Transcript La funzione di Heaviside e la funzione unit step

La funzione di Heaviside e la funzione unit step
Marcello Colozzo
[http://www.extrabyte.info]
In precedenza abbiamo considerato coincidenti la funzione di Heaviside e la funzione unit step.
In realtà, la prima è data da:
1, se x > 0
θ (x) =
,
(1)
0, se x < 0
La seconda invece:
U (x) =
1, se x ≥ 0
0, se x < 0
(2)
Tali funzioni hanno in comune il punto di discontinuità di prima specie x = 0, con la differenza che
U (x) è tale che U (0) = 1, mentre la funzione di Heaviside non è ivi definita. Le figg. 1-2 mostrano
i grafici di tali funzioni.
y
1
x
Figura 1: Grafico della funzione unit step U (x). La funzione è definita in x = 0, dove assume il
valore 1.
La circostanza U (0) = 1 ci permette di scrivere il rapporto incrementale relativo al punto x = 0,
per poi arrivare a scrivere:
d
U (x) = δ (x) ,
dx
essendo δ (x) la funzione delta di Dirac. Tuttavia, nei libri di testo si trova:
d
θ (x) = δ (x)
dx
Inoltre, se proviamo a calcolare la derivata della unit step con Mathematica, otteniamo un risultato
espresso in termini della funzione delta di Dirac discreta:
δ ∗ : Np → {0, 1}
δ ∗ : (n1 , n2 , ..., np ) → {0, 1} ,
essendo p un intero naturale positivo assegnato. Più precisamente,:
1, se n1 = n2 = ... = np = 0
∗
δ (n1 , n2 , ..., np ) =
0, altrimenti
1
(3)
y
1
x
Figura 2: Grafico della funzione di Heaviside. La funzione non è definita in x = 0.
In altri termini, la delta di Dirac discreta assume solo due valori: 0 e 1 ed è pari a 1 se e solo se tutti
i suoi argomenti sono nulli. Si noti che abbiamo utilizzato il simbolo asteriscato δ ∗ , altrimenti nel
caso p = 2 rischiamo di confonderci con la delta di Kronecker:
1, se n1 = n2
δn1 n2 =
0, se n1 6= n2
Nel caso di una sola variabile:
δ (n) =
∗
1, se n = 0
0, altrimenti
(4)
Ciò premesso, Mathematica fornisce il seguente risultato:
d
U (x) + U (−x) − 1 − δ ∗ (x)
U (x) =
dx
1 − δ ∗ (x)
Ma
U (x) + U (−x) =
(5)
2, se x = 0
1, se x =
6 0
Sostituendo nella (5):
d
U (x) =
dx
(
2−1−δ ∗ (0)
= 0,
1−δ ∗ (0) δ ∗ (0)=1 0
1−1−0
= 0, se x 6=
1−0
se x = 0
0
(6)
Tale risultato è confermato da Mathematica. Infatti, il comando Symplify[] restituisce un valore
indeterminato nel punto x = 0. Osserviamo che il grafico della funzione θ (x) riportato in fig. 2 è ottenuto con Mathematica utilizzando l’opzione realizzata dal comando Exclusions. Più precisamente,
abbiamo escluso il segmento y = 0 di estremi (0, 0), (1, 0). Diversamente, Mathematica restituisce il
grafico di fig. 3.
Dalla fig. 3 vediamo che l’algoritmo di Mathematica sembra considerare la θ (x) come una funzione
ad infiniti valori quando è x = 0. In altri termini, è θ (0) = [0, 1].
2
y
1
x
Figura 3: Grafico della funzione di Heaviside ottenuto con Mathematica, senza l’opzione
Exclusions->{x=0}
3