Transcript Lezione 6

Finanza matematica - Lezione 06
Integrali stocastici
Si vuole calcolare l’integrale della funzione , rispetto al processo stocastico , :
, , Ciò interessa in quanto il moto browniano ha a che fare con i prezzi dei titoli.
Si consideri il seguente asse dei tempi:
1
∈ (
La ricchezza di un soggetto può essere investita in attività finanziarie e consumi. Al tempo il soggetto può
investire in attività finanziarie attraverso un portafoglio caratterizzato dal vettore di prezzi , alternativamente egli
può consumare (immaginiamo non vi sia alcun reddito da lavoro). Per finanziare queste spese deve fare conto sul
valore di liquidazione del portafoglio attualmente detenuto nel quale, per comodità, immaginiamo siano ricompresi
anche gli eventuali dividendi maturati. Il vincolo ha dunque la forma:
dove rappresenta i consumi nel periodo t, 1 e , la ricchezza disponibile al tempo 1. Si ha
che il vincolo di bilancio al tempo 1 sarà riscrivibile come:
e sostituendo ricorsivamente:
1
Se mandiamo a 0 l’incremento di tempo, ovvero considero un incremento infinitesimo, abbiamo:
! ! ! "
Il primo integrale di fatto è un integrale di un processo stocastico rispetto ad un altro processo stocastico.
Sia dato il processo che descrive i consumi . Ora sia dato uno stato del mondo ∈ $, questo fissa definisce sentiero
! . Dato il sentiero, è possibile calcolare l’integrale:
% ! "
Proprietà desiderabili di una corretta definizione di consumi è dunque che siano un processo stocastico integrabile.
Caratterizzare il processo dei prezzi non è tuttavia così semplice. Black-Scholes a riguardo ipotizzano di caratterizzare il
processo dei prezzi come:
& ! " ' ! Assunzioni effettuate implicitamente su entrambi questi processi sono che questi siano continui. Infatti utilizzando il
moto browniano nel secondo integrale si elimina la presenza di discontinuità. Non tratteremo processi discontinui.
Ciò che vogliamo fare è dare senso matematico alla scrittura detta integrale stocastico:
! ! A tal fine iniziamo a considerare l’integrale per processi del tipo:
, ) *+, ) *-.,./0 1 per il quale vale che:
i.
0 2 ⋯ ii.
) è 4. -misurabile e q.c. limitato.
È chiaro da quanto detto che valgono le seguenti proprietà:
i.
è adatto alla filtrazione +4 , , ovvero è 4 -misurabile;
ii.
dato che ) per 5 , il processo è continuo da sinistra:
iii.
il processo è limitato.
Un processo come appartiene alla categoria dei processi semplici indicati con 67 , i quali si presentano nella forma:
I processi semplici sono processi con un orizzonte temporale finito. Di fatto considerando un generico
processo strutturato come sopra, se si restringe in -0, 81 l’attenzione si ottiene un processo che da 8 in
avanti vale 0. Allora si ha che:
*-,71 ) *+, ) *1.,./0 1∧-,71
) *+, ) *1.∧7,./0∧71
:
) *+, ) *1.:,./0
1
;
Anche questa restrizione soddisfa le proprietà precedenti. Ora ; 5 , ovvero ∧ 8 5 ∧ 8, dove
ricordiamo che l’operatore ∧ indica il minimo tra due elementi. Da ciò discende che 5 8. Perciò nella
sommatoria potranno esservi degli intervalli vuoti, e degli intervalli in cui 5 8, dunque questa
restrizione è ancora misurabile e mantiene le proprietà precedenti. Da ciò deriva che se ∈ 6, allora
*-,1 ∈ 6.
Di fatto si può intendere ) come un ordine effettuato ad un broker di acquisto di un portafoglio di titoli. Essendo )
4. -misurabile, l’ordine è eseguibile, ovvero contiene tutte le informazioni necessarie perché possa esistere.
L’investimento prevede di tenere ) dal tempo al tempo . Tale operazione viene caratterizzata dalla
formulazione vista in precedenza.
L’integrale stocastico introdotto sopra può essere indicato come:
% ) ./0 . E, adottando la notazione, ; ∧ , passando all’integrale definito si ha:
:
% *-,71 ) <./0
.: = ) ./0∧ . ∧ :.?
Di fatto aggiungendo il tempo, l’integrale stocastico è diventato a sua volta un processo stocastico. Le proprietà di
questo processo stocastico % sono:
i.
% 0. Inoltre ) è 4 -misurabile, ma lo è anche . ∧ essendo 4. -misurabile e 5 , lo stesso
vale per ./0∧ . La somma e il prodotto di oggetti 4 -misurabili è ancora 4 -misurabile, dunque % è
4 -misurabile. Valendo ∀ allora si ha che % : ∈ ( è adatto alla filtrazione;
ii.
in ogni punto il processo è integrabile al quadrato, % ∈ A2 $, 4, B;
iii.
% è una martingala. Infatti considerando l’attesa condizionata:
B% |4! B D ) ./0 ∧ .∧ E 4! F
. ?
B D ) ./0∧ . ∧ E 4! F B D :.?!
:!G.?
) ./0∧ .∧ E 4! F
) B./0∧ H4! . ∧! BB) ./0∧ . ∧ H4. H4I .?!
!G. ?
dato che J J ∧ K J ∧ L per J K e J L, inoltre:
) B./0∧ H4! . ∧! B) B./0∧ . ∧ H4.∧ H4I .?!
!G.?
ma la seconda è 0 perché l’incremento del moto browniano ha valore atteso 0:
) B./0∧ H4! . ∧! .?!
ma se " allora ∧ ∧ " e dunque B./0∧ H4! ./0∧ ./0∧! , mentre
se ! M " allora B./0∧ H4! ! ./0 ∧! e dunque B./0∧ H4! ./0∧N ./0∧! . Perciò
possiamo scrivere:
) ./0∧! .∧! %!
.?!
iv.
e dunque % è una martingala.
isometria di Ito: viste le proprietà di % sopra elencate, possiamo dunque caratterizzare:
a.
b.
B% 0, in quanto essendo una martingala deve avere attesa costante, pari al valore iniziale
% 0;
B%2 :
B%2 2
:
B DO ) <./0
.: =P F
2
:
B O )2 <./0
.: = P 2 B R)S ) < :
B R)2 <2:
./0
T/0
S?
:
2.: 2./0
.: =U 2 B R)S ) < :
:
: = <./0
.: =U
T/0
S?
T
:
: = <B <./0
V 4.: = .: =U
T
:
:
ma B <./0
V 4.: = .: 0 in quanto B <./0
V 4.: = .: per le proprietà di martingala del
moto browniano, e dunque:
B R)2 B <2:
./0
:
2.: 2./0
.: V 4.: =U
B <)2 B <2: V 4.: = 2.: =
./0
B R)2 B <2:
./0
2.: V 4.: =U
Sopra si poteva anche considerare che applicando la regola del valore atteso iterato, senza
effettuare i passaggi fatti:
da cui:
2
2
:
:
B O )2 <./0
.: = P )2 B R<./0
.: = X 4.: U
;
;
; B Y )2 ; Z
B)2 e quindi siamo giunti così dagli incrementi stocastici, del moto browniano, ad incrementi
deterministici, ovvero incrementi di tempo.
Ora si guardi alla somma inclusa nell’ultima aspettativa, e si ricordi che dalla:
il quadrato è:
*-,71 ) *+, ) *1.,./01∩-,71
2 *-,71 )2 *+, )2 *1. ,./01∩-,71
dato che i prodotti incrociati sono tutti 0. Ne consegue che la precedente aspettativa di fatto è un
integrale stocastico, precisamente il quadrato:
2
B \D ! " F ] B ^ !2 " _
dato che in precedenza si era visto che % ` ∑
) ./0 . . Ora per il teorema di
Fubini è possibile trasformare i due integrali precedenti in un integrale sullo spazio prodotto B b :
B ^ !2 "_ 2 B b 2 c
dove c B b . Da quanto detto discende l’Isometria di Ito, ovvero calcolando la norma
dell’integrale stocastico si ha che:
ovvero:
‖% ‖e2fg,4,h ‖‖2efgb( ,…,j
/
‖% ‖efh ‖‖efj
ovvero otteniamo una distanza, per questo si indica isometria di Ito. Questo è un modo per
estendere lo spazio di definizione dell’integrale stocastico.