –
59
Gli Integrali di Werner (JOHANN, 1468-1522)
Si calcolino gli integrali seguenti, con {α , β } ⊂ R , con {α , β } ≡/ { 0 , 0 } :
IG-18
∫ cos α x ⋅ cos β x dx
K :=
La formula di Werner
cos θ cos ϕ ≡ (1/2) ( cos (θ + ϕ ) + cos (θ − ϕ )) ,
con θ ≠ ± ϕ , dà
K = (1/2) ∫ cos ((α + β ) x )dx + (1/2) ∫ cos ((α − β ) x )dx
sin (α + β ) x sin (α − β ) x
+
+C .
2 (α + β )
2 (α − β )
=
(1)
Invece, se α ≡ β ≠ 0 , si trova che
∫ (cos α x ) dx = ∫ (1/2)(1 + cos (2α x ))dx
K =
2
= (1/2)
( ∫ dx + ∫ cos (2α x )dx )
1
1
1
1
x+
sin (2α x ) + C = x + sin α x ⋅ cos α x + C ;
2
2α
2
α
=
(1.1)
■
IG-19
S :=
∫ sin α x ⋅ sin β x dx .
La formula di Werner
sin θ sin ϕ ≡ (1/2) ( cos (θ − ϕ ) − cos (θ + ϕ )) ,
con θ ≠ ± ϕ , dà
S = (1/2) ∫ cos ((α − β ) x )dx − (1/2) ∫ cos ((α + β ) x )dx
=
sin (α − β ) x sin (α + β ) x
−
+C .
2 (α − β )
2 (α + β )
(2)
Invece, se α ≡ β ≠ 0 , si trova che
S =
=
∫ (sinαx ) dx = ∫ (1/2)(1 − cos (2α x ))dx
2
= (1/2)
( ∫ dx − ∫ cos (2α x )dx )
1
sin (2α x )
1
1
x−
+ C = x − sin α x ⋅ cos α x + C ;
2
2α
2
α
(2.1)
■
IG-20
M :=
∫ cos α x ⋅ sin β x dx
La formula di Werner
cos θ sin ϕ ≡ (1/2) ( sin (θ + ϕ ) − sin (θ − ϕ )) ,
M = (1/2) ∫ sin ((α + β ) x )dx − (1/2) ∫ sin ((α − β ) x )dx
con θ ≠ ± ϕ , dà
Integrazioni Goniometriche –
= −
cos (α + β ) x cos (α − β ) x
+
+C .
2 (α + β )
2 (α − β )
60
(3)
Invece, se α ≡ β ≠ 0 , si trova che
∫ sin α x ⋅ cos α x dx
M =
1
2α
≡
= (1/2) ∫ sin (2 α x ) dx = −
cos (2 α x )
+C
4α
( sin α x )2
1
( sin α x )2
1 − cos (2 α x ) 1
−
+
C
=
−
+
C
≡
+C .
2
2
2α
4α
2α
(3.1)
■
Osservazione
Dai risultati precedenti, si calcolano certi integrali definiti, frequenti nelle applicazioni delle Serie di Fourier:
IG-21
K :=
∫
2π /ω
0
+
con {n 1 , n 2 } ⊂ Z 0 ∧ {n 1 , n 2 } ≡/ {0 , 0} (†).
cos n 1ωt ⋅ cos n 2 ωt dt ,
Posto x := ω t , si genera la trasformazione
∫
2π /ω
0
(dt ) ≡ (1/ω ) ∫
2π
0
dx dell’operatore integrale. Quindi, dalle Eq.
(1) e (1.1), rispettivamente, si ha
K = (1/ω ) ∫
2π
0
0
cos n 1 x ⋅ cos n 2 x dx = … =
π /ω
, se n 1 ≠ n 2 ,
, se n 1 ≡ n 2 ≠ 0 ;
(4)
■
IG-22
S :=
∫
2π /ω
0
sin (n 1ωt ) ⋅ sin (n 2ωt ) dt ,
+
con {n 1 , n 2 } ⊂ Z .
Si procede come per il calcolo di K ottenendo, dalle Eq. (2) e (2.1), rispettivamente,
0
S =
π /ω
, se n 1 ≠ n 2 ,
, se n 1 ≡ n 2 ≠ 0 ;
(5)
■
IG-23
M=
∫
2π /ω
0
cos (n 2ωt ) ⋅ sin (n 1ωt ) dt ,
∀ {n 1 , n 2} ⊂ Z 0+ .
Con un calcolo analogo a quello per K e per S , risulta, da entrambe le Eq. (3) e (3.1),
M ≡ 0.
____________________
(†)
Z 0+ ≡ Z + ∪ { 0 } .
(6)
■■■
Integrazioni Esponenziali e Iperboliche –
61
Integrazioni Esponenziali e Iperboliche
IEH-1
Calcolare
I (x ) :=
∫ csch x d x .
Mediante l’integrale IG-1 e le identità di Euler, risulta
dx
⌠ 2 dx
⌠ − i d (ix )
⌠ d (ix )
I (x ) ≡ x
= ⌠
≡
=
−x
⌡ sinh x
⌡ e −e
⌡ − i sin ix
⌡ sin (ix )
ex −1
= ln |tan (ix /2)| + C ≡ ln |tanh (x /2)| + C ≡ ln x
+C .
e +1
■
IEH-2
Calcolare
I (x ) :=
∫ sech x dx .
dx
dx
⌠ 2 dx
⌠
I (x ) ≡ x
≡ ⌠
=
−x
2
2
⌡ cosh x
⌡ e +e
⌡ ( cosh (x / 2)) + ( sinh (x / 2))
d (x / 2)
⌠
⌠ d (tanh (x / 2))
= 2
= 2
2
2
2
⌡ ( cosh (x / 2)) (1 + (tanh (x /2)) )
⌡ 1 + (tanh (x /2))
ex −1
= 2 tan −1 (tanh (x /2)) + C ≡ 2 tan −1 x
+C .
e + 1
Si può proseguire nella riduzione di I (x ) mediante l’identità già utilizzata (v. IA-21)
u ±v
−1
−1
tan − 1
≡ tan u ± tan v .
1
∓
uv
Da questa, infatti, si scrive prontamente
x
ex − 1
− tan (π / 4 )
x
−1 e
−1
tan − 1 x
≡ tan
= tan (e ) − π / 4 .
x
e + 1
1 + e ⋅ tan (π / 4 )
Pertanto,
I (x ) = 2 tan −1 (e x ) − π /2 + C ≡ gd x + C (†).
■
IEH-3
Calcolo e applicazioni della famiglia integrale bi-parametrica
I α , β (x ) :=
∫ (cosh x )
α
( sinh x ) β dx ,
con {α , β } ⊂ R .
Deve valere, necessariamente, la condizione di realtà sinhx > 0 . Assegnata la variabile u ≥ 1 ,
sia u 1 / 2 := cosh x . Da questa definizione, si determinano
sinhx ≡ (u − 1)1/ 2 ,
du ≡ 2 cosh x sinh x dx ≡ 2u 1/ 2 (u − 1)1/ 2dx e, quindi,
____________________
( †)
La rappresentazione integrale delle Funzioni di Gudermann diretta e inversa sono discusse, e.g., dall’autore, in:
La Goniometria Iperbolica: un modello strutturale, P.10, EQ. (23).
Integrazioni Esponenziali e Iperboliche –
62
dx = (1/2) u −1/ 2 (u − 1)−1/ 2du .
Ne segue la trasformazione
I α , β (x ) ֏ I α , β (u ) = (1/2) ∫ u
α −1
2
β −1
(u − 1)
2
du .
(1)
Per il Teorema di Chebyshev (v. MR5), I α , β (u ) – integrale di differenziale binomio – risulta
calcolabile in termini finiti sse la terna numerica
{(β − 1)/2, (α + 1)/2, (α + β )/2} ⊂ Q ,
con almeno un elemento ∈ Z , altrimenti, sse la terna numerica
{(β − 1)/2, (α + 1)/2, − (α + β )/2} ⊂ R ,
con almeno un elemento ∈ Z + .
Il lavoro rimanente è semplice (benché un po’ noioso): dall’integrale (1), razionalizzato mediante
il modello parametrico appropriato tra quelli determinati in MR5, (11.1), (12.1), (13.1), IV.-a.,
(14.1) o (15.1), segue l’integrazione razionale finale con una delle scomposizioni MR-4.
Osservazioni
• Se {α , β } ⊂ Z , allora, I α , β (u ) è sempre esprimibile in termini finiti, essendo almeno (α + β ) un numero pari.
• In modo analogo all’Osservazione in IG-3, se α = − β , con α ∧ β ≠ 1 , I α , β (x ) è riducibile all’uno o l’altro
degli integrali, rispettivamente,
T− β , β (x ) ≡
∫ ( tanh x )
Kα , − α (x ) ≡
∫ ( coth x )
β
dx ,
α
(1.1)
dx ,
(1.2)
entrambi calcolabili per-parti, con procedimenti identici.
Ad esempio, per l’integrale (1.1), si ha:
1
sinh x
⌠
⌠
Tβ , − β (x ) ≡ ( sinh x ) β − 1
d x ≡ ( sinh x ) β − 1d −
β
β −1
( cosh x )
⌡
⌡
(β − 1) ( cosh x )
= −
( tanh x ) β − 1 ⌠
1
+
⋅ ( β − 1) ( sinh x ) β − 2 cosh x d x
β −1
β −1
⌡ (β − 1) ( cosh x )
= −
(tanh x ) β − 1
( coth x )α + 1
+ ∫ (tanh x ) β − 2 dx ≡
+ K α + 2, − (α + 2) (x ) .
β −1
α +1
(
)
(1.3)
■
IEH-4
Calcolare
T (x ) :=
∫ tanh x dx .
Si può scrivere
d (cosh x )
sinh x
T (x ) ≡ ⌠
dx = ⌠
= ln (cosh x ) + C .
⌡ cosh x
⌡ cosh x
Il calcolo di T (x ) completa quello di Tβ , − β (x ) , nell’Osservazione in IEH-3, Eq. (1.3), quando
sia, inizialmente, β ≡ 2n + 1 ( n ∈ Z + ).
■
Integrazioni Esponenziali e Iperboliche –
63
IEH-5
dx
I (x ) := ⌠
x .
⌡ x
Calcolare
Dovendo essere x ∈ R + , la funzione integranda è rappresentabile, per il criterio di Weierstrass, in
serie uniformemente convergente almeno in sotto-intervalli compatti di tipo Κ := [ 0 , x ] ⊆ [ 0 , 1] .
Per l’additività integrale vs. l’intervallo di integrazione, la scelta di x = 0 come ascissa iniziale di
propagazione di I (x ) non pregiudica la generalità della discussione. In ogni Κ , infatti, essendo
1/x x ≡ e − x ln x =
∑
+∞
( − x ln x )n /n ! ,
n =0
si ha che (− x ln x )n /n ! ≤ 1/n ! . Inoltre, la funzione x ֏ (− x ln x )n è R -integrabile in Κ in senso
generalizzato ∀ n . La commutabilità che ne consegue tra le operazioni di somma infinita e di
integrazione, rende identiche le scritture integrali (à-la Lagrange-Picard)
⌠
I (x ) =
⌡Κ
+∞
∑
n =0
(− 1)n n
u (ln u )n du + C ≡
n!
La posizione u := e −t genera la trasformazione
∫
+∞
∑
n =0
(− 1)n
n!
x
0
(du ) ֏
∫
∫
+∞
− ln x
x
0
u n (ln u )n du + C .
(e −t dt ) dell’operatore integrale.
Da questa, si ottiene
I (x ) =
+∞
∑
n =0
≡
+∞
∑
n =1
( − 1)n
n!
∫
+∞
− ln x
e −nt ( − t )ne −t dt + C =
+∞
∑
n =0
+∞
1
t n − 1e −nt dt + C ≡
∫
ln
x
−
(n − 1)!
+∞
( − 1)n
n!
1
∑ Γ (n ) ∫
n =1
∫
+∞
− ln x
+∞
− ln x
(− 1)n t n e − (n + 1)t dt + C
t n − 1e −nt dt + C
e, quindi, con la dilatazione parametrica w := nt , si determina il risultato iterativo numerabile
I (x ) =
+∞
1
∑ n Γ (n ) ∫
n
n =1
+∞
− ln x
w n − 1e −wdw + C
1
1
1
= x 1 − 2 (ln x − 1) + 3 ((ln x )2 − 2 ln x + 2) − 4 ((ln x ) 3 − 3 (ln x )2 + 6 ln x − 6) +
↲
2 ⋅1
3 ⋅2
4 ⋅6
1
+
((ln x ) 4 − 4 (ln x )3 + 12 (ln x )2 − 24 ln x + 24) − … + C
↳ 5 5 ⋅ 24
L’integrale
∫
+∞
− ln x
.
w n − 1e −wdw viene ridotto per-parti, ∀ n , prendendo w n − 1 come fattore finito e
e −w dw come fattore differenziale.
□
Un’applicazione critica definita di IEH-5
Se Κ = [ 0 , 1] , i.e., quando è x = 1 , si determina il numero-integrale
1
dx
=
I (1) ≡ ⌠
⌡0 x x
+∞
∑n
n =1
1
n
Γ (n ) ∫
+∞
0
w n − 1 e − wdw ≡
+∞
∑n
n =1
1
n
Γ (n )
Γ (n ) =
+∞
1
∑n
n
≈ 1.2912859971 .
n =1
Il valore di I (1) , verificato con il CAS Maximafr-sfwr, è riportato anche nel compendio: HANSEN, E. R., A Table of
Series and Products, PRENTICE-HALL, 1975, p. 60, (5.12.39).
■
Integrazioni Esponenziali e Iperboliche –
64
IEH-6
I (x ) =
Calcolare
∫ (e
x
+ a )1/ 2dx , con a ∈ R \{ 0 } .
Dalla sostituzione u := (e x + a )1 / 2 , risultano dx = 2 udu /(u 2 − a ) e la trasformazione integrale
⌠ u2
⌠ (u 2 − a ) + a
I (x ) ֏ I (u ) = 2 2
du ≡ 2
du
2
⌡ u −a
⌡ u −a
⌠ du
⌠ du
.
= 2 ∫ du + 2a 2
≡ 2 u + C 1 + 2a 2
⌡ u −a
⌡ u −a
L’integrale rimanente è del tipo IA-2, per il quale, sono previsti due casi:
a.
sia a < 0 . Allora,
I (x ) = 2u − 2 (− a )1 / 2 tan −1
֏
b.
u
+C
( − a )1/ 2
2 (e x + a )1 / 2 − tan −1 ((e x + a )/ |a | )1 / 2 + C ≡ I (x ) ;
sia a > 0 . Allora,
I (u ) = 2u + a 1 / 2 ln
֏ 2 (e
x
+ a)
1/2
u − a 1/2
+C ֏
u + a 1/ 2
+a
1/2
(e x + a )1 / 2 − a 1 / 2
=C
ln x
(e + a )1 / 2 + a 1/ 2
= 2 (e x + a )1/ 2 + a 1/ 2 ln |e x − 2 (a (e x + a ))1/ 2 + 2a | − x + C ≡ I (x ) .
■■■
Integrazioni Logaritmiche –
65
Integrazioni Logaritmiche
IL-1
Calcolare
dx
L (x ) := ⌠
.
⌡ ln x
Questa famiglia (continua) integrale non è calcolabile ‘in termini finiti’.
Ora, il suo elemento particolare L 0 (x ) , che si propaga dall’ascissa iniziale x = 0 con valore
iniziale L 0 (0) = 0 , è esprimibile come funzione dell’estremo superiore di integrazione:
x
dt
L 0 (x ) := ⌠
≡ li (x )
⌡0 ln t
(rappresentazione à-la Lagrange-Picard). Altrove (v., e.g., dell’autore: Logaritmi e Funzioni
Integrali Logaritmiche Speciali, P. 10), è mostrato in modo rigoroso che, per li , nota come la
Funzione Log-integrale, l’insieme D = [ 0, 1 ) ∪ ( 1, + ∞) costituisce il dominio massimale.
Quindi, a meno di una costante arbitraria C di integrazione, D è il dominio della famiglia L (x ) .
Il cambiamento di variabile x := e −u dà u = − ln x e dx = − e −u du . Ne segue che
−u
+∞
(− u )n − 1
⌠ dx ֏ E (u ) := ⌠ e du ≡ ⌠ 1 +
∑
du .
⌡ ln x
⌡ u
⌡ u n =1 n!
(1)
Poiché la serie rappresentativa della funzione integranda in E (u) è uniformemente convergente
∀ u che sia immagine finita di un x ∈ Κ , essendo Κ ⊂ D un intervallo compatto qualsiasi, è
ammissibile eseguire termine-a-termine l’integrazione – in Κ – della somma nell’Eq. (1):
+∞
E (u ) = ln |u | + ∑
n =1
+∞
(− u )n
(ln x )n
+ C ֏ ln |ln x | + ∑
+ C ≡ L(x ) ≡ li (x ) + C .
n ⋅n !
n = 1 n ⋅n !
■
IL-2
Calcolare
⌠ xα
L α , n (x ) :=
dx ,
n
⌡ (ln x )
con {α , n } ∈ R × Z + \{1} .
Riscritto l’integrale nella forma
⌠ α + 1 ( ln x ) −n + 1
α +1
− n dx
⌠
L α , n (x ) ≡ x ( ln x )
= x d −
,
⌡
x
n −1
⌡
si procede per-parti in modo evidente,
( ln x ) −n + 1 α + 1 ⌠ ( ln x ) −n + 1
α
L α , n (x ) = −
x
− −
⋅ (α + 1) x dx ,
n −1
n −1
⌡
ottenendo l’identità iterativa
L α , n (x ) = −
x α + 1 ( ln x )−n + 1 α + 1 ⌠
xα
dx .
+
n −1
n − 1 ⌡ ( ln x )n − 1
■
Integrazioni Logaritmiche –
66
IL-3
Un procedimento molto diretto per il calcolo degli integrali
Cn (x ) :=
∫x
n
cos (b ln x ) dx
e
Sn (x ) :=
∫x
n
sin (b ln x ) dx ,
dove n ∈ Z + , è quello di scomporli contemporaneamente con il metodo per-parti, facendone
confluire opportunamente le espressioni intermedie ottenute in un sistema lineare risolvente nelle
variabili Cn (x ) e Sn (x ) . Si ha:
Cn (x ) =
xn +1
b
⌠ xn +1
cos (b ln x ) −
⋅ − sin (b ln x ) ⋅ dx
n +1
x
⌡ n +1
xn +1
b
≡
cos (b ln x ) +
Sn (x ) ;
n +1
n +1
(1)
analogamente, si ottiene
Sn (x ) =
≡
xn +1
b
⌠ xn +1
sin (b ln x ) −
⋅ cos (b ln x ) ⋅ dx
n +1
x
⌡ n +1
xn +1
b
sin (b ln x ) −
Cn (x ) .
n +1
n +1
(2)
Dall’intersezione delle Eq. (1) e (2), si costruisce il sistema lineare
(n + 1) Cn (x ) − b Sn (x ) = x n + 1 cos (b ln x )
,
n +1
b Cn (x ) + (n + 1) Sn (x ) = x sin (b ln x )
(3)
essendo il determinante della matrice K dei coefficienti dato da
det K = (n + 1)2 + b 2 > 0 .
Le componenti del vettore-soluzione del sistema (3) costituiscono le espressioni cercate di Cn (x ) e
di Sn (x ) . In termini finiti, risultano
x n + 1 cos (b ln x ) − b
x n + 1 sin (b ln x ) n + 1
xn +1
Cn (x ) =
+C =
((n + 1) cos (b ln x ) + b sin (b ln x )) + C ,
det K
(n + 1)2 + b 2
n + 1 x n + 1 cos (b ln x )
b
x n + 1 sin (b ln x )
xn +1
Sn (x ) =
+C =
((n + 1) sin (b ln x ) − b cos (b ln x )) + C .
det K
(n + 1)2 + b 2
■
IL-4
Calcolare
L 0 (x ) :=
∫ ln Χ dx ,
con b 2 − 4ac ≡ ∆ ∧ a ≠ 0 .
Per l’esistenza in R di L 0 (x ) , deve sempre essere Χ ∈ R + . Quindi, dalla trasformazione MR-3,
Eq. (1), si scrive
ln Χ = ln |a | + ln |(x + b /(2a ))2 − ∆ /(4a 2 )| ≡ ln|u 2 + δ | ,
Integrazioni Logaritmiche –
67
in cui, u := x + b/(2a ) ( ⇒ du ≡ dx ) e δ := − ∆ /(4a 2 ) .
Ora, integrando per-parti l’espressione trasformata L 0 (x ) ֏ L 0 (u ) , risulta
L 0 (u ) =
∫ |a |du + ∫ ln |u
+ δ |du
2
2u
⌠
= (ln |a | ) u + C 1 + u ln |u 2 + δ | − u ⋅ 2
du = …
⌡ u +δ
– proseguendo in rappresentazione mista vs. u e x –
b
b
b
∆
⌠ (u 2 + δ ) − δ
= (ln |a | ) x +
+
x
+
x
+
−
−
2
du + C 1
ln
2a
2a
2a 4 a 2
u2 +δ
⌡
b
b
⌠ du
= (ln |a | ) x +
+ x +
(ln Χ − ln |a |) − 2u + 2 δ 2
+C 2
2a
2a
⌡ u +δ
2
b
∆ ⌠ du
= x +
ln Χ − 2 x − 2 2
+C ,
2a
2a ⌡ u + δ
(1)
con C ≡ C 2 − b /a . L’integrazione si conclude introducendo i risultati IA-2 nell’Eq. (1):
a.
se ∆ < 0 ( ⇒ a > 0 ), si ha
b
−∆
2a (2ax + b)
L 0 (x ) = x +
ln Χ − 2 x +
tan −1
+C ;
2a
a
−∆
b.
se ∆ > 0 ( ⇒ a
0 ), risulta
∆
2ax + b + ∆
b
L 0 (x ) = x +
ln Χ − 2 x +
ln
+C
2a
2a
2ax + b − ∆
b
≡ x +
ln Χ − 2 x +
2a
+
c.
∆
2|a | (2ax + b)
tanh −1
+C ,
a
∆
∆
2|a | (2ax + b)
coth −1
+C ,
a
∆
se |2ax + b | <
∆ /(2|a | ) ,
se |2ax + b | >
∆ /(2|a | );
se ∆ = 0 ( ⇒ a > 0 ), infine, l’Eq. (1) fornisce prontamente
b
L 0 (x ) = x +
ln Χ − 2 x + C .
2a
■
IL-5
Calcolare
L m (x ) :=
∫x
m
ln Χ dx ,
con b 2 − 4 ac ≡ ∆ ∧ a ≠ 0 ∧ m ∈ Z + .
Dopo aver riscritto
L m (x ) ≡
∫ (ln Χ ) (x
m
dx ) ,
Integrazioni Logaritmiche –
68
se ne deduce, con un’integrazione per-parti evidente, che
xm +1
1 ⌠ m + 1 2ax + b
L m (x ) =
⋅
ln Χ −
dx
x
m +1
m +1⌡
Χ
xm + 1
2a ⌠ x m + 2
b ⌠ xm +1
=
ln Χ −
dx −
dx
m +1
m +1⌡ Χ
m +1⌡ Χ
≡
xm +1
2a
b
I m + 2, 1 −
I m + 1, 1 ,
ln Χ −
m +1
m +1
m +1
i.e., il completamento del calcolo di L m (x ) è riportato alla famiglia integrale indefinita IA-6.
Ad esempio, con la prima iterazione di IA-6, risulta
L m (x ) =
xm + 1
2a 1
b
c
x m + 1 + C 1 − I m + 1, 1 (x ) − I m , 1 (x ) −
ln Χ −
m +1
m + 1 m + 1
a
a
−
=
b 1 m
b
c
x + C 2 − I m , 1 (x ) − I m − 1 , 1 ( x )
m + 1 m
a
a
xm + 1
2a
b
2b
ln Χ −
xm + 1 −
xm +
I m + 1 , 1 (x ) +
2
m +1
(m + 1)
m (m + 1)
m +1
+
2ac + b 2
bc
I m , 1 (x ) +
I m − 1, 1 (x ) + C 3 ,
a (m + 1)
a (m + 1)
e così via, fino alla riduzione ultima in termini proporzionali a IA-5 e ad IA-4.
■
IL-6
L m (x ) :=
Calcolare
a.
∫x
m
ln (ax + b ) dx ,
con x > −b/a ∧ m ∈ Z .
se m ≡ n ∈ Z + , si ha, iniziando con un’integrazione per-parti,
L n (x ) ≡
∫
ln (ax + b) (x n dx ) =
xn +1
a
⌠ xn +1
ln (ax + b) −
⋅
dx
n +1
⌡ n + 1 ax + b
=
xn +1
1 ⌠ n (ax + b) − b
dx
ln (ax + b) −
x ⋅
n +1
n +1⌡
ax + b
=
xn + 1
1
b ⌠ xn
n
ln (ax + b) −
x
dx
+
dx
n +1
n +1∫
n + 1 ⌡ ax + b
≡
xn +1
xn +1
b ⌠ n − 1 (ax + b) − b
ln (ax + b) −
+C1 +
dx
x ⋅
2
n +1
(n + 1)
n +1⌡
a (ax + b)
xn +1
xn +1
bx n
b 2 ⌠ xn −1
≡
ln (ax + b) −
+
+C 2 −
dx .
n +1
(n + 1)2 an (n + 1)
a (n + 1) ⌡ ax + b
(1.1)
(1.2)
Il scomposizione (1.1) ֏ (1.2) dell’integrale razionale (di differenziale binomio) va iterata fino
all’ordine n minore, i.e., fino a n = 1 , ottenendo, come ultimo,
1 ⌠ d (ax + b )
1
⌠ dx
≡
= ln (ax + b ) + C ;
a
⌡ ax + b a ⌡ ax + b
Integrazioni Logaritmiche –
b.
69
se m = 0 , risulta
a
⌠
dopo un’integrazione per-parti,
= x ln (ax + b ) − x ⋅
dx ,
⌡ ax + b
b ⌠ d (ax + b )
⌠ (ax + b ) − b
= x ln (ax + b ) −
dx ≡ x ln (ax + b ) − x + C 1 +
a ⌡ ax + b
⌡ ax + b
= (x + b /a ) ln (ax + b) − x + C ;
L 0 (x ) ≡
c.
∫ ln (ax + b) dx
se m ≡ − n ∈ Z − \{ − 1} , si ha, iniziando ancora con un’integrazione per-parti,
ln (ax + b )
ln (ax + b) dx ≡ ⌠
dx
(n ≥ 2 )
⌡
xn
x −n + 1
a
⌠ x −n + 1
=
ln (ax + b ) −
⋅
dx
−n + 1
⌡ − n + 1 ax + b
1
1 ⌠ − n (ax + b ) − b
dx
= −
ln (ax + b ) +
x ⋅
n +1
n −1⌡
ax + b
(n − 1) x
1
1
b ⌠
dx
.
= −
ln (ax + b ) +
+C1 −
n
n +1
2 n −1
(n − 1) x
(n − 1) x
n − 1 ⌡ x (ax + b )
L m (x ) ≡ L −n (x ) =
∫x
−n
L’integrale razionale rimanente è l’integrale di differenziale binomio IA-32;
d.
se m = − 1 ,
l’integrale non è calcolabile in termini finiti mediante funzioni elementari. Comunque, se ne
può determinare una rappresentazione servendosi della funzione integrale Di-logaritmica, Li2
(o Integrale di Spence). Li2 è una funzione trascendente superiore, espandibile in serie nel
dominio massimale D = ( − ∞, 1 ] ⊂ R ; D è ottenuto prolungando analiticamente Li2 dalla
sua restrizione a ( − 1 , 1] , dove, la Funzione Di-logaritmica può essere rappresentata in serie
uniformemente convergente.
Una discussione essenziale ma sufficiente di x ֏ Li2 (x ) in R è presentata, e.g., in (†).
Fissata la condizione logaritmica in R ,
x ≥ − b /a ,
(2)
vale, allora, la scomposizione
ln (ax + b)
ln (1 + ax /b) + ln |b |
L − 1 (x ) ≡ ⌠
dx = ⌠
dx .
⌡
⌡
x
x
Si osservi che, essendo la condizione (2) sufficiente per l’esistenza in R anche del termine
ln (1 + ax /b) , questo non richiede un argomento modulare esplicito.
Si continua scrivendo
ln |b |
⌠ ln (1 − ( − ax /b ))
L − 1 (x ) =
d ( − ax /b ) + ⌠
dx .
⌡ x
( − ax /b )
⌡
Il primo integrale indefinito può essere riscritto nella rappresentazione a-la Lagrange-Picard
(cfr/c IEH-5 e IL-1), ricorrendo alla definizione generale
Integrazioni Logaritmiche –
70
ξ
ln (1 − t )
Li 2 (ξ ) := − ⌠
dt ,
⌡0
t
per la quale, si verifica che Li 2 (0) ≡ 0 (†). Dunque,
−a x /b
ln (1 − (− au /b))
⌠
L −1 (x ) =
d (− au /b) + ( ln |b|) ( ln |x |) + C
(− au /b)
⌡0
≡ − Li2 (− ax /b) + ( lnb) ( ln |x | ) + C .
Le espansioni in serie di Li2 (ξ ) (in questo caso, è ξ := − ax /b ), differiscono secondo che sia
ξ ∈ ( − 1 , 1 ] , l’intervallo naturale di convergenza uniforme, o ξ ∈ ( − ∞ , − 1 ] , l’intervallo di
prolungamento analitico in R (†). I risultati formali si scrivono, rispettivamente:
Li2 (− ax /b) =
+∞
1
∑k
2
(− ax /b)k ,
(3)
k =1
Li2 (− ax /b) = −
π2
6
−
+∞
1
1
(ln (ax /b))2 − ∑ 2 (−b /(ax ))k .
2
k =1 k
(4)
Gli x -dominî corrispondenti – DI dell’espansione (3) e DII dell’espansione (4) – mostrano
una dipendenza simmetrica da sgn (ab ) :
sgn (ab )
DI
DII
−1
( − |a /b | , |a /b | ]
( − ∞ , − |a /b | ]
+1
[ − |a /b |, |a /b | )
[ |a /b | , + ∞ )
■
IL-7
Calcolare
L (x ) :=
∫ ln (ln x ) dx .
Il dominio di L (x ) in R è, chiaramente, D = ( 1, + ∞ ) . Scomponendo l’integrale per-parti, si ha
⌠
1 1
L (x ) = x ln (ln x ) − x ⋅
⋅
⌡
ln x x
dx ≡ x ln (ln x ) − li (x ) + C .
Quindi, dall’integrale IL-1, risulta esplicitamente
+∞
L(x ) = (x − 1) ln (ln x ) − ∑
n =1
(ln x )n
+C .
n ⋅n !
■■■
____________________
( †)
Si veda il documento PDF dell’autore: Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali, P. 13-15.
Integrazioni Speciali –
71
Integrazioni Speciali
IS-1
L’integrale generalizzato di Frullani (Giuliano, 1795-1834)
Proposizione
La funzione f := (t ; x ) ֏ f (tx ) ∈ C (R + × [ 0, + ∞ )) è tale che
∫
+∞
0
f (tx ) dx è uniformemente
convergente a F (t ) in R + . Allora, poiché
I.
F ∈ C (R + ) ,
II.
∫
b
a
F (t )dt =
i.e.,
∫
b
a
dt
∫
+∞
0
lim F (t ) ≡
t →t0
f (tx )dx ≡
∫
∫
+∞
0
+∞
0
( lim f (tx )) dx ,
t →t0
dx
∫
b
a
∀ t0 ∈ R + ,
∀ {a , b } ⊂ R + ,
f (tx )dt ,
risulta
⌠
⌡0
+∞
F (bu ) − F (au )
du = ( lim F (u ) − lim+ F (u )) ln (b /a ) . ▲
u→+∞
u →0
u
(1)
Dimostrazione
t := u /x ≡ t (u , x )
Se si esegue la trasformazione di coordinate
, corrispondente al determinante
x ≡ x ≡ x (u , x )
jacobiano (da prendere in valore assoluto) vale, ∀ x ∈ R + ,
1/ x
∂t /∂u ∂t /∂x
∂ (t , x )
≡ det
= det
∂ (u , x )
∂x /∂u ∂x /∂x
0
− u 2 /x 2
1
= ,
x
1
risulta che
bx
∫
+∞
0
dx ∫
b
a
b
+∞
+∞
bx
⌠ F (u ) u = a x
1
F (bx ) − F (ax )
⌠
⌠
f (tx )dt = dx f (u ) du =
dx ≡ ⌠
dx
⌡a x
⌡0
x
x
x
⌡0
⌡a
(2)
t ≡ t ≡ t (t , u )
In modo analogo, se si esegue la trasformazione di coordinate
, corrispondente
x := u /t ≡ x (t , u )
al (valore assoluto del) determinante jacobiano
0
∂t /∂t ∂t /∂u
1
∂ (t , x )
1
≡ det
= det
= ,
2
∂ (t , u )
t
∂x /∂t ∂x /∂u
− u /t 1 /t
si ottiene
∫
b
a
dt ∫
+∞
0
+∞
b
1
⌠
f (tx )dx = dt ⌠
f (u ) du = ⌠
F (u )
⌡0
⌡a
t
⌡a
= ( lim F (u ) − lim+ F (u )) ln (b /a ) .
b
u →+∞
u →0
+∞
u =0
⋅
dt
t
(3)
Quindi, poiché, per le uguaglianze generali II, le rappresentazioni (2) e (3) sono equivalenti, vale
l’Eq. (1), soggetta alle condizioni indicate inizialmente, q. e. d. .
Integrazioni Speciali –
72
Applicazioni critiche definite di IS-1
Si verifichino i risultati seguenti, ∀ {a , b } ⊂ R + :
+∞
+∞
e −b x − e − a x
cos bx − cos ax
dx ≡ ⌠
d x = ln (a /b ) ;
⌡0
x
x
+∞
tan − 1 (x /b ) − tan − 1 (x /a )
dx ≡ ⌠
x
⌡0
ISE-1.1
⌠
⌡0
ISE-1.2
⌠
⌡0
+∞
cot − 1 (x /a ) − cot − 1 (x /b )
π
dx = ln (a /b ) .
x
2
■
IS-2
In molte contesti fondamentali, le statistiche dei sistemi collettivi (di molte particelle) fermionici (a
spin semi-dispari) e bosonici (a spin intero) dipendono, per il calcolo delle densità di probabilità
rispettive di occupazione degli stati quantici (i.e., del numero di particelle specifiche per unità di
energia o di frequenza), a trasformate integrali di Mellin. Il nucleo (kernel) integrale à-la Mellin è
rappresentato, in generale, dalla potenza x λ − 1 , con λ ∈ R .
Tali integrali fermionici ( + ) \ bosonici ( − ) si riconducono, spesso, alle due forme (†)
+∞
⌠
M± (λ ) :=
⌡0
x λ −1
dx .
ex ± 1
Per calcolare l’integrale parametrico M+ (λ ) , specificandone le condizioni analitiche appropriate
di esistenza in R vs. parametro λ , è necessario, prima di tutto, determinare l’insieme dei valori
del parametro λ per i quali M+ (λ ) è convergente ( M+ (λ ) < + ∞ ).
Per brevità, definita φ λ (x ) := x λ − 1 /(e x + 1) l’espressione integranda, si osserva che
• se x ∈ U ( + ∞ ) , è φ λ (x ) = o (1) di ordine > ω ∈ (1, + ∞ ) vs. l’infinitesimo principale 1/x e,
pertanto, che essa è integrabile in U ( + ∞ ) ∀ λ ;
• se x ∈ Uδ + (0) , allora φ λ (x ) ~ x λ − 1 /2 , che risulta integrabile solo se λ ∈ ( 1 , + ∞ ) .
Come conclusione, M+ (λ ) < + ∞ solo per λ ∈ ( 1 , + ∞ ) .
M+ (λ ) non è rappresentabile in termini finiti mediante funzioni elementari. La sua integrazione
in serie appropriata inizia dividendo sia il numeratore che il denominatore di φ λ (x ) per e x ,
+∞
+∞
+∞
x λ − 1e − x
λ − 1 −x
λ −1
λ −1
k −k x
k − (k + 1) x
φ λ (x ) ≡
= x e ∑ ( − 1) e = x
(− 1) e
≡x
( − 1)k − 1e −k x . (1)
∑
∑
−x
1+e
k =0
k =0
k =1
Poiché [ 0 , + ∞ ) è l’intervallo di integrazione, il fattore (1 + e − x ) −1 corrisponde alla somma della
Serie Geometrica di ragione variabile r (x ) ≡ − e − x ∈ [ − 1 , 0 ) .
Essendo x λ − 1e − k x ≤ x λ − 1 = o (1) in Uδ + (0) , la rappresentazione (1) di φ λ (x ) è uniformemente
convergente in [ 0 , + ∞ ) per il criterio di Weierstrass e, pertanto, è lecito scambiare l’ordine delle
operazioni di somma infinita e di integrazione. Si scrive:
M + (λ ) =
+∞
∑ (− 1) ∫
k =1
k −1
+∞
0
x λ − 1e − k x dx .
____________________
( †)
cfr/c il documento PDF dell’autore: Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali, Eserc. 4.
73
Integrazioni Speciali –
Con la sostituzione x := t /k , il cui elemento differenziale è dx = dt /k , si ha
M + (λ ) =
+∞
∑
k =1
( − 1)k − 1
kλ
∫
+∞
0
+∞
t λ − 1e −tdt = Γ (λ ) ∑
k =1
( − 1)k − 1
≡ Γ (λ ) ( − η (λ )) .
kλ
Poiché, per λ ∈ (1 , + ∞ ) , la Serie numerica alternata di Riemann di ordine λ , η (λ ) , converge
assolutamente e, quindi, incondizionatamente (Dirichlet), si può eseguire il riordinamento
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ λ − λ + … ≡ 1 + λ + λ + λ + … − 2 λ + λ + λ + λ + …
λ
2
3
4
2
3
4
4
6
8
2
+∞
1
1
1
1
+∞
= ∑ n = 1 k − λ − 2 λ 1 + λ + λ + λ + … = (1 − 2 1 − λ ) ∑ n = 1 k − λ
2
3
4
2
−η (λ ) = 1 −
≡ (1 − 2 1 − λ ) ζ (λ ) ,
Al solito, ζ indica la Funzione Zeta di Riemann di ordine (o argomento) λ ∈ ( 1 , + ∞ ) .
Pertanto, si ottiene
M+ (λ ) = (1 − 2 1 − λ ) Γ (λ )ζ (λ ) ≡ − Γ (λ )η (λ ) .
(2)
Con procedimento identico, si trova che, ∀ λ ∈ ( 1 , + ∞ ) ,
+∞
⌠
M− (λ ) :=
⌡0
M + (λ )
x λ −1
Γ (λ ) η (λ )
.
≡
dx = Γ (λ ) ζ (λ ) ≡ −
x
1−λ
e −1
1−2
1 − 21 − λ
(3)
■
IS-3
La famiglia integrale multi-parametrica di Dirichlet dà luogo a una delle Γ -rappresentazioni più
note. Integrali di Dirichlet si incontrano nei calcoli sia di masse o di cariche diffuse o di campi,
tutti dedotti da densità proporzionali a potenze delle variabili dello spazio delle configurazioni o in
quello delle fasi, sia di centroidi e di momenti di inerzia in Fisica Classica e Quantistica.
Come esempio di riferimento, si consideri la famiglia degli Integrali Tripli di Dirichlet
D (λ , µ , ν ) :=
∫∫∫Ω
f ((x /a )p + (y /b)q + (z /c )r ) x λ − 1 y µ − 1 z ν − 1dx dy dz ,
(1)
dove, f ∈ C (Ω ) e ∀ {λ , µ , ν } ⊂ R + e il dominio di integrazione è la regione 3D
Ω = {(x ; y; z ) ∈ (R + )3 ∪ { 0 }3D : (x /a )p + (y /b)q + (z /c)r − 1 ≤ 0 ∧ {a , b, c, p, q , r} ⊂ R + }
contenuta nel 1º ottante cartesiano, per la quale, ∂Ω è costituita dai quadranti delle coordinate
positive e dalla superficie (r , Σ ) . La rappresentazione implicita di questa è
(x /a ) p + (y /b)q + (z /c )r − 1 = 0 .
La trasformazione delle variabili di integrazione
x := au 1/p ≡ x (u , v , w ) ,
1 /q
y := bv ≡ y (u , v , w ),
1 /r
z := cw ≡ z (u , v , w ) ,
corrispondente, nel calcolo, al valore assoluto del determinante jacobiano
Integrazioni Speciali –
74
∂ (x , y , z )
abc 1/p − 1 1/q − 1 1/r − 1
=
u
v
w
,
∂ (u , v , w )
pqr
converte l’integrale (1) nell’integrale
a λb µ cν
pqr
D (λ , µ , ν ) =
∫∫∫Q
f (u + v + w ) u λ /p − 1 v µ /q − 1 w ν /r − 1dudvdw ,
(2)
per il quale, la regione trasformata di integrazione è costituita dal triedro retto Q situato nel 1º
ottante, con il vertice principale nell’origine e con la base sul piano di equazione w = 1 − u − v ,
Q := {(u; v; w ) ∈ (R + )3 ∪ { 0 }3D := u + v + w − 1 ≤ 0} .
Procedendo con le riduzioni, dopo aver riscritto
a λb µc ν
D (λ , µ , ν ) =
pqr
∫
1
0
w ν /r − 1dw ∫
1−w
0
v µ /q − 1dv ∫
1−v −w
0
f (u + v + w ) u λ /p − 1du ,
(3)
si consideri, inizialmente, la sola u , v - integrazione doppia. Si ponga u ≡ u (t ) := v (1/t − 1) , a cui
corrisponde la trasformazione
I :=
∫
=∫
=
1−w
0
1−w
0
∫
1−w
0
∫
v µ /q − 1dv
v µ /q − 1dv
∫
1−v −w
0
1
v /(1 − w )
v λ /p + µ /q − 1dv ∫
∫
1−v −w
0
∫
(du ) ≡
v /(1 − w )
1
( − v dt /t 2 ) dell’operatore integrale. Così,
f (u + v + w ) u λ /p − 1du
f (v /t + w ) (v (1 − t )/t )
1
v /(1 − w )
λ /p − 1
(vdt /t 2 )
f (v /t + w ) (1 − t ) λ /p − 1 t − λ /p − 1dt .
Lo scambio (lecito) dell’ordine delle integrazioni dà
∫
1
v /(1 − w )
(dt ) ֏
∫
1
0
∫
(dt ) ∧
1−w
0
(dv ) ֏
∫
(1 − w ) t
0
(dv ) ,
come si verifica prontamente dal controllo grafico del
dominio D di integrazione. Risulta l’integrale doppio
I =
∫
1
0
(1 − t ) λ /p − 1t − λ /p − 1dt
∫
(1 − w ) t
0
f (v /t + w ) v λ /p + µ /q − 1dv .
Ora, posto v ≡ v (ξ ) := t ξ , che corrisponde all’identità
operatoriale
∫
(1 − w )t
0
(dv ) ≡
∫
1−w
0
(t d ξ ) , segue che
Fig. 1
I =
∫
1
0
(1 − t ) λ /p − 1t µ /q − 1dt
≡ Β (λ / p , µ / q ) ∫
≡
1−w
∫
1−w
0
f ( ξ + w ) ξ λ /p + µ /q − 1 d ξ
f ( ξ + w ) ξ λ /p + µ / q − 1 d ξ
0
Γ (λ /p ) Γ (µ /q )
Γ (λ /p + µ /q )
∫
1−w
0
f (ξ + w ) ξ λ /p + µ /q − 1d ξ .
Sostituendo l’espressione (4) di I nell’Eq. (3), si ottiene
(4)
Integrazioni Speciali –
a λb µc ν Γ (λ /p ) Γ ( µ /q )
D (λ , µ , ν ) =
⋅
pqr
Γ (λ /p + µ /q )
∫
1
0
w ν /r − 1dw ∫
1−w
0
f (ξ + w ) ξ λ /p + µ /q − 1d ξ .
75
(5)
Si prosegue allo stesso modo di quanto fatto per l’integrale I , ponendo ξ ≡ ξ (η ) := w (1/η − 1) ,
con la trasformazione conseguente,
K :=
∫
=
∫
=
∫
1
0
1
0
1
0
w ν /r − 1dw ∫
w ν /r − 1dw
∫
w
0
1
w
∫
1−w
(d ξ ) ≡
0
∫
w
1
( − w dη /η 2 ) , dell’operatore integrale. Quindi,
f (ξ + w ) ξ λ /p + µ /q − 1dξ
f (w /η ) (w (1 − η )/η ) λ /p + µ /q − 1 (w dη /η 2 )
∫
f (w /η ) w λ /p + µ /q + ν /r − 1dw
1
(1 − η ) λ /p + µ /q − 1η − λ /p − µ /q − 1dη .
w
Una permutazione successiva lecita (e attenta) dell’ordine delle integrazioni, mediante la quale,
risulta
∫
1
w
(dη ) ≡
∫
1
(dη ) e
w
K =
∫
1
0
∫
1
0
(dw ) ≡
∫
η
0
(dw ) , porta all’espressione
(1 − η ) λ /p + µ /q − 1η − λ /p − µ /q − 1dη
∫
η
0
f (w /η ) w λ /p + µ /q + ν /r − 1dw .
Allora, con la sostituzione w ≡ w (τ ) := ητ , cui compete la trasformazione
∫
η
0
(dw ) ≡
(6)
∫
1
0
(η dτ ) ,
si arriva all’integrale semplice
K =
∫
1
0
(1 − η ) λ /p + µ /q − 1 η ν /r − 1dη
= Β ( λ /p + µ /q , ν / r ) ∫
≡
1
0
Γ (λ /p + µ /q ) Γ (ν /r )
Γ ( λ /p + µ / q + ν / r )
∫
1
0
f (τ )τ λ /p + µ /q + ν /r − 1dτ
f (τ )τ λ /p + µ /q + ν /r − 1dτ
∫
1
0
f (τ )τ λ /p + µ /q + ν /r − 1dτ .
(7)
Infine, introducendo l’espressione (7) di K nell’Eq. (5), risulta
a λ b µ c ν Γ (λ /p ) Γ ( µ /q ) Γ (ν /r )
D (λ , µ , ν ) =
⋅
pqr
Γ (λ /p + µ /q + ν /r )
∫
1
0
f (τ )τ λ /p + µ /q + ν /r − 1dτ .
(8)
Chiaramente, il completamento del calcolo di D (λ , µ , ν ) richiede la conoscenza dell’espressione
specifica di f (τ ) , con τ ≡ u + v + w . Ad esempio, se f (τ ) ≡ β 0 = costante, ∀ τ ∈ ( 0, 1 ) , risulta
β 0 a λb µc ν
Γ (λ /p) Γ ( µ /q ) Γ (ν /r )
D (λ , µ , ν ) =
⋅
.
λqr + µ pr + ν pq Γ (λ /p + µ /q + ν /r )
(8.1)
Il procedimento mostrato, consistente in riduzioni sequenziali delle integrazioni parziali doppie
che si determinano nell’integrale triplo (3), si generalizza induttivamente al caso della famiglia
degli Integrali n-Multipli di Dirichlet, ottenendo l’identità
D (α 1 , α 2 , … , α n ) ≡
∫∫ …
∫
Q
α
α
α
f (x 1 + x 2 + … + x n ) x 1 1 x 2 2 … x n n dx 1dx 2 … dx n
Γ (α 1 ) Γ (α 2 )…Γ (α n ) 1
(∑
=
f (τ )τ
∫
Γ (α 1 + α 2 + … + α n ) 0
n
)
α j −1
j =1
dτ .
(9)
Q := {(x 1 ; x 2 ; … ;x n ): x 1 + x 2 + … x n ≤ 1} ⊂ (R + )n ∪ { 0 }n D è un dominio iper-triedrico retto di
Integrazioni Speciali –
76
integrazione, {α1 , α1 , … , αn } ⊂ R + , f ∈ C (Q ) e τ = x 1 + x 2 + … + x n .
Come applicazione dell’Integrale Doppio di Dirichlet, si consideri il
PROBLEMA
Si calcoli l’area | Σ | della regione piana bordata dalla linea à-la Jordan (astroide a quattro cuspidi)
(x ; y ) : ֏ |x |k /m + |y |k /m = a k /m ,
+
+ 2
( ∂Σ , (x ; y ) ) = {a , k , m } ≡ {a , 2n , 2j − 1} ⊂ R × (Z ) .
+
{n , j } ⊂ Z
Soluzione
Poiché k è pari, la frontiera ∂ Σ , in rappresentazione implicita, è simmetrica rispetto a entrambi
gli assi del riferimento cartesiano ed è piana, semplice e chiusa (la verifica è immediata), quindi, è
à-la Jordan. Il centroide della superficie racchiusa da ∂Σ coincide, evidentemente, con l’origine.
Pertanto, l’area richiesta, | Σ | , corrisponde all’integrale doppio | Σ | ≡ 4 ∫∫ dx dy , essendo Ω il
Ω
quarto di Σ situato nel 1º quadrante cartesiano, nel quale l’equazione dell’arco di ∂ Σ è data da
(x /a )k /m + (y /b )k /m = 1 . Appare subito evidente che si è condotti al calcolo dell’Integrale Doppio
di Dirichlet e, quindi, alle Eq. (1) e (8). Le analoghe 2D generali di queste due equazioni sono
D (λ , µ ) ≡
∫∫Ω
f ((x /a )p + (y /b)q ) x λ − 1 y µ − 1dxdy
(10.1)
e, rispettivamente,
a λb µ Γ (λ /p ) Γ ( µ /q )
D (λ , µ ) ≡
⋅
pq
Γ (λ /p + µ /q )
∫
1
0
f (τ )τ λ /p + µ /q − 1dτ .
(10.2)
Quando f (τ ) = β 0 ≡ costante, l’Eq. (10.2) si riduce a
β 0a λ b µ Γ (λ /p) Γ ( µ /q )
β 0a λb µ
D (λ , µ ) :=
⋅
≡
Β (λ /p, µ /q ) .
λ q + µ p Γ (λ /p + µ /q )
λ q + µp
(10.2.1)
Ora, riguardo al problema dell’area di Σ proposto, le identificazioni appropriate della funzione f
e dei valori dei parametri λ , µ , p , q sono
f (τ ) ≡ 1 , ∀ τ ∈ ( 0, 1 ) ,
λ = µ ≡ 1,
p = q ≡ k /m .
Quindi, applicando direttamente l’Eq. (10.2.1) e riducendo il terzo membro di questa per mezzo
della Formula di Duplicazione della Funzione Γ (†), si ottiene
|Σ | = 4
a 2 (Γ (k /m ))2
a 2m π
Γ (m /k )
⋅
= 2 (m /k − 1) ⋅
,
2 k /m Γ (2 k /m )
2
k Γ (m /k + 1/2)
____________________
( †)
Si veda, e.g., dell’autore: La Funzione Gamma: proprietà e applicazioni, P. 25, Eq. (45).
(11)
Integrazioni Speciali –
77
Ad esempio, dall’Eq. (11), l’area della superficie racchiusa dall’ipocicloide, caratterizzata dalla
coppia di valori parametrici {k , m} ≡ { 2 , 3 } , si calcola prontamente, ottenendo
3
8
|Σ | = πa 2 .
(11.1)
■
IS-4
La formula di Convoluzione Integrale di Dirichlet
Si consideri la funzione f : u ֏ f (u ) , di una sola variabile reale, dove è f ∈ C ([ a , b ]) .
Nella sua applicazione più semplice, quella in R 2 , la formula di convoluzione di Dirichlet di f
consiste nella riduzione della funzione integrale in forma doppia
x ֏ ϑ 2 (x ) :=
∫ (∫
x
t
a
a
)
f (u ) du dt
(1)
a una funzione integrale in forma semplice mediante uno scambio (ammissibile) dell’ordine delle
integrazioni. Si noti che il dominio triangolare rettangolare D di integrazione (Fig. 2), appoggiato
sulla bisettrice-ipotenusa di equazione t = u , è isoscele.
Pertanto, la rappresentazione (1) di ϑ 2 (x ) si riporta
alla forma semplice finale
∫ (∫
ϑ 2 (x ) ≡
∫
=
x
x
a
u
x
a
)
f (u ) dt du =
∫ (∫
x
x
a
u
)
dt f (u ) du
(x − u ) f (u )du .
(1.1)
Ancora, se si nidifica il procedimento precedente vs.
la funzione integrale in forma tripla
x ֏ ϑ 3 (x ) :=
∫
x
a
ϑ 2 (t ) dt ,
(2)
questa si riduce, per l’Eq. (1.1), a un integrale doppio
di tipo (1), per il quale, ancora dal confronto con il
diagramma di ∂D , risulta
Fig. 2
ϑ 3 (x ) =
∫ (∫
x
t
a
a
)
(t − u ) f (u ) du dt ≡
∫ (∫
x
x
a
u
)
(t − u ) dt f (u ) du
x
= (1/2) ∫ (x − u )2 f (u ) du .
(2.1)
a
Quindi, induttivamente, si determina la formula generale di Dirichlet per la funzione integrale ϑn ,
di una sola variabile reale ma in forma integrale n-pla:
x ֏ ϑ n (x ) :=
∫
x
a
ϑ n − 1 (t ) dt ≡
x
x
a
a
∫ ∫
…∫
x
a
(∫
t
a
)
f (u ) du (dt )n − 1 =
x
1
(x − u )n − 1 f (u ) du .
∫
a
(n − 1)!
n − 1 integrazioni
(3)
Invertendo il procedimento, la derivazione di y (x ) := ϑ n (x ) – che si esegue, inevitabilmente, sotto
il segno di integrale (Formula di Leibniz) – dà il risultato, di forma chiaramente iterativa,
Integrazioni Speciali –
x
⌠ ∂ (x − u )n − 1
d
(x − u )n − 1
y (x ) =
f
(
u
)
du
+
f (u )
dx
(n − 1)!
⌡a ∂x (n − 1)!
=
dx
(x − u )n − 1
−
f (u )
dx
(
−
)!
n
1
u =x
78
da
dx
u =a
x
1
(x − u )n − 2 f (u ) du .
∫
(n − 2)! a
Quindi, derivando dy /dx successivamente n − 1 volte, si ottiene d (n ) y /dx n = f (x ) e, da questa,
si risale in modo evidente all’equazione differenziale lineare di ordine n non-omogenea
d (n )y
= f (x ) .
dx n
(4)
È immediato notare che, data la variabile dipendente y , l’espressione (3) rappresenta un integrale
particolare dell’Eq. (4).
L’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata all’Eq. (4) è λ n = 0 ;
le sue n radici multiple, identiche a λ = 0 , consentono di determinare una base di integrali
linearmente indipendenti dell’equazione differenziale omogenea associata,
{e 0x , xe 0x , x 2e 0x , x 3 e 0x , … , x n − 1e 0x } ≡ {1, x , x 2 , x 3 , …, x n − 1} ,
necessari per costruirne l’integrale generale.
Pertanto, l’integrale generale dell’Eq. differenziale non-omogenea (4) ha la forma convolutiva (†)
y (x ) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + … + c n x n − 1 +
≡
n
∑c
k
xk −1 +
k =1
x
1
(x − u )n − 1 f (u ) du
∫
a
(n − 1)!
1
( f ∗ xn −1) ,
Γ (n )
(5)
(5.1)
cfr/c IS-3, Eq. (9). Il fattore (x − u )n − 1 nell’Eq. (5) rappresenta il nucleo (der Integralkern) di
convoluzione di f e della funzione-potenza x n − 1 nell’intervallo (a , x ) di integrazione (†).
■
IS-5
Ref.:
K. HUANG, Statistical Mechanics, 2 ND ED., P. 106, JOHN WILEY & SONS (1987).
La Fisica Statistica è certamente un ambito di applicazioni tecnicamente interessanti e impegnative
dell’integrazione. Nel testo di Huang citato, è riportata l’Eq. (5.68) del flusso termico vettore, q ,
che incorpora la conduttività flusso termica Κ :
q = −
τm 5 ⌠
∂θ
m 2 5 1
U − Ui
f
d 3U U U 2
2 ⌡
2 θ
∂x i
2θ
(0)
≡ − Κ∇ θ .
(1)
Prima di procedere all’identificazione di Κ in termini finiti, conviene descrivere i vari elementi
dell’espressione di q , le convenzioni di scrittura adottate e le condizioni fisiche iniziali:
• il campo vettoriale q di flusso termo-fluidodinamico approssima al 1º ordine l’equazione
generale di trasporto microscopico di Boltzmann.
È sottinteso che q
1 , i.e., dell’ordine di grandezza di λ /L , essendo λ il cammino libero
____________________
( †)
Si veda, e.g., dell’autore: L’operazione di Convoluzione, con applicazioni a Modelli Integrali di
Correlazione, P. 6-7.
Integrazioni Speciali –
79
medio di molecole identiche puntiformi aventi massa m , (norma della) velocità termica più
probabile v 0 = (2 k BT /m )1 / 2 e tempo libero medio (tra urti elastici consecutivi) τ = λ /v 0 .
L è assunta come distanza macroscopica caratteristica di riferimento del sistema molecolare,
e.g., come la lunghezza d’onda termica stazionaria di trasporto;
• U ≡ U = v − v 0 è la (norma della) velocità relativa delle molecole vs. la loro velocità
più probabile. In altre parole, U è il campo vettoriale di velocità del flusso termico. Ad esso,
nei calcoli, sarà associato il versore uˆ ≡ U / U ;
• d 3U ≡ d U 1d U 2d U 3 è l’elemento di volume (parallelepipedo retto) di integrazione nello
spazio (di fase) 3D rettangolare delle velocità relative;
• θ := k BT ≡ (1/3) m 〈 U 2 〉 ;
• in notazione tensoriale sintetica (summation convention), è Ui
•
∂θ
:=
∂x i
3
∑U
i =1
i
∂θ
≡ U ⋅∇ θ ;
∂x i
f ( 0 ) è la funzione di distribuzione (funzione-peso) delle proprietà dinamiche molecolari.
All’ordine inferiore del regime di trasporto termo-fluidodinamico, θ , ∇ θ , λ , τ e nV ≡
N /V (la concentrazione molecolare) sono grandezze quasi-uniformi vs. U .
____________________
Pertanto, si scrive
τm 5
q = −
d 3 U U 2 (m U 2 /θ − 5)U (U ⋅∇ θ ) f
∫
4θ
τm 5
= −
d 3 U U 4 (m U 2 /θ − 5) uˆ (uˆ ⋅∇ θ ) f
∫
4θ
τm 5
= −
∇θ
4θ
∫d
3
(0 )
(0 )
U η (U ) cos α uˆ ,
avendo definito η (U ) := U 4 (m U 2 /θ − 5) f ( 0 ) e α := ∢ (uˆ ,∇ θ ) .
Il fatto che α ∈ [ 0, π ] suggerisce di proseguire l’integrazione vs. il sistema di coordinate sferiche
{U , α , ϕ } il cui asse polare (l’asse Ζ solito) coincida con la retta di direzione istantanea di ∇θ .
Allora, introdotte la rappresentazione rettangolare uˆ ≡ sin α cos ϕ xˆ 1 + sin α sin ϕ xˆ 2 + cos α xˆ 3 e
l’espressione trasformata dell’elemento di volume d 3 U ≡ U 2 sin α d U d α d ϕ , risulta
q = −
τm 5
∇θ
4θ
∫
= −
τm 5
∇θ
4θ
∫
+∞
0
+∞
= −
τm 5
∇θ
4θ
∫
π
0
0
η (U ) cos α uˆ d ϕ
cos α sin α ( sin α (cos ϕ xˆ 1 + sin ϕ xˆ 2 ) + cos α xˆ 3 ) d α ∫
0
+∞
U 2η (U ) d U
0
(∫
2π
U 2η (U ) d U
0
∫
π
U 2 d U ∫ sin α d α ∫
π
0
cos α ( sin α )2 d α ∫
2π
0
(cos ϕ xˆ 1 + sin ϕ xˆ 2 ) d ϕ +
2π
0
dϕ
Integrazioni Speciali –
π
2π
0
0
+ xˆ 3 ∫ (cos α )2 sin α d α ∫
80
)
dϕ .
La funzione periodica α ֏ cos α ( sin α )2 è pari, quindi, la sua integrazione in [ 0, π ] è nulla; la
seconda integrazione polare è elementare e dà 2/ 3 .
Come conclusione,
τm 5
q = −
∇θ
4θ
∫
+∞
0
U 2η (U ) d U ((2/ 3) xˆ 3 ) ∫
2π
0
dϕ
+∞
mU 2
πτ m 5
⌠
= −
− 5 f
∇θ U 6
3θ
θ
⌡0
≡ − Κ∇ θ .
(0)
dU
i.e., all’ordine più basso del regime di trasporto termo-fluidodinamico,
+∞
Κ =
2
πτ m 5 ⌠
6 mU
− 5 f
U
3θ ⌡ 0
θ
(0)
dU .
(2)
□
È ragionevole ritenere che, localmente, f ( 0 ) non si discosti in modo significativo dalla funzione di
distribuzione di Maxwell-Boltzmann, i.e., che
f
(0)
(0)
≈ f MB
:=
nV
(2 π mθ )
3 /2
e − (m U
2
) /( 2θ )
.
(3)
Pertanto, la prosecuzione del calcolo – approssimato – di Κ inizia con tale sostituzione:
Κ ≈
n V m 7 / 2τ
6 (2 π )1 / 2 θ 5 / 2
⌠
⌡0
+∞
2
mU 2
U6
− 5 e − (m U ) /(2θ ) dU .
θ
Qui, posto U := (2θ /m )1 / 2 ξ 1 / 2 , con elemento differenziale dU = (1/2) (2θ /m )1 / 2 ξ −1 / 2 d ξ , si arriva
all’Eq. (5.69) nel testo di Huang:
4 nV τ θ ⌠ + ∞
Κ ≈
3 π 1/ 2 ⌡ 0
4 nV τ θ
≡
3 π 1/2
4 nV τ θ
≡
3 π 1/ 2
4 nV τ θ
=
3 π 1/ 2
5
= nV τ θ
2
7 /2 5 5/2 − ξ
ξ − ξ e dξ
2
5 +∞
+ ∞ 9/2 − 1 − ξ
e d ξ − ∫ ξ 7 / 2 − 1e − ξ d ξ
∫0 ξ
0
2
5
Γ (9 /2) − Γ (7 /2)
2
7 !! 1 / 2 5 5!! 1 / 2
π
4π −
2
2 24
5
≡ nV τ k BT .
2
(‡)
(4)
____________________
(‡ )
Per identità specifiche relative alla Funzione Γ , si veda, e.g., dell’autore: La Funzione Gamma: proprietà e
applicazioni, CAP. 1, EQ. (14.1).
■■■
Integrazioni Ellittiche –
81
Integrazioni Ellittiche
Introduzione
Gli Integrali Ellittici Incompleti di 1º e di 2º tipo, F ed E , rispettivamente (quello di 3º tipo, Π , verrà solo
accennato, essendo meno frequente e di maggiore complessità) intervengono in problemi svariati di rettificazione di
(archi di) linee generalmente ∈ C 1 (e.g., l’ellisse – al cui problema di rettificazione devono il nome – l’iperbole, la
lemniscata di Bernoulli, la cicloide, etc.) e in problemi di Fisica Classica, dal trattamento ‘esatto’ del moto del pendolo
al calcolo delle lunghezze delle traiettorie in un campo di forza centrale newtoniana, al calcolo del potenziale-vettore
indotto dalla corrente circolante nelle spire di un solenoide, etc. .
All’apparenza, gli Integrali Ellittici Incompleti non mostrano alcunché di peculiare nelle loro due forme incomplete
standard, goniometrica e algebrico-irrazionale. D’altra parte, essi non risultano esprimibili in termini finiti mediante
funzioni elementari; però, posseggono rappresentazioni specifiche in serie uniformemente convergenti, ottenibili
agevolmente con integrazioni classiche termine-a-termine in intervalli compatti opportuni.
Per fissare le idee, si consideri la funzione integrale (a-la Lagrange-Picard)
x ֏ I (x ) :=
∫
x
0
R (u , y (u )) du ,
(1)
dove, (y (x ))2 = P(m ) (x ) è un polinomio di grado m e R è una funzione razionale qualsiasi dei due argomenti, x e
y (x ) . Quando m = 1 o 2 , esiste sempre una rappresentazione ‘chiusa’ di I (x ) in termini di funzioni elementari.
Invece, per 3 o 4 , I (x ) è esprimibile, in generale, solo mediante Integrali Ellittici (Incompleti) o combinazioni di
questi. Storicamente, il termine ‘Incompleto’ si riferisce al fatto che I è una funzione integrale dell’estremo superiore
(variabile) x di integrazione; I diventa ‘Completo’ per x = 1 .
Quando è m > 4 , I (x ) diventa un Integrale Iper-ellittico (o di GEGENBAUER (L. B., 1849-1903)) Incompleto. Va
sottolineato che gli Integrali Ellittici (e Iper-ellittici) Incompleti costituiscono una classe di funzioni trascendenti
superiori, meglio analizzabili in C riguardo alle loro proprietà algebrico\analitiche fondamentali.
Sarebbe interessante seguire lo sviluppo storico della teoria delle Funzioni Ellittiche, dalle osservazioni iniziali di
WALLIS (J., 1616-1703) e dei fratelli BERNOULLI (JAKOB, 1654-1705 e JOHANN Io, 1667-1748) riguardo all’elemento
differenziale R (x , y (x )) dx , fino alle ‘Produzioni matematiche’ del conte FAGNANO DEI TOSCHI (G. C., 1682-1766),
che condussero il grandissimo EULER (L., 1707-1783) alla scoperta fondamentale del Teorema di Addizione degli
Integrali Ellittici, primo vero pilastro teorico (23 dicembre 1751). Seguirono i contributi di ABEL (N. H., 1802-1829) e
di JACOBI (C. G. J., 1804-1851), dalle cui quattro Funzioni Theta, ϑ j ( j = 1, 2, 3, 4 ) [9, 12], si possono dedurre le tre
rappresentazioni integrali normali, sulle quali, LEGENDRE (A.-M., 1752-1833) aveva concentrato le ricerche per quasi
metà della sua vita (senza accorgersi – sfortunatamente – delle implicazioni profonde che portarono Jacobi alle ϑ j ):
ξ
ξ
dϕ
dϕ
⌠
,
F (ξ , k ) :=
≡ ⌠
2
2 1 /2
⌡0 Λ 1 / 2
⌡0 (1 − k ( sin ϕ ) )
E (ξ , k ) :=
∫
ξ
0
(1 − k 2 ( sin ϕ )2 )1 / 2 d ϕ ≡
∫
ξ
0
(2.1.1)
Λ 1/2dϕ ,
ξ
(2.1.2)
ξ
dϕ
dϕ
⌠
⌠
,
≡
2
2
2 1/2
2
1 /2
⌡0 (1 − χ ( sin ϕ ) ) (1 − k ( sin ϕ ) )
⌡0 (1 − χ ( sin ϕ ) ) Λ
Π (ξ , χ, k ) :=
(2.1.3)
rispettivamente, l’Integrale Ellittico Incompleto di 1º, di 2º e di 3º tipo in rappresentazione normale (goniometrica).
Chi scrive ritiene storicamente appropriato che F , E e Π , funzioni integrali dell’estremo superiore di integrazione,
l’amplitudine ξ , siano riconosciute come le Funzioni Ellittiche di Legendre, non come semplici ‘integrali’. Esse sono
caratterizzate dal parametro k ( |k | ≤ 1 ), il modulo, e, nel caso di Π , anche dalla caratteristica χ ∈ C \{ 0 } .
Fu Legendre a scoprire che le forme integrali (1) con P(3 ) e P( 4 ) risultano sempre riconducibili, con trasformazioni
opportune, ai tre tipi normali (2.1.1), (2.1.2) e (2.1.3) (e.g., si vedano IE-7, IE-8 e IE-9).
Se si pone ϕ := sin − 1 u (da cui, ξ = π /2 ⇔ x = 1 , che è il caso degli Integrali ‘Completi’, i.e., di numeri-integrali!)
le tre rappresentazioni precedenti mutano in quelle algebriche seguenti, più idonee per l’indagine teorica:
x
du
⌠
,
F (x , k ) :=
2 1 /2
2 2 1 /2
⌡0 (1 − u ) (1 − k u )
(2.2.1)
Integrazioni Ellittiche –
x
82
1 /2
⌠ 1 − k 2u 2
E (x , k ) :=
du ,
2
⌡0 1 − u
(2.2.2)
x
du
⌠
.
2
2 1/2
2 2 1/2
⌡0 (1 − χ u ) (1 − u ) (1 − k u )
Π (x , χ, k ) :=
(2.2.3)
Le ricerche di GAUSS, (J. C. F., 1777-1855) e, soprattutto, di JACOBI chiarirono ulteriormente il quadro concettuale,
fino a che venne consolidata la condizione generale sufficiente seguente:
Sia {ω 1 , ω 2 } ⊂ C , tale che il rapporto ω 1 /ω 2 ∉ R . Una funzione f , soddisfacente la coppia di identità
f (z ) ≡ f (z + 2 ω 1 ) ≡ f (z + 2 ω 2 )
in tutto il suo dominio D f ⊂ C , si dice doppiamente periodica, di periodi 2 ω 1 e 2 ω 2 . Se f è anche meromorfa
in una qualsiasi regione compatta di D f , allora, essa è ellittica in tutto D f , per prolungamento analitico.
Come conclusione di questi cenni informativi sulle Funzioni Ellittiche, va ricordata la celebre Funzione Ellittica di
WEIERSTRASS (K. T. W., 1815-1897) [10], rappresentabile in serie doppia di LAURENT (P. A., 1813-1854),
℘(z ) :=
+∞
1
+
∑
z 2 m =0
+∞
j =0
∑ (z − 2 j ω
1
1
−
2
2
m
2
j
2 m ω 2 )2
−
ω
)
(
ω
+
1
2
1
,
(3)
nella quale, gli indici j e m non siano nulli simultaneamente. Essa è importante per la proprietà seguente:
Ogni funzione ellittica è sempre esprimibile come una funzione razionale di ℘ e della sua derivata 1ª d℘/dz .
□
Circa il trattamento in R delle funzioni integrali F ed E , entrambe sono rappresentabili in serie
in ogni intervallo compatto [ 0 , ξ ] ⊆ [ 0 , π /2 ] , espandendone le potenze binomiali integrande vs.
la variabile k 2 ( sin ϕ )2 ≤ 1 e, quindi, integrando legittimamente termine-a-termine.
Le espansioni (convergenti uniformemente in [ 0 , ξ ] ) degli integrali (2.1.1) e (2.1.2) sono
+∞
F (ξ , k ) = ξ + ∑
n =1
+∞
E (ξ , k ) = ξ − ∑
n =1
(2 n )!
S2n (ξ ) k 2n ,
n
2
(2 n !)
(4.1)
(2n )!
S2n (ξ ) k 2n .
n
2
(2n − 1) (2 n !)
(4.2)
Il termine generale di ciascuna serie contiene la somma finita, nota classicamente come l’Integrale
(parametrico-definito) di Wallis di ordine 2 n ,
S2n (ξ ) :=
∫
ξ
0
( sin ϕ )2n d ϕ = −
1
2n − 1
S2 (n − 1) (ξ )
cos ξ ⋅ ( sin ξ )2n − 1 +
2n
2n
n −1
(2 n )!
1
(2 r r !)2
= … = n 2 ξ − ( sin (2 ξ )) ∑
( sin ξ )r
(2 n !)
2
r = 0 (2 r + 1)!
r
n −1
1 2n
(− 1) 2n
= 2n ξ + ( − 1)n ∑
sin (2 (n − r ) ξ ) .
r
2 n
r =0 n − r
(n ∈ Z + )
(5.1)
(5.2)
L’espressione (5.1) risulta da un’integrazione per-parti evidente, iterata n volte (v. IG-3, Eq. (5));
la rappresentazione (5.2), talvolta più conveniente per il calcolo numerico, si ricava dalla riduzione
2n
MR-8, Eq. (2), della potenza pari integranda ( sin ϕ ) .
Integrazioni Ellittiche –
83
Mediante l’espressione in serie (5.2) di S2n (ξ ) , si costruisce la tabella dei primi 10 addendi esatti
della serie inclusa in F (ξ , k ) , Eq. (4.1). Il termine lineare in ξ che precede la somma infinita è da
considerarsi di ordine 0 vs. il complesso dei termini rimanenti.
Con un po’ d’algebra organizzata accuratamente, risulta:
n
(2 n )!
S2n (ξ ) k 2n
(2 n n !)2
1
1
4
1
2
ξ − sin 2ξ k
2
2
9
2
1
4
ξ − sin 2ξ + sin 4ξ k
64
3
12
3
25
3
3
1
sin 4ξ −
sin 6ξ k 6
ξ − sin 2ξ +
256
4
20
60
4
1225
16384
4
1
4
1
sin 6ξ +
sin 8ξ k 8
ξ − sin 2ξ + sin 4ξ −
5
5
105
280
5
3969
5
5
5
5
1
sin 4ξ −
sin 6ξ +
sin 8ξ −
sin 10ξ k 10
ξ − sin 2ξ +
65536
6
21
84
504
1260
6
53361
6
15
5
1
1
1
sin 4ξ −
sin 6ξ +
sin 8ξ −
sin 10ξ +
sin 12ξ k 12
ξ − sin 2ξ +
1048576
7
56
63
56
385
5544
7
184041
7
7
7
7
7
sin 4ξ − sin 6ξ +
sin 8ξ −
sin 10ξ +
ξ − sin 2ξ +
4194304
8
24
72
264
1320
7
1
+
sin 12ξ −
sin 14ξ k 14
10296
24024
8
41409225
8
14
56
7
56
sin 4ξ −
sin 6ξ +
sin 8ξ −
sin 10ξ +
ξ − sin 2ξ +
1073741824
9
45
495
198
6435
2
8
1
+
sin 12ξ −
sin 14ξ +
sin 16ξ k 16
1287
45045
102960
9
147744025
9
18
7
63
9
sin 8ξ −
sin 10ξ +
ξ − sin 2ξ + sin 4ξ − sin 6ξ +
4294967296
10
55
55
1430
715
2
9
9
1
+
sin 12ξ −
sin 14ξ +
sin 16ξ −
sin 18ξ k 18
715
20020
194480
437580
10
2133423721
10
15
20
15
12
sin 4ξ −
sin 6ξ +
sin 8ξ −
sin 10ξ +
ξ − sin 2ξ +
68719476736
11
44
143
286
715
5
15
5
5
1
+
sin 12ξ −
sin 14ξ +
sin 16ξ −
sin 18ξ +
sin 20ξ k 20
1144
17017
38896
415701
1847560
□
Per quanto riguarda la serie inclusa in E (ξ , k ) , Eq. (4.2), i suoi i termini risultano proporzionali a
quelli corrispondenti della serie presente in F (ξ , k ) , ciascuno per il fattore ordinale − (2 n − 1) −1
rispettivo. Pertanto, la tabella analoga dei primi 10 addendi esatti si ricava senza difficoltà dalla
precedente: nella tabella per E (ξ , k ) , ciascun fattore parentetico, (… idem …), è identico a quello
( … ) che appare alla riga corrispondente nella tabella per F (ξ , k ) :
Integrazioni Ellittiche –
n
−
84
(2 n )!
S2n (ξ ) k 2n
(2n − 1) (2 n n !)2
1
− (...idem...)k 2
4
1
2
−
3
−
3
(...idem ...)k 4
64
5
(...idem...)k 6
256
4
−
175
(...idem...)k 8
16384
5
−
441
(...idem...)k 10
65536
6
−
4851
(...idem...) k 12
1048576
7
−
14157
(...idem...)k 14
4194304
8
−
2760615
(...idem ...)k 16
1073741824
9
−
8690825
(...idem...)k 18
4294967296
10
−
112285459
(...idem...)k 20
68719476736
I calcoli in entrambe le tabelle precedenti, eseguiti dall’autore manualmente nella fase di stesura preliminare del testo,
sono stati verificati con il CAS Maximafr-sfwr [16].
■
IE-1
⌠
I (x ) :=
⌡
Calcolare
cos x
a + b 2 − 2ab cos x
2
dx ,
con ab > 0 .
Si ponga x := π − 2ϕ , così che dx = − 2dϕ e
cos x = cos (π − 2 ϕ ) ≡ − cos (2 ϕ ) = 2 ( sin ϕ )2 − 1 ,
a 2 + b 2 − 2ab cos x ≡ a 2 + b 2 − 2ab ( 2 ( sin ϕ )2 − 1) = (a + b )2 − 4 ab ( sin ϕ )2 .
Quindi, si determina la rappresentazione trasformata
2 ( sin ϕ )2 − 1
⌠
I (x ) ֏ I (ϕ ) =
(− 2d ϕ ) := − 2 ∫ g (ϕ ) dϕ .
2
2 1/2
⌡ ((a + b) − 4 ab ( sin ϕ ) )
In vista di integrazioni definite nelle applicazioni, si rivela conveniente riconfigurare l’espressione
integranda g (ϕ ) nel modo seguente:
g (ϕ ) ≡
2 ( sin ϕ )2 − 1
2 (( sin ϕ )2 − 1/2)
=
((a + b)2 − 4 ab ( sin ϕ )2 )1/ 2
(a + b) (1 − (4 ab /(a + b)2 ) ( sin ϕ )2 )1/ 2
Integrazioni Ellittiche –
85
1
(2 (ab)1/ 2 /(a + b)) (( sin ϕ )2 − 1/2)
=
⋅
(ab)1 / 2 (1 − (4 ab /(a + b)2 ) ( sin ϕ )2 )1 / 2
1
1
(1 − k 2 /2) − (1 − k 2 ( sin ϕ )2 )
k (( sin ϕ )2 − 1/2)
≡
⋅
≡
⋅
(ab)1/ 2 (1 − k 2 ( sin ϕ )2 )1 / 2
(ab)1 / 2
k (1 − k 2 ( sin ϕ )2 )1/ 2
≡
1
1 k
1
1
⋅
−
− (1 − k 2 ( sin ϕ )2 )1 / 2 ,
1/ 2
2
2 1/2
(ab) k 2 (1 − k ( sin ϕ ) )
k
avendo definito, in R , il modulo ellittico aritmetico-geometrico (v. p. 98-99)
k := 2 (ab)1 / 2 /(a + b ) .
(1)
A tale proposito, si osserva che |k | ≤ 1 :
k 2 :=
4 ab
4 ab
≡
≤ 1.
2
(a + b)
4 ab + (a − b)2
Pertanto, risulta la riduzione integrale
I (ϕ ) ≡
2 ⌠ dϕ 2
1/ 2
k − 1/ 2 + ∫ Λ dϕ ,
k ⌡ Λ
k
1
(ab)1 / 2
dove appare il simbolo sintetico (variabile)
Λ := 1 − k 2 ( sin ϕ)2 ≡ Λ (ϕ ) ,
(2)
già incontrato nell’Introduzione, p. 81, con le rappresentazioni goniometriche generali (2.1.1),
(2.1.2) e (2.1.3). (†)
□
Un’applicazione critica definita di IE-1
Se è richiesto il valore di I (x ) per ( 0, π ) , allora, dalla definizione x := π − 2u , il valore di I (u ) è determinato,
ordinatamente, per ( π /2, 0 ) . Con le scritture sintetiche F (π /2, k ) ≡ F (k ) ∧ E (π /2, k ) ≡ E (k ) , segue che
π
⌠
⌡0
cos x
a + b − 2ab cos x
2
2
dx =
=
1
2 ⌠ 0 dϕ
2
k
−
+
1/2
1/2
k ⌡π / 2 Λ
k
(ab)
0
∫π
/2
1 2
2
− k F (k ) − E (k ) ,
(ab )1 / 2 k
k
Λ 1 /2 d ϕ
( k ≡ 2 (ab)1 / 2 /(a + b) )
in termini di Funzioni Ellittiche di Legendre di 1º e di 2º tipo.
Dalle espansioni in serie (uniformemente convergenti) (4.1) e (4.2), Introduzione, e dai coefficienti numerici
contenuti nelle tabelle riguardanti F (ξ , k ) e E (ξ , k ) , si approssima, all’ordine 5 (i.e., arrestandosi al 6º termine), il
numero-integrale
π
⌠
⌡0
cos x
a + b − 2ab cos x
2
2
dx ≈
πk 3
1 /2
16 (ab)
3 2 75 4 245 6 6615 8 53361 10
k +
k +
k −
k .
1 + k +
4
128
512
16384
131072
■
____________________
(†)
Qui, la definizione (2) di Λ è alternativa – e, secondo l’autore, un po’ più conveniente nei calcoli – a quella
classica, Λ := (1 − k 2 ( sin ϕ)2 )1 / 2 , introdotta da GUDERMANN (CHRISTOPH, 1798-1852).
Integrazioni Ellittiche –
86
IE-2
Certi problemi in Elettrodinamica della radiazione ‘classica’ richiedono integrazioni tecnicamente
simili a IG-13, basate, però, sulle Funzioni Ellittiche Integrali di Legendre di 1º e di 2º tipo.
Un esempio di interesse applicativo notevole è ricavato incominciando dalla forma indefinita
(cos ϕ )2
Κ n (ϕ ) := ⌠
dϕ ,
⌡ Λ n + 1/ 2
dove, come in IE-1, è presente il simbolo Λ .
Si assuma n ∈ Z ∧ |k | ≤ 1 ( n + 1/2 è semi-dispari ∀ n ). Dall’identità utile
( sin ϕ)2 ≡
1−Λ
,
k2
(1)
si scrive
2
1 − ( sin ϕ )2
⌠ 1 − (1 − Λ )/k d ϕ
Κ n (ϕ ) ≡ ⌠
d
ϕ
=
Λ n + 1/ 2
⌡ Λ n + 1/ 2
⌡
1 − k 2 ⌠ dϕ
1 ⌠ dϕ
= −
n + 1/2 + 2 n − 1/2 .
2
k ⌡ Λ
k ⌡ Λ
Appare evidente che, ∀ n , l’espressione di Κ n (ϕ ) è deducibile da quella dell’integrale-tipo
IE-3
dϕ
I n (ϕ ) := ⌠
n + 1/2 .
⌡ Λ
Infatti, Κ n (ϕ ) risulta combinazione lineare degli integrali I n (ϕ ) e I n − 1 (ϕ ) della stessa struttura,
distinti da indici muti discreti e contigui:
Κ n (ϕ ) = −
1−k2
1
I n (ϕ ) + 2 I n − 1 (ϕ ) .
2
k
k
(1)
D’altra parte, Κ n (ϕ ) può essere scomposto per-parti nel modo seguente:
cos ϕ
cos ϕ
cos ϕ
⌠
Κ n (ϕ ) ≡ ⌠
n + 1 / 2 ⋅ (cos ϕ d ϕ ) = n + 1 / 2 ⋅ sin ϕ − sin ϕ ⋅ d n + 1 / 2
⌡ Λ
Λ
Λ
⌡
2
2
2
2
cos ϕ sin ϕ ⌠ ( sin ϕ ) Λ − (2 n + 1) k ( sin ϕ ) (cos ϕ )
=… =
+
dϕ
Λ n + 1/ 2
Λ n + 3/2
⌡
2
2
sin 2ϕ
( sin ϕ )2
⌠
2 ⌠ ( sin ϕ ) (1 − ( sin ϕ ) )
=
+
d ϕ − (2 n + 1) k
dϕ
2 Λ n + 1 / 2 ⌡ Λ n + 1/ 2
Λ n + 3 /2
⌡
=
2
sin 2ϕ
1 ⌠ 1−Λ
⌠ 1 − Λ d ϕ + 2 n + 1 ⌠ (1 − Λ) d ϕ
+
d
ϕ
−
(
2
n
+
1
)
⌡ Λ n + 3/2
2 Λ n + 1/ 2 k 2 ⌡ Λ n + 1 / 2
k 2 ⌡ Λ n + 3 /2
=
sin 2ϕ
2n ⌠ dϕ
1 − (2 n + 1) (2 − k 2 ) ⌠ d ϕ
+
+
n + 1/ 2 + ↲
⌡ Λ
2 Λ n + 1/ 2 k 2 ⌡ Λ n − 1 / 2
k2
(2 n + 1) (1 − k 2 ) ⌠ d ϕ
n + 3/2
↳
⌡ Λ
k2
2
sin 2ϕ
2n
1 − (2 n + 1) (2 − k )
(2 n + 1) (1 − k 2 )
≡
−
I
+
I
+
I n + 1 (ϕ ) . (2)
(
ϕ
)
(
ϕ
)
n −1
n
2 Λ n + 1/2 k 2
k2
k2
+
Integrazioni Ellittiche –
87
Uguagliando le espressioni nei membri destri delle Eq. (1) e (2) e risolvendo vs. I n + 1 (ϕ ) , risulta
I n + 1 (ϕ ) = −
k 2 sin 2ϕ
1
2 n (2 − k 2 )
+
I
(
ϕ
)
+
I n (ϕ ) .
n −1
2 (2 n + 1) (1 − k 2 ) Λ n + 1 / 2 1 − k 2
(2 n + 1) (1 − k 2 )
Infine, la traslazione di indice muto n ֏ n − 1 , fornisce l’identità ricorsiva cercata ( n ∈ Z ):
I n (ϕ ) = −
k 2 sin 2ϕ
1
2 (n − 1) (2 − k 2 )
+
I
I n − 1 (ϕ ) .
(
ϕ
)
+
n −2
2 (2 n − 1) (1 − k 2 ) Λ n − 1 / 2 1 − k 2
(2 n − 1) (1 − k 2 )
(3)
L’espressione esplicita di Κ n (ϕ ) , IE-2, si determina ricorsivamente mediante le Eq. (2) e (3).
□
Elementi generatori definiti della famiglia { I n (ϕ )}
Nell’Eq. (3), l’integrazione ripetuta da 0 a ξ ≤ π / 2 mostra la riconducibilità sostanziale alle rappresentazioni delle
Funzioni Ellittiche di Legendre di 1º e di 2º tipo. Mediante i due elementi generatori
•
dϕ
⌠
I − 1 (ϕ ) =
≡
2
2 −1 /2
⌡ (1 − k ( sin ϕ) )
ξ
∫Λ
1 /2
dϕ
⌠
I − 1 (ξ ) =
≡
2
(
1
−
k
(
sin ϕ)2 ) − 1 / 2
⌡0
•
dϕ ,
∫
0
ξ
Λ 1 / 2 d ϕ := E (ξ , k )
dϕ
dϕ
⌠
I 0 (ϕ ) =
≡ ⌠
1 /2 ,
2
2 1 /2
⌡
ϕ
Λ
1
k
(
−
(
sin
)
)
⌡
da cui, segue
e
(4)
da cui, segue
ξ
ξ
dϕ
⌠
⌠ d ϕ := F (ξ , k ) ,
I 0 (ξ ) =
≡
2
2 1 /2
⌡0 Λ 1 / 2
⌡0 (1 − k ( sin ϕ) )
(5)
si scrivono i primi due elementi successivi ascendenti:
•
I 1 (ϕ ) = −
k 2 sin 2ϕ
1
+
I − 1 (ϕ ) ,
2
1 /2
2 (1 − k ) Λ
1−k2
I 1 (ξ ) = −
•
I 2 (ϕ ) = −
k 2 sin 2ξ
1
+
E (ξ , k ) ,
2 (1 − k 2 ) Λ ((ξ ))1 / 2 1 − k 2
k 2 sin 2ϕ
1
2 (2 − k 2 )
+
I 0 (ϕ ) +
I 1 (ϕ ) ,
2
3 /2
2
6 (1 − k ) Λ
1−k
3 (1 − k 2 )
I 2 (ξ ) = −
= −
da cui, segue
(6)
da cui, segue
k 2 sin 2ξ
1
2 (2 − k 2 )
k 2 sin 2ξ
1
+
F (ξ , k ) +
−
+
E (ξ , k )
2
3 /2
2
2
6 (1 − k ) Λ ((ξ ))
1−k
3 (1 − k ) 2 (1 − k 2 ) Λ ((ξ ))1 / 2 1 − k 2
(1 − k 2 + 2 (2 − k 2 ) Λ (ξ )) k 2 sin 2ξ
1
2 (2 − k 2 )
+
F (ξ , k ) +
E (ξ , k ) .
2 2
3 /2
2
6 (1 − k ) Λ ((ξ ))
1−k
3 (1 − k 2 )2
(7)
Si noti l’inserimento dell’espressione (6) di I 1 (ξ ) nella determinazione di quella di I 2 (ξ ) . Dunque, gli integrali IE2 e, in primo luogo, IE-3, risultano esprimibili – da 0 a ξ ≤ π /2 – completamente in termini di somma di una forma
frazionaria, R (k 2, Λ (ξ ), sin 2ξ ) , e di una combinazione lineare di Funzioni Integrali Ellittiche di Legendre di 1º e di
2º tipo. Tale procedimento è, evidentemente, iterabile ∀ n .
Integrazioni Ellittiche –
88
IE-4
(cos ϕ )2 p
J p , n (ϕ ) = ⌠
dϕ ,
⌡ Λ n + 1/2
con { p, n } ∈ Z + × (Z + ∪ { 0 }) , Λ ≡ Λ (ϕ ) = 1 − k 2 ( sin ϕ )2 ∧ |k | ≤ 1.
Calcolare
Riducendo J p , n (ϕ ) per-parti, con un trattamento analogo a quello di Κ n (ϕ ) in IE-2, si scrive:
(cos ϕ )2 p − 1
(cos ϕ )2 p − 1
(cos ϕ )2 p − 1
⌠
J p , n (ϕ ) ≡ ⌠
⋅
(
cos
d
)
=
⋅
sin
−
sin
⋅
d
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Λ n + 1/2
Λ n + 1/2
⌡ Λ n + 1/2
⌡
(cos ϕ )2 p − 1 sin ϕ ⌠
(d /d ϕ ) (cos ϕ )2 p − 1 ⋅ Λ 2n + 1 − (cos ϕ )2 p − 1 ⋅ (d /d ϕ ) Λ n + 1 / 2
=
−
sin
ϕ
⋅
dϕ
Λ n + 1/ 2
Λ 2n + 1
⌡
(cos ϕ )2 p − 1 sin ϕ
=
−
n + 1/2
↲
Λ
2 (p − 1)
(cos ϕ )
( sin ϕ )2 (− k 2 (2 n + 1) (cos ϕ )2 + (2 p − 1) (1 − k 2 ( sin ϕ )2 )
⌠
−
dϕ .
↳ ⌡
Λ n + 3 /2
Ora, si sostituiscono ( sin ϕ )2 e (cos ϕ )2 nel numeratore del termine integrando con le identità
( sin ϕ )2 ≡ (1 − Λ )/k 2
(cos ϕ )2 ≡ 1 − ( sin ϕ )2 = 1 − (1 − Λ )/k 2 ;
e
inoltre, viene conveniente l’identità in forma binomiale
1−Λ
1 − 2
k
p −1
1
≡ 1 − 2
k
p −1
Λ
1 − 1 − k 2
p −1
≡
(k 2 − 1) p − 1
k 2 (p − 1)
p −1
p − 1 r
Λ .
r
∑
r =0
Il calcolo (un po’ laborioso) fornisce l’espressione
J p , n (ϕ ) =
(cos ϕ )2 p − 1 sin ϕ
Λ n + 1/ 2
1
↳ k 2p
−
p −1
∑
r =0
−
↲
2
p − 1 2
k 2 (2 n + 1) + 2 (n − p + 1)
p − 1 − r ⌠ (k + 1) (2 n + 1)
(
1
)
k
−
−
dϕ .
Λ n − r + 3 /2
Λ n − r + 1/2
⌡
r
L’ultima funzione integranda è ridotta a una combinazione lineare di potenze semi-dispari di Λ ;
le integrazioni rispettive si riconducono ai tipi ellittici già considerati. Per evitare errori banali ma
fastidiosi, conviene gestire l’algebra con un CAS (e.g., [16, 18, 19], o programmi simili).
■
IE-5
x
Calcolare
⌠
I (x ) :=
⌡0
dx
,
cos x − cos x
essendo x ∈ [ 0, x ) ⊂ [ 0, π ) .
La condizione di realtà cos x < cos x è compatibile con x ∈ [ 0, x ) ⊂ [ 0, π ) . Le formule di bisezione goniometrica consentono di riscriverla nella forma
0 < cos x − cos x ≡ (1 − 2 ( sin (x /2))2 ) − (1 − 2 ( sin (x /2))2 )
= 2 ( sin (x /2))2 − 2 ( sin (x /2))2
Ora dalla definizione ammissibile
sin (x /2) := sin (x /2) sin ϕ ,
Integrazioni Ellittiche –
89
essendo ϕ ∈ [ 0, π /2 ] e ( sin (x /2))2 < 1 una costante, si arriva alla determinazione dell’elemento
differenziale
2 sin (x /2) cos ϕ
dx =
1 − ( sin (x /2))2 ( sin ϕ )2
dϕ .
La trasformazione conseguente dell’operatore di integrazione definita,
π /2
∫
x
0
2 sin (x /2) cos ϕ
⌠
dx ֏
⌡0
dϕ ,
1 − ( sin (x /2))2 ( sin ϕ )2
fornisce, ∀ x ∈ [ 0 , π ) , la rappresentazione integrale
x
⌠
I (x ) ≡
⌡0
dx
2 (( sin (x /2))2 − ( sin (x /2))2 )
π /2
֏
=
⌠
2
⌡0
1
sin (x /2) 1 − ( sin ϕ )
π /2
2⌠
⌡0
dϕ
2
sin (x /2) cos ϕ
dϕ
1 − ( sin (x /2))2 ( sin ϕ )2
2 F (π /2 , k ) ,
≡
Λ 1/2
⋅
dove, k := sin (x /2) < 1 .
■
IE-6
ψ
dψ
⌠
I (ψ ) :=
⌡0
Calcolare
con ab ≠ 0 ∧ ψ ≤ π /2 .
,
a 2 + b 2 ( sinψ )2
Eseguita la riduzione preliminare
ψ
1 ⌠
dψ
,
I (ψ ) =
2
|a | ⌡ 0 1 + q ( sinψ )2
avendo posto q := |b /a | , si definisce
tan u := q sinψ ,
(1)
che, con la sua forma differenziale equivalente,
du /( cos u )2 = q cosψ dψ ,
(1.1)
permette di scrivere (l’arco variabile ψ risulta riferito al 1º quadrante cartesiano)
dψ
1 + q 2 ( sinψ )2
1
֏
=
1 + (tan u )2
⋅
du
q cosψ ⋅ (cos u )2
cosu
du
⋅
(cos u ) + ( sin u ) q 1 − ( sinψ ) ⋅ (cos u )
2
2
2
2
≡
≡1
=
du
q − (tan u ) ⋅ cos u
2
2
≡
du
q (cos u )2 − ( sin u )2
2
.
du
q − q ( sinψ )2 ⋅ cos u
2
2
Integrazioni Ellittiche –
90
Pertanto, vale la rappresentazione integrale equivalente
u
1 ⌠
I (ψ ) ֏ I (u ) =
|a |
⌡0
u
1 ⌠
≡
|a |
⌡0
du
q 2 (cos u )2 − ( sin u )2
u
1 ⌠
=
2
2
2
|a |
q (1 − ( sin u ) ) − ( sin u )
⌡0
du
du
q − (q + 1) ( sin u )2
2
2
,
(2)
dove, u = tan −1 (q sinψ ) ∧ sup {u } = tan −1q ≡ tan −1|b /a | , dall’Eq. (1).
Ora, si prosegue con una seconda trasformazione di variabile (composta) di integrazione,
q sin ϕ :=
q 2 + 1 sin u ,
(3)
la cui forma differenziale equivalente è data da
q cos ϕ d ϕ =
q 2 + 1 cos u du .
(3.1)
Segue che
du
1
q 2 − (q 2 + 1) ( sin u )2
֏
q 2 − q 2 ( sin ϕ )2
⋅
q cos ϕ
q 2 + 1 cos u
dϕ
q cos ϕ
1
dϕ
⋅
dϕ ≡
2
2
q cos ϕ
q + 1 cos u
q + 1 1 − ( sin u )2
1
dϕ
,
dall’Eq. (3).
=
⋅
2
q +1
q2
2
1− 2
( sin ϕ )
q +1
≡
In tal modo, si determina la rappresentazione ellittica di 1º tipo
I (ψ ) ֏
nella quale, k :=
q
q2 +1
≡
ξ
⌠ dϕ ≡
1/ 2
|a | q 2 + 1 ⌡0 Λ
1
|b |
a 2 +b2
1
a 2 +b2
F (ξ , k ) ,
(4)
< 1.
Circa la determinazione di ξ ( ≡ sup {ϕ } ) e la sua connessione con ψ , per il carattere crescente
comune in [ 0 , π /2) di tutte le funzioni goniometriche coinvolte, si osserva, dall’Eq. (3), che
q2 +1
a 2 +b2
sin u ≡ sin −1
sin u .
|b |
q
ξ = sin −1
D’altra parte, poiché, mediante la definizione (1), nel 1º quadrante vale l’identità
sin u ≡
tan u
1 + (tan u )2
=
q sinψ
1 + (q sinψ )2
≡
|b |
a 2 + b 2 ( sinψ )2
.
(a 2 + b 2 )1 / 2 sinψ
allora, risulta ξ = sin −1 2
.
2 1/ 2
(a + (b sinψ ) )
■
Integrazioni Ellittiche –
91
IE-7
Sia definito in R il polinomio cubico generico P(3) dotato di radici distinte tutte reali, ordinate in
sequenza crescente, α < β < γ .
Sotto la condizione (evidente) di esistenza in R di ( P(3) (x ))1/ 2 ,
x ∈ (α , β ) ∪ (γ , + ∞) ,
calcolare
⌠
I (x ) :=
⌡
(1)
dx
dx
⌠
≡
.
1/2
(x − α ) (x − β ) (x − γ )
⌡ ( P( 3) (x ))
Fissando, con Legendre (†), l’integrazione alla conoscenza (‡) e all’ordinamento in R delle radici
di P(3) , la trasformazione x := α + (β − α ) ( sin ϕ )2 , dalla quale, si ha dx = (β − α ) sin 2 ϕ d ϕ , dà
2d ϕ
dx
֏
( P(3) (x ))1 / 2
2d ϕ
≡
γ − α − (β − α ) ( sin ϕ )2
− α (cos ϕ ) − β ( sin ϕ ) + γ
2
dϕ
2
dϕ
=
⋅
≡
⋅ 1/2 ,
γ −α
β −α
γ −α Λ
1−
( sin ϕ )2
γ −α
2
2
β −α
. Ne viene che
γ −α
avendo definito il modulo ellittico k :=
I (x ) ⇒
2
F (ϕ , k ) .
γ −α
■
IE-8
Sia P( 4 ) un polinomio quartico generico definito in R , avente le radici distinte α , β , γ e δ ;
quando queste sono tutte reali, se ne assuma l’ordinamento crescente α < β < γ < δ (‡).
Calcolare
⌠
I (x ) :=
⌡
≡
dx
a 0 x 4 + a 1x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4
1
|a 0 |
1/2
⌠
⌡
,
con a 0 ≠ 0 ,
dx
1 ⌠
dx
.
≡
1/2
|a 0 | ⌡ (± P( 4 ) (x ))1 / 2
± (x − α ) (x − β ) (x − γ ) (x − δ )
Seguendo Legendre (†) come per IE-7, la strategia di integrazione poggia sulla conoscenza delle
radici di P( 4 ) (x ) (‡) e, quando esse siano tutte in R , sul loro ordinamento.
Legendre introduce la celebre trasformazione bi-lineare della variabile di integrazione
x :=
p + qt
,
1+t
(1)
( p ≠ q , ovviamente), dalla quale, si calcola il nuovo elemento differenziale,
____________________
(‡ )
(†)
Si veda, e.g., dell’autore: Radici dei polinomi univariati di 3º e di 4º grado in R - La Teoria di
Sylvester del Discriminante.
in: Exercices du Calcul Intégral, VOL. I, II, III, ED. COURCIER, PARIS (1811, 1817, 1819).
Integrazioni Ellittiche –
dx = (q − p )
dt
.
(t + 1)2
92
(1.1)
Mediante le trasformazioni (1) e (1.1), il differenziale integrando iniziale diventa
dx
dt
֏ (q − p )
,
1/2
(± P( 4 ) (x ))
(± P( 4 ) (t ))1 / 2
(2)
P( 4 ) (t ) ≡ (p − α − (q − α ) t ) (p − β − (q − β ) t ) (p − γ − (q − γ ) t ) (p − δ − (q − δ ) t ) .
(3)
essendo
La richiesta che i parametri incogniti p e q siano entrambi ∈ R ne suggerisce la determinazione
in modo da trasformare l’espressione (3) di P( 4 ) (t ) nel prodotto di due binomi quadratici. A tale
scopo, si moltiplichino tra loro i primi due fattori binomiali che compaiono in P( 4 ) (t ) , imponendo
il vincolo di cancellazione dei termini lineari risultanti,
0 ≡ (p − α ) (q − β ) + (p − β ) (q − α )
= 2 (pq − αβ ) − (p + q ) (α + β ) ,
(4)
o, in modo equivalente,
(α + β ) (p + q ) = 2 (pq + α β ) .
(4.1)
Analogamente, dalla richiesta di soppressione dei termini lineari risultanti dal prodotto tra il terzo
e il quarto fattore binomiale in P( 4 ) (t ) , si trova
0 ≡ ( p − γ ) ( q − δ ) + ( p − δ ) (q − γ )
= 2 (pq + γδ ) − (p + q ) (γ + δ ) ,
(5)
dal quale, si ha
(γ + δ ) (p + q ) = 2 (pq + γ δ ) .
(5.1)
Pertanto, soggetto alle condizioni (4) e (5), P( 4 ) (t ) si riduce alla fattorizzazione cercata:
P( 4 ) (t ) ≡ ((p − α ) (p − β ) + (q − α ) (q − β ) t 2 ) ((p − γ ) (p − δ ) + (q − γ ) (q − δ ) t 2 ) .
(6)
□
A questo punto, è opportuno (e istruttivo) un controllo della natura numerica dei parametri p e q :
• sia α + β ≠ γ + δ .
Sottraendo membro-a-membro l’Eq. (4.1) dall’Eq. (5.1), si trova
p +q =
2 (α β − γ δ )
;
α + β −γ −δ
(7.1)
inoltre, sostituendo l’espressione (7.1) nell’Eq. (4.1) o nell’Eq. (5.1), risulta
pq = −
(α + β ) γ δ − (γ + δ ) α β
.
α + β −γ −δ
(7.2)
Poiché le quattro radici di P( 4 ) , reali o, più in generale, complesse-coniugate, sono associabili
in coppia, {α , β } e {γ , δ } , le Eq. (7.1) e (7.2) forniranno – sempre – valori reali, quale che
sia la natura di α , β , γ e δ . Quindi, anche la differenza, prontamente calcolabile,
93
Integrazioni Ellittiche –
p − q = ± (p + q )2 − 4 pq = ±
2 (γ − α ) (γ − β ) (δ − α ) (δ − β )
α + β −γ −δ
(7.3)
è sempre reale. Questo implica – senza eccezione! – che { p, q } ⊂ R .
Le espressioni formali esplicite di p e di q costituiscono le soluzioni del sistema simmetrico
delle Eq. (7.1) e (7.2),
2 (α β − γ δ )
p +q = α + β −γ −δ
.
(
α
+
β
)
γ
δ
−
(
γ
+
δ
)
α
β
pq = −
α + β −γ −δ
In rappresentazione vettoriale, si scrivono (la loro assegnazione è arbitraria ma definitiva):
α β − γ δ + (γ − α ) (γ − β ) (δ − α ) (δ − β )
α + β −γ −δ
p q
;
q ∨ p =
α β − γ δ − (γ − α ) (γ − β ) (δ − α ) (δ − β )
α + β −γ −δ
(8)
• sia α + β = γ + δ .
In questa circostanza, invece, si può introdurre la sostituzione
x := t + (α + β )/2 ≡ t + (γ + δ )/2 ,
(9)
essendo la trasformazione (1) chiaramente inapplicabile. In modo analogo all’espressione (6),
risulta, allora,
P( 4 ) (t ) ≡ − ((α − β )2 − 4 t 2 ) ((2 δ − α − β ) (2 γ − α − β ) + 4 t 2 ) .
(10)
Come riduzione ulteriore delle espressioni (6) e (10), si arriva a scrivere, rispettivamente,
• per α + β ≠ γ + δ ,
P( 4 ) (t ) ≡ ± λ 12 (1 ± µ 12 t 2 ) (1 ± ν 12 t 2 ) ,
(11.1)
P( 4 ) (t ) ≡ ± λ 22 (1 − µ 22 t 2 ) (1 ± ν 22 t 2 ) ,
(11.2)
• per α + β = γ + δ ,
essendo stati introdotti simboli sintetici seguenti per i vari coefficienti reali:
± λ 12 := (p − α ) (p − β ) (p − γ ) (p − δ ) ,
(q − α ) (q − β )
,
± µ 12 :=
(p − α ) (p − β )
(q − γ ) (q − δ )
,
±ν 12 :=
(p − γ ) (p − δ )
± λ 22 := − (α − β )2 (2 δ − α − β ) (2 γ − α − β ) ,
µ 22 :=
4
,
(α + β )2
(12.1)
(12.2)
(12.3)
(12.4)
(12.5)
Integrazioni Ellittiche –
±ν 22 :=
4
.
(2 δ − α − β ) (2 γ − α − β )
94
(12.6)
È immediato osservare che la struttura comune delle espressioni (11.1) e (11.2) è del tipo
P( 4 ) (t ) ≡ ± λ 2 (1 ± µ 2 t 2 ) (1 ± ν 2 t 2 ) ,
(13)
dove, comunque, { λ , µ , ν } ⊂ R .
Ora, si assuma, e.g., |ν | < | µ | e, quindi, η := |ν /µ | < 1 . Definita la nuova variabile di integrazione
u := µ t , dalla quale, dt = du /µ , la trasformazione (2) porta alla forma risolvente in u
dx
q−p
du
q−p
du
֏
≡
.
1/2
2
2 2 1/2
( ± P( 4 ) (x ))
| λ | µ (± (1 ± u ) (1 ± η u ))
| λ | µ ( ± P( 4 ) (u ))1 / 2
(14)
Le combinazioni di segno ammissibili in R nell’espressione (14) sono otto. Legendre determinò,
per ciascuna, una trasformazione di forma ellittica normale per mezzo di funzioni goniometriche
elementari. D’altra parte, benché queste trasformazioni non siano le sole disponibili (la letteratura
ne è piena!), sono certamente tra le più semplici. Trascurato il caso spurio, immaginario puro,
(± P( 4 ) (x ))1 / 2 ֏ ( − (1 + u 2 ) (1 + η 2 u 2 ))1 / 2 ≡ i ((1 + u 2 ) (1 + η 2 u 2 ))1 / 2 ,
tutte le forme integrabili in un qualche sotto-insieme di R [9] compaiono nella Tabella seguente:
differenziale
integrando in u
trasformazione
u := u (ϕ )
differenziale
integrando in ϕ
modulo ellittico
k
du
u := tan ϕ
dϕ
Λ 1/2
1 −η 2
u := cos ϕ
− 1−k2
u := sec ϕ
k
(1 + u ) (1 + η 2u 2 )
2
du
(1 − u ) (1 + η u )
2
2
2
du
(u − 1) (1 + η u )
2
2
2
du
u :=
(1 + u ) (1 − η u )
2
2
2
du
u :=
(1 + u ) (η u − 1)
2
2
2
du
du
u :=
(u − 1) (η u − 1)
2
2
du
(u − 1) (1 − η 2u 2 )
2
η
1
η
|u | :=
1
η
1
η
Λ
dϕ
sec ϕ
1−k2
(cos ϕ )2 + (η sin ϕ )2
Λ
η
1 +η 2
1
1/2
−k
csc ϕ
Λ 1 /2
dϕ
cos ϕ
u := sin ϕ
(1 − u ) (1 − η 2u 2 )
2
2
1
dϕ
1 /2
dϕ
Λ 1 /2
1 +η 2
1
1 +η 2
η
1 +η 2
dϕ
Λ 1/2
η
dϕ
η
−
−
Λ 1 /2
dϕ
Λ 1 /2
1 −η 2
I differenziali integrandi vs. u della terz’ultima e della penultima riga mostrano la stessa forma. Per quello della
terz’ultima riga, si richiede che sia |u | ≤ 1 , mentre, per quello della penultima riga, deve essere |u | ≥ 1/η .
■
Integrazioni Ellittiche –
95
IE-9
Sia P( 3) un polinomio cubico generico definito in R , avente una sola radice reale, η ; quindi, le
altre due sono complesse-coniugate (cfr/c IE-7).
Calcolare
⌠
I (x ) :=
⌡
dx
⌠
≡
⌡
con a 0 ≠ 0 ,
,
a 0x 3 + a 1x 2 + a 2x + a 3
dx
a 0 (x − η ) (x 2 + s x + m )
1
≡
|a 0 |
1/2
dx
⌠
( ± P (x ))1 / 2 .
⌡
(3 )
Poiché ∆x ≡ s 2 − 4 m < 0 , allora, sgn ( ± P(3) (x )) = sgn (a 0 (x − η )) . Per a 0 ≷ 0 , ∃ I (x ) in R per
x ⋛ η , rispettivamente.
□
Circa la coppia {ζ , ζ ∗} delle radici complesse-coniugate del trinomio x 2 + s x + m ( > 0 ∀ x ), possono tornare
utili, nei calcoli, le identità elementari seguenti:
s ≡ − (ζ + ζ ∗ ) = − 2Re ζ ,
(1.1)
m ≡ ζ ζ ∗ ≡ (Re ζ )2 + (Im ζ )2 > 0 ,
(1.2)
∆x ≡ s − 4 m ≡ − 4 (Im ζ ) < 0 .
(1.3)
2
2
A queste, sono aggiunte, per completezza,
− s − 2η ≡ 2 (Re ζ − η ) ,
(1.4)
η + sη + m ≡ (Re ζ − η ) + (Im ζ ) > 0 .
2
2
2
(1.5)
□
Con la definizione x := w 2 + η , da cui viene dx = 2 wdw , il differenziale integrando diventa
dx
֏
( ± P(3) (x ))1/ 2
2 sgn (w )
± (w + (s + 2η ) w + η + sη + m )
4
2
2
inclusivo di un radicando bi-quadratico. Poiché |w | =
dw ≡
2 sgn (w )
dw ,
( ± P( 4 ) (w ))1/ 2
(2)
x − η , con x > η , ciò implica che sia
w ≠ 0 . Inoltre, verificandosi l’invarianza ∆w ≡ ∆x < 0 tra il discriminante di P(2 ) (w 2 ) ≡ P( 4 ) (w )
e quello di x 2 + s x + m , è evidente che P( 4 ) (w ) possiede quattro radici complesse, coniugate a
coppie. Quindi, P( 4 ) (w ) > 0 ∀ w ≠ 0 . Questo restringe l’integrabilità in R del differenziale (2)
alla sola forma quartica ammissibile, quella corrispondente ad a 0 (x − η ) > 0 :
2 sgn (w )
dw
.
( P( 4 ) (w ))1 / 2
(3)
Una volta determinate le espressioni esplicite delle radici di P( 4 ) (w ) ,
)
)
(
(
1
− 2η − s + 2 η 2 + sη + m + i 2η + s + 2 η 2 + sη + m ,
2
1
w 0∗ =
− 2η − s + 2 η 2 + sη + m − i 2η + s + 2 η 2 + sη + m ,
2
w 0 ≡ −w 0 ,
w0 =
∗
∗
w0 ≡ −w 0 ,
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
Integrazioni Ellittiche –
96
rappresentabili, se occorre (†), in forme equivalenti mediante le identità (1.1), …, (1.5), è possibile
riscrivere l’integrando differenziale (3) in modo più sintetico ma più trasparente strutturalmente,
2 sgn (w )
∗
∗
(w − w 0 ) (w − w 0 ) (w + w 0 ) (w + w 0 )
=
≡
dw ≡
2 sgn (w )
(w − w 02 ) (w 2 − w 0∗2 )
2
2 sgn (w )
w 4 − 2 (Re w 02 ) w 2 + (Re w 02 )2 + (Im w 02 )2
dw
dw
2 sgn (w )
w 4 − 2 ((Re w 0 )2 − (Im w 0 )2 ) w 2 + ((Re w 0 )2 + (Im w 0 )2 )2
dw .
(5)
Pertanto, il problema IE-9 è ricondotto al modello IE-8: il calcolo prosegue con la sostituzione bilineare (1) di Legendre della variabile di integrazione,
w :=
p + qt
,
1+t
(6)
fino alla riga conclusiva appropriata nella Tabella a p. 94.
■
IE-10
ξ
⌠ (ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2
dϕ ,
I (ξ ) =
(1 + ε cos ϕ )2
⌡0
Calcolare
con ε ∈ R + ∪ { 0 } ∧ ξ ∈ [ 0, π ] .
Si può incominciare con l’integrazione per-parti della forma indefinita associata I (ϕ ) , scegliendo
(ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2 come fattore finito e dϕ /(1 + ε cos ϕ )2 come fattore differenziale:
dϕ
⌠
I (ϕ ) ≡ (ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2 ⋅
−
2
⌡ (1 + ε cos ϕ ) ↲
⌠ ⌠
dϕ
2
1/2
−
⋅d (ε + 1 + 2 ε cos ϕ )
2
↳
ε
ϕ
(
+
cos
)
1
⌡ ⌡
1 ε sin ϕ
= (ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2 ⋅ 2
− I 1 (ϕ ) −
ε − 1 1 + ε cos ϕ
↲
↳
⌠ 1 ε sin ϕ
− 2
− I 1 (ϕ ) ⋅d (ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1/ 2 ,
⌡ ε − 1 1 + ε cos ϕ
indicando, per brevità, I 1 (ϕ ) ≡
∫ (1 + ε cos ϕ )
−1
d ϕ (da: IG-11).
Quindi,
I (ϕ ) = R (ϕ ) −
(ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2
I 1 (ϕ ) +
↲
ε 2 −1
____________________
(†)
2
2
2
w 0∗ =
2
w0 =
(
(
− (η − Re ζ ) +
(η − Re ζ )2 + (Im ζ )2 + i η − Re ζ +
(η − Re ζ )2 + (Im ζ )2
− (η − Re ζ ) +
(η − Re ζ )2 + (Im ζ )2 − i η − Re ζ +
(η − Re ζ )2 + (Im ζ )2
) ≡ −w ,
) ≡ −w ∗ .
0
(7.1)
0
(7.2)
Integrazioni Ellittiche –
97
1 ⌠
(ε sin ϕ )2
+
dϕ −
2
1/2
↳ ε 2 −1
↲
⌡ (ε + 1 + 2 ε cos ϕ ) (1 + ε cos ϕ )
↳
−
1 ⌠
ε sin ϕ
I (ϕ ) dϕ ,
2
ε − 1 ⌡ (ε + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2 1
(1)
2
avendo introdotto l’abbreviazione ulteriore
R (ϕ ) ≡
ε (ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1/ 2 sin ϕ
.
(ε 2 − 1) (1 + ε cos ϕ )
(2)
Ora, scomponendo per-parti il terzo addendo nell’Eq. (1), si ha
ε sin ϕ
⌠ d
⌠
I 1 (ϕ ) dϕ ≡ −
(ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2 I 1 (ϕ ) dϕ
2
1/ 2
⌡ (ε + 1 + 2 ε cos ϕ )
⌡ dϕ
2
⌠ (ε + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2
= − (ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2 I 1 (ϕ ) +
dϕ .
1 + ε cos ϕ
⌡
(3)
La sostituzione dell’espressione (3) nell’Eq. (1) elimina la presenza esplicita di I 1 (ϕ ) , in modo da
ottenere, sequenzialmente,
1 ⌠ (ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1/ 2
dϕ +
↲
1 + ε cos ϕ
ε 2 −1
⌡
I (ϕ ) = R (ϕ ) −
(ε sin ϕ )2
⌠
+ 2
dϕ
1
/
2
↳ ⌡ (ε + 1 + 2 ε cos ϕ ) (1 + ε cos ϕ )
2
(ε sin ϕ )2
1/2
(
ε
+
1
+
2
ε
cos
ϕ
)
−
dϕ
2
1/ 2
(ε + 1 + 2 ε cos ϕ )
= R (ϕ ) −
1 ⌠
1
2
ε − 1 ⌡ 1 + ε cos ϕ
= R (ϕ ) −
1 ⌠
1
(1 + ε cos ϕ ) 2
⋅
dϕ
2
1/2
(
ε
+
1
+
2
ε
cos
ϕ
)
ε 2 −1
1
+
cos
ε
ϕ
⌡
1 ⌠
dϕ
1 ⌠ (ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ ) − (ε 2 + 1)
+
dϕ
2
2
1/ 2
2
1/ 2
ε − 1 ⌡ (ε + 1 + 2 ε cos ϕ )
2⌡
(ε + 1 + 2 ε cos ϕ )
1
d (ϕ /2)
⌠
= R (ϕ ) − 2
(ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2d (ϕ /2) + 2
.
1/2
∫
ε −1
⌡ (ε + 1 + 2 ε cos ϕ )
≡ R (ϕ ) −
(4)
A questo punto, viene utile l’identità goniometrica
ε cos ϕ ≡ ε (1 − (1 − cos ϕ )) = ε (1 − 2 ( sin (ϕ /2))2 ) ≡ ε − 2 ε ( sin (ϕ /2))2 ,
(5.1)
dalla quale, si ricava
(ε 2 + 1 + 2 ε cos ϕ )1 / 2 ≡ (ε 2 + 1 + 2 (ε − 2 ε ( sin (ϕ /2))2 ))1 / 2
4ε
= (ε + 1) 1 −
( sin (ϕ /2))2
2
(ε + 1)
1/ 2
= ((ε + 1) − 4 ε ( sin (ϕ /2)) )
2
2 1/2
2
≡ (ε + 1) Λ 1 / 2(ϕ /2) .
L’identità (5.2) contiene il parametro
k ≡ 2 ε 1 / 2 /(ε + 1) ∈ [ 0, 1] .
(5.2)
Integrazioni Ellittiche –
98
Il fatto che sia k ∈ [ 0, 1] ∀ ε ∈ R + ∪ { 0 } è verificabile dall’Eq. (1) in IE-1.
Pertanto, si arriva alla scomposizione indefinita
I (ϕ ) = R (ϕ ) −
1
1
Λ 1 / 2(ψ ) dψ +
Λ −1 / 2(ψ ) dψ ,
∫
∫
ε −1
ε +1
(6)
con ψ := ϕ /2 . Segue, dall’Eq. (6), ricordando che ξ ≡ sup {ϕ } ∈ [ 0, π ] ,
ε (ε 2 + 1 + 2 ε cos ξ )1/ 2 sin ξ
1
1
−
I (ξ ) =
E (ξ /2, k ) +
F (ξ /2, k ) .
2
(ε − 1) (1 + ε cos ξ )
ε −1
ε +1
(7)
Per predisporre l’espressione (7) ad applicazioni numeriche più agevoli, può essere conveniente far
confluire i due addendi ellittici in un unico termine seriale ricorrendo alle espansioni (4.1) e (4.2)
contenute in IE, Introduzione. Risulta
I (ξ ) =
ε (ε 2 + 1 + 2 ε cos ξ )1/ 2 sin ξ
−
↲
(ε 2 − 1) (1 + ε cos ξ )
↳
−
+∞
1
(2 n )!((ε − 1) n + 1) ε n
ξ
−
2
S2n (ξ /2) .
∑
2
2
2n
ε −1
n = 1 (n !) (2 n − 1) (ε + 1)
(7.1)
Al crescere di n , la gestione del rapporto (2 n )!/(n !)2 diventa sempre più onerosa per la memoria
RAM a causa dell’aumento estremamente rapido dei valori fattoriali. Tralasciando procedure più
specialistiche, con la Formula di Stirling si riesce ad alleviare un po’ il problema. Nel documento
dell’autore: La Funzione Gamma: proprietà e applicazioni, l’Eq. (157) fornisce una risposta al
problema degli n ‘grandi’, e.g., n > 12 , generando l’approssimazione asintotica
2n
1+
1
1
139
571
+
−
−
2
3
24 n 1152 n
414720 n
39813120 n 4
(2 n )! 155520 2
⋅ 1/ 2 ⋅
~
.
2
(n !)2
π
n
1
1
139
571
1 + 12 n + 288 n 2 − 51840 n 3 − 2488320 n 4
(7.2)
Osservazione
Il risultato (7) risolve – completamente in R – il problema della rettificazione delle traiettorie ellittica e iperbolica in
un campo di forza centrale (e.g., gravitazionale) ∝ r − 2 , rappresentato nel cosiddetto N-sistema di riferimento (si
veda, dell’autore: Le Sezioni Coniche reali: elementi e metodi operativi, EQ.I (81) E (82)).
■
Integrazioni Ellittiche –
99
IE-11
Un’espansione in serie della Funzione Ellittica di Legendre di 3º tipo
Sia | χ | ∈ [0, 1) il valore assoluto del parametro caratteristica di Π (ϕ , χ , k ) (v. IE, Introduzione, Eq. (2.1.3)). Le
espansioni uniformemente convergenti in serie di potenze di ( sin ϕ )2 nell’intervallo compatto [0, ξ ] ⊆ [0, π /2] della
variabile ϕ di integrazione,
•
•
+∞
1
=
1 − χ ( sin ϕ )2
1
Λ
1 /2
≡
∑χ
n
( sin ϕ )2n ,
n=0
1
1 − k ( sin ϕ )
2
+∞
=
2
∑
m =0
−1 / 2 2
2 m
( − 1)m
(k ( sin ϕ ) ) ≡
m
+∞
∑
m=0
(2 m )! 2m
k ( sin ϕ )2m ,
(2 m m!)2
|k | ∈ ( 0, 1 ] ,
forniscono l’espansione del prodotto a là Cauchy (e.g., si veda, dell’autore: Determinazione di serie di potenze
reali dalle Funzioni Generatrici di Bernoulli e di Euler, EQ. (2))
1
1
1
≡
⋅
1 − χ ( sin ϕ )2 1 − k 2 ( sin ϕ )2
(1 − χ ( sin ϕ )2 ) Λ 1 / 2
+∞
+ ∞ (2 m )! 2m
= ∑ χ n ( sin ϕ )2n ⋅ ∑ m
k ( sin ϕ )2m
2
n =0
m = 0 (2 m!)
+∞
n
(2 m )! 2m
= ∑ ∑ m
k ( sin ϕ )2m ⋅ χ n − m ( sin ϕ )2 (n − m )
2
(
2
m
!)
n = 0 m = 0
=
+∞
n
∑ ( sin ϕ ) ⋅ ∑
n =0
2n
m =0
(2 m )!
χ n − m k 2m .
(2 m m!)2
(1)
Integrando la serie (1) vs. ϕ tra 0 e ξ e scambiando – ammissibilmente – l’ordine delle operazioni di integrazione e
di somma seriale, risulta, per | χ | ∈ [ 0, 1 ) , l’espansione in serie di potenze per la Funzione Ellittica di Legendre di 3º
tipo in termini di ξ (attraverso la Somma di Wallis, S2n (ξ ) , v. Introduzione, EQ. (5.1) E (5.2)), di χ e di k :
Π (ξ , χ , k ) = ⌠
ξ
⌡0
=
+∞
dϕ
(1 − χ ( sin ϕ )2 ) (Λ (ϕ ))1 / 2
∑ S
n=0
2n
(ξ ) ⋅
n
∑
m =0
(2 m )!
χ n − m k 2m
m
2
(2 m!)
(2)
≡ξ+
n −1
n
(2 n )!
1
(2 r r !)2
(2m )! n − m 2m
r
ξ
−
(
sin
2
ξ
)
(
sin
ξ
)
⋅
χ
k
∑
∑
∑
n
2
m
2
2
n = 1 (2 n !)
r = 0 (2 r + 1)!
m = 0 (2 m!)
(2.1)
≡ ξ+
n −1
1 2n
n (2 m )!
( − 1)r 2 n
n
χ n − m k 2m .
ξ + ( − 1) ∑
sin (2 (n − r ) ξ ) ⋅ ∑ m
2n
2
n =1
r =0 n − r r
n
m = 0 (2 m!)
(2.2)
+∞
+∞
∑ 2
Osservazioni
•
Quando χ ≡ k 2 , Π (ξ , χ , k ) si riduce all’elemento di indice n = 1 della famiglia integrale IE-3.
Per | χ | ∈ (1, + ∞ ] , un’espansione (piuttosto intricata) di Π (ξ , χ , k ) si trova in [5], VOL. 1, P. 60, 241.
•
Se χ ∈ R + , il binomio 1 − χ ( sin ϕ )2 si annulla per ϕ = ± sin − 1 ( χ −1 / 2 ) e ϕ = π ± sin −1 ( χ −1 / 2 ) . In generale,
tali valori principali di Cauchy costituiscono singolarità (poli) logaritmiche della funzione Π in C ; essi sono
anche reali solo se χ ∈ [ 1, + ∞ ) . Quest’ultima circostanza implica, allora, che sin − 1 ( χ −1 / 2 ) ∈ ( 0, π /2 ] .
•
Una classificazione ulteriore di Π (ϕ , χ , k ) in C , con χ = R ∧ k 2 ∈ ( 0, 1 ] , ne distingue la caratteristica
circolare da quella iperbolica secondo che sia µ := χ (χ − k 2 ) (χ − 1) ≶ 0 . Le caratteristiche circolare ( µ < 0 )
e iperbolica ( µ > 0 ) si alternano nei quattro intervalli dell’asse χ reale separati dagli estremi ξ = 0 , k 2 , 1 :
−, +, −, + .
■
Integrazioni Ellittiche –
100
IE-12
Il calcolo numerico di F (ξ , k ) con la Trasformazione di Landen
L’applicazione della Trasformazione ascendente di LANDEN (JOHN, 1719-1790) nel calcolo numerico della Funzione
Ellittica di Legendre di 1º tipo richiede una premessa dall’ambito delle successioni numeriche.
Della coppia numerica {a 0 , b 0 } ⊂ R + , con b 0 ≤ a 0 , si definiscano i valori medi aritmetico e geometrico
a 1 := (a 0 + b 0 )/2
.
b1 := a 0 b 0
Allora, seguono le limitazioni evidenti
a 1 ≤ a 0
,
b 0 ≤ b 1
la seconda, osservando che b 0 ≤
a 0 /b 0 ⋅ b 0 ≡
(1)
a 0 b 0 = b1 . Inoltre, vale la disuguaglianza
b1 ≤ a 1 ,
(2)
come si può verificare scrivendo
a 1 − b 1 ≡ (a 0 + b 0 )/2 − a 0 b 0 = (1/2) (a 0 + b 0 − 2 a 0 b 0 ) ≡ (1/2) ( a 0 − b 0 ) 2 ≥ 0 .
Pertanto, dall’intersezione delle disuguaglianze (1) e (2), risulta la sequenza ordinata
b 0 ≤ b1 ≤ a 1 ≤ a 0
(3)
Ripetendo il procedimento precedente dalle definizioni analoghe
a 2 := (a 1 + b 1 )/2
,
b 2 := a 1 b 1
dove è b 1 ≤ a 1 (Diseq. (2)), si ottiene
b1 ≤ b2 ≤ a 2 ≤ a 1 ,
(3.1)
che, dalla combinazione con le disuguaglianze (3), fornisce l’estensione sequenziale
b 0 ≤ b1 ≤ b 2 ≤ a 2 ≤ a 1 ≤ a 0 .
(4)
Allora, è induttivamente evidente che le successioni {a n } e {b n } in R , con n ∈ Z 0+ , per le quali,
a n + 1 := (a n + b n )/2
,
b n + 1 := a n b n
sono contigue, monotone – {a n } non-crescente e {b n } non-decrescente – e limitate, quindi, convergenti:
b 0 ≤ b1 ≤ b2 ≤ … ≤ b p ≤ … ≤ a q ≤ … ≤ a 2 ≤ a 1 ≤ a 0 .
(5)
Ora, siano a := inf {a n } e b := sup {b n } i valori-limite rispettivi, risultando 0 < b ≤ a . Poiché si può scrivere, in
modo equivalente, b = lim b n + 1 = lim
n→+∞
n→+∞
a n bn ≡
b 2 , se ne deduce che le successioni {a n } e {b n } convergono
verso lo stesso valore-limite µ ( ≡ a ≡ b ), detto media aritmetico-geometrica tra a 0 e b 0 . Chiaramente, essendo la
successione {a n } maggiorante della successione {b n } , la successione di rapporti
{
{b n /a n } = 2 a n b n / (a n + b n )
tende al valore-limite µ − /µ + = 1 − .
}
(6)
Integrazioni Ellittiche –
101
Proposizione
Siano a n = 1 ∧ b n ∈ [ 0 , 1 ] , ∀ n ∈ Z 0+ . Allora,
bn ≤
2 bn
1 + bn
:= b n + 1 .
(7)
Dimostrazione
Infatti, dalla definizione (7) di b n + 1 , si ha
bn + 1 − bn =
2 b n − b n − b n2
1 + bn
perché, ∀ b n ∈ [ 0, 1 ] , risulta b n ≤
=
(1 + 2 b n + b n ) − (1 + 2 b n + b n2 )
1 + bn
=
(1 + b n )2 − (1 + b n )2
1 + bn
≥ 0
bn . ▲
Da quanto discusso in precedenza, è evidente che
sup {b n } = 1 .
(8)
□
Ora, la Trasformazione ascendente di Landen inizia dalla definizione, vs. la nuova variabile ϕ 1 di integrazione,
k sin ϕ := sin (2ϕ 1 − ϕ ) ,
(9)
così, il dominio di integrazione di F diventa, corrispondentemente,
[0, ξ ] ֏ [0, ξ1],
(10.1)
dove, essendo k ∈ ( 0, 1] (senza perdita di generalità), risulta, assegnando ϕ = ξ ∧ ϕ 1 = ξ 1 nell’Eq. (9),
ξ 1 ≡ (1 /2) (ξ + sin − 1 (k sin ξ )) ≤ ξ .
(10.2)
Quindi, espandendo sin (2 ϕ 1 − ϕ ) nell’Eq. (9) e riordinando i termini, si scrive
(k + cos 2 ϕ 1 ) sin ϕ = sin 2 ϕ 1 cos ϕ
da cui si trae la rappresentazione, (quasi-)equivalente alla (9),
tan ϕ =
sin 2ϕ 1
k + cos 2ϕ 1
.
(11)
Riprendendo l’Eq. (9) e tenendo conto che tutti gli archi implicati si trovano nel 1º quadrante cartesiano, mediante
identità goniometriche note, si calcolano
•
sin ϕ ≡
=
=
=
tan ϕ
1 + ( tan ϕ )
2
=
sin 2 ϕ 1 /(k + cos 2 ϕ 1 )
dall’Eq. (11),
1 + ( sin 2 ϕ 1 /(k + cos 2 ϕ 1 ))2
2 cos ϕ 1 sin ϕ 1
(12)
(k + cos 2 ϕ 1 )2 + ( sin 2 ϕ 1 )2
2 cos ϕ 1 sin ϕ 1
k + 2 k cos 2 ϕ 1 + 1
2
≡
2 cos ϕ 1 sin ϕ 1
1 + k 2 + 2 k − 4 k ( sin ϕ 1 )2
cos ϕ 1 sin ϕ 1
k1
cos ϕ 1 sin ϕ 1
2
,
⋅
≡
⋅
1 + k 1 − k 12 ( sin ϕ 1 )2
k
1 − k 12 ( sin ϕ 1 )2
(13)
avendo definito il modulo ellittico contiguo ascendente,
k 1 :=
2 k
1+k
;
(14)
Integrazioni Ellittiche –
•
•
cos ϕ ≡
1
1 + ( tan ϕ )
1 − k 2 ( sin ϕ )2 =
k + cos 2 ϕ 1
=
2
,
(k + cos 2 ϕ 1 )2 + ( sin 2 ϕ 1 )2
dall’Eq.(11);
1 − ( sin (2 ϕ 1 − ϕ ))2 ,
102
(15)
dall’Eq. (9),
= cos (2 ϕ 1 − ϕ ) ≡ cos 2 ϕ 1 cos ϕ + sin 2 ϕ 1 sin ϕ
cos 2 ϕ 1 ⋅ (k + cos 2 ϕ 1 )
=
(k + cos 2 ϕ 1 ) + ( sin 2 ϕ 1 )
2
1 + k cos 2 ϕ 1
=
sin 2 ϕ 1 ⋅ 2 cos ϕ 1 sin ϕ 1
+
2
dalle Eq. (15) e (12),
(k + cos 2 ϕ 1 )2 + ( sin 2 ϕ 1 )2
.
(k + cos 2 ϕ 1 )2 + ( sin 2 ϕ 1 )2
(16)
Ora, dall’uguaglianza tra i differenziali dei termini nei membri dell’Eq. (11), si ha, semplificando,
2 (1 + cos 2 ϕ 1 )
dϕ
=
d ϕ1 ;
2
( cos ϕ )
(k + cos 2 ϕ 1 )2
(17)
poi, sostituendo l’espressione (15) di cos ϕ nell’Eq. (17), risulta
•
dϕ =
2 (1 + cos 2ϕ 1 )
(k + cos 2ϕ 1 )
⋅
2
(k + cos 2ϕ 1 )2
(k + cos 2 ϕ 1 ) + ( sin 2ϕ 1 )
2
2
dϕ 1 =
2 (1 + cos 2ϕ 1 )
(k + cos 2 ϕ 1 )2 + ( sin 2ϕ 1 )2
dϕ 1 .
(18)
Pertanto, con le Eq. (16) e (17), si costruisce l’elemento differenziale integrando
•
dϕ
1 − k ( sin ϕ )
2
2
2
=
=
(k + cos 2 ϕ 1 ) + ( sin 2 ϕ 1 )
2
k1
k
dϕ 1
⋅
1 − k 12 ( sin ϕ 1 )2
2
dϕ 1 =
2
1 + k + 2 k cos 2 ϕ 1
2
dϕ 1
,
(19)
la cui ultima espressione è ottenuta con le stesse operazioni algebriche usate per l’Eq. (13). Ne segue la celebre
Trasformazione ascendente di Landen per la Funzione Ellittica di Legendre di 1º tipo:
ξ
ξ
k1 ⌠
=
k
⌡0
dϕ
⌠
F (ξ , k ) ≡
⌡0
1 − k ( sin ϕ )
2
2
dϕ 1
1 − k ( sin ϕ 1 )
2
1
2
≡
k1
k
F (ξ 1 , k 1 ) .
(20)
La trasformazione riproduce la struttura integrale della funzione F in modo evidente. Ripetendo tale applicazione n
volte, si arriva all’identità ricorsiva
F (ξ , k ) ≡
k1
k
⋅
k2
⋅
k1
k3
k2
⋅… ⋅
kn
kn −1
F (ξ n , k n ) ≡
kn
k
k 1 k 2 k 3 … k n − 1 F (ξ n , k n ) ,
(21)
dove, dalle Eq. (10.1), (7) e (8), sono state applicate le relazioni iterative generali seguenti:
ξ n = (1/2) (ξ n − 1 + sin −1 (k n − 1 sin ξ n − 1 )) ≤ ξ n − 1 ,
ξ n = inf {ξ n } := Ξ + ,
n lim
→+∞
(22)
2 kn −1
k n − 1 ≤ k n ≡
,
1 + kn −1
lim k = sup {k } = 1 −.
n
n → + ∞ n
(23)
Infine, da IG-2 e dallo scambio – qui legittimo – tra le operazioni di limite e di integrazione, segue che
Ξ
⌠
lim F (ξ n , k n ) =
n→±∞
⌡0
du
1 − ( sin u )
2
≡
∫
Ξ
0
sec u du = ln ( tan (Ξ /2) + π / 4) ≡ gd − 1 Ξ .
(24)
Integrazioni Ellittiche –
Quindi, osservato che κ + := lim
{
k 1 k 2 k 3 … k n − 1 ≡ inf
n→+∞
k1 k2 k 3 … kn − 1
103
} < 1 e che almeno uno dei fattori
k r è < 1 , risulta asintoticamente
F (ξ , k ) ~
κ
k
κ
ln ( tan (Ξ /2 + π / 4)) ≡
k
gd − 1 Ξ ,
(25)
indicando con gd − 1 la funzione inversa della Funzione di Gudermann (e.g., si veda, dell’autore: La Goniometria
Iperbolica: un modello strutturale, P. 8-11).
In generale, approssimazioni numeriche sufficienti di F (ξ , k ) richiedono la conoscenza solo di un numero modesto di
valori ricorsivi k r e ξ r , ottenibili da un CAS con routines elementari.
■
IE-13
Il calcolo numerico di E (ξ , k ) con la Trasformazione di Landen di 2º tipo
Analoga a quella di Landen, esiste la Trasformazione di CAYLEY (ARTHUR, 1821-1895) come metodo iterativo per il
calcolo numerico della Funzione Ellittica di Legendre di 2º tipo (CAYLEY, A., An Elementary Treatise On Elliptic
Functions, 2ND ED., DOVER PUBLICATIONS (1961)). In quanto segue, però, sarà presentato un approccio alternativo al
metodo di Cayley, benché ne sia stato motivato: chi scrive preferisce mantenere un legame più coerente e più semplice
operativamente sia con l’impostazione della Trasformazione di Landen IE-12 sia con la forma normale di E (ξ , k ) .
La si può indicare come la Trasformazione di Landen di 2º tipo.
Si inizia combinando le Eq. (16) e (18) in IE-12 e riscrivendo il differenziale integrando nel modo seguente:
1 − k 2 ( sin ϕ )2 d ϕ =
=
=
=
≡
2 (1 + k cos 2ϕ 1 ) (1 + cos 2ϕ 1 )
dϕ 1
((k + cos 2ϕ 1 )2 + ( sin 2ϕ 1 )2 )3 / 2
2 (1 + k (1 − 2 ( sin ϕ 1 )2 )) (1 + (1 − 2 ( sin ϕ 1 )2 ))
((k + (1 − 2 ( sin ϕ 1 )2 ))2 + 4 ( cos ϕ 1 )2 ( sin ϕ 1 )2 )3 / 2
dϕ 1
4 (1 + k − 2 k ( sin ϕ 1 )2 ) (1 − ( sin ϕ 1 )2 )
((1 + k − 2 ( sin ϕ 1 )2 )2 + 4 (1 − ( sin ϕ 1 )2 ) ( sin ϕ 1 )2 )3 / 2
4 (1 + k ) − 4 (1 + 3 k ) ( sin ϕ 1 )2 + 8 k ( sin ϕ 1 )4
(1 + k )3 ((1 − (4 k /(1 + k )2 ) ( sin ϕ 1 )2 )3 / 2
4 (1 + k ) − 4 (1 + 3 k ) ( sin ϕ 1 )2 + 8 k ( sin ϕ 1 )4
(1 + k )3 ((1 − k 12 ( sin ϕ 1 )2 )3 / 2
dϕ 1
dϕ 1
dϕ 1 .
(1)
Nell’Eq. (1), è stato definito k 1 := 2 k /(1 + k ) ( ≤ k , v. p. 101, Dis. (7) ed Eq. (14)); quindi, introdotta l’identità (1) in
IE-2, ( sin ϕ 1 )2 ≡ (1 − Λ1 )/k 12 , con Λ1 ≡ Λ (ϕ 1 ) , si prosegue scrivendo:
Λ (ϕ ) d ϕ =
4 (1 + k ) − 4 (1 + 3 k ) (1 − Λ1 )/k 12 + 8 k (1 − Λ1 )2 /k 14
(1 + k )3 ((1 − k 12 ( sin ϕ 1 )2 )3 / 2
dϕ 1
d ϕ 1 4 (1 + 3 k ) 1 − Λ1
(1 − Λ1 )2
4
8k
=
−
dϕ 1 +
dϕ 1
(1 + k )2 Λ13 / 2 (1 + k )3k 12 Λ13 / 2
(1 + k )3k 14 Λ13 / 2
=
4 ((1 + k ) k 14 − (1 + 3 k ) k 12 + 2 k ) d ϕ 1
(1 + k ) k
3
4
1
Λ
3 /2
1
+
4 ((1 + 3 k ) k 12 − 4 k ) d ϕ 1
(1 + k ) k
3
4
1
Λ
1 /2
1
+
8k
Λ11 / 2 d ϕ 1 .
(1 + k )3k 14
(2)
L’integrazione a destra, da 0 a ξ 1 , della somma (2) di differenziali fornisce la rappresentazione cercata della
funzione integrale trasformata, E (ξ , k ) , completamente espressa da elementi della famiglia IE-3.
Quindi, al 1º ordine di riduzione, si scrive
E (ξ , k ) =
4 ((1 + k ) k 14 − (1 + 3 k ) k 12 + 2 k )
(1 + k ) k
3
4
1
I 1 (ξ 1 ) +
4 ((1 + 3 k ) k 12 − 4 k )
(1 + k ) k
3
4
1
I 0 (ξ 1 ) +
8k
I − 1 (ξ 1 )
(1 + k )3k 14
Integrazioni Ellittiche –
=
104
4 ((1 + k ) k 14 − (1 + 3 k ) k 12 + 2 k )
k 12 sin 2ξ 1
1
−
+
E (ξ 1 , k 1 ) +
3 4
2
1
/
2
2
↲
(1 + k ) k 1
1 − k1
2 (1 − k 1 ) Λ ((ξ 1 ))
4 ((1 + 3 k ) k 12 − 4 k )
8k
+
F (ξ 1 , k 1 ) +
E (ξ 1 , k 1 ) ,
3 4
↳
(1 + k ) k 1
(1 + k )3k 14
avendo sostituito, nel primo addendo, la rappresentazione generale (6) di I 1 (ξ 1) , ottenuta da IE-3, modificata con la
ri-parametrizzazione {ξ , k } ֏ {ξ 1 , k 1 } . Infine, reintroducendo k 1 ≡ 2 k /(1 + k ) ovunque nei coefficienti, risulta
E (ξ , k ) = −
sin 2ξ 1
1−k
4 (1 + k 2 )
(1 + k )2
ξ
F
E (ξ 1 , k 1 ) .
+
(
,
k
)
+
1
1
(1 + k )2 (Λ (ξ 1 ))1 / 2 (1 − k )2
(1 − k )3
(3)
Le trasformazioni nidificate successive, E (ξ n − 1 , k n − 1 ) ֏ E (ξ n , k n ) e F (ξ n − 1 , k n − 1 ) ֏ F (ξ n , k n ) , si ottengono
iterativamente in modo ovvio, rimanendo valide tutte le proprietà parametriche formali (22) e (23) dedotte in IE-12.
Ad esempio, il 2º ordine di riduzione va preparato iniziando dalle identità
2 k 11 / 2
2 2 k 1 / 4 (1 + k )1 / 2
,
(1 + k 1 / 2 )2
•
k2 ≡
•
ξ 2 ≡ (1/2) (ξ 1 + sin −1 (k 1 sin ξ 1 ))
1 + k1
≡
•
E (ξ 1 , k 1 ) = −
•
F (ξ 1 , k 1 ) =
1 − k1
ξ 1 = ξ 1 (ξ )
k1
,
(4.2)
k 1 = k 1 (k )
sin 2ξ 2
(1 + k 1 )2 (Λ (ξ 2 ))1 / 2
k2
(4.1)
+
(1 + k 1 )2
(1 − k 1 )2
F (ξ 2 , k 2 ) +
4 (1 + k 12 )
(1 − k 1 )3
E (ξ 2 , k 2 ) ,
F (ξ 2 , k 2 ) .
(4.3)
(4.4)
Quindi, si sostituiscono le Eq. (4.1), …, (4.4) nell’Eq. generatrice (3) e si completano le sostituzioni k 1 ≡ k 1 (k ) nei
coefficienti, e così via ... Pur trattandosi di un’algebra elementare, è altamente consigliabile che le iterazioni siano
controllate con un CAS! Inoltre, sarebbe buona prassi confrontare la rapidità di convergenza dell’Eq. generatrice (3)
vs. quella del calcolo diretto, brute force, eseguito con l’espansione fondamentale (4.2), p. 82.
Infine, vale il limite evidente, analogo al limite (24) in IE-12, per cui,
lim E (ξ n , k n ) =
n→+∞
∫
Ξ
0
1 − ( sin u )2 du ≡
∫
Ξ
0
cos udu = sin Ξ .
(6)
■■■
Integrazioni Ellittiche –
105
BIBLIOGRAFIA
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[18] SciLab ™:
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[19] FreeMat ™:
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[20] EffeDiX ™:
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http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.it .
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