Transcript La città misteriosa a cura di Fabio Brunelli, Roberto Imperiale

La città misteriosa
a cura di Fabio Brunelli, Roberto Imperiale, Carmela Milone, Franco Spinelli
Introduzione ....................................................................................................2
Descrizione dell’attività......................................................................................3
Indicazioni metodologiche................................................................................ 10
Eventuali difficoltà e suggerimenti..................................................................... 12
Spunti per un approfondimento disciplinare ........................................................ 13
Elementi per prove di verifica ........................................................................... 20
Bibliografia .................................................................................................... 42
Sitografia ...................................................................................................... 42
Proposta di attività per il corsista ...................................................................... 43
Introduzione
L’attività si può presentare come un proseguimento di quella intitolata “La foto”. Là si
affrontavano il pensiero proporzionale e successivamente le proporzioni; qui si
affrontano le similitudini come relazioni tra figure che hanno la stessa forma.
L’attività proposta porta l’allievo a costruire le conoscenze fondamentali relative alle
figure simili a partire dai triangoli. Tali conoscenze riguardano due aspetti: la
congruenza degli angoli e la proporzionalità dei lati.
L’attività è divisa in tre fasi:
−
Nella prima si affronta un problema relativo a carte geografiche. La risoluzione del
problema in tale contesto avviene a partire dalle conoscenze geometriche che
l’allievo ha già maturato.
−
Nella seconda fase si affronta la proporzionalità delle lunghezze dei lati a partire
dalla osservazione di due schede, la prima con immagini ingrandite, rimpicciolite o
deformate, la seconda con rettangoli di diverse dimensioni fra i quali è possibile
individuarne alcuni simili.
−
Nella terza fase si generalizzano i risultati trovati, utilizzando dei modellini concreti.
Emerge qui la diversità che esiste fra i triangoli e gli altri poligoni: nei triangoli una
delle due relazioni (uguaglianza degli angoli, proporzionalità dei lati) “si tira dietro
l’altra”, cosa che non succede negli altri poligoni.
2
Descrizione dell’attività
Fase 1: La città misteriosa
L’insegnante mostra alla classe due mappe:
}
}
}
}
}
Mappa A
Mappa B
L’insegnante pone il seguente problema:
“Nelle due mappe, che sono in scala diversa, sono segnate Firenze e Prato: nella
mappa A è segnata anche Empoli, nella mappa B invece no. Come è possibile
sistemare Empoli nella giusta posizione anche nella mappa B?
Trova la posizione di Empoli nella mappa B con il metodo che ritieni più opportuno.
Spiega il procedimento che hai seguito.”
Segue una discussione in classe sulle diverse ipotesi e metodi proposti dai ragazzi.
L’insegnante potrebbe eventualmente guidare gli allievi con domande del tipo:
“La direzione da prendere per andare da una città all’altra varia passando dalla mappa
A alla mappa B? Immagina gli angoli formati da queste direzioni nelle due mappe.
Come dovrebbero essere?”
Questa prima fase si potrebbe concludere con il seguente risultato:
“Abbiamo costruito triangoli con gli angoli corrispondenti uguali e abbiamo ottenuto in
questo modo triangoli con la stessa forma (anche se con i lati corrispondenti di
lunghezze diverse). Empoli si trova...”
In questa fase si preferisce non insistere ancora sulla proporzionalità dei lati
corrispondenti nelle figure simili. Non sempre i ragazzi colgono il rapporto costante tra
i lati corrispondenti delle due figure.
Si accantona momentaneamente il problema della città misteriosa che verrà ripreso in
una fase successiva.
3
(Le due mappe A e B sono state ricavate utilizzando il programma Google Immagini
Maps. Si consiglia di utilizzare questo programma per ottenere mappe della propria
regione, in modo tale che gli allievi siano più coinvolti nell’attività).
Fase 2: Dai triangoli ai rettangoli
L’insegnante consegna ad ogni ragazzo una fotocopia del tipo Fig 1 e pone il seguente
problema:
“Individua le immagini della massaia che somigliano all’immagine [1]”
1
2
3
5
4
6
Fig 1
Suggerimenti per alunni in difficoltà
Questa fase può presentare qualche problema non banale soprattutto dal punto di
vista linguistico. L’insegnante dovrà gestire molto bene la discussione, per far
emergere il reale significato della parola in questo contesto, che inevitabilmente
coinvolgerà “forme” e “proporzioni”. Potrebbe ad esempio (metodologia del pair
check) dividere i ragazzi in coppie. Ogni coppia cercherà la propria definizione di
somiglianza (e su questa base individuerà le figure “somiglianti”) e successivamente
potrà confrontare la propria definizione con quella di un’altra coppia… Una discussione
collettiva concluderà il lavoro; in questa discussione ogni studente arriverà con una
propria idea costruita in collaborazione con altri.
4
Dalla discussione collettiva emergerà che le massaie [4] e [5] sono rispettivamente
l’ingrandimento e la riduzione della massaia [1]. Le altre immagini mostrano la stessa
massaia, ma deformata.
L’insegnante chiederà di esaminare meglio le varie immagini proposte, individuando in
esse altre regolarità. Qualche ragazzo potrà osservare che le piastrelle delle figure [1],
[4] e [5] sono quadrate, mentre nelle altre immagini, quelle deformate, le piastrelle si
modificano e da quadrate diventano rettangolari.
A questo punto il docente fornirà una seconda scheda (Fig 2) con la consegna:
“Quali dei rettangoli rappresentati hanno la stessa forma del rettangolo R1?”
R2
R7
R1
R5
R3
R4
R6
Fig 2
Osservazioni per l’insegnante
La seconda domanda della fase 2 tocca una questione delicata: per un ragazzo che
abbia tuttora in mente le usuali definizioni date ai livelli scolastici precedenti
(addirittura a partire dai blocchi logici della scuola dell’infanzia….) tutti i rettangoli
hanno la stessa forma! Sarà allora opportuno che l’insegnante premetta alla domanda
un lavoro che metta in luce come la forma dei rettangoli non è sempre la stessa ma
varia con continuità (si può fare riferimento alle classiche deformazioni della
Castelnuovo a partire da un filo teso con 4 dita o su un geopiano…). Solo a questo
punto la discussione potrà risultare fruttuosa per tutti lungo il percorso individuato.
Gli alunni individueranno con facilità i rettangoli R4 ed R7, ma probabilmente avranno
qualche difficoltà a motivare la risposta. L’insegnante potrebbe guidarli invitandoli a
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riportare le misure dei lati di ciascun rettangolo in una tabella di questo tipo (l1 indica il
lato minore e l2 il lato maggiore del rettangolo):
R1
R4
R7
l1
l2
La tabella, una volta compilata, potrebbe presentarsi in questo modo:
R1
R4
R7
l1
2
1
4
l2
5
2,5
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L’insegnante potrebbe chiedere:
“Notate qualche relazione fra i numeri della prima riga e quelli della seconda riga? E
fra i numeri della prima riga e quelli della terza riga?”
Dall’osservazione della tabella scaturisce che i lati del rettangolo R1 sono il doppio dei
lati del rettangolo R4 e la metà di quelli del rettangolo R7.
E ancora:
“Sapete costruire un rettangolo R8 che abbia la stessa forma di R1 e il lato minore di 6
cm?”
“Qual è il rapporto fra i lati corrispondenti dei rettangoli R1 ed R8?”
Se due rettangoli hanno la stessa forma possiamo affermare che il rapporto fra lati
corrispondenti si mantiene costante (rapporto esterno).
“Se calcoliamo il rapporto fra i lati di rettangoli che non hanno la stessa forma, si
verifica ancora questa proprietà?”
L’insegnante potrebbe ulteriormente invitare i ragazzi ad esaminare la tabella e
chiedere:
“Esaminate in orizzontale le coppie dei numeri della tabella, cosa notate?”
Si giungerà così alla “scoperta” di un rapporto fra i numeri corrispondenti nelle due
colonne, ovvero fra lato minore e lato maggiore di un rettangolo (rapporto interno)
che si mantiene costante nei rettangoli che hanno la stessa forma (cioè fra i rettangoli
simili).
Osservazioni per l’insegnante
La tabella con le misure dei lati potrà essere costruita con i dati di tutti i rettangoli e
potrà eventualmente essere usata per “riportare” i rettangoli su un geopiano o su un
quaderno in posizione tale da far emergere la similitudine esistente solo fra alcuni di
questi rettangoli (analogamente a quanto viene proposto poco dopo per i triangoli).
Sarà importante a questo punto guidare i ragazzi verso una lettura incrociata della
tabella e dei rettangoli così ricostruiti, magari suggerendo poi una analoga lettura
delle immagini con le piastrelle….
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L’insegnante, tornando alle immagini della massaia (Fig 1), alla luce di quanto
“scoperto” per i rettangoli, chiede ai ragazzi:
“Tenendo presente ciò che avete “scoperto” per i rettangoli, c’è qualche indizio
(relativo alle misure dei lati di qualche poligono) che conferma che le immagini scelte
prima sono veramente somiglianti?
Gli alunni, che già precedentemente avevano notato la permanenza della forma
quadrata della piastrella, potranno individuare, ad esempio, il rapporto costante fra le
dimensioni dei cassetti, oppure fra altre misure.
A questo punto si può ritornare alla Fase 1, considerando i due triangoli: quello nella
Mappa A e quello costruito successivamente nella Mappa B.
“Poiché i triangoli hanno la stessa forma, è possibile verificare che fra i lati di questi
esista una relazione del tipo di quella trovata
per i rettangoli?”
Per
visualizzare
meglio
i
triangoli
l’insegnante può suggerire di ritagliarli in un
foglio di acetato, dopo averli ricalcati, e di
sistemarli in modo che un angolo di un
triangolo
si
sovrapponga
a
quello
corrispondente dell’’altro. (fig. …)
Questo serve a confermare l’uguaglianza
degli angoli e ad esaminare meglio la
relazione fra i lati. Se nel gruppo degli alunni
c’è qualcuno che pensa di risolvere il problema applicando una strategia additiva, il
porre i triangoli in questa maniera li convincerà ulteriormente della non validità di
questo approccio.
[una disposizione dei triangoli di questo tipo, può dare lo spunto per avviare al
concetto di omotetia].
A conclusione di questa fase i ragazzi dovrebbero aver “scoperto” le condizioni che
devono essere soddisfatte dai lati e dagli angoli di due poligoni simili e l’insegnante
può procedere alla formalizzazione.
A conferma di quanto appreso il docente potrebbe ancora chiedere:
“Come mai per riconoscere la somiglianza (similitudine) dei rettangoli non ci siamo
posti il problema degli angoli?”
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Fase 3: Dai triangoli ai poligoni
L’insegnante fornisce ai ragazzi delle cannucce con la seguente consegna:
“Costruite con le cannucce due esagoni; ognuno di essi deve avere i lati uguali, ma il
lato del primo esagono deve essere il doppio del lato del secondo. I due esagoni che
avete costruito sono simili?”
Di solito succede che i ragazzi
diano per scontato che gli esagoni
equilateri siano anche equiangoli,
insomma che si tratti di esagoni
regolari. D’altra parte a scuola i
problemi sugli esagoni proposti dai
libri di testo riguardano quasi
sempre esagoni regolari; pertanto i
ragazzi, secondo questo stereotipo,
sistemeranno le cannucce in modo
da avere due esagoni regolari e
controllando le relazioni fra lati e
fra angoli affermeranno che si
tratta di poligoni simili.
Fig. 3
A questo punto basterà che il docente
schiacci uno dei due poligoni per far
vedere che due poligoni, costruiti
secondo la consegna assegnata, non è
detto che siano simili.
Si concluderà osservando che il controllo
della
proporzionalità
fra
lati
corrispondenti non basta a garantire la
similitudine fra i due poligoni.
Fig. 4
L’insegnante può procedere chiedendo di costruire poligoni che abbiano gli angoli
uguali: “possiamo affermare che sono simili?”
Basta ricordare la scheda dei rettangoli della fase 2 per rispondere a questa domanda.
Successivamente si può chiedere:
a) Cosa possiamo dire dei lati di due triangoli che hanno gli angoli uguali?
b) Cosa possiamo dire degli angoli di due triangoli che hanno i lati proporzionali?
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Si concluderà affermando che i triangoli per la similitudine costituiscono un caso a
parte nell’insieme dei poligoni, in quanto, per verificare se due triangoli sono simili,
basta controllare solo una delle due relazioni: se è verificata una, automaticamente
sarà verificata anche l’altra.
Come verifica si possono proporre schede rappresentanti coppie di quadrati e di altri
poligoni regolari con misura del lato diversa chiedendo di verificare la validità
dell’affermazione:
“Tutti i poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono simili”
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Indicazioni metodologiche
La metodologia proposta si fonda sull’orchestrazione da parte dell’insegnante della
discussione matematica, alternando momenti di lavoro a classe intera, ad altri a
piccoli gruppi.
Dare l’opportunità di argomentare, di discutere le proprie soluzioni, di sostenere le
proprie affermazioni, di validare la propria attività matematica, significa dare agli
allievi fiducia e far crescere la responsabilità nell’organizzare e gestire una “piccola”
ricerca, proprio il contrario di quanto avviene nelle situazioni tradizionali, dove
l’insegnante tende a dirigere tutto il lavoro, aggirando gli ostacoli e indicando la via
“giusta”.
Lavorando con la modalità laboratoriale
Il laboratorio di matematica non è un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un
insieme strutturato di attività volte alla costruzione di significati degli oggetti
matematici.
Il laboratorio, quindi, coinvolge persone (studenti e insegnanti), strutture (aule,
strumenti, organizzazione degli spazi e dei tempi), idee (progetti, piani di attività
didattiche, sperimentazioni).
La costruzione di significati, nel laboratorio di matematica, è strettamente legata, da
una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni
tra le persone che si sviluppano durante l’esercizio di tali attività. È necessario
ricordare che uno strumento è sempre il risultato di un'evoluzione culturale, che è
prodotto per scopi specifici e che, conseguentemente, incorpora idee. Sul piano
didattico ciò ha alcune implicazioni importanti: innanzitutto il significato non può
risiedere unicamente nello strumento né può emergere dalla sola interazione tra
studente e strumento. Il significato risiede negli scopi per i quali lo strumento è usato,
nei piani che vengono elaborati per usare lo strumento; l’appropriazione del
significato, inoltre, richiede anche riflessione individuale sugli oggetti di studio e sulle
attività proposte.
Gli strumenti del laboratorio di matematica possono essere di tipo tradizionale, come i
così detti “materiali poveri”, oppure tecnologicamente avanzati, come le macchine
matematiche e i software di geometria.
I ragazzi devono sapersi organizzare, dividere il lavoro, gestire il tempo a
disposizione, accettare i contributi di tutti, entrare nel punto di vista degli altri,
acquisire in definitiva quelle capacità che diventano indispensabili se si desidera
adattarsi “bene” alla società attuale. L’apprendimento di una nuova conoscenza,
organizzata a partire dalla individuazione e dalla risoluzione di problemi, si
caratterizza come un’attività di ricerca, di produzione di ipotesi, di esplorazioni, di
verifiche, attività tutte proprie alla ricerca matematica.
L’insegnante ha il compito di stimolare nell’allievo una ricerca attiva, di coordinare il
dibattito in classe, di istituzionalizzare le conoscenze nuove, magari riutilizzandole e
rafforzandole poi con esercizi di applicazione e verifiche.
Una ulteriore indicazione metodologica è quella di richiedere agli alunni di descrivere
per iscritto l’attività svolta, spiegando le motivazioni delle scelte fatte e delle strategie
utilizzate, le difficoltà incontrate. Si tratta di ricostruire il percorso fatto e indicare
quello che George Pólya ha definito come “le acquisizioni metodologiche”.
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Suggerimenti per alunni in difficoltà
In presenza di alunni con difficoltà occorre insistere soprattutto su due aspetti: la
capacità di utilizzare consapevolmente la procedura e saperla descrivere a parole
(magari spiegandola a un altro compagno, o trascrivendola su un “diario di bordo”
personale).
Lo studente potrà così costruire il suo teorema in atto. A partire proprio dalle
competenze verbali, infatti, si può guidare i ragazzi verso scoperte significative e
solidamente possedute, anche se in tempi diversi rispetto agli altri compagni.
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Eventuali difficoltà e suggerimenti
L’attività, pur nella sua struttura attiva e quindi coinvolgente, può presentare qualche
problema non banale, soprattutto nella Fase 2, dal punto di vista linguistico.
•
•
•
Anzitutto va chiarito il significato della parola “somiglia” quando riferito alle
immagini 1-6 della cucina. L’insegnante dovrà gestire molto bene la
discussione, per far emergere il reale significato della parola in questo contesto,
che inevitabilmente coinvolgerà “forme” e “proporzioni”. Potrebbe ad esempio
essere utilizzata la metodologia del pair check: si dividono i ragazzi in coppie,
ogni coppia cerca la propria definizione di somiglianza (e su questa base
individua le figure “somiglianti”) e successivamente confronta la propria
definizione con quella di un’altra coppia… Una discussione collettiva concluderà
il lavoro; in questa discussione ogni studente arriverà con una propria idea
costruita in collaborazione con altri.
Ancora più delicata si presenta la questione sulla seconda domanda: per un
ragazzo che abbia tuttora in mente le usuali definizioni date ai livelli scolastici
precedenti (addirittura a partire dai blocchi logici della scuola dell’infanzia….)
tutti i rettangoli hanno la stessa forma ! Sarà allora opportuno che l’insegnante
premetta alla domanda un lavoro che metta in luce come la forma dei rettangoli
non è sempre la stessa ma varia con continuità (si può fare riferimento alle
classiche deformazioni della Castelnuovo a partire da un filo teso con 4 dita o su
un geopiano…). Solo a questo punto la discussione potrà risultare fruttuosa per
tutti lungo il percorso individuato.
La tabella con le misure dei lati potrà essere costruita con i dati di tutti i
rettangoli e potrà eventualmente essere usata per “riportare” i rettangoli su un
geopiano o su un quaderno in posizione tale da far emergere la similitudine
esistente solo fra alcuni di questi rettangoli (analogamente a quanto viene
proposto poco dopo per i triangoli). Sarà importante a questo punto guidare i
ragazzi verso una lettura incrociata della tabella e dei rettangoli così ricostruiti,
magari suggerendo poi una analoga lettura delle immagini con le piastrelle...
In generale, nelle restanti parti della proposta, in presenza di alunni con difficoltà si
potrà insistere soprattutto su due aspetti: la capacità di comprendere e utilizzare
consapevolmente la procedura e saperla descrivere a parole (magari spiegandola a un
altro compagno, o trascrivendola su un “diario di bordo” personale). Lo studente potrà
così costruire il suo teorema in atto. A partire proprio dalle competenze verbali, infatti,
si può guidare i ragazzi verso scoperte significative e solidamente possedute, anche se
in tempi diversi rispetto agli altri compagni.
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Spunti per un approfondimento disciplinare
1) Aree di figure simili
L’insegnante introduce l’argomento ponendo il seguente quesito:
“Se invece di stampare una fotografia in formato 10 x 15 decidi di fare stampare la
stessa fotografia in formato 20 x 30, cioè con le dimensioni raddoppiate, pensi di
spendere il doppio per la carta da stampa?”
La discussione che segue dovrebbe portare ad eseguire un disegno in scala delle foto
e a calcolare le due aree.
Per consolidare le conoscenze si può chiedere agli alunni di rispondere ad alcune
domande relative ai seguenti rettangoli simili tra loro:
Fig. 5
•
•
•
Per quanto occorre moltiplicare le dimensioni del rettangolo 2 per avere le
dimensioni del rettangolo 3?
Per quanto occorre moltiplicare l’area del rettangolo 2 per avere l’area del
rettangolo 3?
Quant’è il rapporto tra l’area del rettangolo 3 e l’area del rettangolo 1?
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Completa le seguente tabella:
Tra i rettangoli Rapporto fra i lati Rapporto fra le aree
2e3
4e2
4e3
1e4
Al termine di questa attività gli allievi dovrebbero arrivare a formulare la seguente
regola generale:
Se due figure simili sono tali che le lunghezze della seconda sono k volte le lunghezze
corrispondenti della prima allora l’area della seconda è k2 volte l’area della prima.
2) Dividere un segmento in parti uguali con riga e squadra
Per dividere un segmento assegnato in n parti uguali, si procede come segue.
Scegliamo di dividere il segmento assegnato AB ad esempio in 5 parti uguali.
- disegniamo il segmento AB;
- disegniamo una semiretta di origine A (che formi un angolo acuto con il segmento
AB);
- sulla semiretta di origine A segniamo un punto qualsiasi: chiamiamolo 1;
- riportiamo la lunghezza del segmento A-1 quattro volte, individuando sulla semiretta
i punti 2, 3, 4, 5 tutti equidistanti tra loro;
- tracciamo ora il segmento che unisce il punto 5 con l'estremo B;
- tracciamo le rette parallele al segmento 5-B passanti per i punti 4, 3, 2, 1.
Il segmento AB risulta in tal modo suddiviso in 5 segmenti uguali per il Teorema di
Talete (un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali stacca su queste coppie
di segmenti direttamente proporzionali).
Divisione di un segmento in parti uguali
http://www.gpmeneghin.com/schede/riga/segm.htm
Divisione di un segmento in parti uguali
http://www.matematica.it/tomasi/figurecp/divisione-segmento.html
Similitudine
http://www.matematica.it/tomasi/figurecp/similitud.html
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3) I cerchi e la similitudine
L’insegnante chiede: “Due cerchi di raggio diverso sono simili? Qual è il loro rapporto
di similitudine?”
Approccio visivo.
Lo spunto per la riflessione è offerto dall’osservazione del seguente disegno:
L’insegnante disegna un cerchio su un foglio di Word. Dopo averlo copiato e incollato
accanto, lo seleziona e lo stira secondo la diagonale. Il cerchio conserva la stessa
forma (Fig. 6).
Fig 6
L’insegnante poi disegna un cerchio e un rettangolo (messi insieme con la funzione
“Raggruppa” degli strumenti di Disegno) e applica la stessa trasformazione.
Fig 7
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L’insegnante chiede:
“Come sono i due rettangoli fra loro?”
I ragazzi possono verificare, misurando i lati corrispondenti e facendo il rapporto, che
sono simili. Dunque la trasformazione che è stata operata è una similitudine. La
conseguenza è che anche i cerchi sono simili.
Approccio deduttivo.
A questo punto l’insegnante propone ai ragazzi il disegno di due cerchi di raggio
diverso con inscritti due poligoni regolari con lo stesso numero di lati.
Poiché i poligoni sono simili, il rapporto dei loro lati è uguale a quello dei loro apotemi
(rapporto di similitudine k) ed anche a quello dei loro perimetri.
Se consideriamo altri poligoni regolari inscritti nei due cerchi sempre con lo stesso
numero di lati, ma maggiore di quello precedente, poiché l’ingrandimento che
abbiamo fatto è lo stesso del precedente (abbiamo tirato il quadratino nel vertice
lungo la diagonale), il rapporto fra i perimetri di questi poligoni è uguale al precedente
rapporto di similitudine k.
Aumentando sempre di più il numero di lati e pensando al cerchio come ad un
poligono regolare con un numero infinitamente grande di lati, possiamo affermare che
anche fra i perimetri dei cerchi (circonferenze) ci sia lo stesso rapporto k e che tale
rapporto sia uguale a quello dei loro apotemi (raggi).
[man mano che aumentiamo il numero dei lati, i triangoli isosceli che costituiscono il
poligono regolare si assottigliano sempre più e l’altezza del singolo triangolino
(apotema) si confonde con il raggio].
c : c’ = r : r’
Nei poligoni regolari, essendo simili, non solo si mantiene costante il rapporto esterno
(rapporto dei perimetri uguale al rapporto degli apotemi), ma succede anche che il
rapporto interno (fra perimetro e apotema) dell’uno è uguale al rapporto interno (fra
perimetro e apotema) dell’altro. Potendo, come già detto, considerare i cerchi come
dei poligoni regolari con un numero infinitamente grande di lati, anche fra di essi varrà
la stessa relazione interna e cioè il rapporto interno (fra circonferenza e raggio)
dell’uno è uguale al rapporto interno (fra circonferenza e raggio) dell’altro.
C : r = c’ : r’
Ne segue che, essendo tutti i cerchi simili, il rapporto tra la circonferenza e il raggio è
costante. Esso viene indicato con 2π.
N.B. A voler essere precisi si dovrebbe parlare di lunghezza della circonferenza e di
lunghezza del raggio, ma per non appesantire il linguaggio si è preferito utilizzare i
termini circonferenza e raggio.
Si potrebbe anche utilizzare il file Geogebra “cerchi simili.ggb” in cui, spostando
tutti e due i bottoni “esagono” compaiono gli esagoni regolari inscritti nelle due
circonferenze e contemporaneamente a sinistra appare una serie di rapporti uguali
relativi ai lati, agli apotemi e ai perimetri (come sopra detto).
Spostando tutti e due i bottoni “ottagono” compaiono gli ottagoni regolari inscritti e
contemporaneamente a sinistra appaiono gli stessi rapporti, stavolta relativi
all’ottagono. Si nota che il valore di tali rapporti non varia passando dall’esagono
all’ottagono. Procedendo poi con i bottoni “circonferenza” appaiono il rapporto fra le
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circonferenze e quello fra i raggi ed è sempre uguale al precedente rapporto dei
poligoni regolari.
Dato che si tratta di figure simili si può passare dal rapporto esterno al rapporto
interno e si verifica che il rapporto fra circonferenza e raggio in ognuna delle due
circonferenze è uguale ed è pari a 2π.
Dopo aver esaminato insieme agli alunni il file l’insegnante può chiedere loro di
anticipare quello che succede ingrandendo o rimpicciolendo uno dei due cerchi o tutti
e due e di andare a verificare poi la correttezza delle ipotesi fatte.
4) Omotetie
a) Costruisci la figura omotetica del
rombo (Fig 8), quando O è il centro di
omotetia e il rapporto fra i lati è 1/2.
Costruisci anche la figura omotetica nel
caso in cui il rapporto fra i lati è 3/2.
Fig. 8
b) Costruisci il quadrato omotetico del
quadrato (Fig 9), quando il centro di
omotetia è il centro O del quadrato e il
rapporto fra i lati è 1/3.
Costruisci anche la figura omotetica nel
caso in cui il rapporto fra i lati è 5/3.
Fig. 9
c) Costruisci il rettangolo omotetico del
rettangolo (Fig 10), quando il centro della
omotetia è il vertice A del rettangolo e il
rapporto fra i lati è 1/4.
Costruisci anche la figura omotetica nel
caso in cui il rapporto fra i lati è 7/4.
Fig. 10
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5) Pantografo
Per la spiegazione del funzionamento del pantografo vedi il sito del:
Museo Universitario di Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica
Università degli studi di Modena e Reggio Emilia
Pantografo di Scheiner (omotetia)
http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00lab.htm
6) Metodo di Eratostene
Pantografo Metodo di Eratostene
Eratostene, nel III secolo avanti Cristo, realizzò la prima misurazione delle dimensioni
della Terra. Egli si accorse infatti che, a mezzogiorno del solstizio d'estate, a Siene
(l'attuale Assuan) i raggi solari cadevano verticalmente illuminando il fondo dei pozzi.
Ciò invece non accadeva ad Alessandria d'Egitto: qui formavano un angolo di 7,2°
rispetto alla verticale del luogo.
Eratostene assunse che la forma della Terra fosse sferica e che i raggi solari fossero
paralleli. Di conseguenza, l'angolo di 7,2° è uguale all'angolo che ha per vertice il
centro della Terra e i cui lati passano rispettivamente per Alessandria e per Siene.
L’angolo di 7,2° è un cinquantesimo dell’angolo giro e quindi anche la distanza tra le
due città (un arco di circonferenza massima) dev’essere un cinquantesimo della
circonferenza terrestre. A quel tempo, la distanza tra Alessandria e Siene era
considerata di 5.000 stadi che, moltiplicato per 50, dava una misura di 250.000 stadi:
era la prima determinazione della circonferenza della Terra basata su un metodo
scientificamente valido. Secondo alcuni storici uno stadio corrispondeva a 157,5 metri
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attuali e quindi la circonferenza terrestre, stimata da Eratostene, era di 39.690
chilometri: un dato di sconcertante attualità!
Rete di Erastotene
http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/index.html
Occasioni e strumenti per esperienze collaborative di Astronomia in rete.
Il progetto prevede una collaborazione, via Internet, tra scuole poste a nord e a sud,
ma all’incirca sullo stesso meridiano. Il gemellaggio viene stabilito dalle scuole
facendo riferimento alla pagina contenente l’elenco dei partecipanti, attraverso una
mailing-list. Le due (o più) scuole gemelle si accordano per decidere il giorno nel quale
effettuare una misurazione.
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Elementi per prove di verifica
Prima verifica
1) Rispondi VERO/FALSO:
- Due quadrati sono sempre simili...……………......
- Due esagoni sono sempre simili………………..…
- Due rettangoli sono sempre simili......………..…...
- Due figure simili sono anche uguali.....…………….
- Due triangoli equilateri sono sempre simili…………
- Due triangoli rettangoli sono sempre simili………..
- Due triangoli con i lati in proporzione sono sempre simili……....
- Due poligoni con i lati corrispondenti in proporzione sono sempre simili.……..
- Due poligoni con gli angoli corrispondenti uguali sono simili..........…….....
- Due triangoli con gli angoli corrispondenti uguali sono simili....…....……...
- Un triangolo rettangolo può essere simile ad un triangolo equilatero.....…..…..
E giustifica le tue risposte.
2) Un rettangolo ha le dimensioni di 6 cm e 9 cm.
Indica, tra le seguenti, le coppie di misure dei lati di rettangoli simili a quello iniziale.
(12 ; 18)
(12 ; 20)
(18 ; 27)
(7 ; 10)
(2 ; 3)
(3 ; 4,5)
3) Due quadrilateri sono simili. I lati del quadrilatero “più piccolo” misurano 25 cm, 30
cm, 55 cm, 70 cm e la misura del lato minore del secondo quadrilatero è 45 cm.
Trova la misura dei lati del secondo quadrilatero.
20
4) Cerca di stabilire quali, tra i triangoli disegnati, sono simili al triangolo colorato.
Fig. 11
21
5) È riportato in scala 1:150 il disegno della pianta di un appartamento.
Trova le misure del perimetro esterno e della superficie dell'appartamento come sono
nella realtà.
(Suggerimento: utilizza il righello)
Fig. 12
22
Seconda verifica
1) Disegna un triangolo ABC con il lato AB di 3 cm e il lato AC di 6 cm e un
triangolo A’B’C’ simile al precedente che abbia il lato A’C’ di 8 cm e il lato B’C’ di
6 cm. Calcola il perimetro dei due triangoli.
2) Due rettangoli simili hanno due lati corrispondenti lunghi rispettivamente 40 cm
e 50 cm. Se l'area del più grande misura 1500 cm2 qual è l'area dell'altro?
3) Raggruppa le seguenti figure in gruppi di figure simili (giustificando la risposta):
Fig. 13
4) Sono sempre simili, oppure no?
(a) Due triangoli rettangoli?
(b) Due triangoli rettangoli con un angolo di 30°?
(c) Due triangoli rettangoli in cui un cateto sia doppio dell’altro?
(d) Due triangoli isosceli?
(e) Due triangoli isosceli con un angolo di 30°?
(f) Due triangoli isosceli con l’angolo al vertice di 30°?
(g) Due cerchi?
(h) Due trapezi isosceli?
(i) Due trapezi isosceli con la base maggiore doppia della base minore?
(j) Due trapezi isosceli con due angoli di 60° e la base maggiore doppia della base
minore?
(k) Due rombi?
(l) Due rombi in cui una diagonale è di lunghezza doppia dell’altra?
(m) Due rombi con un angolo di 60°?
(n) Due rombi in cui la diagonale minore sia della stessa lunghezza di un lato?
(o) Due quadrati?
Spiega il perché delle tue risposte.
5) Ci sono due rettangoli.
Il primo rettangolo ha la base che è più lunga di 20 cm rispetto alla base del secondo
e l’altezza che pure è più lunga di 20 cm rispetto all’altezza del secondo.
I due rettangoli sono simili?
Si, sempre
No, mai
Non è detto
Non so
Giustifica la risposta.
23
6) Rispondi se sono vere queste affermazioni e giustifica la tua risposta:
a) Un rettangolo simile a uno dato si ottiene addizionando o sottraendo la stessa
quantità a ciascuna dimensione.
b) Due triangoli equilateri sono sempre simili.
c) Un rettangolo simile a uno dato si ottiene moltiplicando o dividendo le sue
dimensioni per uno stesso numero.
d) Due rombi non sono sempre simili.
7) Rappresenta un triangolo qualsiasi. Rappresenta il triangolo avente per vertici i
punti medi del primo triangolo.
Osserva le due figure geometriche:
Come si esprime il fatto che “hanno la stessa forma” in linguaggio geometrico?
24
Terza verifica
1) Figure su quadretti
Per ogni figura disegna nel quadrettato accanto la figura simile a quella data,
indicando il rapporto di similitudine (rapporto tra i lati corrispondenti della seconda
figura rispetto alla prima).
Fig. 14
Fig. 15
K = ...
Fig. 16
K=…
25
Fig. 17
Fig. 18
K=…
Fig. 19
Fig. 20
K=…
26
2) Un triangolo isoscele ha la base di 60 cm, e il perimetro di 216 cm.
Trova la misura del perimetro di un triangolo simile ad esso, sapendo che la sua base
misura 100 cm.
Trova l'area dei due triangoli.
3) Disegna un sistema di assi cartesiani ortogonali. Riporta i seguenti punti:
A(-3,-1)
B(-3,+3)
C(-1,+3)
D(-1,+1)
E(-3,+1)
F(-1,-1)
Unisci i punti nell'ordine.
a) Unisci il punto O(-7,-1) con ciascuno dei punti precedenti con delle semirette e
trova i punti corrispondenti A', B', C', D', E', F' a distanza doppia. Uniscili. La figura
ottenuta è simile a quella di partenza?
Qual è il rapporto tra i lati?
b) Ripeti la costruzione (a) con la metà della distanza. Unisci i punti così ottenuti.
La nuova figura è simile a quella di partenza?
Qual è il rapporto fra i lati?
4) In una certa ora del giorno una torre proietta sul terreno un’ombra lunga 15 m ed
un bastone, lungo 14 dm verticale rispetto al terreno, proietta un’ombra di 6 dm.
Quanto è alta la torre?
27
Spunti per altre attività con gli studenti
1) Figure simili
a) Tra le foglie che vedi qui sotto ce n’è una piccola che ha la stessa forma di quella
grande?
Fig. 21
b) Su un foglio di quaderno, usando i quadretti come riferimento cartesiano, disegna i
triangoli i cui vertici sono dati dai seguenti insiemi di coordinate.
A= { (0,5), (1,0), (5,0)}
B= { (2,3), (2,5.4), (5,6)}
C= { (5,3), (5.4,5), (7,5)}
Ritaglia questi triangoli e confrontali in modo da stabilire se hanno o non hanno la
stessa forma.
Qual è il modo migliore di disporre i triangoli per vedere se hanno la stessa forma?
Confronta gli angoli dei due triangoli che ti sembrano della stessa forma.
Quale proprietà ti sembra che abbiano gli angoli corrispondenti di figure che hanno la
stessa forma?
c) Su carta quadrettata traccia un rettangolo lungo 6 cm e largo 3 cm.
Disegna ora due rettangoli della stessa forma, uno interno e uno esterno al rettangolo
dato.
Che relazione c’è tra le lunghezze dei lati corrispondenti di questi tre rettangoli?
Osserva e prendi qualche misura, che cosa puoi dire?
28
2) Triangoli simili
a) Copia questa figura con le dimensioni indicate.
(AB= 7cm; AC= 4 cm; BC= 6 cm; A’B’= 10 cm)
Quanti triangoli A’B’C’ sai disegnare simili al triangolo ABC, servendoti della riga e
della squadra?
Fig. 22
Quanto ti aspetti che saranno lunghi i lati A’C’ e B’C’ del triangolo A’B’C’? Verifica la
precisione del tuo disegno.
I due triangoli che hai costruito sono simili al triangolo ABC; uniti insieme che tipo di
quadrilatero formano?
b) Copia questa figura con i dati indicati (dovrai servirti del goniometro).
Angolo A = 50° Angolo B= 75° AB= 5 cm A’B’= 8 cm
Quanti triangoli A’B’C’ sai disegnare simili al triangolo ABC, servendoti della riga e
della squadra?
Fig. 23
Misura con il righello i lati AC e BC del triangolo ABC. Quanto ti aspetti che siano
lunghi i lati A’C’ e A’B’ del triangolo A’B’C’?
29
Verifica con il righello la precisione del tuo disegno.
c) Nel triangolo ABC, il punto M taglia a metà il lato AB ed il punto N taglia a metà il
lato AC.
Fig. 24
MN è la metà di BC?
L’area del triangolo ABC è 4 volte l’area del triangolo AMN?
Le rette MN e BC sono parallele?
30
3) Il problema della cornice
Nell’ambito dei problemi che riguardano la similitudine è
opportuno proporre situazioni in cui c’è una similitudine
solo apparente, per mettere alla prova i ragazzi che di
solito si limitano ad applicare formule in problemi
ripetitivi e che non pongono alcun “problema”.
Quesiti di questo tipo mettono di nuovo in discussione il
modello additivo su cui si basa la falsa proporzionalità.
a) Osserva questo quadro. Il rettangolo esterno, che
comprende anche la cornice, e quello interno, senza la
cornice, sono simili?
Motiva la risposta.
Fig. 25
31
4) Ombre dei ragazzi
La situazione descritta contestualizza il problema della similitudine a un fatto concreto
e consonante con le modalità cognitive degli allievi.
L’attività si svolge all’aperto in una bella giornata di sole e i ragazzi lavorano in coppia.
L’insegnante chiede alla metà degli alunni (uno per ogni coppia) di disporsi con il sole
alle spalle in modo da avere la propria ombra davanti. Ognuno di loro porta in testa
un cappellino al quale è stato attaccato un pezzo di spago (lo spago può essere anche
tenuto fermo con un fermaglio). I compagni liberi di ogni coppia tendono lo spago e
ne legano la seconda estremità ad un bastoncino di legno piantato a terra nel punto in
cui finisce l’ombra. Questi ultimi ragazzi osservano poi a distanza i triangoli che si
sono formati: ogni triangolo ha per lati il ragazzo, la sua ombra e lo spago.
L’insegnante chiede:
“Di che tipo di triangoli si tratta? C’è qualche
relazione fra loro?”
Sicuramente molti ragazzi “scopriranno” che si
tratta di triangoli rettangoli fra loro simili.
A questo punto saranno invitati a verificarlo. Il
docente lascerà alla loro libera iniziativa la
verifica.
È possibile che qualcuno proponga l’uso del
goniometro (quello che misura fino a 180°).
Usando il goniometro presto si renderanno conto
che non è possibile far coincidere il vertice del
goniometro con il vertice dell’angolo che ha per
lati lo spago e l’ombra. Bisognerà dunque
pensare ad un’altra strategia.
Fig. 26
L’insegnante potrebbe suggerire di riportare l’angolo (ombra/spago) su un cartoncino
e di misurarne successivamente l’ampiezza. Trattandosi di triangoli rettangoli,
ovviamente, è sufficiente verificare la congruenza di una coppia di angoli
corrispondenti per verificare che gli angoli dei triangoli sono uguali.
“È possibile fermarsi alla congruenza degli angoli per affermare che i triangoli sono
simili?”
“E se volessimo comunque verificare la proporzionalità dei lati come potremmo fare?”
Gli osservatori, muniti di metro, possono misurare in cm la lunghezza dei cateti
corrispondenti e verificarne il rapporto costante (rapporto esterno) a meno dell’errore
di misura.
“Confrontando triangoli diversi tale rapporto (rapporto esterno) varia o rimane lo
stesso?”
32
L’insegnante chiede poi di riportare in una tabella la lunghezza dell’ombra di ogni
ragazzo e la sua altezza (ambedue espresse in cm).
Marco
Edoardo
Giulia
………………
lunghezza ombra (in cm)
………………
………………
………………
………………
altezza (in cm)
………………….
………………
………………
………………
Gli alunni, ad una prima osservazione superficiale, notano che al crescere dell’altezza
del compagno, cresce anche la lunghezza della sua ombra.
“Esaminate bene la tabella: è possibile individuare una relazione matematica fra
lunghezza dell’ombra e altezza della persona?”
Nota per il docente
Se è possibile, fare qualche rilevazione nei giorni appena precedenti l’esperienza per
individuare l’ora del giorno in cui la lunghezza dell’ombra sia in un rapporto ben
definito (2, 3/2, 2/3 , …) rispetto al l’altezza della persona.
Si consiglia di fare questo controllo per facilitare i ragazzi nella individuazione della
relazione fra lunghezza dell’ombra e altezza di una persona.
Avendo l’insegnante precedentemente controllato che a quella precisa ora la
lunghezza dell’ombra è, ad esempio, il doppio dell’altezza della persona, risulta
semplice per i ragazzi cogliere questa relazione, attraverso l’osservazione della
tabella.
Concludono che alle ore … del mese di ... la lunghezza dell’ombra di un individuo è
pari al … della sua altezza e quindi il loro rapporto (rapporto interno) è …
In ogni triangolo tale rapporto (rapporto interno) si mantiene …
L’insegnante a questo punto mostrando un albero (o un palo della luce) potrebbe
chiedere:
“È possibile sapere quanto è alto questo albero (palo)?”
Anche il triangolo formato
dall’albero e dalla sua ombra è
simile ai triangoli formati dagli
alunni e dalla loro ombra.
Misurata la lunghezza
dell’ombra dell’albero i ragazzi
possono facilmente calcolare
l’altezza dell’albero.
Fig. 27
33
L’attività può ritenersi a questo punto completata, ma l’insegnante potrebbe
continuare, chiedendo ad esempio ai ragazzi di fare delle previsioni:
“Secondo voi cosa succederà ripetendo l’esperienza fra due ore?”
Si raccolgono tutte le ipotesi:
1) le ombre non cambieranno e quindi il rapporto rimarrà uguale;
2) le ombre si allungheranno e quindi il rapporto fra lunghezza dell’ombra e altezza
del ragazzo cambierà e sarà maggiore;
3) le ombre si accorceranno e quindi il rapporto diminuirà;
4) non ci sarà più ombra e quindi il rapporto sarà zero.
Intanto l’insegnante può formulare domande del tipo:
“Osservate dove si trova ora il sole, secondo voi, fra un paio di ore, il sole lo vedremo
sempre nello stesso punto o la sua posizione varierà?”
Si precisa agli alunni che, dicendo “ il sole si muove”, ci si riferisce al suo moto
apparente.
Probabilmente molti alunni sosterranno che la posizione del sole varierà con il
trascorrere del tempo. In tal caso il docente chiederà di simulare con il braccio il
movimento apparente del sole. Nascerà un dibattito e la validazione delle diverse
ipotesi si realizzerà verificando, trascorse le due ore, la posizione del sole. Sarà
opportuno concordare dei punti di riferimento fissi (linea dell’orizzonte, direzione di un
palo in lontananza) per poter confrontare prima e dopo la posizione del sole.
Un’altra attività che si può proporre è quella della misura delle ombre “a piedi”.
Fig. 28
L’insegnante fa posizionare dei ragazzi
con le spalle rivolte al sole e chiede loro:
“Misurate la vostra ombra con i vostri
piedi”
Dopo il primo tentativo si rendono conto
che appena cominciano a muoversi si
muove anche l’ombra.
Per superare questa difficoltà i ragazzi
propongono di tracciare a terra dei segni:
uno dietro i piedi, in corrispondenza della
posizione da fermi, ed uno in
corrispondenza della estremità dell’ombra
a terra. Per far questo chiedono l’aiuto di
un compagno.
34
Fatto questo, ogni ragazzo, camminando,
un piede davanti all’altro, misura la
propria ombra, prendendo come unità di
misura il suo piede. Tutti constateranno
con qualche meraviglia che la misura “a
piedi” dell’ombra è pressoché uguale per
tutti.
L’insegnante pone il problema:
“Perché persone di altezza differente, che
misurano la lunghezza della propria
ombra, ottengono misure quasi uguali?”
Qualcuno avanzerà l'ipotesi che ciò è
dovuto al fatto che ognuno misura
l'ombra con il proprio piede.
Fig. 29
L’insegnante invita poi un alunno a
misurare “con i suoi piedi” le ombre di più
compagni, chiedendo a tutti di anticipare
il risultato della misurazione.
Qualcuno interverrà dicendo che le
misure saranno diverse perché in questo
caso è stata utilizzata la stessa unità di
misura.
Fig. 30
Dalla discussione e dal confronto emergerà la spiegazione di quanto osservato: tutto
dipende dal fatto che la lunghezza del piede di una persona è proporzionale alla sua
altezza e l’altezza della persona è, a sua volta, proporzionale alla sua ombra.
L’insegnante potrebbe fare qualche riferimento all’uomo di Vitruvio che si trova anche
nelle monete da un euro.
Fig. 31
35
Vedi: “Misure del Corpo” di Brunetto Piochi
http://losstt-in-math.dm.unipi.it/modules.php?name=News&file=article&sid=73
5) Compasso di Galileo
Uso del compasso di Galileo per determinare l’altezza di un oggetto (torre, albero, ...).
Per informazioni dettagliate e per la sua costruzione vedi il sito dell’Istituto e Museo di
Storia della Scienza di Firenze:
http://brunelleschi.imss.fi.it/Esplora/compasso/indice.html
Fig. 32
36
6) Plastico in scala con villetta, laghetto e campo di calcio
È stato realizzato il modello di un villaggio in scala 1:10.
Completa la seguente tabella:
Oggetto
Lunghezza della villetta
Modello
1m
Altezza della villetta
Area del pavimento
5m
0,60 m2
Costo verniciatura porte
Area del parco del villaggio
500 €
15 m2
550 m2
Area del laghetto
Lunghezza del campo di
calcio
Villaggio reale
11 m
Larghezza del campo di
calcio
Area del campo di calcio
Quantità di semi per l’erba
7700 m2
55 Kg
del campo
37
7) L’angolo di un grado
a) Si può chiedere: Quanto lunghi devono essere i lati di un angolo di un grado per
contenere un metro quadrato?
La nostra classe potrebbe essere
contenuta in un angolo di un grado?
E la nostra città?
E la luna?
Fig. 33
L’insegnante guida i ragazzi alla scoperta della regola: un oggetto osservato da una
distanza pari a 57,4 volte il proprio diametro avrà una dimensione angolare di circa un
grado.
b) Il diametro angolare del Sole da Terra
corrisponde, del tutto fortuitamente, con
quello della Luna; sebbene il Sole sia
effettivamente circa 400 volte più lontano
della Luna, anche il suo diametro effettivo è
400 volte maggiore, e questo fa sì che le
loro dimensioni apparenti nel cielo terrestre
siano
particolarmente
simili.
Questa
particolare coincidenza rende possibili eclissi
di Sole particolarmente suggestive.
Fig. 34
38
8) Calcolo della misura del diametro del Sole
L’insegnante fa sistemare un cartoncino
bianco inclinato rispetto al terreno in
modo tale che i raggi del sole giungano
ad esso perpendicolari.
Per controllare la perpendicolarità basta
porre un bastone di almeno un metro
perpendicolare al cartoncino (servirsi
della squadra per garantire la
perpendicolarità del bastone rispetto al
cartoncino) e regolare l’inclinazione del
cartoncino mettendo sotto di esso
materiale vario (libri e zaini), fin
quando il bastone non produce nessuna
ombra.
I ragazzi pongono un cartoncino più
piccolo, in cui è stato praticato
precedentemente un foro in centro (di
circa un millimetro di diametro),
perpendicolare al bastone all’altra
estremità.
Fig. 35
I raggi del sole attraversando il buco
del cartoncino piccolo proiettano un
cerchietto luminoso sul cartone posto a
terra: un piccolo sole.
A questo punto un alunno prende la
misura del diametro del piccolo sole
(meglio rilevare due misure, una
approssimata per difetto e una per
eccesso) e l’attività viene completata in
classe.
Fig. 36
In classe il docente schematizza la situazione con un disegno alla lavagna, oppure
realizza un modello al computer con un software (Cabri). Nel disegno sono
rappresentati il sole vero, il piccolo sole, il cartoncino con il buco. Gli alunni si rendono
facilmente conto di trovarsi dinanzi a figure simili (anzi omotetiche).
I triangoli simili sono due triangoli isosceli, uno che ha per base il diametro d del
piccolo sole sul cartoncino e per altezza la distanza l fra i due cartoncini (ovvero la
lunghezza del bastone), l’altro che ha per base il diametro D del sole e per altezza la
distanza Terra/Sole L [in effetti si tratta della distanza della Terra dal centro del Sole,
ma dato l’ordine di grandezza dei numeri con cui stiamo lavorando, possiamo
approssimare tale distanza alla distanza Terra/Sole].
39
A questo punto, basta misurare la lunghezza del bastone, cercare sul libro la distanza
Terra/Sole e impostare una proporzione:
d:l=D:L
La proporzione dà risultati approssimati molto sorprendenti.
Fig. 37
Poiché la misura del diametro del piccolo sole sul cartoncino può essere suscettibile di
errori di misura (in quanto è dell’ordine di alcuni millimetri), è utile rifare i calcoli due
volte: una volta con la misura approssimata per difetto e un’altra con la misura
approssimata per eccesso.
La media dei due valori è molto vicina alla distanza Terra-Sole riportata sul libro di
testo!
Roma stenopeica
http://www.fotografiareflex.net/roma_stenopeica.htm
Il-Foro-Stenopeico
http://www.scribd.com/doc/16200491/Fotografia-Senza-Obiettivo-Il-Foro-Stenopeico
40
9) Quesito del RMT Il logo (13° finale 2005 – Sito ARMT)
17. IL LOGO (Cat. 8, 9)
Una grande impresa internazionale
di attività ricreative ha creato un
logo autoadesivo per la sua
pubblicità. Il modello «Mini» di 24
cm di altezza. Il modello «MAXI»,
di 60 cm di altezza.
I due modelli vengono stampati su
fogli di plastica con colori cangianti
e con riflessi metallizzati, poi
ritagliati con la pressa e spediti a
lotti di 10, 20, 40, 50 o 100
modelli.
Un lotto di 100 modelli «Mini» pesa
450 g.
Quanto pesa un lotto da 40 modelli «MAXI»?
Spiegate il vostro ragionamento.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: rapporti, proporzionalità
- Geometria: rapporto di aree in un ingrandimento
Analisi del compito
- Capire che il peso degli autoadesivi è proporzionale alla loro area, poiché sono
ritagliati dagli stessi tipi di fogli di plastica (dello stesso spessore) e che le due figure
sono simili, cosa che significa che il rapporto delle due distanze corrispondenti è la
stessa, qualunque sia la direzione.
- Calcolare il peso di un modello «Mini»: 450 : 100 = 4,5 (in grammi)
- Calcolare il rapporto di proporzionalità: 60/24 = 5/2 = 2,5 delle due figure
- Calcolare il rapporto delle aree delle due figure:
in maniera «esperta»: 2,52 = 6,25, oppure immaginando che il logo piccolo sia
inscritto, ad esempio, in un quadrato di lato 24, con area 242 = 576, che il logo
grande sia inscritto in un quadrato di lato 60, di area 602 = 3600 e calcolare il
rapporto 3600/576 = 6,25, oppure prendendo le misure di una delle lettere, come la
«T» e calcolando l’area del piccolo e del grande per determinare il rapporto
- Calcolare il peso di un modello «MAXI»: 4,5 x 6,25 = 28,125 (in grammi) e il peso di
un lotto da 40 modelli:
28,125 x 40 = 1125 (in grammi)
Oppure, dopo aver calcolato il rapporto di similitudine e dedotto che il rapporto al
quadrato è il rapporto fra i pesi si calcola il peso di 100 modelli MAXI: (25/4).450 =
2812,5 e poiché 40 = (2/5) 100, il peso di 40 modelli MAXI è (2/5) 2812,5 = 1125
41
Bibliografia
AAVV, Matematica 2001. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con
suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola elementare e scuola media).
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm
PISA 2003 Valutazione dei quindicenni a cura dell’OCSE, Roma, Armando Armando,
2004
Sitografia
AA.VV. Didattica
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Didattica/didattica.html
AA.VV. Matematica
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
OCSE-PISA 2006 - Programme for International Student Assessment
http://www.invalsi.it/invalsi/ric.php?page=ocsepisa06
Development of Proportional Reasoning: Where Young Children Go Wrong
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2597581/
Il compasso di Galileo
http://brunelleschi.imss.fi.it/Esplora/compasso/indice.html
Misure del Corpo di Brunetto Piochi
http://losstt-in-math.dm.unipi.it/modules.php?name=News&file=article&sid=73
Pantografo di Scheiner (omotetia)
http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/116ogg.htm
Divisione di un segmento in parti uguali
http://www.gpmeneghin.com/schede/riga/segm.htm
Divisione di un segmento in parti uguali
http://www.matematica.it/tomasi/figurecp/divisione-segmento.html
Similitudine
http://www.matematica.it/tomasi/figurecp/similitud.html)
42
Proposta di attività per il corsista
Da condividere e discutere in rete.
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti:
individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli
sinteticamente per scritto.
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta:
− fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;
− esplicitare gli adattamenti necessari;
− formulare il progetto didattico relativo;
− preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative
alla situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e
INVALSI).
Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di
sperimentazione vissuta in classe): l’insegnante dovrà elaborare un diario con
l’esposizione dell’esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta
didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di costruzione di
significato e di procedura di soluzione e di come sono state superate le difficoltà.
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati
responsabilizzati all'apprendimento.
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