Transcript Esercizi sui limiti con infiniti e infinitesimi, scheda 1

Esercizi sui limiti con infiniti e infinitesimi, scheda 1
Hai letto gli articoli sull' algebra dei limiti e sull'algebra di infiniti e infinitesimi ? In questa
scheda troverai semplici limiti che puoi risolvere con le sole nozioni introdotte in quelle lezioni.
Un passo alla volta, faremo vedere poi come si calcolano tutti i limiti, anche quelli più complicati.
Il primo esercizio è svolto ed in fondo puoi trovare le soluzioni...e c'è anche una seconda
scheda di esercizi.
Esercizi sui limiti con infiniti e infinitesimi
0) {tex}lim_{xto 2^{-}}{left(frac{x+x^{2}ln{left(2-xright)}}{x-2}}right)}{/tex}
Svolgimento: partendo dall'algebra dei limiti, sappiamo che il limite di un rapporto è uguale al
rapporto dei limiti. Possiamo allora considerare separatamente numeratore e denominatore.
Analogamente, il limite di una somma/differenza/prodotto è la somma/differenza/prodotto dei
limiti, quindi se consideriamo il numeratore calcoliamo il limite del primo addendo, e lo facciamo
per sostituzione:
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{tex}lim_{xto 2^{-}}{x}=2{/tex}
(abbiamo trascurato il - , che significa limite da sinistra, perchè non è rilevante nella sostituzione
diretta del valore cui la x tende).
Passiamo al secondo addendo, che è un prodotto, quindi:
- primo fattore:
{tex}lim_{xto 2^{-}}{x^{2}}=4{/tex}
- Secondo fattore:
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{tex}lim_{xto 2^{-}}{ln{(2-x)}} overbrace{=}^{pseudouguaglianza}
ln{(2-2^{-})}=ln{(0^{+})}=-infty{/tex}
Dove l'ultimo passaggio viene effettuato grazie a quanto appreso dall'algebra degli infiniti e
degli infinitesimi.
Pseudouguaglianza (nome illeggibile ma rende l'idea) sta a significare che
concettualmente il passaggio è giusto, ma in termini rigorosi non potremmo scrivere un
=
.
La tendenza generale è quella di scrivere a parte i passaggi del tipo pseudouguaglianze e
scrivere il risultato finale, che è esatto, in un colpo solo. Così si salvano capra (forma
logico-stilistica) e cavoli (meglio scrivere i ragionamenti onde evitare di impappinarsi!).
Per intenderci, una pseudouguaglianza è correlata alle operazioni che non possiamo
svolgere con l'algebra standard dei numeri reali, e si riferisce in particolare alle
operazioni che abbiamo elencato nell'algebra dei limiti.
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Avremmo quindi dovuto scrivere:
{tex}lim_{xto 2^{-}}{ln{(2-x)}}=-inftymbox{ e a parte }left[ln{(2-2^{-})}=ln{(0^{+})}=-inftyright].{/tex}
Passiamo al denominatore
{tex}lim_{xto 2^{-}}{x-2} overbrace{=}^{pseudouguaglianza} 2^{-}-2
overbrace{=}^{pseudouguaglianza} 0^{-}.{/tex}
A questo punto mettiamo tutti i risultati insieme (sono pseudouguaglianze)
{tex}frac{2+4cdot(-infty)}{0^{-}}=frac{2-infty}{0^{-}}=frac{-infty}{0^{-}}=frac{(-1)(+infty)}{(-1)(0^{+})}
=frac{+infty}{0^{+}}=+infty{/tex}
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dove ogni passaggio è stato effettuato grazie alle regole dell'algebra degli infiniti e degli
infinitesimi. Il limite vale quindi +∞.
Calcola i seguenti limiti con infiniti e infinitesimi
I) {tex}lim_{xto +infty}{left(frac{x^{2}+2}{x}right){/tex}
II) {tex}lim_{xto -infty}{left(2^{x}-frac{1}{x}right)}{/tex}
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III) {tex}lim_{xto 9}{left[x(x-2)right]}{/tex}
IV) {tex}lim_{xto pi}{left[(x-pi)sin{(x)}right]}{/tex}
V) {tex}lim_{xto 0^{+}}{left(x^{3}-frac{2}{x^{6}}right)}{/tex}
VI) {tex}lim_{xto 2^{+}}{left(frac{1}{x-2}+frac{1}{sqrt{x-2}}right)}{/tex}
VII) {tex}lim_{xto +infty}{left[frac{(-2)(frac{1}{5})^{x}}{ln{(x+4)}}right]}{/tex}
VIII) {tex}lim_{xto 2}{left[x^{2}3^{frac{x}{2}}+xlog_{4}{(x)}right]}{/tex}
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IX) {tex}lim_{xto 1^{-}}{left(frac{x+3}{2x-2}-frac{1}{1-e^{4x-4}}right)}{/tex}
X) {tex}lim_{xto
left(frac{pi}{4}right)^{-}}{left[frac{sin{left(x+frac{pi}{4}right)}}{tan{left(x-frac{pi}{4}right)}}log_{frac{p
i}{4}}{left(frac{1}{x}right)}right]}{/tex}
XI) {tex}lim_{xto 0^{+}}{left[frac{log_{3}{left(x+3right)}}{cos{(x)}}right]}{/tex}
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Soluzioni
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I) {tex}+infty{/tex} [spezza il numeratore!]
II) {tex}0{/tex}
III) {tex}63{/tex}
IV) {tex}0{/tex}; [risulta 0·0]
V) {tex}-infty; left[mbox{risulta} frac{-2}{0^{+}}right]{/tex}
VI) {tex}+infty; left[mbox{risulta} +infty +infty right]{/tex}
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VII) {tex}0^{-}; left[ mbox{risulta} frac{0^{-}}{+infty}right]{/tex}
VIII) {tex}13{/tex}
IX) {tex}-infty; left[mbox{risulta} -infty -infty right]{/tex}
X) {tex}+infty; left[mbox{risulta} frac{-1}{0^{-}}right]{/tex}
XI) {tex}1{/tex}
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Agente Ω
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