Transcript 02- Libero cammino medio. Legge di Fick. Rallentamento dei neutroni

2. Libero cammino medio
Abbiamo visto in precedenza che in un sistema semplice a geometria piana, con una
sorgente di neutroni posta ad una estremità, la corrente neutronica alla distanza x
dalla sorgente è data dall'equazione
j(x) = Se −Σx ,
(2.1)
dove con Σ si è indicata la sezione d'urto macroscopica del mezzo.
Poiché la quantità j(x)/S è la frazione di neutroni incidenti su una superficie
trasversale a distanza x dalla sorgente, essa può essere vista come la probabilità per
un neutrone di giungere al punto x senza subire collisioni. Essendo Σdx (= -dj(x)/j) la
frazione di neutroni che subisce una collisione nell'intervallo dx, il libero cammino
medio λ , cioè la distanza media che un neutrone percorre prima di subire una
collisione sarà data dall'espressione
∞
λ=
∫ xe
− Σx
Σdx
o
∞
∫
e −Σx Σdx
=
1
Σ
o
Si potrà quindi anche scrivere
j( x ) = Se − x / λ
Come si è già visto, quanto maggiore sarà la densità dell'elemento, la sua sezione
d'urto e la lunghezza H, tanto minore sarà il numero di neutroni che giungeranno
all'altra estremità del parallelepipedo senza subire urti.
1
3. Legge di Fick
Consideriamo un sistema in condizioni di stato stazionario. Poniamoci in una regione
omogenea sufficientemente lontana da superfici di separazione e composta da
materiale scarsamente assorbente (sezione d'urto di assorbimento piccola rispetto a
quella di scattering).
Consideriamo una areola dS giacente nel piano x,y come indicato nella figura. In un
piccolo elemento di volume dV in un punto di coordinate r, θ, ϕ, il numero di
collisioni per secondo è
ΣsφdV ,
dove φ è il flusso dei neutroni per cm2 e per sec, mentre Σs (in cm-1) è la sezione d'urto
macroscopica.
Avendo assunto neutroni monoenergetici, il valore della sezione d'urto avrà un valore
costante.
Se le collisioni sono sfericamente simmetriche, cioè, se gli eventi di scattering sono
isotropici nel sistema di laboratorio, un neutrone può sortire dal centro di collisione in
ogni direzione con eguale probabilità.
Assumendo qui scattering isotropico, la probabilità che un neutrone in dV sia
scatterato in una direzione tale da farlo attraversare l'areola dS sarà data dall'angolo
solido frazionario sotteso da dS al punto di scattering, cioè, da
cos θ dS/4πr2.
La probabilità che i neutroni che hanno la loro direzione di moto entro tale angolo
solido raggiungano l'areola dS senza ulteriori collisioni è
e −Σr
(3.1)
dove Σ è la sezione d'urto totale, che include sia i contributi di assorbimento (Σa) che
di scattering (Σs).
2
Fig. 1
Nel presente trattamento abbiamo assunto che il mezzo sia poco assorbente, cioè
caratterizzato da valori Σa piccoli rispetto a Σs. In questo caso si può sostituire nella
(1) con trascurabile errore Σ con Σs.
Il numero di neutroni scatterati dall'elemento di volume dV che raggiungono l'areola
dS per secondo è quindi dato da
Σ s φ dV
dS cos θ
4πr 2
e −Σs r .
(3.2)
Sostituendo dV con l'elemento equivalente (in coordinate sferiche)
(r sinθ dϕ)(rdθ)dr
la (2) diventa
3
dS
φ Σ s e −Σsr cos θ sinθ dr dϕ dθ .
4π
Il numero totale di neutroni scatterati entro l'area dS per secondo dall'alto, cioè nelle
direzioni negative rispetto all'asse z, è ottenuto integrando questa espressione in tutto
lo spazio al di sopra del piano x,y, cioè per tutti i valori di r tra zero e infinito, per ϕ
tra 0 e 2π, e per θ tra zero e π/2.
Indicando con J- è la densità di corrente neutronica, cioè il numero di neutroni che
attraversano l'unità di superficie per secondo, nelle direzioni negative rispetto all'asse
zeta, il numero di neutroni passanti attraverso dS potrà quindi definirsi
J − dS ≡
dS
Σs
4π
π/2
2π
∞
o
o
∫ ∫ ∫
o
φ e −Σs r cos θ sinθ dθ dϕ dr .
(3.3)
Per valutare questo integrale è necessario esprimere il flusso φ in funzione esplicita
delle coordinate spaziali. A questo scopo si usa una espansione di Taylor.
Arrestandoci ai termini del primo ordine, si ha
 dφ 
 dφ 
 dφ 
φ( x, y, z) = φ o + x   + y   + z   + ...
 dx  o
 dz  o
 dy  o
(3.4)
dove l'indice zero significa che le derivate sono calcolate nel punto d'origine, cioè nel
punto in cui è situata l'areola.
Le variabili indipendenti x,y,z possono essere espresse in termini delle coordinate
sferiche attraverso le relazioni
x = r sinθ cos ϕ
y = r sinθ sinϕ
z = r cos θ
Poichè nella (3) l'integrazione su ϕ è tra i limiti di zero e 2π , i termini nella (4)
contenenti x e y non danno alcun contributo e quindi possono essere eliminati. Così ,
sostituendo z con r cos θ , e introducendo la (4) nella (3), e dividendo per dS
entrambi i membri, si ha
4
J− =
Σs
4π
∞
2π
[φ ∫ ∫ ∫
o
 ∂φ 
+  
 ∂z  o
0
o
π/2
e −Σs r cos θ sinθ dθ dϕ dr
o
∞
2π
0
o
∫∫ ∫
π/ 2
r e −Σs r cos 2 θ sinθ dθ dϕ dr
o
]
=
φo
1  ∂φ 
+
 
4
6Σ s  ∂z  o
che dà il valore della densità di corrente attraverso dS dei neutroni provenienti
dall'alto.
La corrente neutronica J+ nelle direzioni positive rispetto all'asse z, si ottiene in
maniera analoga, tenendo conto che che l'integrazione rispetto a θ è in questo caso tra
− π / 2 e 0, in modo da includere solamente lo spazio giacente al di sotto del piano
x,y.
Il valore di J+ risulta così
J+ =
φo
1  ∂φ 
−
  .
4
6Σ s  ∂z  o
La corrente neutronica netta Jz , rispetto l'asse z, sarà data quindi dalla differenza tra
J+ e J-, cioè
Jz = J+ − J− = −
1  ∂φ 
  .
3Σ s  ∂z  o
(3.5)
Benché nell'espansione di Taylor ci si sia arrestati ai termini del primo ordine, il
trattamento è in realtà preciso fino al secondo. Ciò in quanto i contributi dei termini
del secondo ordine alle correnti J+ e J- sono identici e si cancellano quindi a vicenda.
Poichè nella generalità dei casi d'interesse il fattore e −Σs r nell'integrale si riduce
rapidamente per valori crescenti di r, e diventa molto piccolo al di là di due o tre
liberi cammini medi1, il maggior contributo alla corrente neutronica proviene dai
centri di scattering entro tale distanza. L'approssimazione considerata appare quindi
giustificata.
Quanto detto sopra vale a condizione che la variazione di ∂φ / dz entro una distanza
di due o tre liberi cammini medi sia trascurabile. In regioni vicine ad una sorgente
neutronica molto concentrata, o vicine ad un forte assorbitore di neutroni, o vicino a
due mezzi con caratteristiche di diffusione neutronica molto dissimili, tale condizione
1
Poichè Σs è eguale a 1/ λs, dove λs è il libero cammino tra uno scattering ed il successivo, e
decresce a e-3 (cioè circa 0.05) volte il suo valore ad una distanza di tre liberi cammini medi.
5
−Σs r
non è più valida.Quindi,la variazione della quantità ∂φ /dz non è trascurabile e le
approssimazioni che portano alla (5) non sono valide. Tuttavia, ad una distanza di due
o tre liberi cammini medi da una sorgente intensa, o da un forte assorbitore, o da una
superficie di separazione, a causa del forte decremento di termine e −Σs r su accennato,
il flusso può essere espresso con sufficiente accuratezza con l'approssimazione al
secondo ordine adottata in precedenza, e l'espressione (4) usata per esprimere la
densità di corrente neutronica..
Se Σs è sostituita da 1/λs, il libero cammino di scattering, le espressioni ricavate per le
densità di corrente neutronica J-, J+, e per la corrente netta Jz, possono essere scritte
nel seguente modo
φo
4
φ
J+ = o
4
λ
Jz = − s
3
J− =
λ s  ∂φ 
 
6  ∂z  o
λ  ∂φ 
− s   .
6  ∂z  o
 ∂φ 
  .
 ∂z  o
+
In modo simile, per una areola giacente sul piano y,z, la densità di corrente
neutronica netta rispetto all'asse x sarà dato da
Jx = −
λ s  ∂φ 
 
3  ∂x  o
mentre per un'areola giacente nel piano x,z l'espressione per la densità neutronica
netta rispetto all'asse y sarà
Jy = −
λs
3
 ∂φ 
  .
 ∂y  o
Se l'areola, piuttosto che essere normale rispetto ad uno degli assi, è orientata
in modo tale che la sua normale forma angoli α, β, e γ con gli assi x, y, e z,
rispettivamente, la corrente neutronica netta attraverso questa area sarà data dalla
proiezione delle tre componenti, cioè
J= −
λs
3
  ∂φ 
 ∂φ 
 ∂φ 
   cos α +   cos β +   cos γ
 ∂z  o
  ∂x  o
 ∂y  o
6

 .

Da questa espressione si vede che la corrente netta di neutroni attraverso una
superficie unitaria dipende dalla sua orientazione. La corrente neutronica è quindi in
realtà una quantità vettoriale. Sopra essa è stata scritta come una quantità scalare,
ottenuta come prodotto di due vettori, N e J: il primo essendo un vettore unitario
normale all'elemento di area in considerazione, cioè
N = i cos α + j cos β + k cos γ
mentre
J= −

λ s   ∂φ 
 ∂φ 
 ∂φ 
   i +   j +   k 
3   ∂x  o
 ∂z  o 
 ∂y  o
dove i, j, e k sono vettori unitari lungo gli assi x, y, e z.. Con notazione vettoriale, la
corrente neutronica netta può quindi essere espressa come
J= −
λs
grad φ .
3
7
4. Rallentamento dei neutroni
Il meccanismo dello scattering elastico
In precedenza si è parlato di scattering di neutroni monoenergetici. In realtà i neutroni
nascono dalla fissione ad energie molto elevate, dell'ordine dei MeV, e sono quindi
soggetti a rallentamento a seguito di urti elastici (e anelastici) con i nuclei del
moderatore. Questo meccanismo di rallentamemto è fondamentale nei sistemi
cosiddetti "termici", nei quali cioè i neutroni "veloci" rallentano fino a trovarsi in
equilibrio termico con il mezzo circostante. Questo meccanismo è importante anche
in rapporto alla distanza media tra il punto di nascita di ciascun neutrone per fissione
ed il punto in cui esso raggiunge la soglia di energia termica. Tale distanza infatti
consente di determinare la probabilità di leakage (fuga) dei neutroni dal sistema nel
loro processo di rallentamento, cui le dimensioni critiche del sistema sono legate.
Il rallentamento dei neutroni veloci può essere trattato considerando le leggi della
meccanica classica, assumendo i neutroni ed il nucleo scatterante come sferette
perfettamente elastiche.
Applicando le leggi di conservazione del momento e dell'energia, è possibile ottenere
una relazione tra l'angolo di scattering e l'energia del neutrone prima e dopo la
collisione con il nucleo, assumendo nota la distribuzione angolare dello scattering
alle varie energie.
Nel trattamento dello scattering elastico occorre adottare due sistemi di riferimento: il
sistema di riferimento rispetto al laboratorio (L) e quello rispetto al centro di massa
(C). Nel primo si assume che il nucleo sia fermo, nel secondo è ritenuto stazionario il
centro di massa. Nel sistema L il punto di vista è quello di un osservatore esterno,
mentre nel sistema C il punto di vista è quello di un osservatore che viaggia solidale
con il centro di massa del nucleo e del neutrone. Per il trattamento teorico dello
scattering quest'ultimo sistema di riferimento è più semplice. Le condizioni prima e
dopo la collisione nei due sistemi sono indicate nella figura.
Fig. 2
8
Supponiamo che nel sistema L il neutrone, supposto di massa relativa unitaria, si
muova a velocità v1 verso un nucleo fermo con numero di massa A. La velocità del
neutrone è v1 rispetto al nucleo, e, poichè la massa è unitaria, il momento è pure v1.
Poichè il nucleo è fermo, tale quantità rappresenta il momento totale del sistema
neutrone/nucleo. La massa totale delle particelle che entrano in collisione è A+1, e di
conseguenza la velocità vm del centro di massa nel sistema L sarà:
vm =
v1
A +1
(4.1)
Nel sistema C il centro di massa è supposto a riposo. Quindi in questo sistema il
nucleo si avvicina al centro di massa con velocità vm.
Poiché il neutrone prima della collisione si avvicina al nucleo alla velocità v1, il suo
avvicinamento al centro di massa avviene alla velocità (v1-vm), cioè, ricordando la
(4.1),
Av1
v1 − v m =
.
A +1
Si vede, quindi, che nel sistema C il neutrone ed il nucleo scatterante si muovono
Av1
v1
l'uno verso l'altro con velocità
e
, rispettivamente. Il momento del
A +1
A +1
Av1
neutrone (di massa unitaria) è quindi
, nella sua direzione iniziale di moto,
A +1
Av1
nella direzione opposta. Il momento
mentre quella del nucleo, di massa A, è
A +1
totale prima della collisione rispetto al centro di massa è quindi zero e, per il
principio di conservazione del momento, tale sarà anche dopo la collisione.
Dopo la collisione il neutrone nel sistema C emerge lungo una direzione secondo un
angolo, rispetto alla direzione di origine, che indichiamo con θ. Questo è l'angolo di
scattering nel sistema C. Il nucleo dopo la collisione si muoverà in direzione opposta,
poiché il centro di massa giace sempre sulla linea che unisce le due particelle. Se va è
la velocità del neutrone e vb quella del nucleo dopo la collisione nel sistema C, per la
condizione di momento nullo si avrà
va=Avb .
(4.2)
In base alla legge di conservazione dell'energia, di avrà anche
2
2
1  Av1 
1  v 
1 2 1
2

 + A 1  = v a + Av b ,
2  A + 1
2  A + 1
2
2
9
(4.3)
dove il termine a sinistra indica l'energia cinetica totale prima della collisione, mentre
il termine a destra quella dopo la collisione.
Dalle (4.2) e (4.3) si ricavano i valori di va e vb:
va =
Av1
A +1
e
vb =
v1
.
A +1
(4.4)
che risultano identici a quelli delle velocità che le particelle avevano prima della
collisione. Pertanto un osservatore solidale con il centro di massa delle particelle in
collisione vedrebbe, prima della collisione, il neutrone ed il nucleo avvicinarsi ad
esso da opposte direzioni con velocità inversamente proporzionali alle loro masse .
Dopo la collisione le particelle apparirebbero allontanarsi da esso in direzioni
opposte, generalmente diverse da quelle iniziali, con velocità immutate.
Per determinare la perdita di energia cinetica del neutrone a seguito di una collisione
è necessario trasformare i risultati ottenuti nel sistema di riferimento C in quello L. A
tal fine si fa uso del fatto che i due sistemi si devono muovere sempre l'uno rispetto
v
all'altro con la velocità del centro di massa nel sistema L, cioè v m = 1 . Quindi
A +1
la velocità del neutrone dopo la collisione nel sistema L è ottenuta aggiungendo il
vettore (vm) rappresentante il moto del centro di massa nel sistema L al vettore va
indicante la velocità del neutrone dopo la collisione nel sistema C, come indicato in
figura.
Fig.3
L'angolo tra i due
precedente, è θ.
vettori, o angolo di scattering, come indicato nella figura
10
Se v2 è la velocità del neutrone dopo la collisione nel sistema L, allora per la legge
dei coseni si ha
v 22 = v 2m + v a2 + 2 v m v a cos θ
e, introducendo i valori per vm e va dati dalle (4.1) e (4.4), rispettivamente, si ha
2
v 22
2
2Av12
 v1   Av1 
cos θ
=
 +
 +
(A + 1)
 A + 1  A + 1
=
v12 (A 2 + 2A cos θ + 1)
(A + 1) 2
(4.5)
.
L'energia cinetica E1 del neutrone prima della collisione è
1
mv12 , mentre l'energia
2
1
mv 22 . Quindi il rapporto tra l'energia neutronica
2
dopo e prima della collisione è dato dalla equazione
cinerica E2 dopo la collisione è
E 2 v 22 A 2 + 2A cos θ + 1
=
=
.
E1 v12
(A + 1) 2
(4.6)
Questa legge può esprimersi in modo più efficace se introduciamo la quantità
2
 A −1
α=
 .
 A + 1
(4.7)
La (4.6) può quindi esprimersi come
E2 1
= [(1 + α) + (1 − α) cos θ] .
E1 2
(4.8)
E2
, cioè l'urto con minima perdita di energia,
E1
avviene allorché θ =0, cioè per una collisione in cui il neutrone sfiora appena il
nucleo. In questo caso cosθ=1 e la (4.7) diventa
Il valore massimo del rapporto
11
E max
=1
E1
ossia
Emax = E1 .
In questo caso le energie del neutrone prima e dopo la collisione sono eguali, e il
neutrone non soffre di perdita di energia nella collisione.
E2
, cioè il massimo trasferimento di energia possibile
E1
del neutrone al nucleo, avviene allorché θ = π , cioè nella collisione frontale. In
questo caso cos θ = −1 e la (4.7) diventa,
Il valore minimo del rapporto
E min
=α
E1
ossia
Emin = αE1 .
Pertanto, il valore minimo di energia a cui il neutrone può giungere dopo una
collisione è αE1, dove E1 è l'energia prima della collisione. In termini di frazione di
energia persa, si può scrivere
E1 − E min
= 1− α .
E1
La quantità α è data dalla (4.7) e quindi dipende dal numero atomico del nucleo
bersaglio. Per l'idrogeno A=1 per cui si ha α=0. E' quindi possibile per un neutrone la
perdita totale della sua energia cinetica in una collisione con un nucleo d'idrogeno
(che ha massa eguale). Per il carbonio A=12, per cui si ha α=0.716. Quindi la
massima perdita (frazionaria) di energia cinetica per un neutrone che entra in
collisione con un atomo di carbonio è 0.284.
Espandendo la (4.6), α può essere espressa come
α = 1−
4
8
12
+ 2 − 3 + ...
A A
A
Per valori di A in eccesso di 50 ci si può fermare al primo ordine di espansione, cioè
4
α = 1− ,
A
con errore trascurabile. Per esempio, per un nucleo con A eguale a 100, si rileva che
la massima perdita per urto è circa il 4%, mentre per un nucleo con A eguale a 200 è
del 2%.
12
Legge di scattering
Nel paragrafo precedente si è ottenuto il rapporto tra l'energia del neutrone dopo
l'urto e l'energia prima dell'urto in funzione della massa A e dell'angolo di scattering
nel sistema del centro di massa. Tale rapporto è dato dall'equazione (4.8). Se si
specifica una legge empirica di distribuzione angolare dello scattering come funzione
dell'angolo di scattering, si potrebbe ricavare attraverso questa equazione una
corrispondente legge di distribuzione dell'energia neutronica.
I risultati sperimentali indicano che per energie al di sotto di alcuni Mev lo scattering
dei neutroni è sfericamente simmetrico, cioè isotropico, nel centro di massa.
Assumeremo quindi tale condizione nel seguito.
La probabilità che un neutrone sia scatterato nell'elemento di angolo solido dΩ
corrispondentemente all'elemento conico che giace tra gli angoli θ e θ+d θ nel
sistema C è
p(θ)dθ =
dΩ 2πsinθdθ 1
=
= sinθdθ .
4π
4π
2
La probabilità che dopo lo scattering un neutrone con energia iniziale E1 abbia dopo
lo scattering un'energia compresa tra E2 ed E2+dE2 è (nota: dθ e dE2 hanno segni contrari)
p(E 2 )dE 2 == p(θ)
dθ
dE 2 .
dE 2
(4.9)
Dalla (4.8), che collega E2 a θ, si ricava, differenziando,
dθ
2
=−
dE 2
E1 (1 − α)sinθ
e quindi la (4.9) si può scrivere
p(E 2 )dE 2 =
dE 2
.
E1 (1 − α)
(4.10)
Si vede come la probabilità che dopo lo scattering l'energia di un neutrone si trovi in
un dato intervallo ∆E sia indipendente dall'energia finale, e risulti eguale a ∆E diviso
per E1(1-α), cioè il massimo decremento di energia per collisione.
13
L'integrale di p(E 2 )dE 2 su tutto il range tra E1 ed αE1 deve naturalmente essere
eguale all'unità. Infatti risulta
E1
∫ p(E )dE
2
=
2
αE.
..1
1
E1 (1 − α)
E1
∫ dE
2
=1 .
αE
..1
Se lo scattering risulta isotropo nel sistema C, non lo è più in quello L del laboratorio,
a meno che la massa del nucleo scatterante non sia grande rispetto a quella del
neutrone. In questo caso, infatti, il centro di massa del sistema è situato praticamente
nel nucleo e i sistemi L e C coincidono. Possiamo dimostrare ciò osservando la
Figura 3, da cui si deduce che
v 2 cos ψ = v a cos θ + v m
=
Av1
v ,
cos θ + 1
A +1
A +1
dove ψ è è l'angolo di scattering rispetto al sistema L. Inoltre, dalla (4.5) si ha
v2 =
v1
A 2 + 2A cos θ + 1
(A + 1)
e quindi
cos ψ =
A cos θ + 1
A + 2A cos θ + 1
2
.
Per un nucleo pesante A>>1 e quindi cos ψ → cos θ . Ciò vale a dire che l'angolo di
scattering nel sistema L tende a coincidere con quello del sistema C. Di conseguenza,
se lo scattering relativo a nuclei pesanti è isotropo rispetto al centro di massa, tale
risulta anche lo scattering rispetto al sistema del laboratorio.
Il decremento logaritmico medio
Il decremento logaritmico medio è una quantità usata negli studi del rallentamento
neutronico, proposta da Fermi nei suoi primi studi dulla neutronica. Esso rappresenta
il valore medio del decremento logaritmico (ξ) dell'energia del neutrone in una
singola collisione in un mezzo composto di un dato elemento scatterante, ossia il
"decremento logaritmico medio per collisione".
14
Se E1 ed E2 sono le energie prima e dopo la collisione, il decremento logaritmico
medio ξ si può quindi rappresentare come:
αE 1
∫
_____
E
ξ ≡ ln 1 =
E2
E1
ln
E1
p(E 2 )dE 2
E2
(4.11)
αE 1
∫ p(E )dE
2
2
E1
dove p(E 2 )dE 2 è la probabilità definita nel precedente paragrafo.
Il denominatore della (4.11) è eguale all'unità. Sostituendo l'espressione per
p(E 2 )dE 2 data dalla (4.10) si ha
αE 1
ξ≡−
∫
E1
ln
E1
dE 2
.
E 2 E1 (1 − α)
Per l'integrazione conviene considerare la variabile
x=
E2
E1
sicché
α
∫
1
ξ=−
ln x dx =
1− α
(4.11a)
1
=1+
α
ln α
1− α
Ricordando la definizione di α data dalla (4.7), si ha infine
(A − 1) 2
A −1
ξ = 1+
ln
.
2A
A +1
(4.12)
Per valori di A al di sopra di 10, una buona approssimazione è la seguente
15
ξ=
3
.
A + 2/3
Usando questa espressione approssimata nel caso di A=2, l'errore è comunque
limitato al 3.3%.
Da notare che il valore di ξ risulta indipendente dal valore iniziale dell'energia del
neutrone, nell'ipotesi che lo scattering sia isotropo nel sistema del centro di massa.
Ciò significa che, nello scattering in un mezzo con un dato nuclide, la frazione media
dell'energia di un neutrone persa per collisione è la stessa per ogni valore dell'energia
iniziale.
Diamo nella Tabella 1 i valori di ξ per un certo numero di elementi, in particolare
quelli di basso numero atomico A. Il numero medio di collisioni con i nuclei di un
determinato moderatore richiesti per raggiungere l'energia termica (circa 0.025 ev) a
partire da quella media di fissione (circa 2 Mev) è ottenuto per ogni nuclide dalla
espressione
Numero medio di collisioni per
=
raggiungere la termalizzazione
ln
2x10 6
0.025 = 18.2 .
ξ
ξ
TABELLA 1. Proprietà di scattering dei nuclei
________________________________________________________
Collisioni per
Elemento
N. di massa
ξ
termalizzare
________________________________________________________
Idrogeno
1
1.000
18
Deuterio
2
0.725
25
Elio
4
0.425
43
Litio
7
0.268
67
Berillio
9
0.209
86
Carbonio
12
0.158
114
Ossigeno
16
0.120
150
Uranio
238
0.00838
2172
________________________________________________________
16
(4.13)
Potenza di rallentamento e rapporto di moderazione
Secondo la (4.13) ξ è inversamente proporzionale al numero di collisioni di scattering
necessarie per rallentare il neutrone dall'energia di fissione a quella termica. Esso
rappresenta quindi una misura parziale delle capacità di moderazione di un dato
materiale scatterante. E' un buon moderatore quello in cui la perdita di energia per
collisione è elevata, ed è quindi desiderabile che ξ sia il più alto possibile. Tuttavia un
valore elevato di ξ non serve a molto, a meno che la probabilità di scattering
(proporzionale alla sua sezione d'urto) non sia elevata.
Il prodotto ξΣs, dove Σs è la sezione d'urto macroscopica di scattering, è chiamata
"potenza di rallentamento". Essa rappresenta una buona misura delle capacità di
rallentamento di un moderatore in quanto rappresenta la capacità di rallentamento di
tutti i nuclei in un cm3 di materiale. Poiché Σs è eguale a Noρσs/A, dove No è il
numero di Avogadro, ρ la densità del moderatore, σs la la sua sezione d'urto
microscopica ed A il peso atomico, la potenza di moderazione è rappresentata dalla
espressione
N o ρσ s ξ
.
A
Nella Tabella 2 sono riportati la potenza di rallentamento di alcuni moderatori
importanti.
TABELLA 2. Proprietà di rallentamento dei moderatori
____________________________________________________
Moderatore
Potenza di rallentam.
Rapporto di moderaz.
____________________________________________________
Acqua
1.53 cm-1
72
Acqua pesante
0.170
12000
-5
Elio
1.6 x 10 (*)
83
Berillio
0.176
159
Grafite
0.064
170
____________________________________________________
(*) A temperatura e pressione atmosferica.
Sebbene la potenza di rallentamento dia una indicazione soddisfacente della capacità
del materiale moderatore di rallentare i neutroni, esso non prende in conto la
possibilità che il materiale sia un forte assorbitore neutronico. La potenza di
rallentamento del boro, ad esempio, è migliore di quella della grafite, ma il boro
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sarebbe inutilizzabile come moderatore dato l'elevato valore della sua sezione d'urto
di assorbimento.
Il rapporto della potenza di rallentamento su definita rispetto alla sezione d'urto
macroscopica di assorbimento Σa, cioè Σsξ/Σa , è chiamato rapporto di moderazione.
Esso è una quantità che meglio indica l'efficacia di un materiale come moderatore.
Alcuni valori approssimati di questo rapporto sono dati nella Tabella 2. Si rileva che
l'acqua pesante è il moderatore di gran lunga migliore. Tra i moderatori solidi il
berillio e la grafite sono convenienti.
Letargia
Per molti scopi è conveniente esprimere l'energia di un neutrone in forma logaritmica,
non-dimensionale, attraverso una quantità, u, chiamata "letargia", data
dall'espressione
Eo
(4.14)
E
dove Eo è l'energia iniziale dei neutroni della sorgente di fissione. I neutroni di
sorgente avranno quindi letargia zero, ed il suo valore aumenterà nel processo di
rallentamento.
u = ln
Se u1 è la letargia corrispondente a E1, l'energia del neutrone prima di una collisione,
ed u2 quella corrispondente ad E2, l'energia del neutrone dopo la collisione, la
differenza u2-u1 è data da
u 2 − u1 = ln
E1
.
E2
E1
, è evidente
E2
che ξ può essere vista come la variazione media di letargia di un neutrone per
collisione. Nei casi di scattering isotropo, tale variazione di letargia è indipendente
dalla energia del neutrone incidente. Così , indipendentemente dalla sua energia, un
neutrone deve subire in media lo stesso numero di collisioni per aumentare la sua
letargia di una data quantità. Questo fatto rappresenta uno dei vantaggi di usare la
letargia come variabile.
Poiché la quantità ξ definita sopra rappresenta il valore medio di ln
Dalla espressione (4.14) si ottiene l'espressione esponenziale
E = E o e −u .
Si deduce facilmente quindi che un neutrone perde, in media, molta più energia nelle
prime collisioni di quanto ne perda in quelle successive.
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