Transcript Teoria della stima: Intervalli di confidenza

Stima puntuale dei parametri
Esistono infiniti stimatori di un parametro, l’obiettivo della teoria della stima statistica è
quello di ricercare uno stimatore T di θ che abbia proprietà ottimali.
• Stimatori
Sti t i
• Parametri
P
ti
Teoria della stima:
Intervalli di confidenza
• μ
n
X
X
i
i 1
i
n
n
• p
f 
Ida Camminatiello
X
i 1
S 
2
,
n
n
• σ2

i 1
1
Xi  
0
i
X  X 
successo
insuccesso
n
2
i
n
; Sˆ 
2

i 1
X  X 
2
i
n 1
I. Camminatiello
Intervalli di Confidenza
Stima puntuale
p nt ale o intervallare?
inte alla e?
Date due statistiche, T1,T2, con T1,<T2 che variano al
variare del campione.
campione
L’intervallo T1 ≤θ ≤ T2 è chiamato intervallo di confidenza
ad un livello di probabilità 1
1-α
α
P(T1 ≤θ ≤ T2 )=1-α
• Sia X1,…Xn un campione di ampiezza n estratto
dalla popolazione X~(μ,σ
X~(μ σ2)
• Per quanto accurato possa essere lo stimatore T
d l parametro
del
t θ,
θ la
l probabilità
b bilità che
h T assuma il
valore T0= θ è quasi nulla.
P(T0= θ )=0
• E’ ppreferibile individuare un intervallo di valori
all’interno del quale possa essere compreso θ
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2
• Per la costruzione di un intervallo di confidenza siamo interessati ad
•
una quantità (quantità pivot), la cui distribuzione non dipende dal
parametro
pa
a et o θ
Si preferisce un intervallo simmetrico
• ATTENZIONE
3
Una volta estratto il campione, non ha senso parlare di probabilità
perché i valori assunti dalle statistiche T1eT2, t1e t2 sono delle costanti
e quindi
i di la
l probabilità
b bili à che
h il parametro θ cada
d all’interno
ll’i
dell’intervallo
d ll’i
ll
è 1 oppure 0.
I. Camminatiello
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• Esercizio
Intervalli di confidenza per la media di
una popolazione normale, σ2 nota
Si consideri il seguente campione
casuale semplice estratto da una
popolazione normale di media μ e
varianza
i
9:
9
16.6
6 6 13.9
3 9 15.4
5 19.8
9 8 18.1
8 21.7 18.3
83
14.4
Calcolare l’intervallo di confidenza
per μ di livello 1−=0.99.
Sia X1,…Xn un campione di ampiezza n estratto dalla
popola ione X~N(μ,σ
popolazione
X N( σ2)
X 
La quantità X  N (  ;  2 / n ) Z 
 N ( 0 ,1)
/
n


X 
P  z  
  z   1  
 n 


2
2

 

P  X  z
   X  z
  1
2
2
n
n

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Intervalli di confidenza per la media di una
popolazione normale σ2 non nota, n<30
 X
n
Si utilizza la quantità
t
X 
 n
 n  1 Sˆ 2
 2  n  1

Sˆ 2 
N  0,1

2
 n 1
n 1
i 1
Un campione di 20 telespettatori è stato
i
intervistato
i
per conoscere quanto tempo
viene dedicato in media ogni settimana alla
visione
i i
di un dato
d t programma.
È stato accertato un tempo medio di 180
minuti con devianza pari a 150.
Trovare l’intervallo di confidenza del tempo
p
medio di visione per l’intera popolazione in
modo tale che la stima p
possa essere errata
al massimo all’uno per cento.
2
n 1
X 
 tn 1
Sˆ
n

Sˆ
Sˆ 
P  X  t ,n 1
   X  t ,n 1
  1
2
2
n
n


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• Esercizio 16
i  X
t
I. Camminatiello
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I. Camminatiello
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Intervalli di Confidenza per la proporzione
p utilizzando la distribuzione normale
Si accerta che su un campione di 2000 elettori 650
hanno mostrato preferenza per un dato partito.
Considerando il livello di fiducia del 95%
effettuare una stima per intervallo per il livello di
preferenza di detto partito.
f = stimatore di p, n sufficientemente grande
f  N  p; p 1  p  n 

P  f  z / 2


f 1  f 
n
 p  f  z / 2
I. Camminatiello
E
Esercizio
i i 18
f 1  f  
  1

n

9
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