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Inferenza Statistica
• L’inferenza statistica comprende
– Teoria della stima statistica parametrica
– Verifica delle ipotesi
Teoria della stima statistica
R. Lombardo, Ida Camminatiello
R. Lombardo, I. Camminatiello
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Stima e Stimatori
Teoria della stima statistica
parametrica
Sia X1…Xn un campione casuale estratto da una popolazione con funzione di densità
f(X ) dove
f(X,)
d  è il parametro
t incognito
i
it dda stimare
ti
• Fornire dei criteri per la stima del parametro incognito della popolazione.
– La popolazione è descritta da una variabile casuale X della quale si conosce la
funzione di densità, ma non sono specificati i parametri
Definiamo Stimatore T del parametro  una statistica funzione delle n osservazioni
campionarie la cui distribuzione di probabilità dipende da f(X,)
T  f ( X 1 ,..., X n )
Definiamo
e a o St
Stimaa t de
del pa
parametro
a et o  il valore
a o e assunto
assu to da
dallaa Suddetta funzione
u o e (stat
(statistica)
st ca) pe
per
un dato campione
t  f ( x1 ,..., x n )
Dunque
q lo stimatore è funzione di variabili casuali ed è esso stesso una v.c. mentre la stima è
un valore costante.
R. Lombardo, I. Camminatiello
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R. Lombardo, I. Camminatiello
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Proprietà degli Stimatori
Stimatore Sufficiente
Esistono infiniti stimatori di un parametro, di solito si utilizzano gli stimatori analogici che
hanno cioè lo stesso significato dei parametri incogniti della popolazione
Svantaggi:
Difficoltà di scelta tra diversi stimatori
Scelte meno idonee di altre caratterizzate da maggiori proprietà matematiche
Uno stimatore è sufficiente se raccoglie
g ed esaurisce tutte le informazioni riguardanti
g
θ
contenute nel campione casuale .
Dato X1…Xn un campione casuale estratto da una popolazione con funzione di densità
f(X,) dove  è il parametro incognito.
Uno stimatore corretto T è detto sufficiente se e solo se la sua distribuzione condizionata di
X1…Xn dato T=t non dipende da .
Proprietà degli Stimatori:
Sufficienza
Correttezza
Efficienza
Effi i
Consistenza
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R. Lombardo, I. Camminatiello
Stimatore Corretto
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Varianza campionaria
Sia X1…Xn un campione casuale estratto da una popolazione X con funzione di
d ità f(X
densità
f(X,)
) dove
d  è il parametro
t iincognito.
it
Uno stimatore T è detto corretto se e solo se
Sia S    X  X  n lo stimatore varianza campionaria
n
2
2
i
i 1
allora:
E ( T )  E f ( X 1 ,..., X n )   
E S    ( S è uno stimatore distorto di  )
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altrimenti lo stimatore T è detto distorto, la quantità
E(T)- 
è detta distorsione dello stimatore
Infatti
2
2
2
n  1
E S    

 n 
2
Si noti che la Media Campionaria è uno stimatore corretto della Media della Popolazione
2
Anche f 1  f  è uno stimatore distorto di p1  p 
E(X )  
Anche la mediana è uno stimatore corretto sia per n pari che per n dispari
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R. Lombardo, I. Camminatiello
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Varianza campionaria corretta
Errore Quadratico Medio
La correttezza indica che uno stimatore tende ad assumere in media il valore del parametro,
ma non ci dà informazioni sulla dispersione dei valori campionari
campionari. Una misura della precisione
di uno stimatore è data dall’Errore Quadratico Medio
La distorsione è pari a:
n  1

E S     
0
   
n
 n 
2
2
2
2
EQM  E (T   ) 2  E T  E (T )    E (T )  
2
2
Var (T )  E   E (T ) 
2
Sia Sˆ    X  X  n  1 lo stimatore varianza campionaria
corretta
tt allora:
ll
n
2
2
i
i 1
Varianza dello stimatore
Ŝ è uno stimatore corretto di  )
E SŜ    ( S
2
2
2
Distorsione al quadrato
dello stimatore
2
Se lo stimatore è corretto l’EQM=Var(T)
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Siano T1 e T2 due stimatori del parametro θ. Allora, lo stimatore T1 è più
efficiente di T2 se EQM(T1)<EQM(T2).
)
1
eff T / T   1
2
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Confronto tra media campionaria e
mediana
di
Efficienza
ff T / T  
Il rapporto eff
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Confrontiamo la varianza della media campionaria e la varianza della
mediana. Per tali stimatori si ha:
1 EQM
Q (T )
è chiamato efficienza relativa.
relativa
1 EQM (T )
1
2

2
1
2
1
2
n
1
2
V ( Med
Var
M d) 
V (X ) 
Var
eff T / T   1
eff
ff T / T   1
VarT 
ff T / T  
Se ggli stimatori sono non distorti: eff
VarT 

2
2 n
 1.57

2
n
2
1
2
1
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R. Lombardo, I. Camminatiello
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Stimatori Consistenti
Consistenza
Le proprietà esposte precedentemente sono basate su una grandezza fissata del
campione. Consideriamo alcune proprietà degli stimatori al crescere della dimensione
campionaria.
Sia X ,, X , un campione casuale estratto da X  f  x;  .
Consideriamo lo stimatore T  t  X , , X .
EE’ desiderabile che la dispersione di uno stimatore T intorno al parametro  diventi
sempre più piccola al crescere di n. Questa proprietà è detta consistenza
1
n
n
n
1
Consistenza Quadratica
media
di campionaria
i i
lim E [ T n   ] 2  0
Consistenza in Probabilità
proporzione e media campionaria
lim P [     T n     ] 2  1
n 
n
n
Correttezza Asintotica
Varianza campionaria
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n 
lim E [ T n ]  
n 
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