Corso di Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali LM in Fisica, AA 2013-14

Silvia Arcelli

Le Interazioni Deboli

18 Marzo 2014

1

• • •

Le Interazioni Deboli

Teoria V-A con violazione della parità: – – Hamiltoniana con effetto della violazione della parità Elicità e Chiralità – Struttura Chirale delle interazioni deboli in CC – – Il Decadimento del pione Non unitarietà della teoria V-A e bosone mediatore W – Stima della massa del W Slides al link: http://www.bo.infn.it/~arcelli/LezioniFIF.html

Rif: Bibliografia sul sito del corso 2

Teoria V-A e Violazione della Parità

Riassumendo, le evidenze sperimentali finora discusse permettono di configurare il seguente quadro: • L’interazione debole a bassa energia ha una struttura del tipo interazione puntiforme corrente-corrente, in cui gli operatori rilevanti sono di tipo V (vettoriale) e A (vettore assiale). Nel decadimento  , il termine vettoriale descrive le transizioni di Fermi, il termine assiale quelle di Gamow-Teller • L’interazione debole

viola la parità

• Il neutrino ha

elicità negativa

3

Teoria V-A e Violazione della Parità

• Questo comporta che nell’hamiltoniana (fino ad adesso assunta essere uno scalare puro) debbano necessariamente operatori che possano generare una componente

pseudoscalare:

H weak



G



i



V

 ,

A C i

 [ 

p O i



n

][ 

e O i

( 1  

i

 5 )   ] 

h

.

c

.

• Questa forma dell’Hamiltoniana (proposta da Feynman e Gell-Mannl) è diversa da quella che abbiamo preso in considerazione finora: si noti che in questo caso compaiono

prodotti misti

fra operatori (i.e. V  A), che

violano la parità

. 4

Teoria V-A e Violazione della Parità

• Il fatto che il neutrino abbia elicità negativa impone una unica scelta per il coefficiente del termine pseudoscalare, ovvero  i = -1

H weak



G



C



C V A

  [  [ 

p p



i

    

n

5  ][

n

 ][

e

  

e

(

i

 1     5 ( 5 ) 1     ] 5  )   ]  • Utilizzando le proprietà delle matrici gamma l’Hamiltoniana si può riscrivere come:

H weak



G

 [ 

p

  (

C V



C A

 5 ) 

n

][ 

e

  ( 1   5 )   ] 5

Teoria V-A e Violazione della Parità

• La parte Leptonica ha una struttura manifestamente V-A. Per quanto riguarda la parte adronica (corrente n-p) sappiamo che nelle transizioni pure di Fermi l’accoppiamento G è consistente con G F misurata nel decadimento del muone (a parte un 2% di differenza...) . Da questo si può inferire che:

C V

 1 • Dalla misura dei rapporti C V /C A (dec. neutrone, 14 O, neutroni polarizzati) che abbiamo già visto si è valutato C A nel decadimento  :

C A

  1 .

25 6

Teoria V-A e Violazione della Parità

• Misure di C A ,C V con altri decadimenti deboli di adroni danno valori ancora diversi per C A . Ad esempio: • Queste differenze sono dovute all’effetto delle interazioni forti tra i quark che compongono l’adrone, e generano una componente assiale aggiuntiva modificando il coefficiente C A , il cui valore dipende dal tipo di adrone (composizione in flavour, spin, parità etc) e non è universale. • Tuttavia, al netto di questi effetti, si può assumere che anche nel caso di corrente adronica il coefficiente C A sia -1, come nel caso delle correnti leptoniche. 7

Teoria V-A e Violazione della Parità

Questo porta a specializzare la struttura delle interazioni deboli in corrente carica come una V-A pura:

H V



A



G

 [ 

p

  ( 1   5 ) 

n

][ 

e

  ( 1   5 )   ] Che è la stessa Hamiltoniana proposta da Fermi, a parte il fattore (1  5 ). • Il fattore (1  5) ha un significato profondo: il suo ruolo è di selezionare componenti chirali definite (sinistrorsa per particelle, destrorsa per antiparticelle). Nel limite di particelle con massa nulla , l’interazione seleziona anche specifici stati di elicità. 8

Elicità e Chiralità

Consideriamo l’operatore elicità :   |    

p



p

|       0  ˆ

p

   0

p

ˆ      Operatore di spin       0  0       0    5     5 L’operatore elicità commuta con l’Hamiltoniana: quindi l’elicità, ovvero la componente dello spin lungo la direzione della quantità di moto, è un osservabile aggiuntivo che permette di distinguere gli stati di medesima energia. L’elicità ha due possibili autovalori: In particolare, lo spinore a due componenti  ,soluzione dell’equazione di Dirac , è un autostato dell’operatore elicità . 9

Elicità e Chiralità

L’elicità è un numero quantico conservato (commuta con l’Hamiltoniana), ma non è Lorentz-invariante ( è

frame dependent

). Fissato uno stato di elicità, si può sempre trovare una trasformazione di Lorentz che ne cambi il segno, a meno che la particella non abbia massa nulla (in questo caso l’elicità è la stessa in ogni sistema di riferimento). Se ora si considera l’operatore di chiralità , definito come:  5 

i

 0  1  2  3 L’operatore non commuta con H, per cui ad esso non è associato un osservabile conservato (ancora, a meno che la massa non sia nulla). Per esprimere la chiralità si possono definire due proiettori : 1 5 ),

P L P R

  2 1 2 ( 1 ( 1     5 ) Proprietà : (

P L

,

R

) 2 

P L

,

R P L P R P L

 

P R P R P L

 1  0 10

Elicità e Chiralità

• Ogni spinore può essere quindi scritto come somma delle sue componenti chirali, ovvero:  '  1 2 ( 1   5 )   1 2 ( 1   5 )   

L

 

R



R

, 

L

Autofunzioni dell’operatore chiralità, con autovalori +/-1 • Ora, consideriamo come opera la matrice  5 (operatore chiralità) su uno spinore (si verifica attraverso il calcolo esplicito):  5     

I

0

I

0            

E

  0 

p m



E

  0 

p



m

      11

Elicità e Chiralità

• Nel limite ultrarelativistico, per E>> m la matrice  5 tende all’operatore elicità:  5  

E

  •   

p

        

p

   |    

p



p

|     | 

p

5  | 

p

 (

E

|  

p



m

) |  5 

E

   5 Per particelle di massa nulla la

chiralità coincide strettamente con l’elicità

12

Elicità e Chiralità

•

Per m=0

, i proiettori di chiralità agiscono come proiettori di elicità: •  

L R

  1 2 1 2 ( ( 1 1     5 5 ) )            0 0

Per massa diversa da zero

Se l’elicità è +1 Se l’elicità è -1 Se l’elicità è +1 Se l’elicità è -1 , chiralità ed elicità non coincidono e un fermione massivo in uno stato chirale L o R ha una probabilità non nulla di essere in uno stato di elicità opposta alla chiralità. In particolare, le rispettive probabilità sono proporzionali a:

Elicità e Chiralità

-

Concordi -Opposte

P

( 

R

(

h P

( 

R

(

h

   1 ))   1 )) 

P

( 

L

(

h P

( 

L

(

h

  1 ))     1 ))  ( 1   ) con   v c 13

•

Elicità e Chiralità

j

  [ 

e

  ( 1  • vediamo che possiamo riscriverla come:  5 )   ]

j

  [ 

e

,

L

    ,

L

] Ossia, nella forma di una corrente vettorialle che però accoppia solo le componenti di chiralità Left dei fermioni . Questo punto di vista permette di ricondurre le interazioni deboli alla stessa struttura di Lorentz delle interazioni elettromagnetiche (con cui sono unificate, effettivamente), pur mantenendo la specificità di accoppiarsi solo alle componenti Left. 14

•

Elicità e Chiralità

• Per cui:

j

  [ 

e

  [ 

e

( 1    ( 1   2 5 )  2  5 ) 2 ( 1    5 )   ( 1  ( 1   2 ] 5 )  2  [   5 

e

 ]    (  5 ) 2 ) ( 1   [ 

e

4  5 ) 2 ( 1  2 2 ( 1     5 )  ]    5 )   ,

L

] (  5 ) 2 

I

  0 15

•

Elicità e Chiralità

( 1   5 ) 0 ( 1   5 )  ( 1   5 )  2 0  (  5 )    5

j

  [ 

e

,

L

    ,

L

]

Corrente di tipo Vettoriale fra fermioni Levogiri

Correnti vettoriali come originariamente proposta da Fermi, a parte la restrizione sulla chiralità degli spinori! 16

Decadimento del Pione

Il decadimento del Pione permette di fare una verifica stringente di bassa energia della struttura chirale dell’interazione debole: Elemento di matrice: Corrente adronica: Corrente Leptonica: 17

Decadimento del Pione

La parte adronica, che in linea di principio è descritta dalla corrente dei quark se si potessero considerare liberi, in realtà include anche l’effetto delle interazioni forti.  • L’effetto può essere incluso parametrizzando la parte adronica come un termine di massa e una costante f dipendente dal tipo di adrone, avente dimensionidiunamassa. • Per il pione f  vale circa 130 MeV (con una incertezza relativamente grande): 18

Decadimento del Pione

• Integrando sullo spazio fasi e sommando sugli spin finali si ottiene la previsione per la vita media del pione: • Utilizzando le misure di G F , delle masse e il valore calcolato per f  , si ottiene:        10  8

s

19

Decadimento del Pione

• Anche se riproduce correttamente l’ordine di grandezza della vita media, questa previsione è affetta dall’incertezza su f  . • Un test stringente della natura chirale delle interazioni deboli è invece la misura della intensità relativa dei decadimenti del pione in elettrone e muone, rispettivamente. • Nel rapporto le incertezze legate alla parte adronica si cancellano e, sulla base della teoria V-A, si può fare una previsione molto precisa. 20

Decadimento del Pione

• Il Pione ha spin 0, e per conservazione del momento angolare, essendo l’antineutrino sempre destrogiro e con elicità +1, anche il leptone carico deve essere destrogiro . • Abbiamo visto che la probabilità che un definito stato chirale abbia un’elicità opposta è proporzionale a 1  . Nel caso dell’elettrone Left-handed, questa probabilità è quasi nulla (alla scala di massa del pione è già relativistico), mentre per il muone la probabilità è non trascurabile. Pur essendo favorito come spazio fasi disponibile, il decadimento in elettrone è fortemente inibito per il fatto di avere l’elicità “sbagliata” • Il valore sperimentale è in perfetto accordo con la previsione della teoria V-A. Il fatto che il decadimento del pione in muone sia largamente dominante è una verifica della natura chirale delle interazioni deboli 21

Teoria V-A: violazione dell’unitarietà

la violazione dell’unitarietà. Se si considera il processo di scattering elastico neutrino -elettrone: Nel sistema del centro di massa, la sezione d’urto si può scrivere come: Dal formalismo di sviluppo in onde parziali si ottiene un limite superiore generale per le sezioni d’urto di scattering elastico, oltre il quale la teoria viola la conservazione della probabilità: (per l= 0 22

Teoria V-A: violazione dell’unitarietà

Nel caso della sezione d’urto debole prevista dalla teoria V-A, la condizione di Nel sistema del centro di massa si ha, per particelle relativistiche (E=p): Da cui : In realtà, considerando anche i fattori dovuti allo spin delle particelle, il limite di violazione dell’unitarietà per la teoria V-A è raggiunto per energie nel centro di massa di circa 300 GeV. 23

Teoria V-A: violazione dell’unitarietà

La divergenza nella sezione d’urto può essere evitata se, in maniera analoga alla QED, si introduce un propagatore associato a un bosone vettore (S=1) intermedio (il W  ) come mediatore delle interazioni deboli in corrente carica. Il diagramma di scattering non è più di tipo puntiforme, e l’elemento di matrice si modifica come: La costante G F è sostituita da un

accoppiamento adimensionale g

, universale 24

Teoria V-A: violazione dell’unitarietà

Il range estremamente piccolo (dell’ordine del millesimo di fm) delle interazioni deboli è connesso alla massa molto grande del bosone mediatore. In processi di bassa energia, in qui il quadrimomento trasferito è molto piccolo, il termine dominante nel propagatore è quello relativo alla massa del W e tende a una costante. Confrontando gli elementi di matrice si può stabilire la connessione fra la costante di Fermi e l’accoppiamento adimensionale g: La relazione fra i due accoppiamenti dipende ovviamente dalla massa del W: 25

Massa del bosone mediatore W

Se si fa l’ipotesi che l’accoppiamentodebole g sia dello stesso ordine di quello Si può dedurre una stima della massa del bosone intermedio W. Dalla relazione fra gli accoppiamenti si ha: si ottiene una stima per la massa del W di circa 37 GeV (circa la metà del valore effettivo). In realtà, se si considera la relazione corretta tra gli accoppiamenti: dove  W = angolo di Weinberg si ha: 26

Massa del bosone mediatore W

• In questa ottica, le interazioni deboli non sono deboli per via dell’accoppiamento , ma per la presenza di bosoni mediatori molto massivi . Non occorre quindi introdurre • E’ stata però introdotta una nuova scala di energia (scala di Fermi) dell’ordine di 100 GeV, corrispondente alla massa della W, a cui ci si aspetta che l’interazione debole abbia un’intensità confrontabile con quella elettromagnetica • Questo è tipico dell’unificazione delle interazioni . Un caso noto è l’elettromagnetismo (la prima teoria di gauge!) , in cui fenomeni elettrici e magnetici diventano confrontabili quando la velocità si approssima a quella della luce c (che possiamo considerare come scala caratteristica di unificazione nell’elettromagnetismo) 27