Transcript Universit`a di Milano Bicocca Esame di Matematica

Universit`a di Milano Bicocca
Esame di Matematica Generale II - ECOAMM Li-Z
14 aprile 2014
Esercizio 1
1. Stabilire il carattere della serie:
1
+∞
X
e n2 − 1
.
3 + ln 1 + n1
n=1
2. Discutere la convergenza semplice e assoluta di
#
"
+∞
2
X
n!
+
3
(n
+
1)
.
(−1)n
[(n + 1)!]2
n=0
3. Determinare la somma della serie
P+∞
n=1
1 n+1
.
3
Soluzione
1
1.
e n2 −1
n=1 3+ln(1+ 1 )
n
P+∞
`e una serie a termini positivi.
Per il criterio del confronto asintotico vale che
1
1
e n2 − 1
1
n2
∼
an =
= 2 = bn .
1
3
3n
3 + ln 1 + n
Siccome bn `e il termine generale di
una serie convergente (armonica
P+∞
e quindi convergente. Di
generalizzata con α = 2), allora
n=0 bn `
P+∞ e n12 −1
conseguenza, anche la serie n=1 3+ln 1+ 1 `e convergente.
( n)
i
n n!+3(n+1)2
(−1)
,
2
n=0
[(n+1)!]
P+∞ h n!+3(n+1)2 i
possiamo applicare il criterio del rapporto asintotico a n=0 [(n+1)!]2 .
Siccome
2. Per quanto riguarda la convergenza assoluta di
an =
P+∞ h
n! + 3 (n + 1)2
n!
1
∼
2
2 = (n + 1) [(n + 1)!] = bn
[(n + 1)!]
[(n + 1)!]
1
e
bn+1
(n + 1) [(n + 1)!]
n+1
=
→n 0.
=
bn
(n + 2) [(n + 2)!]
(n + 2)2
P
P+∞ h
n
Ne consegue che la serie +∞
n=0 bn converge, quindi
n=0 (−1)
n!+3(n+1)2
[(n+1)!]2
converge assolutamente (allora anche semplicemente).
3. Siccome
0 1
+∞ n+1
+∞ m
+∞ m
X
X
X
1
1
1
1
1
1
=
=
−
−
= ,
3
3
3
3
3
6
n=1
m=2
1 m
P
essendo +∞
m=0 3
(quindi di somma
m=0
una serie geometrica di ragione q =
1
1−q ).
1
3
∈ (−1, 1)
Esercizio 2
1. Si enunci il Teorema della media integrale.
2. Si calcoli l’area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione f (x) = x2 − 3x + 2 e l’asse delle x nell’intervallo [0, 2]
3. Si calcoli il seguente integrale:
Z √
1 + ln x x − 1
+
dx.
x
x+2
Soluzione:
1. Si vedano i testi di riferimento.
2. L’area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione f (x) =
x2 − 3x + 2 e l’asse delle x nell’intervallo [0, 2] `e pari a
Z 1
Z 2
f (x) dx −
f (x) dx,
0
1
siccome f (x) ≥ 0 nell’intervallo [0, 1] e f (x) ≤ 0 nell’intervallo [1, 2].
Siccome
Z
x3 3 2
− x + 2x + c,
x2 − 3x + 2 dx =
3
2
2
i
l’area richiesta `e allora pari a
Z
Z 1
f (x) dx −
area =
=
f (x) dx =
1
0
2
x3 3 2
− x + 2x
3
2
1
2
x3 3 2
− x + 2x = 1.
−
3
2
0
1
R √1+ln x x−1 R √1+ln x x−1 3. Per calcolare
+
dx,
osserviamo
che
+ x+2
x
x+2
x
R x−1
R √1+ln x
dx + x+2 dx. Iniziamo quindi a calcolare il primo
dx =
x
integrale.
Con la sostituzione y = ln x, si ottiene che
Z √
Z p
1 + ln x
dx =
1 + y dy =
x
2
(1 + y)3/2 + c =
=
3
2
=
(1 + ln x)3/2 + c,
3
con c ∈ R. Per quanto riguarda invece il secondo integrale, si ottiene
che
Z
Z
Z x−1
x+2−3
3
dx =
dx =
1−
dx = x−3 ln (|x + 2|)+c,
x+2
x+2
x+2
con c ∈ R. Di conseguenza,
Z √
2
1 + ln x x − 1
dx = (1 + ln x)3/2 + x − 3 ln (|x + 2|) + c,
+
x
x+2
3
con c ∈ R.
Esercizio 3
1. (Modulo/insegnamento con numero di cfu = 5)
(a) Stabilire, al variare del parametro reale k, se il sistema seguente
ammette o no soluzioni:

+kz = 1
 x
3kx −y
=k .

2x
+3z = 0
In caso affermativo, le si determinino.
3
(b) Che cosa si potrebbe dire del sistema seguente?
3kx −y
=k
.
2x
+3z = 0
2. (Modulo/insegnamento con numero di cfu < 5)
(a) Stabilire se il sistema precedente ammette o no soluzioni per k =
1
3
2 e per k = 2 . In caso affermativo, le si determinino.
(b) Che cosa si potrebbe dire del sistema seguente
3kx −y
=k
.
2x
+3z = 0
per k =
1
2
e per k = 23 ?
Soluzione:
1. Si veda il libro di testo.
2. (a) Consideriamo il sistema

+kz = 1
 x
3kx −y
=k .

2x
+3z = 0
La matrice completa del sistema precedente `e:


1
0 k 1
[A|b] =  3k −1 0 k  .
2
0 3 0
−1 0
Siccome det (A) = 2k − 3 e la matrice B =
ha deter0 3
minante non nullo (det(B) = −3 6= 0), segue che
3; k 6= 32
rango(A) =
.
2; k = 32
Di conseguenza: rango(A) = rango(A|b) = 3 per ogni k 6= 23 ,
quindi il sistema `e determinato (ammette un’unica soluzione) per
ogni k 6= 32 .
4
Applicando il Teorema di Cramer, otteniamo che per ogni k 6=
il sistema ammette come unica soluzione:

3

 x = − 2k−3
2
+6k .
y = − 2k2k−3

 z= 2
2k−3
3
2
fissato
Esaminiamo ora il caso in cui k = 32 . Il rango di A `e pari a 2. Orlando
ora B con il vettore dei termini noti, si ottiene la matrice

 

0 k 1
0 23 1
C =  −1 0 k  =  −1 0 23 
0 3 0
0 3 0
di determinante det (C) = −3 6= 0. Ne segue che il rango di (A|b)
`e pari a 3, quindi per il Teorema di Rouch´e-Capelli il sistema non
ammette soluzioni per k = 23 .
b. Siccome il sistema
3kx −y
=k
2x
+3z = 0
(sist)
ha come matrice completa
h
i ˜ ˜b = 3k −1 0
A|
2
0 3
k
0
˜ ˜b = 2 per ogni k reale, allora il
e il rango A˜ = 2 = rango A|
sistema di cui sopra `e sempre indeterminato.
Vale inoltre che (??) `e equivalente a
−y
= k − 3kx
.
+3z = −2x
Applicando quindi il Teorema di Cramer al sistema precedente,
vale che le ∞1 soluzioni del sistema sono date da

 x∈R
y = 3kx − k .

z = − 2x
3
5
3. (a) Procedendo analogamente al punto 2.,

+kz
 x
3kx −y

2x
+3z
si ottiene che il sistema
=1
=k
=0
`e determinato (ammette un’unica soluzione) per k = 21 , mentre `e
impossibile per k = 23 .
Applicando il Teorema di Cramer, otteniamo che per k = 12 il
sistema ammette come unica soluzione

 x = 32
y = 74 .

z = −1
(b) Procedendo come nel punto 2., si ottiene che il sistema
3kx −y
=k
2x
+3z = 0
`e ammette ∞1 soluzioni sia per k =
soluzioni sono le seguenti:
• per k =
• per k =
1
2
3
2
1
2

 x∈R
y = 3x−1
;
2

z = − 2x
3

 x∈R
y = 9x−3
.
2

z = − 2x
3
6
che per k =
3
2.
Tali