Verifica : Programmazione lineare 16 gennaio 2014

Con soluzione

Fila A Cognome Nome ___________________________________

1) Descrivi il modello di programmazione lineare.

2) A quale teorema si fa riferimento per risolvere un problema di programmazione lineare.

3) Determinare il massimo della funzione: f

(

x

;

y

)  40

x

 50

y soggetta ai vincoli

     6 5

x x

  10

x y

4

y



y

  0  0 240 300

Soluzione:

1) Fra i problemi di Ricerca Operativa, assumono particolare importanza quelli di

Programmazione Lineare

.

Un problema è di programmazione lineare quando può essere risolto con un

modello matematico

costituito da:  una funzione obiettivo lineare in guadagno (da massimizzare);

n

variabili (le variabili hanno tutte esponente pari a uno), che normalmente esprime un costo (da minimizzare) oppure un ricavo o un  un sistema di vincoli espresso da equazioni o disequazioni, lineari nelle di primo grado)

n

variabili (cioè Nel caso in cui le variabili d’azione siano due (x e y, per esempio), si può risolvere un problema di questo tipo con il

metodo grafico

..

La funzione obiettivo sarà quindi del tipo

f

(

x

;

y

) 

ax



by



c

2) Dopo aver individuato la

regione ammissibile,

determinata dalle soluzioni del sistema di vincoli del modello di programmazione lineare, ossia da tutte le coppie (x; y) che soddisfano le disequazioni e/o le equazioni del sistema, in corrispondenza di ogni vertice del poligono, si calcola il valore della funzione obiettivo, e si sceglie la coppia che rende ottima (cioè massima o minima, a seconda dei casi) la funzione stessa. Questa la conseguenza diretta del

Teorema (

fondamentale della programmazione lineare):

Il massimo ed il minimo di una funzione lineare soggetta a vincoli espressi da equazioni e/o da disequazioni lineari, se esistono, si trovano sui vertici della regione ammissibil

e.   Se la regione ammissibile è un poligono i massimi e minimi esistono e si trovano nei vertici del poligono.

Se la regione ammissibile non è limitata i punti di massimo e minimo si trovano ancora in un vertice ma la loro esistenza non è più garantita ( in questo caso si dovrà procedere con le linee di livello per determinarne l’esistenza).

3

) Si tratta di un modello di programmazione lineare in quanto la funzione f(x;y) della quale si vuole determinare il massimo è lineare ed i vincoli sono disequazioni lineari.

Bisogna ricercare quindi le coppie (x;y) per le quali la funzione assume valore massimo nella regione ammissibile e cioè in corrispondenza delle soluzioni del sistema di equazioni

.

Regione ammissibile

La regione ammissibile il poligono OABC.

Con vertici: O(0;0); B(30;15): A(0;30); C(40;0).

Poiché la regione ammissibile è un poligono, una regione chiusa, in base al teorema secondo il quale: “Se la regione ammissibile è un poligono i massimi e minimi esistono e si trovano nei vertici del poligono”, si valuta il valore assunto dalla funzione nei vertici.

Vertici O(0,0) A(0;30) B(30;15): C(40;0)

f

(

x

;

y

)  40

x

 50

y

Funzione obiettivo 0

f

(

x

;

y

)  40  0 

f

(

x

;

y

)  40  30 50   50 30  15  1500  1950

f

(

x

;

y

)  40  40  50  0  1600 La funzione assume valore massimo in corrispondenza del vertice B(30; 15)con f(30;15)=1950.