Transcript Prova n. 4

Liceo Scientifico “G. Da Castiglione” – Classe 5B – Compito di matematica – 05/02/2014
Lo studente risolva, a sua scelta, uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
Problema 1 (Esame di stato 2002, Sessione suppletiva, Corso sperimentale, Problema 1)
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy sia assegnata la famiglia  di curve di equazione:
y=
a  b ln x
,
x
dove a e b sono due parametri reali non nulli.
1) Determinare i valori di a e b per i quali la corrispondente curva  di  passa per il punto P (e, 5/e) ed ha in P
tangente perpendicolare alla retta e2x  5y = 0.
2) Dopo aver verificato che a = 5 e b = 10, studiare il comportamento di  e disegnarne il grafico.
3) Utilizzando il differenziale, calcolare un valore approssimato di f (0,98).
4) Determinare le equazioni delle rette tangente rt e normale rn a  in P e calcolare l’area della regione di piano
delimitata da rt, rn e dall’asse y.
5) Disegnare, derivandoli da quello di  e motivando la risposta, i grafici delle funzioni
y=
5  10 ln x
x
e
y=
5  10 ln x
.
x
Problema 2
1) Sia dato il settore circolare AOB di centro O, raggio 1 ed ampiezza /2. Condurre da O una semiretta s che
incontri in C l’arco AB e in D la semiretta t tangente in A all’arco AB. Sia H il piede della perpendicolare condotta da C
ˆ D = x, determinare la funzione f (x) =
ad OA. Posto AO
2) Dopo aver verificato che f (x) =
CH  OC  8  CD  OH  OA
.
CH  OB
sen x  8 cos x  7
, operare le sostituzioni sen x = x2 e cos x = x, studiare il
sen x  1
x2  8 x  7
così ottenuta e disegnarne il grafico , limitandosi allo studio della
x2 1
comportamento della funzione f (x) =
derivata prima. (Suggerimento: f (x) ammette tre flessi le cui coordinate, approssimate alla seconda cifra decimale, sono
F1 (1,10; 7,70), F2 (0,22; 5,04) e F3 (3,13; 0,76)).
3) Utilizzando il differenziale, calcolare un valore approssimato di f (0,98).
4) Determinare l’equazione della tangente r a  nel suo punto di intersezione con l’asse x avente ascissa minore e
verificare che r interseca  anche in un altro punto, di cui si chiedono le coordinate.
5) Disegnare, derivandoli da quello di  e motivando la risposta, i grafici delle funzioni
2
y=
x 8 x  7
2
x 1
e
y=
x2  8 x  7
.
x2 1
Quesiti
1) Dopo aver verificato, usando le proprietà dei logaritmi, che le funzioni f (x) = 3 ln x e g (x) = ln (2x) 3 differiscono
per una costante additiva, pervenire allo stesso risultato analizzandone le derivate prime. Successivamente rappresentare
graficamente le due funzioni. (Esame di stato 2004, Corso di ordinamento, Quesito 6)
2) Determinare, se esistono, le ascisse dei punti della funzione f (x) = sen2 x + sen x che verificano il teorema di
Rolle nell’intervallo [0, 2].

2
2 x  x

3) Dire se la funzione f (x) = 
 4  2x
 x 1

0x2
verifica le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [0, 3].
2x3
In caso affermativo determinare l’ascissa del punto (o dei punti) che verifica (verificano) il teorema.
4) Enunciare il teorema di De L’Hôpital e, dopo aver verificato che è applicabile, utilizzarlo per calcolare il limite
lim
x 0
x ex  x
.
sen 2 x
5) Determinare i parametri a, b  R in modo che la funzione f (x) = a sen x + b cos x abbia un estremo relativo nel
punto P (2/3, 2). Successivamente determinare il periodo di f. (Esame di stato 2006, Corso di ordinamento, Quesito
10)
6) La funzione f (x) = 2x3 + 3x2  2 ha un solo zero reale, cioè il suo grafico interseca l’asse delle ascisse in un solo
punto P. Fornire un’esauriente spiegazione di questo fatto e stabilire se P ha ascissa positiva o negativa. (Esame di stato
2003, Corso di ordinamento, Quesito 5)
7) Calcolare, senza applicare il teorema di De L’Hôpital, il limite lim
x 0
tg x  sen x
.
x3
8) Dire se le seguenti uguaglianze sono verificate  x  R, giustificando la risposta.
a) ln
 3  sen x  2 ln  3  sen x;
2
b) ln
 3  tg x  2 ln  3  tg x .
2
9) x ed y sono due numeri naturali dispari tali che x  y = 2. Il numero x3  y3:
a) è divisibile per 2 e per 3;
b) è divisibile per 2 ma non per 3;
c) è divisibile per 3 ma non per 2;
d) non è divisibile né per 2 né per 3.
Una sola risposta é corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata. (Esame di stato
2003, Corso di ordinamento, Quesito 8)
10) Un’urna contiene 18 biglie bianche numerate da 1 a 18 e 10 biglie nere contrassegnate dalle lettere dalla A alla
L. In quanti modi diversi è possibile estrarre 6 biglie, di cui 4 bianche e 2 nere? Motivare la risposta.
Durata della prova: 170 minuti.
È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.
Studente: «Cognome» «Nome»