Transcript Introduzione storica e problemi di ricerca nella teoria dei Grafi

Introduzione storica
Konigsberg
Problema di Hamilton
Problema dei 4 colori
Colorazione dei vertici
Colorazione degli spigoli
Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Introduzione storica e problemi di ricerca
nella
teoria dei Grafi
Mario Gionfriddo
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Introduzione storica e problemi di ricercanellateoria dei Grafi
Introduzione storica
Konigsberg
Problema di Hamilton
Problema dei 4 colori
Colorazione dei vertici
Colorazione degli spigoli
Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
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Introduzione storica
Problemi principali
Konigsberg
Problema di Hamilton
Problema di Hamilton
Problema dei 4 colori
Problema dei 4 colori
Colorazione dei vertici
Colorazione dei vertici
Colorazione degli spigoli
Indice cromatico
Classification Problem
Classification for planar graphs
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Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Berge’s conjecture
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Konigsberg
Problema di Hamilton
Problema dei 4 colori
Colorazione dei vertici
Colorazione degli spigoli
Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Problemi principali
Problemi principali
- Problema dei ponti di Konigsberg, 1736
grafi euleriani
- Problema dei 4 colori, 1852
colorazione dei vertici - colorazione degli spigoli
- Problema del dodecaedro di Hamilton, 1859
grafi hamiltoniani
- Problema di Woolhouse, 1844
sistemi di Steiner
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Colorazione dei vertici
Colorazione degli spigoli
Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Konigsberg
La teoria dei grafi ha una data di nascita ben precisa: 1736.
La sua origine, infatti, coincide con la soluzione del famoso problema
di 7 ponti di Konigsberg, cittá natale di Kant e di Hilbert.
Konigsberg é attraversata dal fiume Praegel e in essa ci sono 7 ponti
che congiungono le varie parti della cittá, compreso un isolotto
circondato dal fiume.
In quell’anno Eulero scrisse un lavoro nel quale fu adoperato per la
prima volta il termine graph.
Nella cittá di Konigsberg era nato, ad un certo punto, il seguente
problema:
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Colorazione dei vertici
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Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Konigsberg
Fissato un punto qualsiasi della cittá, é possibile, partendo da esso,
attraversare tutti i ponti della cittá una ed una sola volta, e concludere
il cammino nel punto di partenza ?
Eulero, nel 1736, in ”Solutio problematis ad geometriam situs
pertinensis”, risolse il problema nella sua generalitá.
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Grafi
Oggi diciamo che un grafo é una coppia G = (V , S), dove V é un
insieme i cui elementi si dicono vertici ed S é un insieme di coppie di
elementi di V che si dicono spigoli. Un grafo che ammette un
cammino come quello richiesto é detto euleriano.
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Grafi
Eulero provó che:
”Condizione necessaria e sufficiente affinché un grafo sia euleriano é
che tutti i vertici abbiano grado pari”
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Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Problema di Hamilton
Problema di Hamilton
Una passeggiata lungo gli spigoli di un dodecaedro regolare
Problema di Hamilton:
Ӄ possibile determinare un cammino lungo gli spigoli del dodecaedro
in modo tale da passare per tutti i vertici una ed una sola volta,
terminando la passeggiata nel punto di partenza ?”
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Problema di Hamilton
Problema di Hamilton
Il problema si puó porre per grafi qualsiasi.
Un grafo che contenga un cammino come quello descritto é detto
hamiltoniano.
A differenza, peró, dei grafi euleriani, per i quali Eulero diede in tempi
brevi una caratterizzazione, determinare se un grafo é o no
hamiltoniano é ancora oggi un problema aperto.
Problema: Caratterizzare i grafi hamiltoniani.
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Problema di Hamilton
Problema di Hamilton
Tra i risultati piú importanti, citiamo i seguenti:
Teorema di Dirac, 1959: ”Sia G un grafo con n vertici. Se ogni
vertice ha grado ≥ n2 , allora G é hamiltoniano.”
Teorema di Ore, 1961: ”Sia G un grafo con n vertici. Se per ogni
coppia di vertici x, y non adiacenti, si ha d(x) + d(y ) ≥ n, allora G é
hamiltoniano.”
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Le condizioni trovate sono sufficienti affinché un grafo sia
hamiltoniano, ma NON necessarie.
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Problema dei 4 colori
Problema dei 4 colori
Dal 1736, per quasi 120 anni, nessuno parla piú di grafi.
Nel 1852 nasce peró il problema dei 4 colori, che dará impulso e
sviluppo alla teoria dei grafi per tutti gli anni seguenti, fino ai giorni
nostri.
Nel 1852, Francis Guthrie, studente di De Morgan, colorando una
cartina delle contee britanniche, assegnando colore diverso a contee
confinanti, si accorse che quattro colori erano sempre sufficienti.
Guthrie cercó, allora, di trovare carte geografiche (anche fantasiose)
che richiedessero 5 colori, ma non di meno. Non trovandone, pose
il problema al suo professore De Morgan
De Morgan pose il problema alla London Mathematical Society,
dove c’era anche Hamilton.
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Problema dei 4 colori
Problema dei 4 colori
4CC: Four Colours suffice
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The coloured edge property
Problema dei 4 colori
Problema dei 4 colori
Tentativi di dimostrazione:
- Arthur Cayley: On the colouring maps 1872;
- Alfred Kempe (avvocato e matematico londinese, allievo di
Cayley): nel 1879 pubblicó una dimostrazione della congettura che
venne riconosciuta valida per ben 11 anni;
- P.Heawood: nel 1890 trovó un errore nella dimostrazione di Kempe
e dimostró il teorema dei 5 colori;
ATTENZIONE: L’errore di Kempe ebbe una grande importanza
perché diede le idee fondamentali per la risoluzione del problema.
Il problema fu risolto da Appel e Haken (USA) nel 1976.
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Problema dei 4 colori
Problema dei 4 colori
La dimostrazione si basa su:
1) determinazione delle carte basi, che risultarono essere
esattamente 1476;
2) riduzione di tutte le possibili carte geografiche ad una delle carte
basi;
3) verifica della congettura per le carte basi, caso per caso, grazie
ad un complesso algoritmo informatico.
Kempe aveva avuto la stessa idea, solo che nella sua dimostrazione
le carte basi erano solo 4.
Per analizzare tutti i casi possibili i computer hanno lavorato per 1200
ore e per trascrivere la dimostrazione complessiva del teorema ci
sono voluti piú di 500 pagine dell’ Illinois Journal of Mathematics.
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The coloured edge property
Problema dei 4 colori
Problema dei 4 colori
Osservazioni e critiche:
Le dimostrazioni matematiche devono essere sempre basate su
passaggi logici. Dunque, l’utilizzo dei computer non puó essere
accettato.
Per questo motivo, la dimostrazione di Appel-Haken scatenó grandi
polemiche nel mondo scientifico, tanto che alcuni matematici ne
contestarono la validitá. Un critico matematico affermó che
”Una buona dimostrazione matematica é come un poema, la
dimostrazione di Appel-Haken é un elenco telefonico !”.
Fino ad oggi, peró, non é stato trovato alcun errore.
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The coloured edge property
Colorazione dei vertici
Carte geografiche −→ Grafi
Data una carta geografica. Ogni stato puó essere rappresentato nel
piano con un punto (vertice del grafo). Se due stati sono confinanti,
possiamo congiungere i due punti corrispondenti con una linea
(spigolo del grafo). Viene definito un grafo G che si dice associato
alla carta geografica e che risulta planare.
In questo modo, colorare i paesi rappresentati della carta geografica
significa assegnare un colore ad ogni vertice del grafo, con la
condizione che vertici adiacenti (cioé, che formano uno spigolo) sono
colorati con colore diverso.
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Stato −→ vertice,
Colorazione dei vertici
Stati confinanti −→ spigolo
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Colorazione dei vertici
Definizione
Una ”colorazione dei vertici” di un grafo G = (V , S) é un’applicazione
K : V → C (insieme di ”colori”) tale che:
∀x1 , x2 ∈ V ,
{x1 , x2 } ∈ S,
⇒ K (x1 ) 6= K (x2 ).
Numero cromatico
Il ”numero cromatico” di G é il minimo k per cui G é k -colorabile.
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Colorazione dei vertici
Teorema dei 4 colori
Se G é un grafo planare, allora χ(G) ≤ 4.
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
Colorazione degli spigoli
Although the origins of chromatic theory may be traced back to 1852
(4CC), the first papers on edge-colourings appeared in 1880, when
P.G.Tait published two brief abstracts in the Proceedings of the Royal
Society of Edinburgh.
In these papers Tait proved that:
”If the 4CC is true, then the edges of every trivalent planar graph can
be properly coloured using only three colours”.
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Indice cromatico
Classification Problem
Edge-colourings
Definition
An ”edge-colourings” of a graph G is a mapping K : S → C (set of
colours) such that:
∀s1 , s2 ∈ S,
s1 6= s2 ,
s1 ∩ s2 6= ∅ ⇒ K (s1 ) 6= K (s2 ).
G is said to be ”k -edge-colourable” if there exists an edge-colourings
by k colours.
Chromatic index
The ”chromatic index” of G is the positive integer such that
χ0 (G) = min{|K (S)| :
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K : S → C}.
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Indice cromatico
Classification Problem
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Indice cromatico
Classification Problem
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
¨ nig, who proved in 1916 that:
After this, little was done until D.Ko
’’If G is a bipartite graph of maximum degree ∆, then its edges can
be properly coloured using exactly ∆ colours”.
Of course, it was soon evident that, for every graph G, it was not
possible to colour the edges of G by ∆-1 colours and the curious fact
was that every graph was always colourable by ∆ or by ∆ + 1
colours.
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Indice cromatico
Classification Problem
So, the great breakthrough occurred in 1964, when V.G.Vizing
proved that:
”If G is a graph (without multiple edges), then the number of colours
needed to colour the edges of G is always either ∆ or ∆ + 1.”
Observe that this result is different from what happens with the
vertex-colourings, as we will see later.
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Indice cromatico
Classification Problem
Edge-colourings
Theorem
for a cycle Cn , it is:
χ0 (Cn ) =
2, if n is even (∆)
3, if n is odd (∆+1)
For a complete graph Kn , it is:
n − 1, if n is even (∆)
0
χ (Kn ) =
n, if n is odd (∆+1)
For a bipartite complete graph Kr ,s , it is χ0 (Kr ,s )=max{r , s} (∆).
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Indice cromatico
Classification Problem
Edge-colourings
Theorem
for a cycle Cn , it is:
χ0 (Cn ) =
2, if n is even (∆)
3, if n is odd (∆+1)
For a complete graph Kn , it is:
n − 1, if n is even (∆)
0
χ (Kn ) =
n, if n is odd (∆+1)
For a bipartite complete graph Kr ,s , it is χ0 (Kr ,s )=max{r , s} (∆).
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Indice cromatico
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Edge-colourings
Theorem
for a cycle Cn , it is:
χ0 (Cn ) =
2, if n is even (∆)
3, if n is odd (∆+1)
For a complete graph Kn , it is:
n − 1, if n is even (∆)
0
χ (Kn ) =
n, if n is odd (∆+1)
For a bipartite complete graph Kr ,s , it is χ0 (Kr ,s )=max{r , s} (∆).
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Indice cromatico
Classification Problem
For complete graphs Kn , observe that, for n even, a colouring with ∆
colours is given by an 1-factorization of the graph. For n odd, a
colouring with n colours given adding at first a new vertex ∞,
considering an 1-factorization of the new graph Kn+1 , and at last
deleting the vertex ∞ (with the edges having it as extreme).
It is not possible to define a colouring with n − 1 = ∆ colours. Indeed,
in this case the colour classes are ∆ = n − 1 and each class can
contain at most b n−1
2 c edges. So the number of edges should be:
(n−1)(n−1)
m≤
, while it is known that they are: m = n(n−1)
.
2
2
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Indice cromatico
Classification Problem
Edge-colourings
¨ nig’s Theorem
Ko
If G is a bipartite graph, then χ0 (G) = ∆.
Vizing’s Theorem (1964).
If G = (V , S) is a graph with maximum degree ∆, then:
∆ ≤ χ0 (G) ≤ ∆ + 1.
Observe that until 1964 the most that one could say in general about
the chromatic index of a graph was that
3
· ∆ + 1.
2
Left-hand inequality immediate, right-hand inequality due to Shannon
in 1949.
∆ ≤ χ0 (G) ≤
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Classification Problem
Classification problem
Vizing’s Theorem gave a simple way of classifying graphs into two
classes.
Definition
A graph G is said to be ”of class 1” if χ0 (G) = ∆, is said to be ”of
class 2” if χ0 (G) = ∆+1.
We have already seen that: even complete graphs K2k , even cycles,
bipartite graphs are all of class 1; odd complete graphs K2k +1 , odd
cycles are all of class 2; and for them the proof is very easy.
BUT, the general problem of deciding which graphs belong to which
class, the so-called Classification Problem, is UNSOLVED.
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Classification Problem
We can see a different situation between vertex-colourings and
edge-colorings. Given a graph G, the minimum possible value for
chromatic index is ∆, while the minimum possible value for chromatic
number is the density (maximum number of vertices generating a
complete subgraph) ω.
For edge-colourings the possible values for χ0 are only two (Vizing’s
theorem). For vertex-colourings, there is a Micielski’s construction for
which it happens that:
”for every h ∈ N, there exists a graph G such that: χ = ω + h” .
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Classification Problem
It seems that graphs of class 2 are relatively few and they are very
uncommon. If we consider all the 143 connected graphs with at most
six vertices, only 8 of them are of class 2.
¨ s and Wilson ”ALMOST ALL GRAPHS ARE OF CLASS 1”,
For Erdo
in the sense that ”if P(n) is the probability that a random graph is of
class 1, then P(n) → 1 per n → ∞”.
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Classification Problem
There are many sufficient conditions for a graph is of class 2.
It seems natural to expect that the more edges a graph has the more
likely it is to be of class 2. This idea is precised in the following
theorem, which gives a sufficient condition for a graph to be of class
2.
Beineke-Wilson Theorem
Let G be a graph with n vertices, for n odd, m edges, maximum
degree ∆. If m > ∆b 21 nc, then G is of class 2.
Observe that in any ∆-edge-colouring of G, the edge set is
partitioned in ∆-colouring-classes and each of them can contain at
most b 21 nc pairwise disjoint edges. Therefore, it follows that the
number m of edges should be: m ≤ ∆ · b n2 c.
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Classification Problem
Consequences:
Corollary 1
1
Every regular graph of odd order n is of class 2.
2
If H is a graph, regular of degree ∆, order n odd, and if G is a
graph obtained from H by deleting at most 12 ∆ − 1 edges, then G
is of class 2.
3
If H is a regular graph of even order n, and G is any graph
obtained from H by inserting a new vertex into any edge of H,
then G is of class 2.
4
If G is any graph obtained by taking an odd cycle C2k +1 and
adding to it no more then 2k − 2 independent sets of k edges,
then G is of class 2.
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Consequences:
Corollary 1
1
Every regular graph of odd order n is of class 2.
2
If H is a graph, regular of degree ∆, order n odd, and if G is a
graph obtained from H by deleting at most 12 ∆ − 1 edges, then G
is of class 2.
3
If H is a regular graph of even order n, and G is any graph
obtained from H by inserting a new vertex into any edge of H,
then G is of class 2.
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If G is any graph obtained by taking an odd cycle C2k +1 and
adding to it no more then 2k − 2 independent sets of k edges,
then G is of class 2.
Mario Gionfriddo
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Introduzione storica
Konigsberg
Problema di Hamilton
Problema dei 4 colori
Colorazione dei vertici
Colorazione degli spigoli
Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
Consequences:
Corollary 1
1
Every regular graph of odd order n is of class 2.
2
If H is a graph, regular of degree ∆, order n odd, and if G is a
graph obtained from H by deleting at most 12 ∆ − 1 edges, then G
is of class 2.
3
If H is a regular graph of even order n, and G is any graph
obtained from H by inserting a new vertex into any edge of H,
then G is of class 2.
4
If G is any graph obtained by taking an odd cycle C2k +1 and
adding to it no more then 2k − 2 independent sets of k edges,
then G is of class 2.
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Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
Consequences:
Corollary 1
1
Every regular graph of odd order n is of class 2.
2
If H is a graph, regular of degree ∆, order n odd, and if G is a
graph obtained from H by deleting at most 12 ∆ − 1 edges, then G
is of class 2.
3
If H is a regular graph of even order n, and G is any graph
obtained from H by inserting a new vertex into any edge of H,
then G is of class 2.
4
If G is any graph obtained by taking an odd cycle C2k +1 and
adding to it no more then 2k − 2 independent sets of k edges,
then G is of class 2.
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Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
A result of Vizing:
Corollary 2
If G is a regular graph containing a cut-vertex, then G is of class 2.
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
A result of Vizing:
Corollary 2
If G is a regular graph containing a cut-vertex, then G is of class 2.
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
A result of Vizing:
Corollary 2
If G is a regular graph containing a cut-vertex, then G is of class 2.
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The coloured edge property
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Classification Problem
A result of Vizing:
Corollary 2
If G is a regular graph containing a cut-vertex, then G is of class 2.
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
A result of Vizing:
Corollary 2
If G is a regular graph containing a cut-vertex, then G is of class 2.
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
The previous Corollaries provide us with several examples of graphs
of class 2.
Further examples are given by the following theorems, which give
families of graphs for which the classification problem has been
solved.
Theorem [Laskar, Hare (1971)]
Let Kr (k ) be the complete r -partite graph each of whose parts
has exactly k vertices. Then Kr (k ) is of class 2 if and only if k and
r are both odd.
Theorem [Parker (1973)]
Let Cr (k ) be the generalized cycle obtained by arranging r copies
of the null graph with k vertices into a cycle, and joining two
vertices if and only if they are adjacent to a cycle. Then Cr (k ) is of
class 2 if and only if k and r are both odd.
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
The previous Corollaries provide us with several examples of graphs
of class 2.
Further examples are given by the following theorems, which give
families of graphs for which the classification problem has been
solved.
Theorem [Laskar, Hare (1971)]
Let Kr (k ) be the complete r -partite graph each of whose parts
has exactly k vertices. Then Kr (k ) is of class 2 if and only if k and
r are both odd.
Theorem [Parker (1973)]
Let Cr (k ) be the generalized cycle obtained by arranging r copies
of the null graph with k vertices into a cycle, and joining two
vertices if and only if they are adjacent to a cycle. Then Cr (k ) is of
class 2 if and only if k and r are both odd.
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
In the following example an edge-colouring of C4,3 is represented.
We can see that there exist an edge-colouring with 6 colours, which is
the degree of all the vertices: the graph is of class 1.
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
The graph C3(3) is of class 2 (r odd, k =odd). It is not possible to
colour C3(3) with ∆ = 6 colours.
The figure represents the graph C3(3) with an edge-colouring by 7
colours.
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Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
Planar Graphs
Although the classification problem is far from solved in general,
appreciable progress has been done in the particular case of planar
graphs.
Planar graphs of class 1 are even cycles (∆ = 2), Vizing (1965)
proved the surprising result that:
”Every planar graph with ∆ ≥ 8 is necessarily of class 1”.
The problem of determining what happens when the maximum
degree is either 6 or 7 remains OPEN. In this connection Vizing
formulated the following conjecture.
”Every planar graph with ∆=6 or 7 is of class 1”.
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The coloured edge property
Indice cromatico
Classification Problem
Outerplanar Graphs
For outerplanar graphs the classification problem is completely
solved:
Theorem
An outerplanar graph G is of class 2 if and only if G is an odd cycle.
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The coloured edge property
Problema di Woolhouse, 1844
Sono assegnati v oggetti. Formare raggruppamenti di k oggetti, scelti
tra i v dati, in modo tale che ogni raggruppamento di h oggetti é
contenuto in uno d uno solo di essi.
Formulazione moderna
Sia X un insieme di v oggetti. Definire una famiglia F di
k -sottoinsiemi di X , detti ”blocchi”, in modo tale che ogni
h-sottoinsieme di X sia contenuto in uno ed uno solo dei blocchi di F.
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Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Queste strutture sono oggi dette Sistemi di Steiner S(h, k , v ).
Esempio di S(2,3,9):
1,2,3
4,5,6
7,8,9
1,4,7
2,5,8
3,6,9
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1,5,9
2,6,7
3,4,8
1,6,8
2,4,9
3,5,7
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The coloured edge property
Il problema consiste nel determinare i valori di h,k,v per i quali un
sistema S(h,k,v) esiste.
Nella sua generalitá il problema é ancora oggi APERTO ed é stato
risolto solo nei casi k=3,4.
Steiner-Kirkmann, 1849
”Esiste un S(2,3,v) se e solo se v ≡ 1 opp. 3 mod 6, v ≥ 3”
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The coloured edge property
H.Hanani, 1960
”Esiste un S(3,4,v) se e solo se v ≡ 2 opp. 4 mod 6, v ≥ 4”
H.Hanani, 1962
”Esiste un S(2,4,v) se e solo se v ≡ 1 opp. 4 mod 12, v ≥ 4”
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The coloured edge property
Sono note condizioni necessarie di esistenza.
Problema
Dimostrare se esiste o non esiste un S(4,5,17)
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Problema di Woolhouse, 1844
The coloured edge property
Berge’s conjecture
A hypergraph H = (X , E) is said to be linear if two distinct edges
E 0 ,E 00 has no vertex (parallel) or exactly one vertex in common.
The closure of H is the hypergraph H defined in X and having for
edges all the edges of H with all their nonempty subsets.
We say that a hypergraph H = (X , E) has the coloured edge
property if χ0 (H) = ∆(H).
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The coloured edge property
Berge’s conjecture
Berge formulated the following conjecture:
If H is linear, then H has the coloured edge property:
χ0 (H) = ∆(H).
This conjecture is true for graphs (Vizing theorem 1960), for stars
(Schonheim 1973).
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The coloured edge property
Berge’s conjecture
Since every Steiner system S(2,k,v) is a linear hypergraph, an open
problem is to study Berge’s conjecture for them.
For these Steiner systems the conjecture can be reformulated, using
their terminology, as follows:
”The closure of Steiner systems S(2,k,v) is always resolvable”.
A result:
”If the system S(2,k,v) is resolvable, then its closure is resolvable”.
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The coloured edge property
Berge’s conjecture
M.Gionfriddo, Z.Tuza: ”On two conjectures of Berge and Chvàtal”,
Discrete Mathematics 124 (1994), 79-86
M.Gionfriddo, S.Milici: ”A result concerning two conjectures of
Berge and Chvàtal”, Discrete Mathematics 155 (1996), 77-79
M.Gionfriddo: ”On the edge-colouring property for Hanani triple
systems”, Discrete Mathematics 208 (1999), 205-210
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The coloured edge property
Berge’s conjecture
For resolvable STS(v ), the so-called Kirkman Triple Systems, the
problem is easy to solve.
It is sufficient to consider:
The resolution of B:
1,2,3
4,5,6
7,8,9
1,4,7
2,5,8
3,6,9
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1,5,9
2,6,7
3,4,8
1,6,8
2,4,9
3,5,7
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The coloured edge property
Berge’s conjecture
and:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2,3
1,3
1,2
5,6
4,6
4,5
8,9
7,9
7,8
4,7
5,8
6,9
1,7
2,8
3,9
1,4
2,5
3,6
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5,9
6,7
4,8
3,8
1,9
2,7
2,6
3,4
1,5
6,8
4,9
5,7
2,9
3,7
1,8
3,5
1,6
2,4
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The coloured edge property
Berge’s conjecture
If, for any resolvable S(2, 4, v ), Σ = (X , B), considering that
v = 12h + 4, we take:
- the resolution of B;
- the classes Cx , for every x ∈ X , formed by x all the triples that,
with x, give a block of Σ;
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Berge’s conjecture
- an 1-factorization of the complete graph defined in X ;
then we define a resolution of the closure of the resolvable S(2, 4, v ).
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