Transcript Programma del corso e libri di testo

UNIVERSITÀ DI CATANIA - DIPARTIMENTO DI FISICA E ASTRONOMIA
ANNO ACCADEMICO 2014-2015
Corso triennale per la laurea in Fisica
Programma di Istituzioni di Metodi Matematici per la Fisica
prof. G. Di Fazio
1.Funzioni di variabile complessa. Funzioni complesse di variabile complessa. Limiti
e continuità. Derivabilità nel campo complesso. Teorema di Cauchy - Riemann. Teorema
di Cauchy - Goursat. Formule di Cauchy. Serie di potenze nel campo complesso. Serie
di Taylor e di Laurent. Sviluppabilità in serie di Taylor e di Laurent. Zeri di una funzione
olomorfa. Singolarità isolate di una funzione olomorfa. Residuo di una funzione olomorfa
in una singolarità isolata. Legame tra zeri e poli. Applicazione al calcolo degli integrali
di funzioni reali.
2.Elementi di Analisi Funzionale. Spazi con prodotto scalare. Spazi di Hilbert. Basi
ortonormali e loro caratterizzazione. Serie di Fourier rispetto ad una base. Teorema
della proiezione ed elemento di norma minima. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Operatori tra spazi di Hilbert: operatori lineari, operatori continui. Norma di un operatore.
Aggiunto di un operatore. Operatori autoaggiunti. Spettro di un operatore. Operatori
unitari. Proprietà degli autovalori di operatori autoaggiunti e unitari.
3.Teoria delle Distribuzioni. Definizioni ed esempi. La distribuzione delta di Dirac.
Classi di funzioni test: la classe D, la classe S, la classe E. Classi di distribuzioni: distribuzioni di tipo funzione, distribuzioni di tipo misura, distribuzioni temperate. Traslata di
una distribuzione e distribuzioni periodiche. Supporto di una distribuzione e distribuzioni
a supporto compatto. Derivata di una distribuzione.
4.La Trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier delle funzioni sommabili. La
classe di Schwartz S e le sue principali proprietà. Trasformata di Fourier delle funzioni
di S. Teorema di Riemann-Lebesgue. Proprietà di traslazione, derivazione e convoluzione. Inversione della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier delle distribuzioni
temperate. Trasformata di Fourier delle funzioni di quadrato sommabile.
5.Alcune applicazioni alle equazioni differenziali. Problema di Dirichlet in un cerchio.
Nucleo di Poisson e formula di rappresentazione della soluzione. Problema di Dirichlet
in un semipiano. Nucleo di Poisson e formula di rappresentazione della soluzione. Problema di Cauchy - Dirichlet per l’equazione del calore in un semipiano. Rappresentazione della soluzione. Problema di Cauchy per l’equazione delle onde in un semipiano.
Rappresentazione della soluzione.
6.La Trasformata di Laplace. Trasformabilità di una funzione in un punto. Ascissa
di convergenza della trasformata di Laplace di una funzione. Proprietà della trasformata
di Laplace: linearità, traslazione, derivazione e convoluzione. Trasformata delle funzioni periodiche. Inversione della trasformata di Laplace. Applicazione alle equazioni
differenziali, integrali, integro-differenziali e alle equazioni con ritardo.
Testi suggeriti per la Teoria
1. G.Di Fazio; M.Frasca Metodi Matematici per l’Ingegneria - seconda edizione, Ed.
Monduzz (2009).
2. L.Schwartz Mathematics for the Physical Sciences - Dover Publications, (1966)
3. L.Debnath - P.Mikusinski Introduction to Hilbert Spaces with Applications - terza
edizione Ed. Elsevier (2005)
Testi suggeriti per le esercitazioni
1. G.Angilella Esercizi di Metodi Matematici della Fisica - Springer (2011)
2. M.Spiegel Variabili Complesse - McGraw Hill Collana Schaum (1994)