Transcript Sezioni coniche001 - "Cuoco-Campanella"

:zioni coniche
coniche, o semplicemente coni:urve piane ottenute dall'intersecono con un piano non passante
e. Esse si distinguono in cerchio,
-abola e iperbole (*• pag. 78). Le
e le relative costruzioni della pasll'iperbole, sezioni coniche illu; pagina a fianco, sono alle pagg.
itazìone geometrica sul PO e
le proiezioni di un cono retto
da un piano a parallelo al PO
determinato sul PO e sul PV la
seconda proiezione del cono, si
PV la t2a del piano richiesto, che
iei punti 1" e 2" la sezione sul sedro in scorcio totale. Questi punti sul diametro di base del cono
;cono sul PO l'e 2'. Si centra in V
o VTsi descrive la sezione sul PO
rchio e appare nella sua vera gran15).
Rappresentazione geometrica sul PO e
sul PV delle proiezioni di un cono retto
sezionato da un piano a inclinato al PO,
perpendicolare al PVe non parallelo
ad alcuna generatrice (ellisse).
Dopo aver trovato la prima e la seconda proiezione del cono e determinato le tracce t 2 a
e t2#del piano secante richiesto, si divide sul
PO la circonferenza di base del solido in un
numero a piacere di parti uguali: A', B\ecc.
(otto nella fig. 16). Questi punti uniti a V individuano le generataci VA', VB'f VCecc, che
si proiettano sul PV determinando -A V", H'V"
8 Vece Queste ultime incontrano la traccia
t2a del piano secante nei punti 1", 2" = 3" ecc,
che sono punti della linea di sezione in scorcio totale sul PV. Gli stessi, proiettati sul PO,
incontrano le corrispondenti generatrici nei
punti 1', 11,3' ecc, che raccordati tra loro formano l'ellisse della sezione sul PO. È da notare che, mancando il Pi, i punti 4' e 5' sul PO
sono determinati nel modo seguente: si traccia una parallela alla LT(m colore rosso) da 4"
= 5" fino alla generatrice V"£" individuando
(4" = 5") sul PVe successivamente (4' s 5') in
VE'sul PO. Ruotando il raggio V(4's5')come
mostrano lefreccette in colore rosso, si dise-
gna un arco che interseca le generatrici V'G'
e V'Crispettivamente nei punti simmetrici 4'
e 5'. Per ottenere la grandezza reale della sezione ellittica (in colore rosso) si utilizza il già
noto procedimento.
Rappresentazione geometrica sul PO e
sul Padelle proiezioni di un cono retto
sezionato da un piano a inclinato al PO,
perpendicolare al PVe parallelo a una
delle generatrici del solido (parabola).
Per realizzare questa sezione conica, assieme al metodo delle generatrici, che ha permesso di risolvere il caso precedente, si utilizza in parte anche un altro procedimento
caratterizzato dall'impiego dei piani ausiliari. Si inizia, come di consueto, eseguendo le
proiezioni del cono e delle tracce del piano
secante richiesto tj« e t2a sul PO e sul PV
La traccia t2a, che è parallela alla generatrice V'A", intersecando la seconda proiezione
del cono determina sul PVì punti 1" = 2" e 9"
che, proiettati sul PO, danno origine ai punti l'e 21 sulla t-ae 9' sulla generatrice V'G'.
Si divide, sul PO, la circonferenza di base del
cono in dodici parti uguali, A', B', C, D'ecc e,
come nel caso precedente, unendo il vertice
(4)
(6)
grandezza reale della sezione
(ellisse)
PV
MODULO G UNITÀ 1. Sezioni
203
V'con i punti di suddivisione delta circonferenza si trovano sul PO le generatrici del cono VW, VE', V'F'ecc. Esse intersecano sul PVÌa
traccia t2a nei punti 3" = 4", 5" ^ 6" e 7" = 8"
che, assieme agli altri punti già trovati 1" = 2"
e 9", definiscono la linea di sezione in scorcio
totale sul PV. Analogamente all'esercizio precedente, si proiettano questi ultimi sul PO.
L'incontro con le corrispondenti generatrici
definisce i punti 4', 6', 8', ecc che raccordati fra
loro formano la parabola, sezione cercata sul
PO che appare in scorcio parziale. I punti 3' e
4' sul PO, mancando il PL, si trovano come già
illustrato nella fìg. 16 del caso precedente. I
due punti IO1 e 11' sul PO e 10" sii" sul PV
sono stati ricercati con l'impiego del piano ausiliario/?. Quest'altro procedimento, accennato inizialmente, va eseguito nel seguente modo: sul PVs'ì disegna la traccia t2ftde\o ausiliario $ parallela al PO. Dal punto P"
determinato dall'incontro di tale traccia con
la generatrice V"G"si conduce (nella fìg. 17 in
colore nero) la proiezione sulla corrispondente generatrice VG'e si traccia con raggio VP'
il cerchio che rappresenta la sezione del cono,
parallela alla base del solido stesso. Sul /Via
traccia yjdel piano ausiliario incontra la traccia I2a dei piano secante nel punto 10" = 11"
che, proiettato sul PO, determina sul corrispondente cerchio di sezione i punti 10' eli',
i quali, raccordati con gli altri punti cercati, fanno parte della curva parabolica. La grandezza
reale della sezione, che è una parabola (in colore rosso), si ottiene con il procedimento già
noto del ribaltamento del piano secante.
Rappresentazione geometrica sui PO e
sul PV delle proiezioni di un cono retto
sezionato da un piano a perpendicolare
al PO e ai PVe parallelo all'asse
del solido (iperbole).
Questo esercizio è stato risolto con il metodo dei piani ausiliari già illustrato per ricercare i punti 10 e 11 dell'esercizio precedente. In
questo caso, i piani ausiliari paralleli al PO sono tre: p, j, S. Solo per le ricerche dei punti 8
e 9 sono state utilizzate le generatrici VE'e
VP. Il grafico della fìg. 18, ottenuto come nell'esercizio precedente, non necessita di altra
spiegazione. La sezione ottenuta è l'iperbole,
la cui prima e seconda proiezione coincidono
rispettivamente con le tracce £;ae tódel piano secante. La grandezza reale della sezione
(in colore rosso) si ottiene come al solito ribaltando il piano secante. È ovvio che per ia
grandezza r&ate della sezione
(parabola)
PV
(/) (9)
(S)s^\W
t.u
grandezza reale della sezione
(iperbole)
PO
PV