Transcript logika-eloadas

Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
Elérehetőség:
•
•
aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/
[email protected]
Fogadó óra:
hétfő 10-12 2.620 szoba
Jegyzet:
Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:
A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ
TÁRGYALÁSA
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0046_a_mate
matikai_logika_alkalmazasszemleletu_targyalasa/adatok.html
Bevezetés
A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)
•
•
•
•
•
•
Szintaxis
Szemantika
0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen,
azonosan igaz)
Szemantikus következmény
Normálformák
Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
•
•
•
•
•
Szintaxis
Szemantika
1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen,
azonosan igaz)
Szemantikus következmény
Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
 Szintaxis

• abc, term, formula, szintaktikai definíció,
• egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió
• Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése
• Logikai összettetség
• Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens
• Változó átnevezés, Termhelyettesítés
Szemantika
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész)
változó kiértékelés(  )
 L-értékelés (term és formula)
Term és formula értéktáblája
Quine-féle táblázat
Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia
1. rendű logikai törvények
Szemantikus következmény
Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
Abc
Logikai rész:
• , , , , , , 
• Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan
végtelen, adott fajtájúak
Elválasztó jelek („(„ „)”)
(ítélet változók)
•
•
Logikán kívüli rész:
• Függvény, predikátum és konstans szimbólumok
• Elemfajták halmaza
•
•
•
•
•
A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).
Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni.
Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát.
Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó
igazságértékét megadtuk.
Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük:
Emlékeztető: Formula
•
•
•
minden ítéletváltozó ( Vv)  JFF
ha AJFF akkor AJFF
ha A,BJFF akkor (A○B)JFF
minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.
Egyszerű állítás
Összetett állítás
interpretáció
{i,h}
Boole-értékelés
{i,h}
Formula jelentése mindig igazságérték!
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés
+
 L-értékelés (
)
A formalizált egyyfajtájú  nyelv szignaturája és a matematikai
struktúra szignaturája közötti kapcsolat.
Nyelv szignaturája:
<P1, P2, …, Pn; F1, F2, …, Fk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k , k1, k2, …, kq>
I
Struktúra szignaturája:
<U, R1, R2, …, Rn; M1, M2, …, Mk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k c1, c2, …, cq>

x,y, ... Individum változók
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés (  )
+
 L-értékelés (
)
Definíció: változó kiértékelés(  )
: VU, ahol V: indivíduum változók halmaza,
U: univerzum
|x|I, jelöli: az U univerzumbeli (x) individuumot
V
x
y
U

u2
u1
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés (  )
+
3.  L-értékelés (I +  -n alapuló)
I, 
A  L-értékelés
Egy olyan leképezés, amely egy formulához hozzárendeli annak
jelentését: {i,h}.
A formula valamely L(Vv) = <Tp, Pr , Fn, Kn, > formalizált nyelven
íródott
1. lépés. Választunk egy S = <U, R, M, C> matematikai
struktúrát, amelynek a típusa megegyezik az L nyelv típusával
2. lépés. a logikán kívüli szimbólumokat a megfelelő relációkkal
illetve műveletekkel azonosítjuk (I)
3. lépés. Kiértékeljük a formulában szereplő termeket, a nem kötött
változóinak az összes lehetséges  változókiértékelése mellett
4. lépés. Kiértékeljük a formulát a nem kötött változóinak az összes
lehetséges  változókiértékelése mellett
Definíció:
Termek  = I, L-értékelése
1. xs individuumváltozó: |xs|I, a (x)U ( egy változókiértékelés)
c konstansszimbólum: |c|I, az U-beli cI elem.
2. |f(t1, t2, ..., tn)| I, = fI (|t1| I, , |t2| I, , ..., |tn| I, )
Példa:
logikai nyelv
I:
struktúra nyelve
L= (=, P1, P2 ; a, b, f1, f2)
(2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 )
S= N ( =, <, > ; 0, 1, +, * )
(2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 )
 = I,
Term interpretációja:
t = (f1(x, f2(x,y)))  = f1 (x, f2 (x,y)) =
(x)
(y)
1
1
2
2
3
8
0
4
0
x+ x*y
+ ( x, * (x ,y)) = x+ x*y
Definíció:
Formulák  =I, L-értékelése
1. |P(t1, t2, ..., tn))|I, = i, ha (|t1|I, , |t2|I, , ..., |tn|I,)PI , ahol
PI jelöli a PI reláció igazhalmazát.
2. |A|I, =|A|I,
|AB|I, = |A|I,  |B|I,
|AB|I, = |A|I,  |B|I,
|AB|I, = |A|I,  |B|I,
3. |xA|I, = i, ha |A|I,* = i  minden * x variánsára
|xA|I, = i, ha |A|I,* = i  legalább egy * x variánsára
(A a formula törzse/mátrixa)
Példa: Kvantormentes formula interpretációja:  =I,
(P1(t, f1(y, f2(x,y)))) = P1 (t, (f1(y, f2(x,y))) )=
P1 (t, f1 (y, f2 (x,y))) =
< (+ (x,* (x,y)),+(y,*(x,y)) =
< ( x+ x*y, y+ x*y) =
(x+ x*y)<( y+ x*y)
(x)
(y)
(x+ x*y)<( y+ x*y)
A formula minden alap
előfordulását generáljuk
1
1
h
és így minden állítás
előáll
2
3
i
Egy kvantormentes
formula kiértékelése
Egzisztenciális formula interpretálása:  =I,
(x P1(a, f1(x,x))) =i, ha (P1(a, f1(x,x))) (x/u)=i legalább egy uU
ebben az interpretációban, ha 0<(x+x) = i legalább egy uN
Mivel az x=1-re a formula törzse i, ezért a x(0<(x+x)) formula is i.
Nézzük meg az értéktábláját
(x)
0<(x+x)
0
h
1
i
Univerzális formula interpretálása:  =I,
(x P (a, f (b,x))) = i, ha (P (a, f (b,x))) (x/u)=i minden uU
1
1
1
1
Mivel minden egészre a formula törzse i, ezért a x(0<(1+x)) formula értéke i.
Nézzük meg az értéktábláját
(x)
0<(1+x)
0
i
1
i
Egy 1. rendű formula primformulái
• az atomi formulák ( p(t1, ..., tn) ) és a
• kvantált formulák
Egy 1. rendű formula primkomponensei a formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai
összekötőjelek segítségével épül fel.
Példa:
P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában:
P(X)  Q(X) -ben: P(X) prímkomponens is
xP(x)  Q(X) -ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula
Az igazságtáblában (0. rendű logika) az első sorba az állításváltozók (ezek a formula
prímkomponensei) és a formula kerülnek. A változók alá igazságértékeiket írjuk.
A formula alatt a megfelelő helyettesítési értékek találhatók.
X
Y
Z
(ZXYZ)
i
i
i
i
i
i
h
i
i
h
i
i
Egy 1. rendű formula értéktáblájában az első sorba
• a szabad indivíduum változók
• a primkomponensek és a
• formula kerülne.
Mivel a primformulák több esetben paraméteres állítások, ezért az
interpretációban az indivíduum változók kiértékelése után válnak
állításokká.
Ezért az értéktábla első sorába még a formulában lévő indivíduum
változókat is felsoroljuk a primformulák elé.
• Az indivíduum változók alá azok lehetséges kiértékelései kerülnek
• A primformulák alá a megfelelő helyettesítési értékek kerülnek
• A formula alatt a prímformulák értékeinek megfelelő helyettesítési
értékek találhatók.
ADOTT INTERPRETÁCIÓBAN EGY ADOTT
VÁLTOZÓKIÉRTÉKELÉS ESETÉN NÉZI A FORMULA ÉRTÉKÉT
Példa
A formula
xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)
A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)).
A szabad indivíduum változók: v, w.
Legyen az interpretáló struktúra: U={1, 2, 3}, P={1,3} Q={(1,2),(1,3),
(2,1), (2,2), 2,3)},
Ekkor (xP(x)) = h, a többiek paraméteres állítások
Az értéktábla:
(V) (w) (xP(x)) (y(Q(w,y))
1
1
….
h
P(v)
y(Q(1,y))=i P(1)=i
(zQ(w,z)))
(xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)) 
zQ(1,z)=h
i
mivel a feltételrész hamis
….
A PRIMKOMPONENSEK ÖSSZES LEHETSÉGES ÉRTÉKÉT NÉZI
Példa
xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)
A formula
A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)).
A Quine tábla:
xP(x)
y(Q(w,y)
P(v)
zQ(w,z))
xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z))
i
i
i
i
i
…
…
…
…
…
h
h
h
h
i
Definíció: Kielégíthetőség
Definíció: Kielégíthetetlenség
Azt mondjuk, hogy G formula, illetve F formulahalmaz kielégíthetetlen (nem
kielégíthető), ha L-hez nincs olyan I interpretáció, hogy I= G illetve, hogy I= F.
• Más szóval egy G formula kielégíthetetlen ha minden interpretációban a G
értéktáblájának minden sorában G helyettesítési értéke h(amis).
• Az F formulahalmaz kielégíthetetlen, ha az F közös érték táblájában minden
sorban van legalább egy eleme F-nek, amelynek a helyettesítési értéke h(amis).
Definíció: Logikailag igaz formula
Definíció: Tautológia
Azt mondjuk, hogy egy G formula tautológia, ha G Quine táblájában a
prímkomponensekhez rendelhető összes lehetséges igazságérték hozzárendelés esetén a
formula helyettesítési értéke i.
Jelölés: =0A
TÉTEL:
Definíció: Logikai ekvivalencia
Az A és B elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek ha A=B és B=A.
DEFINICIÓ: Logikai vagy szemantikus következmény
Azt mondjuk, hogy a G formula logikai (szemantikus) következménye
az F formulahalmaznak, ha minden olyan I interpretációra amelyre I=
F a I= G is fennáll.
Jelölés: F= G.
TÉTEL
F-nek szemantikus következménye G, akkor és csak akkor,
ha az F  {G} kielégíthetetlen
Eldöntésprobléma:
tetszőleges
eldönteni, hogy kielégíthetetlen-e
1.rendű
formulahalmazról
1. ÉRTÉKTÁBLÁVAL
F= G, ha minden olyan interpretáló struktúrában, ahol az F, G közös
értéktáblájában minden olyan sorban, ahol az F elemeinek
helyettesítési értéke i(gaz), a G helyettesítési értéke is i(gaz).
2. REZOLÚCIÓVAL
F  {G} kielégíthetetlenségének bizonyításával.
Az F1F2...FnG elsőrendű formulát logikailag ekvivalens módon át
kell írni elsőrendű klózok konjunkciójává.
Elsőrendű klóz: xy(P(x)Q(x,f(y)) kifejtése U={a,b,c} felett alapklózok
konjunkciójává:
(P(a)Q(a,f(a)) (P(a)Q(a,f(b)) (P(a)Q(a,f(c)) (P(b)Q(b,f(a))
(P(b)Q(b,f(b)) (P(b)Q(b,f(c)) (P(c)Q(b,f(a))
(P(c)Q(b,f(b)) (P(c)Q(b,f(c))
Lépések:
1. Prenex alakra hozás
2. Skolem alakra hozás
3. Klózokra bontás (K: Klózhalmaz)
4. A Herbrand univerzum és Bázis: a klózhalmaz alapelőfordulásainak
generálása
5. Herbrand tétele alapján pontosan akkor vezethető le az üres klóz, ha K
kielégíthetetlen
6. Az alaprezolúció segítségével az üres klóz levezetése
Definíció: Prenex formula
Egy B=Q1x1Q2x2…QsxsA formulát prenex formulának nevezünk, ha
az A formula kvantormentes.
A formula Q1x1Q2x2…Qsxs részét a formula prefixumának, az A
részét a formula magjának vagy mátrixának nevezik.
Prenex-konjunktív normálformájú illetve prenex-diszjunktív
normálformájú egy prenex formula, ha a magja KNF illetve DNF.
• Megmutatjuk,
hogy tetszőleges elsőrendű formula átalakítható
prenex formulává.
• Ehhez megadunk néhány, a kvantorokra vonatkozó azonosságot,
• majd egy algoritmust, amely biztosítja tetszőleges formula prenex
formulává alakítását az említett azonos átalakítások felhasználásával.
Általános De Morgan – szabályok:
1. ¬∀xA=∃x¬A
2. ¬∃xA=∀x¬A
Kvantorkiemelési szabályok: (A[x] jelentése, x szerepel A-ban)
1. ∀xA[x]˄B=∀x(A[x]˄B),
2. ∀xA[x]˅B=∀x(A[x]˅B)
3. ∃xA[x]˄B=∃x(A[x]˄B),
4. ∃xA[x]˅B=∃x(A[x]˅B)
5. ∀xA[x]˄ ∀xB[x]= ∀x(A[x]˄B[x]), a ˅ műveletre nem áll fenn.
6. ∃xA[x]˅ ∃xB[x]= ∃x(A[x]˅B[x]), az ˄ műveletre nem áll fenn.
7. Q1xA[x]˄Q2xB[x]=Q1xQ2y(A[x]˄B[x/y])
y nem szerepelt
8. Q1xA[x]˅Q2xB[x]=Q1xQ2y(A[x]˅B[x/y])
a formulában
Algoritmus tetszőleges formula prenex alakra való átírására
• A formulában szereplő logikai összekötőjelek átírása ¬, ˄, ˅ logikai
műveletekre.
• A De Morgan- és az általános De Morgan- szabályok alkalmazása
addig, amíg a ¬ hatásköre minden esetben atomi formula nem lesz.
• A kvantorkiemelési szabályok alkalmazása addig, amíg az összes
kvantor a formula elé nem kerül.
Definíció: Skolem – formulának
Egy prenex formulát Skolem – formulának nevezünk, ha a
prefixumában csak univerzális kvantorok szerepelnek és a formula
magja konjunktív normálformájú.
Megjegyzés: Egy olyan prenex formulához amelyben Qj a legkisebb
indexű egzisztenciális kvantor, vagyis a formula alakja ∀x1...∀xjkonstruálhatunk egy olyan
1 ∃xjQj+1xj+1…QnxnA=∀x1…∀xj-1 ∃xjB,
f(x1,x2,…,xj-1) függvényt, amely az interpretáló struktúrában az
(x1,x2,…,xj-1) változók által felvett minden értékkombinációhoz
hozzárendel egy értéket azok közül, amelyeket az xj helyébe
helyettesítve a B igaz lesz.
Ezt a függvényt Skolem függvénynek nevezzük.
Megadunk egy algoritmust, amellyel tetszőleges prenex formulához meg lehet
konstruálni egy vele logikailag ekvivalens Skolem-formulát.
Algoritmus Skolem-formula előállítására.
• A prenex formula legyen Q1x1Q2x2…QsxsA.
• Megkeressük az első egzisztenciális kvantort.
• Ha ilyen nincs, akkor a formula Skolem-formula. Az algoritmus befejeződik.
• Legyen az első egzisztenciális kvantor az j-edik. Válasszunk egy olyan f
függvényszimbólumot, amely nem szerepel a nyelvben és jelöljük f(x1,x2,…,xj1)-el a Skolem függvényt. Az új formulát úgy kapjuk meg, hogy elhagyjuk a xj
kvantort és a B-ben elvégezzük az (xj/f(x1,x2,…,xj-1)) helyettesítést.
• A kapott formulával következik az 1. lépés.
Tétel:
Legyen B prenex formula és BSN a B alapján előállított Skolem-formula. A B
formula logikailag ekvivalens a BSN formulával.
Mivel a Skolem forma magja KNF, ezért könnyen klózokra
bontható az ˄ műveletek mentés történő szétvágás segítségével
Példa. A formula:
∀x∀y∃z((P(x,y)→¬P(y,x))˄(P(x,z)˅P(z,y))) – átírás ¬, ˄, ˅-ra
∀x∀y∃z((¬P(x,y)˅¬P(y,x))˄(P(x,z)˅P(z,y))) – prenex-konjunktív
forma Skolem-formába való átírása.
z-re Skolem függvény bevezetése:
∀x∀y((¬P(x,y)˅¬P(y,x)) ˄ (P(x,f(x,y))˅P(f(x,y),y))))
A kapott elsőrendű klózhalmaz:
K={¬P(x,y)˅¬P(y,x) , P(x,f(x,y))˅P(f(x,y),y)}
Egy adott, elsőrendű klózhalmazhoz egyértelműen
univerzum konstrukciója J. Herbrand nevéhez fűződik
hozzárendelhető
Definíció: Herbrand-univerzum
• Legyen K egy elsőrendű klózhalmaz.
• Legyen H0 a K-ban szereplő konstansok halmaza.
• Ha K-ban nincs konstans, akkor H0={a}, ahol az a egy fiktív konstans.
• Legyen i=0,1,…-re H𝑖 + 1 =H 𝑖 ∪ F𝑖 , ahol F𝑖 az összes olyan f(t1 ,t 2 ,...,t𝑛 )
termek halmaza, amelyekre az f függvényszimbólum szerepel K-ban és
tj ∈ Hi, (j=1,2,...,n).
Hi-t a K i-edrendű konstansai halmazának, a H ∞ -t a K Herbranduniverzumának nevezzük.
Megjegyzés: A definícióból következik, hogy H∞ legfeljebb megszámlálható
számosságú lehet.
Példa 1.
K={P(x)˅Q(x), R(y), T(z)˅Q(z)}
H0={a}, mivel K-ban nincs konstans.
H0=H1=...=H∞={a},
H∞ véges számosságú, mivel K-ban nincs függvényszimbólum.
Példa 2.
K={P(a), P(x)˅P(f(x))}
H0={a}, ahol a K-beli egyetlen konstans az a.
H1={a, f(a)}
H2={a, f(a), f(f(a))}
...
H∞={a, f(a),f(f(a)),f(f(f(a))), ...}
H∞ megszámlálható számoságú.
Definíció: Herbrand-bázis
Legyen K egy elsőrendű klózhalmaz.
A K Herbrand-bázisának nevezzük a K-beli literálokban szereplő
atomi formulák H∞ feletti összes alapelőfordulását.
Példa. Legyen K={P(x), Q(f(y))˅R(y)} klózhalmaz.
K Herbrand-univerzuma:
H∞={a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),...}
K Herbrand-bázisa:
{P(a),Q(f(a)),R(a),P(f(a)),Q(f(f(a))),R(f(a)),...}.
TÉTEL: Herbrand-tétel
Egy K elsőrendű klózhalmaz akkor és csak akkor kielégíthetetlen, ha a K
klózai alapelőfordulásainak van véges kielégíthetetlen K’ részhalmaza.
Példa 1.
Legyen K={P(x), ¬P(f(a))}. A K kielégíthetetlen, mivel K’={P(f(a)), ¬P(f(a))}
egy véges kielégíthetetlen részhalmaza K alapklózainak.
Példa 2.
A K={¬P(x)˅Q(f(x),x), P(g(b)), ¬Q(y,z)} kielégíthetetlen, mert
K’={¬P(g(b))˅Q(f(g(b)), g(b)), P(g(b)), ¬Q(f(g(b)), g(b))} egy véges
kielégíthetetlen részhalmaza K alapklózainak.
Ezek az alapklózok az (x/g(b), y/f(g(b)), z/g(b)) helyettesítéssel álltak elő.
• A rezolúciós kalkulusra több, a Herbrand-tételeket felhasználó számítógépes
implementáció ismert.
• Az ítéletlogikai rezolúciós kalkulust, valamint az alapklózhalmazon
definiált alaprezolúciós kalkulust egyformán lehet végrehajtani.
• Egy elsőrendű K klózhalmazból való rezolúciós levezetés egy olyan
véges k1, k2, ..., kn elsőrendű klózsorozat, ahol minden j=1, 2, ..., n-re
1. vagy kj K
2. vagy van olyan 1s,tj, hogy kj a ks, kt klózpár elsőrendű
rezolvense.
• Az elsőrendű logikában a probléma abban rejlik, hogy a Herbrand
univerzum feletti alapatomok célszerű generálási sorrendjére nincs stratégia,
és így a műveletszám becslése lehetetlen.
• A nulladrendű rezolúciós elvben a rezolvensképzés feltétele az volt, hogy
két C1, C2 klózban pontosan egy azonos alapú, de ellenkezően negált literál
(egy komlemens pár) forduljon elő.
• Azokra a klózokra, amelyek nem tartalmaznak változót, a döntés egyszerű.
• Azonban a változót tartalmazó klózok esetén a helyzet komplikáltabb.
Példa
Tekintsük például a következő két klózt:
C1=P(x)˅Q(x)
C2=¬P(f(y))˅R(y)
Látszólag nincs olyan literál C1-ben, amely komplementere lenne a C2
valamelyik literáljának.
Ha viszont előállítjuk a Herbrand-univerzum feletti alapelőfordulástokat,
akkor az x/f(a), y/a helyettesítések mellett előálló P(f(a))˅Q(f(a)),
¬P(f(a))˅R(a) alapklózokban a P(f(a)), ¬P(f(a)) ilyen komplemens pár.
Példa alaprezolúcióra
Előállítjuk az első rendű klózok magjainak összes alappéldányát és az alapklózok halmazán ítéletlogikai
rezolúcióval levezetjük az üres klózt.
Az elsőrendű klózhalmaz:
{xy(P(x)Q(x,f(y))), zv(P(g(z))P(v)), uQ(g(u),u)}
H univerzum: a, g(a), f(a), g(f(a)), g(g(a)), f(f(a)), f(g(a)), …(A klózhalmaz leíró nyelvének összes alaptermje)
Alapklózok:
x
y
z
v
u
P(x)Q(x,f(y))
P(g(z))P(v)
Q(g(u),u)
a
a
a
a
a
P(a)Q(a,f(a))
P(g(a))P(a)
Q(g(a),a)
g(a)
a
a
g(a)
a
P(g(a))Q(g(a),f(a))
P(g(a))P(g(a))
Q(g(a),a)
g(a)
a
a
g(a)
f(a)
P(g(a))Q(g(a),f(a))
P(g(a))P(g(a))
Q(g(f(a)), f(a))
g(f(a))
a
f(a)
g(f(a))
f(a)
P(g(f(a)))Q(g(f(a)),f(a))
P(g(f(a)))P(g(f(a)))
Q(g(f(a)), f(a))
alaprezolúció
1. Q(g(f(a)), f(a))
2. P(g(f(a)))Q(g(f(a)),f(a))
3. P(g(f(a)))
4. P(g(f(a)))
5. 
u/f(a)
x/g(f(a)), y/a
z/f(a), v/ g(f(a))
az ítletlogikai megfelelő levezetés
1. X
2. YX
3. Y
4. Y
5. 
Az elsőrendű rezolúcióban a rezolvens képzésnél az illesztő helyettesítéssel dolgozunk, és az alapján
próbáljuk levezetni az üres klózt.
Példa
Elsőrendű rezolúciós levezetés a
{xy(P(x)Q(x,f(y))), zv(P(g(z))P(v)), uQ(g(u),u)} klózhalmazból.
1. P(x)Q(x,f(y))
K
2. Q(g(u),u)
K
3. P(g(f(y)))
rez(1,2)
4. P(g(z))P(v)
K
5. 
u / f(y), x/g(f(y)),
faktorizálás (v/g(z))
z/f(y), )