Le sezioni coniche di Apollonio e i luoghi geometrici di Descartes

Rosa Zollo

Liceo Scientifico “G. Galilei” Pescara

APPROCCIO SCOLASTICO ALLE SEZIONI CONICHE

• Storia dell’arte • Proprietà della parabola come proprietà di uno specchio parabolico • Costruzione per punti del grafico del moto di un proiettile • Osservazione della zona della parete illuminata da una torcia

Come l’uomo ha sviluppato il concetto delle sezioni coniche Osservazione dello spazio circostante Possibile descrizione delle sezioni coniche

La costruzione secondo Menecmo

PARABOLA ORTOTOME IPERBOLE AMBLITOME ELLISSE OXITOME

APOLLONIO di Perga (262 - 190 a.C.)

Libro “ Coniche”

Definizione di cono

Se una retta, prolungata all'infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio

THEOREMA XI PROPOSITIO XI

“Si conus plano per axem secetur; secetur autem et altero plano secante basis secundum rectam lineam, quae ad basim trianguli per axem sit perpendicularis: et sit diameter sectionis uni later trianguli per axem aequidistans: recta linea, quae a sectione coni ducitur aequidistans communi sectioni plani secantis, et basis coni, usque ad sectionis diametrum; poterit spatium aequale contento linea, quaeex diametro abscissa inter ipsam et verticemsectionis interiicitur, et alia quadam, quae ad linea inter coni angulum, et verticem sectionis interiectam, eam proportionem habeat, quam quadratum basis trianguli per axem, ad id quod reliquis duobus trianguli lateribus continetur. Dicantur autem huiusmodi sectio parabole.”

THEOREMA XI PROPOSITIO XI

Un cono sia tagliato da un piano e da un altro piano b a passante per l’asse del cono secante la base del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC del triangolo passante per l’asse del cono. Inoltre il diametro ZH della sezione conica risultante sia parallelo ad uno dei due lati (ad esempio AC) del triangolo passante per l’asse del cono. S dimostra allora che il quadrato di ogni segmento KP condotto dalla sezione conica sul diametro della conica parallelamente al segmento ED è equivalente al rettangolo che ha per lati il segmento ZP, Z vertice della sezione conica risultante, ed un segmento OZ individuato dalla seguente relazione:

TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA PARABOLA

PP 1 : PL = AF 2 : (BF .

FC)

THEOREMA XIII PROPOSITIO XIII

Un cono sia tagliato da un piano altro piano b a passante per l’asse del cono e da un che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non sia condotto né parallelamente né antiparallelamente alla base del cono, inoltre il piano della base del cono e il piano secante b si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC del piano a , perpendicolare al prolungamento di questa base. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP 1 che incontrerà il prolungamento della base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione:

PP 1 : PL = AF 2 : (BF .

FC)

Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR .

TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA ELLISSE

THEOREMA XII PROPOSITIO XII

Un cono sia tagliato da un piano b che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non sia condotto parallelamente alla base del cono, inoltre il piano cono e il piano secante b a passante per l’asse del cono e da un altro piano a della base del si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC in un punto interno a tale lato. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP 1 (si osservi che il punto P 1 si trova sull’altra falda del cono) che incontrerà la base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione:

PP 1 : PL = AF 2 : (BF .

FC)

Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R, situato sul prolungamento di P 1 L , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR .

TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA IPERBOLE

Analisi del testo dei teoremi

INTERPRETAZIONE GRAFICA DEGLI STUDENTI

PARABOLA

ELLISSE

IPERBOLE

COSTRUZIONE

EQUAZIONE CARTESIANA DELLE CONICHE

Equazione cartesiana della PARABOLA

Sia P l’origine degli assi cartesiani ZP = x PK = y PL indica il parametro p Dalla tesi abbiamo KP 2 = OZ .

ZP Quindi y 2 = px

Equazione cartesiana della ELLISSE

Sia V l’origine degli assi cartesiani PV = x QV = y PL indica il parametro k, PP ‘ diametro a dell’ellisse Dalla similitudine dei triangoli PP’L e P’VR si ottiene LS = (k/a)x Dalla tesi abbiamo QV 2 = VR .

PV = (PL – LS)PV Quindi y 2 = kx - (k/a) x 2

Equazione cartesiana della IPERBOLE

Sia V l’origine degli assi cartesiani PV = x QV = y PL indica il parametro k, PP’ l’asse trasverso dell’iperbole a Dalla similitudine dei triangoli PP’L e P’VR si ottiene VR = (x + a)k/a Dalla tesi abbiamo QV 2 = VR .

PV Quindi y 2 = kx + (k/a) x 2

EQUAZIONE CARTESIANA

COSTRUZIONE DEI LUOGHI GEOMETRICI

DESCARTES

(1596-1650)

GEOMETRIE

(1637)

Problema delle costruzioni indeterminate

Problema di Pappo

• Date tre rette in un piano trovare la posizione di tutti i punti da cui si possono tracciare rette che intersecano le rette date n modo tale che il rettangolo contenuto da due delle due rette costruite abbia un rapporto dato con il quadrato della terza retta costruita. Se le rette fissate sono quattro allora il rettangolo contenuto da due delle due rette costruite ha un rapporto dato con il rettangolo costruito dalle altre due.

S e le rette sono tre o quattro il luogo generato è una sezione conica

CR .

CQ = k CP 2

Curva di secondo grado

In questa costruzione fissa tre rette AG, OD ed AL.

Considera il fascio di rette improprio generato da CD, pendenza fissa b/c. la curva è generata dai punti P intersezione di AL e CD, al variare di AL nel fascio di centro A e al variare delle rette nel fascio CD.

Luogo geometrico della PARABOLA

Fissate tre rette due parallele L ed una 1 ,L 2 perpendicolare L 3 Il luogo geometrico è determinato da tutti i punti P d 1 d 2 = ad 3

EQUAZIONE CARTESIANA ay = x 2 – 2ax

Luogo geometrico della IPERBOLE

Fissate tre rette due parallele L ed una 1 ,L 2 perpendicolare L 3 Il luogo geometrico è determinato da tutti i punti P che verificano d 1 d 3 = ad 2

EQUAZIONE CARTESIANA xy = a(2a – x)

CONCLUSIONI

Analisi delle costruzioni Punto di vista Apollonio Punto di vista di Descartes

Costruzione sezione Luoghi geometrici Equazione cartesiana Costruzione grafico del luogo